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• santiago31415

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VALOR ABSOLUTO Introducción: Cualquier número real a tiene su representación en la recta real. El valor absoluto de un número real representa la distancia del punto a al origen. Observe en el dibujo que la distancia del 3 al origen es 3 unidades, igualmente la distancia del punto −3 al origen es 3. En notación, esto es | −3 | = 3 . Las barras se leen como el valor absoluto de lo que esta dentro de ellas.

Mathema

5. Resolver | x | . | x + 5 | + | x + 5 | . | x + 6 |= 0 Rpta: {−5}

Rpta: 0 7. Halle la suma de las soluciones de la ecuación | x − 2 | −3 = 1 .

8. Determine el conjunto solución de la ecuación | 3x − 1| = 4 x .

izquierda del origen, es decir si a es negativo, entonces | a | = − a . Esto lo

Rpta: {1/7} 9. Cuantas soluciones enteras no positivas tiene 3 | x + 1| = |1 − x | + 2 | x + 1| . Rpta: 1

escribimos en la siguiente definición 10. Resolver

⎧ x ; si x ≥ 0 | x|=⎨ ⎩− x ; si x < 0

11. Resuelva

| x2 + 2 x | = 1

Rpta: 1 18. Halle la suma de soluciones reales de la ecuación | x | + x 5 = 0 . Rpta: −1 19. Dadas las expresiones F ( x) = (| x | −1) 2 − 1 ,

G ( x) = − | x |3 + | x | y el conjunto A={ x ∈ \ / F ( x).G ( x) = 0 }; halle el conjunto A por extensión. Rpta: { −2 ; −1 ;0;1;2} 20. Si ( x0 ; y0 ) es una solución del sistema ⎧| x | + | y | = 2 x , halle 0 . ⎨ x y | | = − 1 y0 ⎩

Rpta: 1 o −1

x+8 =3 x+4

21. Resuelva Rpta: {−2; − 5}

El valor absoluto es muy importante en cálculo porque nos ayuda a representar desigualdades y conjuntos de números, uno de los principales usos es el poder formalizar el concepto de límite que veremos en unas semanas.

soluciones.

6. Halle la suma de soluciones de la ecuación 7 | x | +1 = 29 .

Rpta: 8

En el valor absoluto no importa en que lado de la recta real está representado el número. Analíticamente podemos ver que si a es positivo, es decir esta a la derecha del cero, entonces | a | = a y si está a la

17. Resuelva la ecuación x3 − 1 = x 4 + x 2 + 1 y de el número de

1 − 4 x + 4 x2 + 1 + 4x + 4x2 = 2 . Rpta: [−1/ 2; 1/ 2]

e indique el

número de soluciones. Rpta: 3

22. Señale la suma de soluciones de la siguiente ecuación 3 | x + 1| + | x − 8 | =19.

12. Resuelva | 3 x − 5 | = | 2 x + 7 | y calcule la suma de los valores absolutos de las soluciones.

PROBLEMAS 1. Simplifique

|3− x| | 2 x + 1| + | x − 2 | −6

si

0< x < 2. Rpta: −1 2. Calcule

| 2 + 1| + |1 − 2 | . | x − x + 1| + x − x 2 + | 3 − 1|

Rpta: FVV

2

Rpta: 2 3. Si

13. Al resolver la ecuación | x + 2 | + | x + 5 | = | 3x + 6 | + | 2 x + 10 | podemos afirmar: I. Su conjunto solución es unitario II. Su conjunto solución es unitario III. Es una ecuación incompatible.

x ∈ 4;5

2 3

¿Cuál es el valor de

| 3x − 10 | − | 2 x − 7 | −3 ? 3 x − 18

14. Resolver | x + 4 |= 2 x − 6 . Rpta: {10} 15. Resuelva la ecuación | x 2 + x | = x + 1 Rpta: {1; − 1}

1 Rpta: − 3

16. Encuentre la suma de soluciones de la ecuación x 2 + 3 x + 2 = | x + 1| .

4. Sea x ∈ −5;3] , entonces la variación de

23. ¿Para que valor o valores de x la siguiente igualdad es cierta? ax − c = b | x | siendo a > b y a, b, c positivos. 24. Resuelva la ecuación 1 17 =4 e | x | −4 + + 4− | x | + 4 4 indique el producto de todas sus soluciones. 25. Luego de resolver la ecuación x4 + x2 + 1 indique 2 x − x2 − 2 x + 1 = 2 x + x +1 el cardinal de su conjunto solución. 26. Resuelva la inecuación

x2 − 2 x + 1 + x2 + 2 x + 1 ≤ 0 . Rpta: φ

Rpta: −4

| 2 x + 3 | será.

