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• Daniel E. Taveras

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Vecindades (p97) Se introducirá ahora algunos conceptos adicionales de topología que resultaran útiles y harán posible la caracterización de conjuntos abiertos y cerrados en otros términos. Definición a)

, entonces cualquier conjunto que contenga un conjunto abierto contenido en x se llama vecindad de x.

b) A un punto

se le llama punto interior de un conjunto

cuando hay una vecindad de x enteramente contenida en A. c) A un punto

se le llama punto frontera de un conjunto

cuando toda vecindad contiene puntos en A y puntos en d) A un punto

.

se le llama punto exterior de un conjunto

cuando existe una vecindad una vecindad de x enteramente contenida en

.

Se debe observar que dados mutuamente excluyentes: i.

x es un punto interior de A

ii.

x es un punto frontera de A

iii.

x es un punto exterior de A

y

, hay tres posibilidades

Teorema de intercepción de Cantor (p99) Según el teorema de Heine-Borel se obtiene el siguiente resultado que se debe a cantor. Es un reforzamiento del teorema de celdas nidificadas, ya que en este caso se toma en cuenta a los conjuntos cerrados en general y no solamente a las celdas cerradas. Entonces según el teorema de intercepción de Cantor: sea F1 un subconjunto no vacio, cerrado y acotado de Rp y sea una sucesión de conjuntos no vacios. Entonces, existe un punto que pertenece a todos los conjuntos

Demostracion.

Teorema de cobertura de LEBESGUE (p100) Conjuntos conexos (p103) Introducción a las sucesiones (p113)

Criterio de convergencia de Cauchy (p136)

Limites de secuencia Convergencia

{

}.

Sucesiones A pesar de que la teoría de convergencia se puede dar a un nivel muy abstracto es preferible estudiar la convergencia de sucesiones en un espacio cartesiano Rp, prestando especial atención al caso de la recta real. El lector deberá interpretar las ideas dibujando diagramas en R y R2.

Definición Si S es cualquier conjunto, una sucesión en S es una función sobre el conjunto N={

} de números naturales y cuyo rango esta en S. en particular una

sucesión en Rp es una función cuyo dominio es N y cuyo rango esta contenido en Rp.

Cola de secuencia producto infinito contable En matemáticas, un conjunto numerable es un conjunto con la misma cardinalidad (número de elementos) que un subconjunto del conjunto de números naturales. Un conjunto numerable es o bien un conjunto finito o un conjunto infinito numerable. Por ejemplo, un conjunto T es numerable o contable cuando entre este conjunto y el conjunto de todos los números

naturales se puede establecer una biyección. De modo que el conjunto {\displaystyle T} {\displaystyle T} tiene la misma cardinalidad que el conjunto N.

Algunos autores toman una definición alternativa de conjunto numerable que incluye también a los conjuntos finitos. Esta definición establece que un conjunto es numerable cuando existe correspondencia uno a uno entre el conjunto y algún subconjunto de los números naturales y es por esto que en ocasiones se especifica conjunto infinito numerable o a lo sumo numerable para evitar ambigüedades, refiriendo la primera expresión únicamente a conjuntos infinitos y la segunda permitiendo conjuntos finitos.

En 1874 Georg Cantor introdujo el término conjunto numerable, contrastando conjuntos que son contables con los que son incontables. Hoy en día, los conjuntos numerables forman la base de una rama de las matemáticas llamada matemática discreta. producto infinito incontable Unicidad de limites