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REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA “ANTONIO JOSÉ DE SUCRE” VICE- RECTORADO “LUIS CABALLERO MEJIAS” LABORATORIO DE DINAMICA DE MAQUINAS SECCION # 01

Vibraciones Forzadas Amortiguadas

INTEGRANTES: Rey Deyvison 200610573

Marcano Francisco 20010514 Caracas, Marzo de2011

INTRODUCCION

En los sistemas mecánicos sometidos a una vibración forzada amortiguada su respuesta de vibración tiene lugar a la misma frecuencia de excitación. Fuente comúnmente de excitación armónica son el desbalance en maquinas rotativas, fuerzas producidas por maquinas reciprocantes o el movimiento de la maquina misma. Este tipo de movimiento es más usado y que se encuentra generalmente en los sistemas mecánicos de aquí su importancia en el estudio de esta practica.

OBJETIVO El objetivo de esta practica es el de comprobar la ecuación que gobierna las vibraciones forzadas.

MARCO TEORICO

Vibraciones Forzadas: Las vibraciones forzadas son aquellos movimientos continuos o periódicos que poseen una fuente de excitación que impide el descenso o la atenuación del movimiento. Las vibraciones forzadas son frecuentes en sistemas de ingeniería. Son comúnmente producidas por desbalances en máquinas rotatorias, las vibraciones forzadas pueden ocurrir en la forma de una fuerza o desplazamiento de algún punto del sistema. Cuando un sistema con un grado de libertad con amortiguamiento viscoso, excitado por una fuerza armónica Fosenω t (fig.), su ecuación de movimiento es: mX´´ + CX´ + KX = FoSenω t

K

C

Ec.1

KX MASA M

CX

MASA M FoSenω t

La solución de esta ecuación consta de dos partes, la función complementaria, que es la solución de la homogénea y la solución particular es una oscilación estacionaria de la misma frecuencia ω de la excitación. Podemos suponer que la solución particular es de la forma: x = XSen(ω t - φ )

Ec.2

En donde la X es la amplitud de la oscilación y φ es la fase del desplazamiento con respecto a la fuerza excitatriz. La amplitud y la fase en la ecuación anterior se calculan sustituyendo la Ec. 2 en la ecuación diferencial 1. Recordando que en el movimiento armónico las fases de la velocidad y aceleración están adelante del desplazamiento en 90º y 180º respectivamente, los términos de la ecuación diferencial se pueden desplegar gráficamente, como se ve fácilmente en la (fig.) se tiene que:

X =

FO

( K − mw ) + (Cw ) 2

2

 Cw  φ = arctg  2  K − mw 

Ec 3 y Ec 4

mω 2X cω X Fo

φ

ωt

X KX

Relación Vectorial Para Vibración Forzada Con Amortiguamiento. Expresamos ahora las ecuaciones 3 y 4 en forma adimensional que permite una concisa representación gráfica de estos resultados. Dividiendo numerador y denominador de las ecuaciones 3 y 4 por K, obtenemos.

X =

FO K ( K − mw2 ) +  Cw  2 K  K 

 Cw    φ = arctg  K 2  1 − mw   K 

Ec.5

Ec.6

Las expresiones de arriba pueden expresarse en términos de las cantidades siguientes: ♦ ω n = K/m ; Frecuencia Natural De La Oscilación No Amortiguada. ♦ C c = 2mω n ; Amortiguamiento Critico. ♦ ξ = C/C c ; Factor De Amortiguamiento. Las expresiones no dimensionales de amplitud y fase quedan como:

XK = FO

1 2

  w 2    w  2 1 −    + 2ξ     wn     wn 

Ec.7

 w   2ξ    w   acrtg φ =   n 2  1 −  w     wn    

Ec.8

Estas ecuaciones indican que la amplitud adimensional XK/Fo y la fase φ son funciones solamente de la razón de frecuencia ω /ω

n

y del factor de

amortiguamiento ξ . En resumen podemos escribir la ecuación diferencial y su solución completa, incluyendo el término transitorio como: F  X + 2ξWnX + Wn 2 X =  O senwt m X (t ) =

