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TRABAJO PREPARATORIO 4.3.1 Obtenga analíticamente la constante de tiempo, valor en estado establecimiento, el tiempo de establecimiento, el error en estado estable para una entrada tipo paso y realice un bosquejo de la respuesta paso, si R1=R2=1kΩ C=1uF.

Para una entrada escalón unitario la salida en el dominio del tiempo seria: 𝑒(𝑡) = 𝑒 −1000𝑡 − 1

Valores Y

0 0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

-0.2 -0.4

-0.6 -0.8 -1 -1.2

4.3.2 El modelo simplificado de un sistema mecánico rotacional de una camilla se representa en la siguiente figura:

Si J=5kgm2 (momento inercial) B=6Nm/rad/seg (coeficiente de fricción viscosa) w= velocidad angular rad/seg T= torque Nm. Determine la función de trasferencia del sistema, y bosqueje la gráfica de la velocidad vs tiempo, si la entrada del sistema es una escalón unitario.

T  J TJ

dw dt

dw  bw dt

Aplicando transformada de Laplace hallaremos la función de transferencia del sistema:

T ( s )  Js 2 P( s )  2 Bs ( s )

T ( S )  JsW ( s )  bW ( s ) W( S ) 1  T ( S ) 5S  6

( s ) T( s )



1 Js  2 Bs

( s )



2

T( s )



1 5 s  12 s 2

La respuesta al escalón unitario será:

W ( S ) 1  0.2     T ( S ) S  S  1.2  Para una entrada escalón unitario la salida del sistema en función del tiempo es: 7 1 𝜔(𝑡) = (1 − 𝑒 −3𝑡 ) 7

Valores Y

0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0

0.5

1

1.5

2

2.5

4.3.3 Obtenga analíticamente la frecuencia natural, factor de amortiguamiento, máximo sobrepico, tiempo de crecimiento, tiempo de establecimiento, error en estado estable del siguiente sistema (suponga que H=1):

Y( S ) 2 2   2 X ( S ) ( 2 s  1 )( s  3 )  2 2 S  5 S  5

n 2 2  2 S 2  5 S  5 S 2  2n  n 2 De donde tenemos la frecuencia de amortiguamiento y el factor de amortiguamiento

2  2 n

n  1.4142

2n  2

  0.7

El máximo sobrepico, el tiempo de subida y el tiempo de asentamiento son:



MP  e

1 2

M P  4,2110 2

  cos    0.78 rad  ts 

 3.15 s

n 1   2  test   3.13s n

4. 4 TRABAJO PRÁCTICO 4. 4.1 Utilice Matlab para obtener la salida del sistema ante una entrada paso y una entrada rampa del ejercicio 3.1 del trabajo preparatorio, compare el resultado con el obtenido analíticamente.

ENTRADA IMPULSO R1=1*10^3 R2=1*10^3 C =1*10^-6 num=[-R2]; den=[C*R2*R1 R1]; G=tf(num,den) s=tf('s') G2=G*1/s step(G) R1 = 1000 R2 = 1000 C = 1.0000e-06 G= -1000 -------s + 1000 Continuous-time transfer function. s= s Continuous-time transfer function. G2 = -1000 -----------s^2 + 1000 s Continuous-time transfer function.

ENTRADA RAMPA R1=1*10^3 R2=1*10^3 C =1*10^-6 num=[-R2]; den=[C*R2*R1 R1]; G=tf(num,den) s=tf('s') G2=G*1/s step(G2) G2 = -1000 -----------s^2 + 1000 s

4. 4. 2 A partir del ejercicio 4.3.1 genere las familias de curvas para los siguientes casos, compare el tiempo de establecimiento, y el error en estado estable. 1. R1=R2=1kΩ C=10uF

La función de transferencia

G

2. R1=1kΩ R2=2KΩ c=10uF

R2 1  R1 R2CS  1

3. R1=2kΩ R2=1KΩ c=10uF 4. R1=1kΩ R2=2KΩ c=100uF Programa MatLab R1=10^3 R2=10^3 C=10^-6 num=[-R2]; den=[R2*R1*C R1]; G1=tf(num,den) t=0:0.00001:0.007; hold on y1=step(G1,t); plot(t,y1,'b') R11=10^3 R22=2*10^3 C11=10^-6 num=[-R2]; den=[R22*R11*C11 R11]; G2=tf(num,den) %t=0:0.00001:0.007; %hold on y2=step(G2,t); plot(t,y2,'r') R111=2*10^3 R222=10^3 C111=10^-6 num=[-R2]; den=[R222*R111*C111 R111]; G3=tf(num,den) %t=0:0.00001:0.007; Curva %hold on y3=step(G3,t); plot(t,y3,'g') 1 R1111=10^3 2 R2222=2*10^3 3 C1111=100*10^-6 4 num=[-R2222]; den=[R2222*R1111*C1111 R1111]; G4=tf(num,den) %t=0:0.00001:0.006; %hold on y4=step(G4,t); plot(t,y4,'m') hold off

