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• Alexander Primo

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Representación en espacio de estado

Control clásico El modelamiento y control de sistemas basado en la transformada de Laplace, es un enfoque sencillo y de fácil aplicación. Permite analizar sistemas utilizando una serie de reglas algebraicas en lugar de trabajar con ecuaciones diferenciales. En este enfoque tiene más valor la simplicidad que la exactitud.

La descripción de sistemas mediante la función de transferencia tiene las siguientes limitaciones: •Solo es válida para sistemas lineales con una entrada y una salida e invariantes en el tiempo. • No proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. • Se necesita que las condiciones iniciales del sistema sean nulas.

Sin embargo, los sistemas reales presentan no linealidades, pueden tener más de una entrada o salida, sus parámetros cambian en el tiempo y sus condiciones iniciales no siempre tienen un valor de cero.

Sin embargo, muchos sistemas se pueden linealizar sobre un punto de operación para utilizar las ventajas del análisis por Laplace. En otros casos no es posible utilizar este enfoque se debe utiliza la representación en espacio de estado, que tiene las siguientes ventajas: • Aplicable a sistemas lineales y no lineales. • Permite analizar sistemas de más de una entrada o más de una salida. • Pueden ser sistemas variantes o invariantes en el tiempo. • Las condiciones iniciales pueden ser diferentes de cero. • Proporciona información de lo que pasa dentro del sistema. • Resultados sencillos y elegantes.

Representación por medio del espacio de estado

Con la representación en espacio de estado tenemos la capacidad de conocer y controlar en cierta medida la dinámica interna de un sistema y su respuesta. Este método principia con la selección de las variables de estado, las cuales deben de ser capaces en conjunto de determinar las condiciones de la dinámica del sistema para todo tiempo. Pueden existir varias representaciones en variables de estado para un sistema. En forma general, un sistema visto en espacio de estado tiene la siguiente forma

x  f ( x, u, t ) donde

x  Rn ,

u  Rm , x  dx dt

(1)

El vector x representa las variables de estado y el vector u representa el control. A la ecuación (1) se le llama ecuación del espacio de estado. A continuación se define la terminología empleada en espacio de estado:

Concepto de estado. El estado de un sistema al tiempo t0 es la cantidad de información que junto con una entrada ut0 ,   ,nos permite determinar el comportamiento del sistema de manera única para cualquier t  t0 . Estado. Es el conjunto más pequeño de variables (denominadas variables de estado) tales que el conocimiento de esas variables en t.  t0 conjuntamente con el conocimiento de la entrada para t  t0 determinan completamente el comportamiento del sistema en cualquier tiempo t  t0 . ,

Variables de estado. conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico. Si se requieren al menos n variables ( x1, x2 ,..., xn) para describir completamente el comportamiento de un sistema dinámico, se dice que el sistema es de orden n.

Vector de estado. Las n variables de estado forman el vector de estado, que generalmente es un vector columna de dimensión [n x 1]. Donde n es el número de variables de estado.

Sistemas Lineales invariantes en el tiempo Para sistemas lineales invariantes en el tiempo, la ecuación (1), se transforma en:

x (t )  Ax (t )  Bu(t )

y(t )  Cx(t )  Du(t )  x1 (t )   a11 a12  x (t ) a a22 2 21          x (t ) a  n   n1 an 2

 a1n   x1 (t )   b11 b12  a2 n   x2 (t ) b21 b22            ann   xn (t ) bn1 bn 2

 y1 (t )   c11 c12  y (t )   c c22  2    21        y ( t )  c  p   p1 c p 2

 c1n   x1 (t )   d11 d12  c2 n   x2 (t )  d 21 d 22            c pn   xn (t ) d p1 d p 2

 b1m   u1 (t )   b2 m   u2 (t )          bnm  um (t )  d1m   u1 (t )   d 2 m   u2 ( t )          d pm  um (t )

Ejemplo: 1) Represente por medio de espacio de estado el siguiente sistema mecánico.

Resorte K

u(t )

y (t )

masa

b

Donde: u(t ) es la fuerza aplicada, K es la constante del resorte, b es el coeficiente de fricción viscosa e y(t) es la posición de la masa.

amortiguador

Solución: Con la segunda ley de newton, se obtiene:

my(t )  u(t )  by (t )  ky(t )

Se desea conocer la posición y la velocidad de la masa para todo tiempo. Por esta razón se asignan como variables de estado. x1 (t )  y(t )

x2 (t )  y (t )

Luego:

x1(t )  y (t )  x2 (t )

my(t )  u(t )  by (t )  ky(t ) mx2 (t )  u(t )  bx2 (t )  kx1(t ) k b 1 x2 (t )   x1 (t )  x2 (t )  u(t ) m m m

Finalmente se agrupan las dos ecuaciones de estado:

x1(t )  x2 (t ) x2 (t )  

k b 1 x1 (t )  x2 (t )  u(t ) m m m

como la representación es lineal, se puede indicar en matrices

1   x (t )   0   x1 (t )   0 1 k b    1 u ( t )   x (t )     2   m  m   x2 (t )  m 

Obtención de las ecuaciones de estado a partir de la función de transferencia

Sea la F. de transferencia:

(1)

Donde:

(2)

Por otro lado, si se tiene en la fórmula de Mason:

(3)

Significa que sólo hay una trayectoria directa que toca a todos los lazos y el determinante es igual a: 1 – (suma de lazos).

Existen varias gráficas de flujo de señales que pueden representar a la función de tranerencia dada por (3).

Ejemplo: A continuación tenemos una función de transferencia de cuarto orden, donde se ha multiplicado el numerador y denominador por

(4)

(4) Puede estar representada por el siguiente diagrama de Flujo: : Nodo ficticio.

Ecuación de salida.

USO DE MATALAB PARA HALLAR ECUACIONES DE ESTADO A PARTIR DE UNA FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA A=

𝑌(𝑆 𝑆 3 + 4𝑆 2 + 5 = 4 𝑈(𝑆) 𝑆 + 17𝑆 3 + 5𝑆 2 + 20𝑆

-17 1 0 0

-5 0 1 0

-20 0 0 1

0 0 0 0

4

0

5

B= 1 0 0 0

C=

>> y=[1 4 0 5]; >> u=[1 17 5 20 0]; >> [A,B,C,D]=tf2ss(y,u)

1

D= 0

Transformada de Laplace de representaciones en espacio de estado Se puede obtener la transformada de Laplace de sistemas lineales invariantes en el tiempo, una entrada, una salida, con condiciones iniciales iguales a cero. La representación lineal en espacio de estado en forma vectorial son las ecuaciones (1)-(2)

x (t )  Ax (t )  Bu(t )

(1)

y(t )  Cx(t )  Du(t )

(2)

La transformada de Laplace de las ecuaciones (1)-(2)

sX ( s)  x0  AX ( s)  BU ( s) Y ( s)  CX ( s)  DU ( s) Modificando las ecuaciones se tiene que

( sI  A) X ( s )  x0  BU ( s ) X ( s )  ( sI  A) 1 x0  ( sI  A) 1 BU ( s ) Y ( s )  C ( sI  A) 1 x0  C ( sI  A) 1 BU ( s )  DU ( s ) si las condiciones iniciales son iguales a cero, x0  0 , entonces





Y ( s)  C ( sI  A) 1 B  D U ( s) G( s) 

Y ( s)  C ( sI  A) 1 B  D U ( s)

Por otro lado, se tiene que la ecuación característica del sistema es:

Donde I es la matriz identidad.