Ec.9

(

Fosen ( wt − φ ) + X 1e −ξWn sen 1 − ξ 2Wn + φt 2

  W    W  K 1 −   + 2ξ     Wn    Wn 

2

) Ec.10

Vibración Debida Al Desbalanceo En La Rotación. Las fuerzas de entrada que excitan el movimiento vibratorio se originan a menudo por el desbalanceo en la rotación. Tal desbalanceo en la rotación existe si el centro de masa del cuerpo rígido rotatorio y el centro de rotación no coinciden. En la siguiente fig. Se muestra una máquina desbalanceada en reposo sobre un montaje anti – choques. Supóngase el rotor está girando a una velocidad constante de ω (rad/seg) y que la masa desbalanceada m esta localizada a una distancia r del centro de rotación. La masa desbalanceada producirá una fuerza centrifuga de magnitud mω 2r.

Masa total M K

C

X

En el presente análisis, limitamos el movimiento a la dirección vertical solamente, aun cuando el desbalanceo en la rotación produzca la componente horizontal de la fuerza. La componente vertical de esta fuerza, mω 2rSenω t actúa sobre los cojinetes

y es transmitida a la cimentación, causando de este modo que la

máquina vibre excesivamente. Supongamos que la masa total del sistema M, la cual incluye la masa desbalanceada m. Aquí consideramos solamente el movimiento vertical y

medimos el movimiento vertical X desde la posición de equilibrio en ausencia de la fuerza de excitación. Entonces, la ecuación de movimiento del sistema se hace: MX + CX + KX = P ( t )

Ec.11

Donde P(t) es la fuerza aplicada al sistema y esta dada por: P ( t ) = mW 2 rsenwt

Ec.12

Al tomar transformada de Laplace de ambos lados de la ecuación, suponiendo cero las condiciones iniciales, tenemos que:

( MS

2

+ CS + K ) X ( s ) = P( s )

Ec.13

ó bien: X ( jw ) 1 = 2 P ( jw ) MS + CS + K

Ec.14

La función transferida senoidal: X ( s) 1 = G ( jw ) = 2 P( s ) MS + CS + K

Ec.15

Para la función de excitación P(t), la salida en estado permanente se obtiene de la ecuación 2 como: X ( t ) = Xsen [ G ( jw ) = t − φ ]   Cw  X ( t ) = [ G ( jw ) ] mW 2 rsen wt − arctg  2   Mw   mW 2 r X (t ) = 2 ( K − MW 2 ) K 2 + ( Cw )

En esta ultima ecuación, si dividimos el numerador y el denominador de la amplitud y los correspondientes al ángulo de fase por K y sustituimos K/M = ω C/M = 2ξ ω

X (t ) =

n

2 n

y

en el resultado, la salida en estado permanente:

 mW 2 r  2ξW sen wt − arctg  K  Wn 

   W   / 1 −      Wn 

2

2  W    2ξW    + 1 − M    Wn    Wn  

2

2

Ec.16

De esta ecuación vemos que la amplitud de la salida en estado permanente se hace grande cuando el factor de amortiguamiento relativo es pequeño y que la frecuencia de excitación ω esta próxima a la frecuencia natural ω n. Vibraciones forzadas amortiguadas: Si consideramos un sistema masa-amortiguador-resorte, sometido a la acción de una fuerza exterior f(t), que se llamará la excitación. Esta fuerza puede producirse por la acción de cualquier mecanismo ligado a la masa m. Si se miden el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio estática del sistema, la ecuación del movimiento será: m x + c x + k x = f(t) Ahora bien, en general esta fuerza es una función cualquiera de tiempo, de tipo periódico, la cual es generada por un sistema ajeno al sistema masaamortiguador-resorte. Oscilaciones forzadas: Un problema de gran importancia es aquel de las vibraciones de un oscilador, esto es, las vibraciones que resultan cuando aplicamos una fuerza oscilatoria externa a una partícula sometida a una fuerza elástica. Esto sucede, por ejemplo, cuando

