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• Carmen Balladares

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Valor absoluto El valor absoluto de un número real a coincide con él mismo si es positivo ó 0, y es igual a su opuesto si es negativo. Se representa por |a|.

De modo que el valor absoluto de cualquier número nunca es negativo. El valor absoluto de un número coincide siempre con el de su opuesto. Ejemplos de valor absoluto

a) |3,5| = 3,5

b) |-1,6| = 1,6

c) |4 - 9| = |-5| = 5

d) |π - 2| = π - 2 = 1,141...

e) |-3| + |√2| = 3 + √2 = 4,414...

f) |-4,2| - |-4,2| = 4,2 - 4,2 = 0

Propiedades del valor absoluto 1. |a| = |-a|

2. |a · b| = |a| · |b| 3. |a +b | ≤ |a| + |b| 4. Si |a| < k

Desigualdad triangular -k < a < k

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto 1. |-7| = |7| =7

2. |(-2) · 5| = |-10| = 10 = |-2| · |5| = 2 · 5

3. |4 + 2| = |6| = 6 = |4| + |2|

Igualmente:

|4 + (-2)| = |2| = 2 ≤ |4| + |-2| = 4 + 2 = 6

4. Si |3| a son los valores x tales que x < - a o x > a

La desigualdad |x| ≤ a describe el intervalo cerrado origen.

[-a , a] , simétrico respecto al

Y los números reales |x| < a son los del intervalo abierto

(-a, a).

La desigualdad |x| ≥ a describe la unión de los intervalos (-∞ , -a] ∪ [a , ∞). Y los números reales |x| > a son la unión de los intervalos abiertos (-∞ , -a) ∪ (a , ∞).

La desigualdad |x - c| < d es el intervalo abierto (c - d , c + d) , denominado también entorno de centro c y radio d, E(c , r). La desigualdad |x - c| ≤ d es el intervalo cerrado

[c - d , c + d].

La desigualdad |x - c| > d es la unión de los intervalos

(-∞ , c - d) ∪ (c + d , ∞).

La desigualdad |x - c| ≥ d es la unión de los intervalos

(-∞ , c - d] ∪ [c + d , ∞).

Ejemplos de las propiedades del valor absoluto a) La expresión |x| < 5 representa el intervalo abierto (-5, 5)

|x| < 5

⇔

-5 < x < 5

⇔

x ∈ (-5,5)

b) La expresión |x| ≤ 5 representa el intervalo cerrado [-5, 5]

|x| ≤ 5 ⇔ -5 ≤ x ≤ 5

⇔ x ∈ [-5,5]

c) La expresión |x-5| ≤ 7 representa el intervalo cerrado [-2, 12]

pues |x-5| ≤ 7 ⇔ -7 ≤ x - 5 ≤ 7 ≤ 12 ⇔ x ∈ [-2, 12]

d) La expresión

|x| > 5

⇔ -7+5≤x≤7+5 ⇔

-2≤x

representa la unión de intervalos (-∞, -5)∪(5, ∞), pues

|x| > 5

⇔ x < -5

o

x>5

⇔

x ∈ (-∞ , -5) ∪ (5 , ∞)

e) La expresión |x-5| ≥ 7 representa la unión de intervalos (-∞, -2] ∪ [12 , ∞), pues

|x-5| ≥ 7 ⇔ x-5 ≤ -7 o x-5 ≥ 7 5+7 ⇔ x ∈ (-∞ , -2] ∪ [12 , ∞)

Expresión con valor absoluto a>0

⇔

x ≤ 5-7

o

x≥

Interpretación Geométrica

La distancia de x al origen es a

|x| = a

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a

|x| < a

|x| ≤ a

La distancia de x al origen es menor o igual que a

La distancia de x al origen es estrictamente mayor que a

|x| > a

La distancia de x al origen es mayor o igual que a

|x| ≥ a

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que 0

0 < |x| < a

e < |x| < a (e > 0 , e < a)

La distancia de x al origen es estrictamente menor que a y estrictamente mayor que e

Distancia La distancia entre dos números diferencia.

a

y

b

es el valor absoluto de su

d(a,b) = |b-a| = |a-b|

La distancia entre a y b es la longitud del segmento de extremos a y b . Por tanto, la distancia entre dos números siempre es positiva. La unidad de medida de longitud es la distancia entre los números 0 y 1. Ejemplo de distancia entre dos puntos La distancia entre los números 7| = |7 - (-4)| = 11

Expresión con valor absoluto d>0

-4 y 7

será:

d(-4,7) = |(-4) -

Interpretación Geométrica

La distancia entre x y c es d

|x - c| = d

La distancia entre x y c es estrictamente menor que d

|x - c| < d

La distancia entre x y c es menor o igual que d

|x - c| ≤ d

La distancia entre x y c es estrictamente mayor que d

|x - c| > d

La distancia entre x y c es mayor o igual que d

|x - c| ≥ d

La distancia entre x y c es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que 0

0 < |x - c| < d

La distancia de x al origen es estrictamente menor que d y estrictamente mayor que

e < |x- c| < d (e > 0 , e < d)

Valor Absoluto e Inecuaciones Contenido de esta página:     

Introducción: concepto y ejemplos Definición (matemática) del valor absoluto como función Propiedades básicas del valor absoluto Resolución de 13 Inecuaciones con Valor Absoluto (inecuaciones de primer grado) Recursos similares: Resolución de Inecuaciones de Primer y Segundo grado y Racionales.

