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CAPITULO III MODELOS MATEMATICOS DE LOS SISTEMAS VARIABLES DE ESTADO JUAN F. DEL POZO L. Juan F. del Pozo L.

01/08/2011

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Las Variables de Estado de un Sistema Dinámico. Ecuación Diferencial del Vector de Estado. Modelos de Estado de Grafos de Flujo de Señal. Estabilidad de los Sistemas en el Dominio del Tiempo. La Respuesta en el Tiempo y la Matriz de Transición. Análisis de Modelos con Variables de Estado usando MATLAB.

Juan F. del Pozo L.

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INTRODUCCION ◦ Proporciona una manera de analizar los sistemas en el “Dominio del Tiempo”. ◦ Los sistemas físicos serán descritos por Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. ◦ Utilizando un set no único de variables, conocidas como “Variables de Estado”, se puede obtener un conjunto de Ecuaciones diferenciales de Primer Orden. ◦ Se pueden incluir sistemas no lineales y variantes en el tiempo. ◦ Podemos tratar sistemas de múltiple entradas y múltiples salidas. ◦ Permite notación matricial y la aplicación de métodos computacionales para su solución y análisis. Juan F. del Pozo L.

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VARIABLES DE ESTADO ◦ El estado de un sistema es un set de variables tal que su conocimiento, así como las funciones de entrada y las ecuaciones que describen su dinámica; permiten determinar su estado futuro y las salidas del sistema. ◦ Pueden haber varios conjuntos alternos de Variables de Estado. ◦ Una elección ampliamente usada, es un conjunto de Variables de Estado que puedan medirse fácilmente; es decir, que sean observables.

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Sistema mecánico ◦ M Masa ◦ k ◦ b

Resorte Fricción

d 2 y (t ) dy(t ) M b  ky(t )  u (t ) 2 dt dt ◦ Si defino el set de variables de estado:  x1 Desplazamiento  x2 Velocidad

x1(t )  y (t ) dy (t ) x 2(t )  dt Juan F. del Pozo L.

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• Por lo tanto, el sistema puede ser descrito por un set de dos ecuaciones diferenciales de primer orden: dx1  x2 dt dx 2 b k 1   x2  x1  u dt M M M

• Usando notación matricial: .  0  x. 1    k  x 2  M

1   x1   0  b   1 u    x 2   M M 

Juan F. del Pozo L.

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El motor de corriente continua.

◦ Las ecuaciones que describen al motor son:  (t )  Kf  if Tm(t )  K 1   (t )  ia (t ) dif (t ) vf (t )  Rf  if (t )  Lf dt Tm(t )  TL(t )  Td (t ) d  (t ) TL (t )  J  b   (t ) dt dia (t ) va (t )  Ra  ia (t )  La  Vb(t ) dt eb(t )  Kb   (t ) d (t )   (t ) dt Juan F. del Pozo L.

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El motor de corriente continua. ◦ Debido al que el torque del motor es una ecuación no lineal, al linearizarla se generan dos situaciones: ◦

Tm(t)=K1Kf.if(t).ia(t)

 A) Control de Campo.  Corriente de campo controla el motor, la corriente de armadura se mantiene constante.  B) Control de Armadura.  Corriente de armadura controla el motor, la corriente de campo se mantiene constante.

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El motor de corriente continua. A) Control de Campo. Rf 1 dif (t )    if (t )   vf (t ) dt Lf Lf d  (t ) b 1     (t )   TL(t ) dt J J d (t )   (t ) dt TL (t )  Tm(t )  Td (t )  Kmf  if (t )  Td (t )  Rf     if   Lf  .   Kmf     J .     0     .

0 b J 1



 0 1  0    if   L f   1      0      0  vf     Td  J     0   0  0          Juan F. del Pozo L.

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El motor de corriente continua. B) Control de Armadura. Ra 1 1 dia (t )    ia (t )   va (t )   vb(t ) ; vb(t )  Kb   (t ) dt La La La

d  (t ) b 1     (t )   TL(t ) dt J J d (t )   (t ) dt TL (t )  Tm(t )  Td (t )  Kma  ia (t )  Td (t )  Ra     ia   L a  .   Kma     J .     0     .

Kb  La b  J 1

 0 1  0    i a    La  1     0      0  va     Td   J     0   0  0        Juan F. del Pozo L.