colocamos un vibrador en una caja resonante y forzamos las paredes de la caja (y el aire dentro), a oscilar, o cuando las ondas electromagnéticas, absorbidas por una antena, actúan sobre el circuito de nuestro radio o nuestra televisión, produciendo oscilaciones eléctricas forzadas. Sea F = F0coswft la fuerza oscilante aplicada, siendo su frecuencia angular wf. Suponiendo que la partícula está sometida a una fuerza elástica -kx y a una fuerza de amortiguamiento -cv, su ecuación de movimiento es: ma = −KX − CV + Fo cos WF t

dX dt

Realizando las sustituciones V = m

a=

y

d2X dt

d2X dX +C + KX = FO cos WF t dt dt

2φ =

la cual si suponemos:

C m

Wo 2 =

y

; tenemos: (1)

K m

Puede escribirse en la forma: d2X dX F + 2φ + Wo 2 X = O cos WF t dt dt m

(2)

Luego resolviendo esta ecuación diferencial se obtiene que la solución será

X = Asen (WF t − φ )

(3)

Donde, por conveniencia, se ha dado un signo negativo a la fase inicial Φ. La sustitución directa en la ecuación demuestra que será satisfactoria si la amplitud esta dada por:

A=

FO 2 2 mφ WF − WO + 4φ 2WF

( (

)

2

2

W − WO Tag φ = F 2WF

)

(4)

2

(5)

Nótese que tanto la amplitud la amplitud A como la fase inicial Φ no son ya constantes arbitrarias, sino cantidades fijas que dependen de la frecuencia wf de la fuerza aplicada. Matemáticamente esto significa que hemos obtenido una

solución "particular" de la ecuación diferencial. Donde (3) indica que las oscilaciones forzadas no están amortiguadas, pero tienen amplitud constante y frecuencia igual a aquella de la fuerza aplicada. Esto significa que la fuerza aplicada supera a las fuerzas de amortiguamiento, y proporciona la energía necesaria para mantener las oscilaciones. La amplitud A está representada en función de la frecuencia wf para un valor dado c. La amplitud tiene un máximo pronunciado cuando el denominador de la ecuación (4) tiene su valor mínimo. Esto ocurre para la frecuencia wA, dada por

(

)

K  Wa = φ Wo 2 − 2φ 2 =  − C 2  / 2m 2 m 

ANALISIS DIMENSIONAL Y FORMULAS - K = constante del resorte [ New/m] Gd 4 K = ; 64 ND 3

Donde:

d = diámetro del alambre del resorte (cm) G = modulo de elasticidad al corte = 8.1x105 Kgf/ cm2 D = diámetro del resorte (cm) N = numero de espiras del resorte - ω n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM] - δ = densidad del material [Kgm/m3] = m/v - V = volumen [cm3]

(6)

- Frecuencia natural (Wn) Kb 2

Wn =

(1 / 3mvb 2 + Ma 2 )

Donde: ω n = frecuencia de trabajo [1/seg] o [RPM] mv = masa de la viga[Kg] M = masa del motor y sus accesorios[Kg] a y b = longitudes [cm]

- Masa total (Mt) b M =  a

2

mv   k −   2 3   Wn

Donde MT = masa del resorte [New/m] M = masa del motor y sus accesorios [ Kg] a y b = longitudes [cm] - Constantes de Amortiguamiento (C) C = 2 Mt Wn = Donde:

1 1 + ( 2π / δ ) 2

Mt = masa total [Kg] Wn = frecuencia natural [1/seg] δ = decremento logarítmico

PROCEDIMIENTO

1) Se procedió a montar el sistema mostrado en la fig. K

M mV

d

c a

b

2) Se midieron todas las dimensiones de la viga y del resorte, el espesor del disco de aluminio y el diámetro del agujero y “e”

3) Para tres valores distintos de “a” se hizo vibrar el sistema; primero libremente y después acoplando el sistema de amortiguamiento; se procedió a graficar cada una de las vibraciones y se medio la frecuencia natural del sistema. 4) Utilizando el sistema de amortiguamiento con el último valor de “a”, se procedió a girar el motor 0,75; 0,9; 1; 1,2 y 1,5 veces la frecuencia natural y graficamos cada unos de los movimientos.