Introducción El valor absoluto de un número a, representado como |a|, es su valor numérico (con signo positivo). Por ejemplo,

Notemos que:   

si el número es positivo, su valor absoluto es el propio número; si el número es negativo, su valor absoluto es su opuesto (número con signo opuesto, es decir, con signo positivo); si el número es 0, su valor absoluto es 0, aunque 0 no es ni positivo ni negativo.

Definición de la función Valor Absoluto Ver Definición

Propiedades del Valor Absoluto Ver Propiedades

Inecuaciones Resueltas Antes de empezar, diremos que en todos los problemas usaremos la cuarta propiedad del apartado "Propiedades del Valor Absoluto". Inecuación 1

Ver solución Escribimos la inecuación como

Por tanto, la solución es

Inecuación 2

Ver solución Escribimos la inecuación como

Por tanto, la solución es

O bien, con la notación de paréntesis,

En cualquier caso, los extremos del intervalo son abiertos (porque la desigualdad es estricta).

Inecuación 3

Ver solución Esta inecuación no tiene solución ya que el valor absoluto de un número siempre mayor o igual que 0.

Inecuación 4

Ver solución La solución es todos los reales:

ya que el valor absoluto siempre es mayor o igual que 0.

Inecuación 5

Ver solución Tiene que cumplirse una de las siguientes relaciones:

Por tanto, la solución es

Inecuación 6

Ver solución Podemos escribir la inecuación como

Tenemos que resolver las dos inecuaciones. Podemos hacerlo al mismo tiempo: Sumamos 1:

O bien, separar ambas inecuaciones y resolverlas por separado:

De ambas formas obtenemos la misma solución:

Inecuación 7

Ver solución Tenemos las dos inecuaciones:

Las resolvemos:

Por tanto, la solución es

Inecuación 8

Ver solución

Escribimos la inecuacón como

Por tanto,

Resolvemos cada inecuación: Por un lado:

Por otro lado:

Luego la solución es

Inecuación 9

Ver solución Escribimos la inecuación como

Por un lado:

Tenemos que estar alerta en el último paso ya que el coeficiente de la incógnita es negativo. Al dividir por -3 tenemos que cambiar el signo de la inecuación:

Por otro lado:

Por tanto, la solución es

Inecuación 10

Ver solución Debe cumplirse alguna de los dos inecuaciones:

Resolvemos la primera:

Resolvemos la segunda:

Por tanto, la solución es:

Inecuación 11

Ver solución Escribimos la inecuación como:

Vamos a trabajar primero con las dos inecuaciones al mismo tiempo:

Sumamos 5:

Sumamos x:

Ahora tenemos que separarlas para obtener la solución: Por un lado:

Por otro:

En esta segunda inecuación hemos obtenido una relación que siempre se cumple. Luego no nos aporta restricciones a la solución. Por tanto, la solución es

Inecuación 12: dificultad alta

Ver solución Tenemos las dos inecuaciones:

Resolvemos la primera:

No podemos multiplicar por x porque no sabemos si es positiva o negativa. Supongamos que x es positiva ( x > 0): ahora sí podemos multiplicar por x :

Por tanto, cambiando la desigualdad al dividir por el negativo -2, tenemos

Pero hemos dicho que x > 0, luego al unir ambas condiciones tenemos que

(ya que es la más restrictiva). Supongamos ahora que x es negativa: x < 0:

Por tanto, la solución a esta primera inecuación es

Resolvemos la segunda inecuación procediendo del mismo modo:

Si x es positiva:

Si x es negativa:

Por tanto, la solución a la segunda inecuación es:

Las soluciones de las dos inecuaciones son:

Y tienen que cumplirse ambas. Por tanto, la solución es

Inecuación 13: dificultad muy alta

Ver solución Tenemos las dos inecuaciones:

Resolvemos la primera:

Ahora no podemos multiplicar la inecuación por x porque ésta podría ser negativa y, entonces, habría que cambiar el signo de desigualdad. Supongamos que x es positiva. Ahora podemos multiplicar:

Como el coeficiente de la x es negativo, cambiamos el signo de desigualdad al dividir por -6:

Pero, además, sabemos que x tiene que ser positiva:

Por tanto, tenemos que ha de ser

Ahora suponemos que x es negativa. Al multiplicar por x tenemos que cambiar el signo de desigualdad:

Por tanto,

Luego

Resolvemos la segunda inecuación procediendo de forma similar:

Si x es positiva:

Lo cual es falso. Por tanto, x no puede ser positiva. Si x es negativa:

Lo cual siempre se cumple (no aporta restricciones a la solución).

Las soluciones que hemos obtenido son, de la primera inecuación

Y de la segunda: que x no puede ser positiva. Por tanto, como deben cumplirse ambas inecuaciones, la solución es