Estos son las constantes de tiempo para cada grafica

Constante de tiempo ‘T’ 0.001 0.002 0.001 0.2

Tiempo de establecimiento. Criterio del 5% 𝑡𝑠 = 3𝑇

K -1 -1 -0.5 -2

Tiempo de establecimiento Ts 0.003 0.006 0.003 0.6

Error en estado estable

El error en estado estable está dado por: 𝑒𝑠𝑠 = 𝑙𝑖𝑚𝑠→𝑜

𝑅(𝑆) 1 + 𝐺(𝑆)𝐻(𝑆)

𝐾𝑝 = 𝑙𝑖𝑚𝑠→0 𝐺(𝑆)𝐻(𝑠) 𝑒𝑠𝑠 =

𝑅(𝑠) 1 + 𝐾𝑝

4. 4.3 Obtenga la respuesta a la entrada que se indica a continuación para el sistema mecánico rotativo del ejercicio 4.3.2

num=[1] den=[3 7] sys=tf(num,den) t1=0:0.001:1; y1=2*t1+2 hold on lsim(sys,y1,t1) t2=1:0.001:4; y2=4+0*t2 lsim(sys,y2,t2) t3=4:0.001:7; y3=1+0*t3 lsim(sys,y3,t3) hold off num = 1 den = 3 7 sys = 1 ------3s+7 Continuous-time transfer function.

4. 4. 4 Mediante Matlab, obtenga los siguientes parámetros del ejercicio 4.3.3 1. Tiempo de retardo, td 2. Tiempo de levantamiento crecimiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso máximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts 6. Error en estado estable 4. 4.5 Que sucede si la realimentación H es igual a 3 para el literal anterior? .Cual es el error absoluto y el error actuante? Obtenga los parámetros del literal 4.4 Ingrese los coeficientes del denominador de su funcion de transferencia Ingrese el coeficiente de A= 1 A= 1 Ingrese el coeficiente de B= 2 B= 2 Ingrese el coeficiente de C= 3 C= 3 Ingrese en forma matricial el numerador de su funcion de transferencia= [1] num = 1 Transfer function: 1 ------------s^2 + 2 s + 3 Maximo sobrepico (en tanto por ciento) ans = 10.8453 Tiempo de Retardo ans = 0.8131 Tiempo de levantamiento crecimiento ans = 1.5459 Tiempo Pico ans = 2.2214 Tiempo de Establecimiento ans = 3.1416

4.5 INFORME 4.5.1 Utilizando simulink, dibuje la respuesta a una entrada impulso, escalón unitario, rampa y una entrada tipo ruido del sistema del literal 4.4

4.5.1 Realice un archivo .m que permita a partir de una función de transferencia en lazo abierto de segundo orden se pueda obtener los siguientes parámetros: 2. Tiempo de levantamiento crecimiento, tr 3. Tiempo pico, tp 4. Sobrepaso máximo, Mp 5. Tiempo de asentamiento, ts 6. Error en estado estable a=input('ingresar numerador = ') b=input('ingresar coeficiente de s^2 = ') c=input('ingresar coeficiente de s = ') d=input('ingresar termino independiente = ') num=[a] den=[b c d] sys=tf(num,den) s=tf('s') wn=sqrt(d/b) E=c/(b*2*wn) wd=wn*sqrt(1-E^2) tp=pi/wd Mp=exp((-E/(sqrt(1-E^2)))*pi) ts=4/(E*wn) lazo_abierto ingresar numerador = 5

a= 5 ingresar coeficiente de s^2 = 1 b= 1 ingresar coeficiente de s = 3 c= 3 ingresar termino independiente = 5 d= 5 num = 5 den = 1 3

5

sys = 5 ------------s^2 + 3 s + 5 Continuous-time transfer function. s= s Continuous-time transfer function. wn = 2.2361 E= 0.6708 wd = 1.6583 tp = 1.8945 Mp = 0.0583 ts = 2.6667 G1 = 5 ----------------s^3 + 3 s^2 + 5 s Continuous-time transfer function.

4.5.2 Al archivo .m anterior agregue la opción de graficar la respuesta a una entrada paso y una entrada rampa. a=input('ingresar numerador = ') b=input('ingresar coeficiente de s^2 = ') c=input('ingresar coeficiente de s = ') d=input('ingresar termino independiente = ')

num=[a] den=[b c d] sys=tf(num,den) s=tf('s') wn=sqrt(d/b) E=c/(b*2*wn) wd=wn*sqrt(1-E^2) tp=pi/wd Mp=exp((-E/(sqrt(1-E^2)))*pi) ts=4/(E*wn) G1=sys*1/s hold on step(sys) step(G1) hold off