CALCULOS Y RESULTADOS

1.- Se tomaron las medidas del resorte, disco de aluminio y viga del sistema: Resorte N=16 espiras Diámetros del resorte (D)= 4.5 cm Diámetro del alambre (d )= 0.33 cm •

Viga

Largo =755 mm 660 mm = 66cm Ancho=25,7mm=2.57 cm Espesor=12,7 mm=1,27 cm Disco de Aluminio Diámetro del disco =151.10mm Diámetro el agujero = 31.65 mm Espesor (t) =0.65 cm

e’ = 0.4 cm •

Tambor:

Longitud de la circunferencia (Lc) = 29.2 cm Tiempo en dar una vuelta = 16 seg •

Longitudes b, d (constante ) y a variable

a1 = 24 cm

a2= 33,5 cm

a3= 39,1 cm

b = 66 cm d = 12 cm •

Relación de transmisión:

Numero de Dientes Disco de Aluminio = 72 Numero de Dientes Eje del Motor = 22 Relacion de transmisión = RT = 72/22 = 3,27 •

Calculo de la velocidad del tambor (Vtambor):

Tiempo promedio en dar una vuelta: TP = 15.96 seg Vtambor = Lc/Tp = 292mm/ 16seg = 18.25 mm/seg 2.- Con d=0 y para tres valores diferentes de ″ a″ , calcular Wn, M y Mt •

Calculo de la constante de rigidez del resorte (K)

K = (d4 G)/(8 D3 N) =

K = [(0.32 cm)4 8.1x105Kgf/cm2]/(8 (4.45 cm)3 16) K = 0.7529 Kgf/cm (9,81New/1Kgf)(100cm/1m) → K = 738,5949 Kg/seg2 •

Calculo de la masa de la viga

Densidad del acero ρ acero =7.78 Kg/dm3 Vviga =largo x ancho x espesor=66 cm x 2,5 cm x 1,29 cm=212,85 cm3=0,00021 m3 luego, ρ = mviga/Vviga ⇒ mviga= Vviga x ρ = 0,00021 m3 x 7780 Kg/m3 mviga = 1,66 Kg

• De

Calculo de la frecuencia natural del sistema sin amortiguamiento (Wn) las

gráficas

obtenidas

en

el

laboratorio

para

las

vibraciones

sin

amortiguamiento para cada valor de “a”, se mide la distancia que tardo en describir un ciclo.  Para a1 = 24 cm x1 = 5 mm / ciclo Wn = Vtambor/x1 = (18.25 mm /seg)/(5mm/ciclo) = 3,65 ciclo / seg Wn =( 3.65 ciclos / seg ) (2 ∏ rad/ciclo) = 22,93 rad/seg Wn = (3.65 ciclos/seg)(60seg/min) = 219 rpm  Para a2 = 33,5 cm x2 = 6 mm / ciclo Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6mm/ciclo) = 3,041 ciclo/seg Wn =( 3.041 ciclos / seg ) (2 ∏ rad/ciclo) = 19,107 rad/seg Wn = (3.041 ciclos/seg)(60seg/min) = 182,46 rpm

 Para a3 = 39,1 cm x2 = 6,5 mm / ciclo Wn = Vtambor/x2 = (18.25 mm /seg)/(6.5 mm/ciclo) = 2,8076 ciclo/seg Wn =( 2.8076 ciclos / seg ) (2 ∏ rad/ciclo) = 17,64 rad/seg Wn = (2.8076 ciclos/seg)(60seg/min) = 168,456 rpm

•

De la ecuación de frecuencia natural despejamos el valor de M para calcularlo, con cada uno de los valores de “a”.

