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DINÁMICA VIBRACIONES FORZADAS AMORTIGUADAS PRESENTADO POR LAURA NINA IVAN 2017

OBJETIVOS

Después de finalizada esta unidad el alumno será capaz de  Aplicar las leyes de Newton al estudio de las vibraciones forzadas con y sin amortiguamiento  Resolver ejercicios y problemas de vibraciones forzadas  Comprender el efecto de resonancia

II. INTRODUCCIÓN • Hemos visto que la energía de un oscilador amortiguado disminuye con el tiempo debido a la fuerza disipativa. • Es posible compensar la pérdida de energía aplicando una fuerza externa, la cual hace trabajo positivo sobre el sistema. • En cualquier instante, se puede agregar energía al sistema aplicando una fuerza que actúe en la dirección del movimiento del oscilador. • Por ejemplo un niño, en un columpio puede mantenerse e movimiento por medio de impulsos sincronizados de manera apropiada.

• La amplitud del movimiento permanecerá constante si la energía de entrada en cada ciclo del movimiento es exactamente igual a la energía que pierde por la fricción

II. INTRODUCCIÓN • Existen varios tipos de vibraciones forzadas, destacando las siguientes: (a) Vibraciones forzadas sin amortiguamiento. Aquellas vibraciones en las cuales no existe amortiguamiento de ningún tipo pero son producidas por fuerzas externas (b)Vibraciones forzadas con amortiguamiento. Aquellas vibraciones producidas o fuerzas externas y en el cual existe amortiguamiento por ejemplo viscoso

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  Para determinar las ecuaciones que la gobiernan a este movimiento consideremos un sistema masa, resorte y amortiguador sometido a una fuerza periódica externa P =P0senΩ, tal como se muestra en la figura.

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  Aplicando al DCL la segunda ley de Newton, se obtiene.

F

x

 max

P0 sent  kx  cx  mx mx  cx  kx  P0 sent

(1)

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  La ecuación diferencial (1)* es una ecuación diferencial lineal, de segundo orden, no homogénea y con coeficientes constantes. Su solución se obtiene sumando una solución complementaria y una solución particular. La solución complementaria satisface a la ecuación homogénea y la solución particular es una función cualquiera que satisface la ecuación diferencial. Por lo tanto, la solución total se escribe

x(t )  xC (t )  xP (t ) (2)

 La solución complementaria depende del coeficiente de amortiguamiento. Así si el movimiento es subamortiguado

x  x0e

 t

Sen d t   

(3)

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  La solución complementaria estudiada anteriormente, se extingue rápidamente según el valor del coeficiente de amortiguamiento. Por el contrario la solución particular o permanente o de estado estacionaria es la que se mantiene, siendo esta de carácter armónico y viene expresada por

xP  xm sen  t   

(4)

 Derivando esta ecuación se obtiene

xP  xm cos  t   

(5)

xP   xm sen  t   

(6)

2

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  Remplazando (4), (5) y (6), resulta

m2 xm sen  t     cxm cos  t     kxm sen  t     P0 sent  Haciendo (Ωt-φ) sucesivamente igual a cero y /2, resulta

cxm  P0 sen (7)

 k  m  x 2

m

 P0 cos  (8)

 Elevando al cuadrado ambos miembros de las dos ecuaciones anteriores y sumándolos, resulta

 k  m 

2

   c  2

2

 x2  P2 0  m

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  De la ecuación se obtiene la amplitud la misma que está dada por

xm 

P0

 k  m    c  2

2

 El desfasaje está dado por

c tg  2 k  m

2

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  Bajo estas circunstancias la solución particular se escribe

x 

P0

 k  m    c  2

2

2

sen  t   

 Pero la frecuencia natural está dada por,  = k/m , y el valor del coeficiente crítico de amortiguamiento es ccr = 2mωn, el factor de amplificación será

xm MF   P0 / k

1 2

1    / n     2  c / ccr   / n   2    

tg 

2

2  c / ccr   / n  1    / n 

2

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO  En la figura, se muestra el factor de amplificación en función de la razón de frecuencias para distintos valores de la razón de amortiguamiento.

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO

IV. VIBRACIONES FORZADAS PARA MOVIMIENTO DE ROTORES DESEQUILIBRADOS

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: Resonancia

IV. VIBRACIONES FORZADAS CON AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: Resonancia

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