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El motor de corriente continua. ◦ Caso general  Se han linearizado las ecuaciones del voltaje Contra-electromotriz y el Torque motor

Ra 1 1 dia (t )    ia (t )   va (t )   vb(t ) ; vb(t )  Kf  if (t )  Kb   (t ) dt La La La Rf 1 dif (t )    if (t )   vf (t ) dt Lf Lf d  (t ) b 1     (t )   (Tm(t )  Td (t )) ; Tm(t )  Kma  ia(t )  Kmf  if (t ) dt J J d (t )   (t ) dt Kf Kb  Ra    0 1   .   i a 0  0  L a L a L a      i a    La  0    .  Rf      0 0 if 1  va     if    0    0    1  Td Lf .  La   vf         b     Kma Kmf J    0 0   0   .  J    J J  0   0    0   0 1 0  0 Juan F. del Pozo L.

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Ecuación Diferencial del Vector de Estados. ◦ El estado de un sistema se describe por un conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden en función de las variables de estado (x1, x2, ...xn). ◦ En notación matricial:    

A B x u

Matriz de Estado (nxn) Matriz de Entrada o Control (mxn) Vector Columna de estados de (n) elementos Vector Columna de entrada o control de (m) elementos

◦ Muchas veces las variables de estado no son las señales deseadas de salida del sistema. ◦ Es necesario encontrar una relación lineal con las variables de estado y las señales de entrada. ◦ En forma general:  C  D  y

Matriz de Salida (rxn) Matriz de Transmisión Directa (rxm) Vector Columna de salida de (r) elementos

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Ecuación Diferencial del Vector de Estados.  En notación matricial: .

 x    A x    B u   y   C  x    D u  .  x1   a11  .   a 21  x2   :  : .   xn   an1    y1   c11  y 2  c 21   :   :     yr   cr1

a12 a 22 : an 2

.. a1n   x1   b11 b12 .. a 2n   x 2 b 21 b 22  : :  :   : :    .. ann   xn   bn1 bn 2

.. b 1m   u 1  .. b 2m   u 2 : :  :    .. bnm  um 

c12 .. c1n   x1   d 11 d 12 .. d 1m   u1  c 22 .. c 2 n   x 2   d 21 d 22 .. d 2 m   u 2   : : :  :   : : : :  :       cr 2 .. crn   xn   dn1 dn 2 .. dnm  um 

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Ecuación Diferencial del Vector de Estados. ◦ Representación gráfica del sistema.

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Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados. ◦ La solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados puede ser obtenida de la misma manera que en el caso de la ecuación diferencial de primer orden. ◦ Si: .  x   A x   B u 

 x(0) _" condiciones _ iniciales " ◦ La solución general tendrá la forma: t

 x(t )  e At  x(0)   e A(t  )  B u( ) d 0

◦ Obteniendo la transformada de Laplace y reordenando:

 X (s)   sI  A  x(0)   sI  A  B U (s)  ( s)  x(0)  ( s)  B U ( s)  1

1

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Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados ◦ Denominemos como “Matriz de Transición o Fundamental” a la matriz: 1  At

 sI  A

  ( s )  

 (t )  e

◦ Entonces, aplicando la transformada inversa de Laplace: t

 x(t )   (t )  x(0)    (t   )  B u( ) d 0

◦ Para la solución del sistema no forzado:

para :

u (t )  0



 x1(t )   11(t )  12(t )  x 2(t )   21(t )  22(t )    :   : :    x n ( t )    n1(t )  n 2(t )

..  1n(t )   x1(0)  ..  2 n(t )   x 2(0)  : :  :    ..  nn(t )   xn(0)  Juan F. del Pozo L.

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◦ Obtener la “Matriz de Transición o Fundamental” a partir del Gráfico de Flujo de Señal de Estado.  Tomemos el circuito RLC:    

x1 x2 x1(0) = x2(0) =

Voltaje del Capacitor : vc Corriente del Inductor: iL vc(0) iL(0)

La Ecuación de Estados es:

1  1  .  0   x 1 x 1  C  C  u ; vo   0 R   x1       x2  .  1 R   x 2      x 2 0        L L R  3 ; L  1 ; C  0.5 0 2   ; 1 3

 A  

2  ; 0

 B  

C    0

3

 Obteniendo el Gráfico de Flujo de Señal de Estado correspondiente:

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◦ Obtener la “Matriz de Transición o Fundamental” a partir del Gráfico de Flujo de Señal de Estado.  Del circuito RLC tomamos:

u(t )  0

 X (s)  (s) x(0)

;

;

 11( s) 12( s)    21 ( s )  22 ( s )  

 ( s )   