Prof.: Christiam Huertas R.

Rpta: 1/2

www.xhuertas.blogspot.com

1

VALOR ABSOLUTO 27. Sea x ∈ \ de modo que

1 1 1 − < , x 2 4

además a = x 2 +1; indique los valores que toma a . Rpta:

25 ;17 9

28. Luego de resolver la inecuación | 3x − 2 | ≤ 4 se observa que el conjunto solución es [a, b] . Indique el valor de a+b . Rpta: 4/3 29. Resuelva la | 4x − 2 | ≤ x

siguiente

inecuación

⎡2 2⎤ Rpta: ⎢ ; ⎥ ⎣5 3⎦ 30. Señale el menor valor entero que verifique la siguiente inecuación | x + 6 | < 2x − 4 .

Mathema

Rpta: [3; +∞ ⎧ 3− x ⎫ ≤ 2x⎬ . ⎨ x + 1∈ \ / − x 1 ⎩ ⎭ Indique el menor elemento entero de A.

39. Sea

A

=

Rpta: 3

49. Dé

el

conjunto solución de la | x | +2 | x | +1 2 x + x 2 . − < inecuación | x | +3 | x | +2 2 x.x + x3

50. Dado el conjunto A={ x ∈ \ / | 3x − 1| ≤ | 2 x + 1| + | x − 2 | }, halle el cardinal del complemento de A. Rpta: 0

40. Dada la inecuación en x : α | x | ≥ | α | ;

α ≠ 0 . Indique el valor de verdad de las proposiciones siguientes: 1 es solución. I. 5 es solución ⇒ 5 II. 3 es solución ⇔ − 3 es solución. III. 7 es solución ∧ − 0,7 es solución. Rpta: FVF 41. Determine el número de elementos enteros de la siguiente inecuación | x − 5 | + | x + 5 | > | 2x | .

Rpta: 11 31. Si el conjunto solución de la inecuación | ax + 1| ≤ b es [ − 1;5]; ab < 0 , halle

2x + 1 1 − ≤ k ; ∀x ∈ [4;7]. x−2 2

| x−6|−| x| ≤0. 38. Resuelva | 3x − 2 | + | 4 x − 3 |

Rpta: 9 42. Resuelva

2x − 5 < | 2x − 2 | − | 3 − 2x | .

a+b .

Rpta: [2,5 ; 3

32. Al resolver la inecuación | 2 x − 3 | ≥ x + 6 se obtiene como conjunto solución −∞ , m] ∪ [ n, +∞ . Calcule el valor de

mn . Rpta: −9 33. Resuelva la | x 2 − 10 x + 25 |

siguiente inecuación. 2 | x − 5 | +35.

≤

Rpta: [ − 2;12] 34. Resuelva la siguiente | x 2 + 1| ≥ | x 2 − 3 | . 35. Resuelva la inecuación

inecuación.

x−2 ≥0. x − 1− | x | 3

36. Cual es el máximo valor de x que | x − 2 | −4 verifica ≤0. | x − 2 | −3 Rpta: 6 37. Si el conjunto solución de la siguiente | x | +4 ≤ x es de la forma inecuación x +1

[a;+∞ , determine a . Rpta: 2

Prof.: Christiam Huertas R.

43. Exprese el conjunto A en términos de intervalos, donde ⎧ x2 ⎫ / | x − 3 | −1 < 2 ⎬ . A= ⎨ 2 ⎩ x +1 ⎭ 36 Rpta: 0; 37 44. El conjunto A={ x ∈ \ /

| x | −1 ≤

≤ 1+

x}

es equivalente a 45. Resuelva la inecuación | 5 x − 5 | − | 5 x + 15 | | 2 x − 2 | − | 4 x + 12 | < x2 + x + 1 ( x + 1) 2 − x 46. Resuelva

x x−3 . > | x2 + 4 | | x2 + x + 4 |

⎧ 4− | 4 − x | − x ⎩

Rpta: −1 ;0] 48. Halle el menor valor de k que satisface la desigualdad www.xhuertas.blogspot.com

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