M = (b/a)2(K/Wn2 – mviga/3) Para a1 = 24 cm M = [(66cm)/(24cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/22,93 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 6,43 Kg Para a2 = 33,5 cm M = [(66cm)/(33,5cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/19,107 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,70 Kg Para a3 = 39,1 cm M = [(66cm)/(39,1cm)]2 {[(738,59 kg/seg2)/ 17,64 1/seg2]-1,66 Kg/3} = 5,18 Kg •

Calculo de la masa total (Mt) para cada uno de los valores de “A”.

Mt =( mviga b2 )/3a 2 Para a1 = 24 cm

+M

Mt1 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3 (24cm)2 + 6,43 Kg Mt1 = 10,61 Kg Para a2 = 33,5 cm Mt2 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(33,5cm)2 + 5,70 Kg Mt2 = 7,847 Kg Para a3 = 39,1 cm → Mt3 = 6,75 Kg

Mt3 =[(1,66 Kg ) (66cm)2] / 3(39,1cm)2 + 5,18 Kg 3.- Conectado ″ C″

, Calcular las constantes de amortiguamiento ( C ), para

cada uno de los valores de ″ a″ 1

C = 2 Mt Wn

 2π  1+    δ 

2

Donde δ es el decremento logarítmico el cual es la relación de amplitudes, en las gráficas de la vibración con amortiguamiento  Para a1 = 24 cm Decremento logarítmico: δ

1

= ln ( 8,5/8) = 0.0606

δ

2

= ln ( 7/6,5) = 0.0741

δ 3= ln (5/4,5) = 0.1053 Promedio del decremento logaritmico

δ

m

= (δ

1

+δ

2

+δ

3

) / 3 = 0.08

C = 2 *10,61 Kg * 22.93(1/seg) * [(1/1+(2∏/0.08)2]1/2 C = 6,1947 Kg / seg  Para a2 = 33,5 cm Decremento logarítmico: δ

1

= ln (15/14,5) = 0,0339

δ

2

= ln (13/12,5) = 0,0392

δ 3= ln (7,5/6,5)= 0,1431 Promedio δ

m

= (δ

1

+δ

2

+δ

3

) / 3 = 0.0720

C = 2 *7,847 Kg * 19,107(1/seg) * [(1+(2∏/0,0720)2]1/2 C = 3,4359 Kg / seg  Para a3 = 39,1 cm Decremento logarítmico: δ

1

= ln (13,3/13) = 0,0228

δ

2

= ln (10,5/10) = 0,0487

δ 3= ln (4/3)= 0,2876 Promedio

δ

m

= (δ

1

+δ

2

+δ

3

) / 3 = 0,1197

C = 2 *6,75 Kg * 17,64(1/seg) * [(1+(2∏/0,1197)2]1/2 C = 4,5359 Kg / seg

4.- Con el sistema 3, osea a = 39,1 cm, girar el motor a 0,75 – 0,9 – 1 – 1,1 – 1,2 – 1,5 veces la frecuencia natural y graficar XK/Fo vs. r ζ = c / Cc Cc = 2MtWn Para el sistema 3 con el valor de a3 = 39 Cc = 2*6,75 Kg *17.64(rad/seg) = 238,14 Kg/seg ζ = c/Cc = 4,53(Kg/seg)/238,14(Kg/seg) = 0,019022

•

Calculo de XK/Fo practico para diferentes valores de r :

- Calculo de la masa del disco de aluminio Disco con hueco

A = (∏/4) [ (D2 – d2)] = (∏/4) [ (15,2)2 – (3.1)2)] cm2 A = 173,9111 cm2 V = A * espesor = 173,9111 cm2 * 0,65 cm = 113,0422 cm3 Como la densidad del aluminio es ρ = 2700Kg / m3 Mcon hueco = 113,0422 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3) Mcon hueco = 0,3052 Kg Disco sin hueco A = (∏/4) [ (D2 )] = (∏/4) [ (15.2)2 ] cm2 A = 181,4588 cm2 V = A * espesor = 181,4588 cm2 * 0,65 cm = 117,9482 cm3 Como la densidad del aluminio es ρ = 2700Kg / m3 Msin hueco = 117,9482 cm3 * 2700(Kg/m3) (1m3/106 cm3) Msin hueco = 0,3184 Kg Mdisco = msinhueco –mconhueco = (0,3184 – 0,052)Kg mdisco = 0,0132 Kg