 Cada elemento de la Matriz de Transición se puede evaluar de: U ( s ) 0

Xi ( s) ij ( s)  xj (0) xk  j 0

Segun _ Mason :

Xi ( s) 1  Tij   nk 1Pijk  ijk xj (0) 

 Aplicando Mason en el Gráfico de Flujo de Señal de Estado tenemos:

ij ( s) 

Pij ij ( s ) ( s )

U ( s )0

xk  j 0

3 2  ( s)  1   2 s s

1 3 2 P1111( s )  1   ; P12 12( s)  2 s s s

; P21 21( s) 

1 s2

; P22  22( s ) 

1 s

 Los elementos de la Matriz de Transición:

s3 2 ;  12( s )  s 2  3s  2 s 2  3s  2 1 s  21( s)  2 ;  22( s)  2 s  3s  2 s  3s  2 11( s) 

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Ejemplo (continuación): 

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación). ◦ A) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando MATLAB, en el dominio de la variable compleja “s”.  Usar las funciones:  inv(A)  sym:

Ao = [ s, 2] [ -1, s+3]

Phi = [ (s+3)/(s^2+3*s+2), -2/(s^2+3*s+2)] [ 1/(s^2+3*s+2), s/(s^2+3*s+2)]

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Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación). ◦ A) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando MATLAB, en el dominio de la variable compleja “s”.

 Usar las funciones:  inv(A)  sym:

A= [ 0, -1/C] [ 1/L, -R/L] B= [ 1/C] [ 0] C= [ 0, R] D= [0] Ao = [ s, 1/C] [ -1/L, s+R/L] Phi = [ (s*L+R)*C/(s^2*C*L+s*C*R+1), -1/(s^2*C*L+s*C*R+1)*L] [ 1/(s^2*C*L+s*C*R+1)*C, s/(s^2*C*L+s*C*R+1)*C*L] Juan F. del Pozo L.

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Ejemplo (continuación): 

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación). ◦ B) Solución de la “Matriz de Transición o Fundamental” utilizando MATLAB, en el dominio del tiempo .  Usar las funciones:  expm(A)  syms:

Phi = [ -exp(-2*t)+2*exp(-t), -2*exp(-t)+2*exp(-2*t)] [ exp(-t)-exp(-2*t), 2*exp(-2*t)-exp(-t)] Juan F. del Pozo L.

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Ejemplo (continuación): 

Solución de la Ecuación Diferencial del Vector de Estados (continuación). ◦ C) Cálculo de la respuesta en el tiempo para condiciones iniciales diferentes de cero y sin señal de entrada, utilizando MATLAB.  Usar las funciones:  ss(A,B,C,D),  lsim,  plot:

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado.

◦ El Gráfico de Flujo de Señal de un sistema nos proporciona una alternativa para relacionar su Función de Transferencia con un set de Variables de Estado. ◦ En forma general, la Función de Transferencia de un sistema, para nm :

Y ( s) s m  bm  1s m1  ...  b1s  b0 G( s)   n ; mn n 1 U ( s) s  an  1s  ...  a1s  a 0 ◦ Comparando esta expresión con la fórmula de Mason:

s ( nm)  bm  1s  ( nm1)  ...  b1s  ( n1)  b0 s  n G( s)  1  an  1s 1  ...  a1s ( n 1)  a 0 s n  Caso especial cuando todos los lazos de realimentación se tocan y los Trayectos Directos tocan los lazos.

P   Factores _ de _Trayectos _ Directos G( s)   1  L 1   Factores_de_Realimentación k

k

q

k

q

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Consideremos el caso de un sistema representado por una función de transferencia de cuarto orden:

Y ( s) b3s 3  b 2 s 2  b1s  b 0 G ( s)   4 U ( s ) s  a 3s 3  a 2 s 2  a1s  a 0 b3s 1  b 2 s 2  b1s 3  b 0 s 4 G ( s)  1  a 3s 1  a 2 s 2  a1s 3  a 0 s 4 ◦ “Modelo de Variable de Fase” o “Modelo Canónico controlable”:

◦ En la figura se muestran las Variables de Estado que son la salida de cada elemento almacenador de energía; es decir los integradores:

 x1, x2, x3, x4 Juan F. del Pozo L.

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Introduciendo nuevos nodos en el gráfico con el fin de identificar las derivadas de las variables de estado:

.

x 1  x2 .

x 2  x3 .

x 3  x4 .

x 4  a 0 x1  a1 x 2  a 2 x 3  a 3 x 4  u (t ) y (t )  b0 x1  b1 x 2  b 2 x3  b3 x 4 Juan F. del Pozo L.

