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Pr´actica 3.− Vaciado de un dep´osito Roberto Mota Navarro Mayra Patricia Garc´ıa Alcal´a Josafat Jim´enez Guzm´an 20 de Octubre de 2010

1.

Introducci´ on

amos un tanque cil´ındrico cuyo di´ametro es D el cual tiene una ´area transversal es S1 conteniendo un fluido hasta cierto nivel h por encima de un agujero, como se indica en la Figura 1. Nuestro recipiente drena por un peque˜ no orificio en la parte inferior de di´ametro d y secci´on S2 de tal forma que (S1  S2). La velocidad de evacuaci´on del fluido a la salida de este orificio la llamamos v2. Bien si aplicamos la ecuaci´on de Bernoulli en las dos secciones del tanque tenemos lo siguiente:

La mec´anica del medio continuo tiene como finalidad estudiar los esfuerzos que se manifiestan en el interior de los s´ olidos, l´ıquidos y gases. La mec´ anica de medio continuo se origin´o con los estudios de Galileo y sus disc´ıpulos. Galileo plante´ o y resolvi´ o los primeros problemas de resistencia de materiales en su libro Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuo scienze, impreso en 1638. Las dos nuevas ciencias de ese entonces eran precisamente la mec´ anica de los s´ olidos deformables y la cinem´ atica de los proyectiles Benedetto Castelli y Evangelista Torricelli, por su parte, se ocuparon del movimiento de los fluidos. Torricelli, en la obra De motu gravium naturaliter descendentium et proiectorum, publicada en 1644, pudo, con intuici´ on realmente genial, deducir la ley de descarga de un l´ıquido, a trav´es de un orificio practicado en un dep´osito, a partir de la ley de ca´ıda de los s´olidos. Fue as´ı como se sentaron, casi simult´aneamente, las bases de la mec´ anica del medio continuo relacionada con sus dos objetivos principales: el s´ olido deformable y el fluido en movimiento.

ρv1 2 ρv2 2 = P2 + gρ2 + (1) 2 2 Ahora considerando que la presi´on P que act´ ua en ambas secciones del tanque es la misma presi´on atmosf´erica, y del mismo modo la densidad ρ es la misma en la ecuaci´on de Bernoulli, la ec. (1) toma la forma: P1 + gρ1 +

v1 2 v2 2 = gh2 + , (2) 2 2 ade´aas sabemos que el caudal que sale del tanque esta dado por C = vS, entonces considerando la ecuaci´on de continuidad v1 S1 = v2 S2 podemos obtener de esta u ´ltima la siguiente expresi´on: gh1 +

v1 = v2

Para deducir la ley de Torricelli consider1

S2 , S1

(3)

 y(t) =

√

S2 h− S1

r

2 g t . 2

(8)

El tiempo de vaciado del tanque T ocurre cuando la super cie del agua alcanza la altura cero: y = 0. As´ı, calculamos: s  r  √ 2 S2 2 S1 2 √ ∼ −1 T = h= h . (9) 2 S1 2 S2 g En la aproximaci´on, no tomamos en cuenta el hecho que la velocidad de salida del l´ıquido decrece cuando la altura del l´ıquido en el tanque disminuye. Una velocidad de salida m´as alta provoca un tiempo de vaciado menor. Podemos comprobar que la velocidad v1 es una funci´on lineal del tiempo, pues la funci´ on y(t) es una funci´on cuadr´atica:

Figura 1: Ejemplificaci´on del modelo del que se deduce la ley de Torricelli.

y de la ec. (2) obtenemos: v1 2 v2 2 = + g(h1 − h2 ) . 2 2

v1 = −

(4)

2.

Sustituyendo a v1 y despejando a v2 se obtiene: v u 2gρ u  , v2 = t  (5) 2 1 − SS2 2 donde y = h1 − h2 , y al aplicar la condici´on de S1  S2 entonces podemosobtener la expresi´on que encontr´ o Torricelli:

3. (6)

Por definici´on, la velocidad de la superficie del agua se puede escribir como: v1 = −

dy . dt

(10)

Objetivos

Comprobar la ley de Torricelli y utilizando la ecuaci´on de continuidad y de Bernoulli calcular el tiempo que le toma a un recipiente con l´ıquido vaciarse como funci´on de la altura de dicho l´ıquido.

1

p v2 = 2gy .

dy S2 2 S2 p 2g − 2 gt . ≈ dt S1 S1

3.1.

Protocolo y dispositivos experimentales Tiempo de vaciado

Materiales:

(7) - Probeta graduada perforada con un orificio abajo.

Con esto, llegamos a la ecuaci´ on: 2

Lo primero que hicimos fue montar el equipo: el sensor de posici´on ajustado en el soporte universal fue colocado a una altura suficiente para que este detecte los cambios de altura de agua contenida en una probeta que pusimos debajo del sensor. Conectamos el sensor a la computadora y con la interfase DataStudio se hizo la medici´on de posici´on y de velocidad de la ca´ıda de el agua de la probeta desde cierta altura h hasta que se termin´ o de vaciar el tanque. Para estas mediciones, previamente realizamos distintas pruebas para asegurar que el sensor si detectara cambios de posici´on del agua, asi como la distancia a la cual empezaba a detectar los cambios.