- Calculo de la excentricidad “e” e = [ (D – d ) /2 – e’ ] = [ (15,2-3,1)/2 –0.4] e = 7,5625 cm

- Calculo de Fo Fo = mew2 = 0,0132 Kg * 7,5625 cm * (13,23 rad/seg)2(1m/100cm) Fo = 0,1747 New

El valor de X para sacar XK/Fo se calcula por medio de la siguiente formula X =

Fo

K

(1 − r ) + ( 2ζr ) 2 2

2

Valores Obtenidos Teoricos R = W/WN

XK/FO

0.75

2,2808

0.9

5,1666

1

26,1574

1.1

4,6579

1.2

2,2456

1.5

0,7851

R = W/WN

W(RAD/SEG)

FO (NEW)

X(M)

XK/FO (PRACTICO)

0.75

13.23

0,1747

0,002

8,4555

0.9

15,876

0,2516

0,005

14,6778

1

17,64

0,3106

0,009

21,4015

1.1

19,404

0,3758

0,003

5,8961

1.2

21,168

0,4473

0,002

3,3024

1.5

26,46

0,6989

0.0015

1,5851

Tabla de datos R = W/WN

XK/FO

XK/FO

(PRACTICO)

(TEORICO)

0.75

8,4555

2,2808

0.9

14,6778

5,1666

1

21,4015

26,1574

1.1

5,8961

4,6579

1.2

3,3024

2,2456

1.5

1,5851

0,7851

Graficas de XK/Foteorico y XK/Fopractico vs. R Grafica XK/Fo vs r 300,000 250,000

XK/Fo

200,000 XK/Fo practico

150,000

XK/Fo teorico

100,000 50,000 0 0

0.5

1 r=W/Wn

1.5

2

•

Cálculos de los errores absolutos y relativos con respecto a los valores de XK/Fo teóricos y práctico

Para r = 0.75 Error absoluto | 2,280 – 8,455| = 6,175 2,280 ± 6,175 error relativo (6,175/ 2,280) 100 = 270,83

Para r = 0.9 Error absoluto | 5,166 – 14,677| = 9,511 5,166 ± 9,511 error relativo (9,511 / 5,166) 100 = 184,10

Para r = 1 Error absoluto | 26,157 – 21,401| = 4,756 26,157 ± 4,756 error relativo (4,756 / 26,157) 100 = 18,18 Para r = 1.1 Error absoluto | 4,657 – 5,896| = 1,239 4,657 ± 1,239 error relativo (1,239 / 4,657) 100 = 26,60

Para r = 1.2 Error absoluto | 2,245 – 3,302| = 1,057 2,245 ± 1,057 error relativo (1,057 / 2,245) 100 = 47,08

Para r = 1.5 Error absoluto | 0,785 – 1,585| =0,8 0,785 ± 0,8 error relativo (0,8 / 0,785) 100 = 101,91

•

causas del posible error

1- Errores humanos al realizar las mediciones. En estas fallas también se incluyen los fallos por falta de una técnica adecuada de medición y los errores de apreciación. 2- Que las gráficas no fuesen lo suficientemente exactas y la medición de las amplitudes en las misma no eran exactas debido a que las mismas eran muy pequeñas y de ciclos muy cortos.

CONCLUSION

Al finalizar el informe podemos concluir: Que las vibraciones forzadas amortiguadas ocurren en casi todos los sistemas mecánicos y es necesaria una fuerza excitatriz la cual genera las vibraciones y los amortiguamientos que suavizan estas vibraciones y disminuyen su amplitud. Se pudo observar que la frecuencia de vibración (ω n) disminuye a medida que la fuerza excitatriz se aleja de la articulación Que la masa faltante en el disco de aluminio provoca un desbalance el cual produce una fuerza (Fo) que genera las vibraciones en el sistema.

BIBLIOGRAFIA

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