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado.

◦ Entonces, en forma matricial, tenemos su representación en la denominada “Forma Canónica de Variable de Fase” o “Forma Canónica Controlable” :

.  x1   0 1 0 0   x1  0  .      x 2  0  . x 2 0 0 1 0       u (t )  x    A x    B  u   .    0 0 0 1   x3  0 x 3         a 0  a 1  a 2  a 3 .    x 4  1   x 4 

◦ Para la salida:

y  C  x  

y (t )  b 0 b1 b 2

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 x1   x2 b 3    x3     x4

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ La estructura del Gráfico de Flujo de Señal no es la única estructura posible, a continuación tenemos la siguiente alternativa: ◦ “Forma Canónica de Entrada de Prealimentación” o “Forma Canónica Observable” :

.

x 1  a 3 x1  x 2  b3u .

x 2   a 2 x1  x3  b 2u .

x 3   a1 x1  x 4  b1u .

x 4   a 0 x1  b0u y (t )  x1 Juan F. del Pozo L.

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

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado.

◦ Entonces, en forma matricial, tenemos su representación en la denominada ” Forma Canónica de Entrada de Prealimentación” o “Forma Canónica Observable” :

.  x1   a 3 .  . x 2   a 2   x    A x    B  u   .    a1  x3    .   a 0  x 4 

1 0 0 0

0 1 0 0

0  x1   b3  0  x 2  b 2   u (t ) 1   x 3   b1      0   x 4  b 0 

◦ Para la salida, corresponde a la primer variable de estado:

y  C  x  

 x1   x2 y(t )  1 0 0 0    x3     x4 Juan F. del Pozo L.

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

Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Muchas veces se desea una estructura del Gráfico de Flujo de Señal que nos permita visualizar en forma directa como Variables de Estado las variables físicas reales del sistema; por ejemplo, en el caso de un motor de corriente continua controlado por campo:  Y(s) = x1  I(s) = x2  U(s)

Velocidad Corriente de Campo Voltaje de Campo

.

x 1  3x1  6 x 2 .

x 2  2 x 2  u .

 Gráfico de Flujo de Señal de cada bloque.

x 3  5 x3  r ; u  5 x 3  5r y (t )  x1

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◦ Muchas veces se desea una estructura del Gráfico de Flujo de Señal que nos permita visualizar en forma directa como Variables de Estado las variables físicas reales del sistema; por ejemplo, en el caso de un motor de corriente continua controlado por campo:  



Y(s) = x1 I(s) = x2

U(s) = 5R(s) -5x3

Velocidad Corriente de Campo

Voltaje de Campo

 Gráfico de Flujo de Señal de Estado Físico.

.

x 1  3x1  6 x 2 .

x 2  2 x 2  5 x 3  5r .

x 3  5 x 3  r y (t )  x1 Juan F. del Pozo L.

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Gráfico de Flujo de Señal de Estado Físico, continuación.  A partir de la Función de Transferencia:

G( s) 

Y ( s) 30s  1  R( s) s  5s  2s  3

 En forma matricial.

.  x1   3 6 0   x1  0 .    x 2   5 r (t ) ; x 2  0  2  5         .   0 0 5  x3  1       x3    

 x1  y (t )  1 0 0  x 2   x3 

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Modelo de Gráficos de Flujo de Señal de Estado. ◦ Gráfico de Flujo de Señal de Estado, continuación.  Si representamos la Función de Transferencia mediante su Expansión en Fracciones Parciales: Y ( s)  20  10 30 G( s)     R( s) s  5 s  2 s  3

 En forma matricial resulta la Forma Diagonal o Canónica, también conocida como ”Forma Canónica de Jordan”.  (Nota: las Variables de Estado no son las mismas que en el caso anterior): .  x1   5 0 0   x1  1 .       x 2    0 2 0   x 2   1 r (t ) ;  .   0 0 3  x3  1      x3    

 x1  y (t )   20 10 30  x 2   x3 

 El Gráfico de Flujo de Señal de Estado Desacoplado:

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

OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS. ◦ Trataremos el caso de la obtención de la Función de Transferencia de un sistema con una sola señal de salida y una señal de entrada (SISO). ◦ En forma general, la Ecuación de Estados para un sistema SISO:

d  x(t )   A x(t )   B u(t ) ; dt

y(t )  C  x(t ) 

◦ Obteniendo la Transformada de Laplace de la Ecuación de Estados:

s  X (s)   A X (s)   B U (s) ; Y (s)  C  X (s) ◦ Manipulando algebraicamente las ecuaciones:

 sI  A X (s)   B U (s)  B  U (s)  sI  A 1 B U (s)   B U (s)  X ( s)          sI  A

◦ De donde finalmente obtenemos la Función de Transferencia.

