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VALOR ABSOLUTO Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Administración y Contaduría M.Sc. Jorge E. Hernández H.

VALOR ABSOLUTO

En esta clase vamos a presentar un nuevo concepto que tiene su origen en la geometría clásica, cuando medimos una distancia. Para ciertos aplicaciones de la ciencia necesitamos valores numéricos representativos de la cantidad.

VALOR ABSOLUTO ´

Contenido de la Presentación

´ ´ ´ ´

Definición de Valor Absoluto Propiedades del Valor Absoluto Desigualdades con valor absoluto Ejercicios Fin de la Presentación

VALOR ABSOLUTO

Definición de Valor Absoluto.

´

Dado un número real x cualquiera, el valor absoluto de éste es un nuevo número definido de la siguiente forma:

⎧ x , si x ≥ 0 x =⎨ ⎩ − x , si x < 0 A veces siguiente

es

común

x = x2

encontrar

los

VALOR ABSOLUTO

Definición de Valor Absoluto.

Hagamos una interpretación de la definición dada. El símbolo | . | representa la noción de valor absoluto del contenido que está dentro de las barras. Este valor absoluto será el mismo que está dentro de las barras cuando sea positivo o cero, y será el mismo valor multiplicado por -1 cuando sea negativo.

VALOR ABSOLUTO

De acuerdo a esta definición, veamos que número es

x −3

Definición de Valor Absoluto.

Respuesta: Según la definición es lo que está, exactamente, dentro de las barras, si es mayor o igual a cero, ó lo que está dentro de las barras multiplicado por si es menor que cero:

⎧ x − 3 , si x − 3 ≥ 0 x−3 =⎨ ⎩− ( x − 3 ), si x − 3 < 0

VALOR ABSOLUTO

Propiedades del Valor Absoluto.

Para cualesquiera números reales x,y se cumplen las siguientes propiedades:

a) x ≥ 0 b) x + y ≤ x + y c) x. y = x . y x x d) = , y≠0 y y

VALOR ABSOLUTO

Desigualdades con Valor Absoluto.

De importancia fundamental para la resolución de desigualdades con valor absoluto son las siguientes:

a) x < a ⇔ − a < x < a b) x ≤ a ⇔ − a < x < a c) x > a ⇔ x > a ó x < −a d ) x ≥ a ⇔ x ≥ a ó x ≤ −a

VALOR ABSOLUTO

Resolver: x − 5 ≤ 2.

Ejercicios con Valor Absoluto.

Solución: Leyendo la expresión dada encontramos una forma que contiene el símbolo menor o igual, entonces, para encontrar una desigualdad equivalente sin las barras de valor absoluto usamos la parte a) de las propiedades anteriores:

x−5 ≤ 2 ⇔ −2 ≤ x−5 ≤ 2

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

La solución a esta inecuación la encontramos resolviendo las siguientes:

−2 ≤ x −5 −2+5≤ x 3≤ x

y y y

x −5 ≤ 2 x ≤ 2+5 x≤7

y

x ∈ (− ∞,7]

Cuyas soluciones son

x ∈ [3, ∞ ) Solución General:

x ∈ [3,7]

VALOR ABSOLUTO

Resolver: 3 x − 2 ≥ 1.

Ejercicios con Valor Absoluto.

Solución: Leyendo la expresión dada encontramos una forma que contiene el símbolo mayor o igual, entonces, para encontrar una desigualdad equivalente sin las barras de valor absoluto usamos la parte c) de las propiedades anteriores:

3 x − 2 ≥ 1 ⇔ 3 x − 2 ≥ 1 ó 3 x − 2 ≤ −1

VALOR ABSOLUTO

Ejercicios con Valor Absoluto.

La solución a esta inecuación la encontramos resolviendo las siguientes:

3x − 2 ≥ 1 3x ≥ 1 + 2 x ≥1

ó ó

3x − 2 ≤ −1 3x ≤ −1 + 2

ó

x ≤ 1/ 3

Cuyas soluciones son

x ∈ [1, ∞ ) Solución General:

ó

x ∈ (− ∞,1 / 3]

x ∈ (− ∞,1 / 3] ∪ [1, ∞ )

VALOR ABSOLUTO

Resolver: 3 x − 2 ≤ x +1

Ejercicios con Valor Absoluto.

Solución: Usaremos la definición segunda de valor absoluto

3x − 2 ≥ x + 1

(3x − 2) ≥ (x + 1) 2 2 (3x − 2) ≥ (x + 1) 2

2

9 x 2 − 12 x + 4 ≥ x 2 + 2 x + 1

VALOR ABSOLUTO

9 x − 12 x + 4 ≥ x + 2 x + 1 2

Ejercicios con Valor Absoluto.

2

8 x 2 − 14 x + 3 ≥ 0 Factorizando:

(4 x − 1)(2 x − 3) ≥ 0 Usando Sturm:

x ∈ (− ∞,1 / 4] ∪ [2 / 3, ∞ )

VALOR ABSOLUTO

Gracias por la atención prestada.

Fin de la Presentación

M.Sc. Jorge E. Hernández H.