- Agua. - Cron´ometro. Metodolog´ıa: Primeramente medimos el di´ ametro de ambos orificios del tubo perforado para obtener as´ı los radios r1 y r2 . Realizamos medidas del tiempo que tomaba en vaciarse una probeta con diferentes cantidades de l´ıquido. Realizamos 9 diferentes mediciones, desde 850 ml a 50 ml, en decrementos de 100 ml cada vez. Para contar el tiempo que le llevaba vaciarse al recipiente a cada altura diferente, utilizamos un cronometro. En el momento que ve´ıamos al agua llegar a la base del agujero de salida par´abamos la medici´ on. Realizamos esto con tres cron´ ometros simult´ aneamente, cada miembro del equipo manejando uno. Al momento de llenar la probeta tomamos medidas muy cercanas a la base para asegurarnos que al momento de ajustar linealmente los datos, la recta pasara cerca del origen.

3.2.

4.

Mediciones:

4.1.

Tiempo de vaciado

Radio de la probeta: r1 = 0.345 m y radio del orificio de debajo de la probeta: r2 = 0.00235 m

Evoluci´ on de y(t)

Materiales:

h ± 5 × 10−4 [m] 0.30062607 0.26525829 0.22989052 0.19452275 0.15915498 0.1237872 0.08841943 0.05305166 0.01768389

- Tanque cil´ındrico perforado por orificio abajo. - Agua. - Sensor de posici´ on Pasco. - Interfase DataStudio (500) y computadora. - Soporte universal.

T ± 0,005[s] 52.56 48.91 45.19 41.73 37.62 32.94 27.07 20.04 10.57

Tabla 1.-Tiempos de vaciado para las diferentes

Metodolog´ıa:

alturas que medimos.

3

4.2.

Evoluci´ on de y(t)

esta relaci´on se muestra en la gr´afica Figura 9:

Altura de la columna de agua en la brobeta: 30.00 cm Las mediciones que obtuvimos con DataStudio est´an graficadas en las Figuras 2 y 3.

Figura 4: Gr´afica de tiempo T contra la raiz de altura h con respecto al tiempo.

La intersecci´on con el eje de las ordenadas no se da en el cero porque el sensor de posici´ on comenz´o a tomar lecturas solamente hasta que el agua se encontraba a a 12 cm de distancia del mismo, desplazando el origen de la toma de datos a la derecha del cero. Seg´ unla ec. (9), la pendiente de la l´ınea de ajuste debe ser: r S2 g = 97.31s/m1/2 . (11) S1 2

Figura 2: Resultado de la medici´on de posici´on con respecto al tiempo.

Y nuestro ajuste lineal arroja una pendiente de 100.98 s/m1/2 El error relativo de nuestro valor experimental es de 3.76 % con respecto al valor te´orico. Esta diferencia se debe a los retardos en el manejo del cronometro, pues siempre par´abamos la cuenta despu´es de ver que ya no segu´ıa fluyendo l´ıquido.

Figura 3: Resultado de la medici´on de velocidad con respecto al tiempo.

5. 5.1.

An´ alisis

5.2.

Tiempo de vaciado

Evoluci´ on de y(t)

Como se vio en las tablas de resultados, los valores obtenidos si tienen el comportamiento desperado, de acuerdo a las ecuaciones que

Seg´ un la ec. (9) el tiempo T de vaciado debe ser proporcional a la ra´ız cuadrada de la altura, 4

rigen este comportamiento. r 2  √ S2 g y(t) = h− t , S1 2

pendiente que obtubimos con nuestros datos (y = cx + b) es de 0.000196 m/s2 y el esperado, calcul´andolo don la ec. jhygb:

(12)

c=−

Vemos en esta ecuaci´ on que la forma que deben tener los datos es linealp (de la forma y = afica cormx + b) con respecto a y(t), la gr´ respondiente (Figura 4) nos muestra el valor de la pendiente que resulta de nuestros datos que es -0,0092m1/2 /s, mientras que calculando este valor con la ec. (10), nos queda: r r S2 g 0.0037m2 9.81m/s m=− =− S1 2 1.73 × 10−5 2
=-0.0102 m1/2 /s

S2 g = 0.0002m/s2 . S1

Como vemos, este nuestro resultado difiere del valor calculado solamente con un 2 %.

6.

Conclusiones

Para la pr´actica de vaciado del tiempo de vaciado, de acuerdo con los resultados te´oricos el resultado es muy bueno y la diferencia de 3.76 % que se obtuvo se la atribuimos a la falta de precisi´on al momento de tomar los tiempos de vaciado con el cron´ometro, esta fuente de error qued´o muy patente al comparar el tiempo de vaciado que medimos los diferentes miembros del equipo, nunca teniendo los tres la misma lectura. A parte de esto era complicado determinar cu´ando se hab´ıa terminado de vaciar la probeta y nunca deten´ıamos la toma de tiempo al mismo nivel de vaciado.La segunta parte, de evoluci´on de y(t) tambi´en nuestros resultados se ajustaron a lo calculado de acuerdo a la ecuaci´on de Bernoullie y a la ley de Torricelli.

Lo cual es muy aproximado a lo que obtubimos con nuestros datos experimentales, ya que el error es 9.8 % .

Bibliograf´ıa Figura 5: Gr´afica de Raiz de posici´on y(t) ec. vs tiem1. T. E. Faber. Fluid Dynamics for Physicists, Cambridge University, 1995.

po t.

Como vimos, la funci´ on y(t) es una funci´on cuadr´atica asi que el comportamiento de la velocidad es una funci´ on lineal del tiempo, por lo que nuestros resultados, mostrados en la Figura 3 est´ an de acuerdo a esta teor´ıa. La

2. Enzo Levi. Elementos de Mec´ anica del Medio Continuo, Editorial Limusa, 197 5. 3. R. K. Nagle, E. B. Saff. Fundamentos de ecuaciones diferenciales, Addison Wesley, Wilmington, 1992 .

5

4. Manual de pr´ acticas, Laboratorio de Medios Continuos, Anne Cros, Universidad de Guadalajara .

6