Y ( s)  C    B U (s)  G(s) 

Y ( s)  C   B  U ( s)

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

OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS. ◦ EJEMPLO ◦ Obtención de la Función de Transferencia de un sistema RLC mostrado en la siguiente figura:    

x1 x2 x1(0) = x2(0) =

Voltaje del Capacitor : vc Corriente del Inductor: iL vc(0) iL(0)

◦ La Ecuación de Estados para el sistema SISO, es:

  .  0  x1     .  1  x2  L

1 1  x 1   C     C  u ; R x2      0 L 



 x1  y  0 R     x2

◦ De acuerdo con el procedimiento, debemos evaluar [sI-A] y su inversa:   s  sI  A    1  L

1  C   ; R s L 

(s)   sI  A  1

Adj  sI  A

T

( s)

 R s 1  L ; ( s)   ( s )  1  L

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

1 C  s   34



OBTENCION DE LA FUNCION DE TRANFERENCIA A PARTIR DE LA ECUACION DE ESTADOS. ◦ EJEMPLO (continuación) ◦ De donde finalmente obtenemos la Función de Transferencia.

1  R s  L  C   1  1 G(s)   C  0 R     ( s)  1  s 0  L  R 1 ( s)  s 2  s  L LC R Y (s) LC G (s)   U (s) s 2  R s  1 L LC

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

Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB ◦ Caso A) ◦ A partir de un sistema representado por su Función de Transferencia, obtener su Modelo de Estado. ◦ Utilizar la función:  ss(A,B,C,D)

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• Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB • Caso B) • A partir de un sistema representado por su Modelo de Estado, obtener su Función de Transferencia. • Utilizar la función: • tf(sys)

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• Análisis de los Modelos de Variables de Estado usando MATLAB

• Caso C) • Conversión entre diferentes modelos canónicos de Variables de Estado. • Utilizar las funciones: • ssdata(sys) • ss2tf(sys) • canon(sys,type) a=

b=

x1 x2 x3 x1 0 0 -6 x2 1 0 -16 x3 0 1 -8 a= x1 x2 x1 0 1 x2 0 0 x3 -6 -16

u1 x1 1 x2 0 x3 0 b=

x3 0 1 -8

a= x1 x2 x3 x1 -5.086 0 0 x2 0 -2.428 0 x3 0 0 -0.4859

u1 x1 2 x2 -8 x3 38 b= u1 x1 5.422 x2 4.666 x3 0.9969

c=

d=

x1 x2 x3 y1 2 -8 38

c=

d=

x1 x2 x3 y1 1 0 0

c=

u1 y1 0

d=

x1 x2 x3 y1 0.2571 0.06781 0.2903

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u1 y1 0

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u1 y1 0

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Estabilidad de los Sistemas Modelados según las Variables de Estado. ◦ La prueba de estabilidad debe ser realizada en la Ecuación Característica del sistema. ◦ Para el caso de los sistemas modelados según las variables de estado, tenemos: 

La Ecuación Diferencial Vectorial Homogénea corresponde:

x(t )  Ax(t ) .



De la misma manera que para las ecuaciones diferenciales, la solución corresponde a una expresión exponencial que al adaptarla a la representación matricial quedaría:

 x(t )   k  elt l  x(t ) elt   A k  elt Si :



; l  x(t )   A x(t )  ;

l I  A x(t )  0

La solución de este conjunto de ecuaciones no es trivial si y solamente si su determinante es cero.

det lI  A  0 

La ecuación resultante en función de l corresponde a la Ecuación Característica. Juan F. del Pozo L.

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

Ejemplo ◦ Se observó la importancia que tiene el conocer las raíces de la Ecuación Característica y su desempeño en el comportamiento dinámico del sistema.  Determinación de los polos del “det(lI-A)=0” utilizando MATLAB.  Uso de la función:  eig(A)

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

Ejemplo ◦ Se observó la importancia que tiene el conocer las raíces de la Ecuación Característica y su desempeño en el comportamiento dinámico del sistema.  Determinación de los polos del “det(lI-A)=0” utilizando MATLAB.  Uso de la función:  poly(A)

 roots(p)

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