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UNIVERSIDAD NACIONAL DE CAJAMARCA Facultad de Ingeniería Escuela Académico Profesional de Ingeniería Civil

Modelado del vaciado de un tanque

CURSO

:

Ecuaciones Diferenciales

DOCENTE

:

Lic.

ALUMNOS

:

- Gálvez Díaz, Christian Daniel - Edquén Pérez, Andrés - Vásquez Fernández, Elmer CICLO

:

2018 Vacacional.

Cajamarca, marzo del 2018.

MODELADO DEL DRENADO DE UN TANQUE

1. INTRODUCCIÓN El principal propósito de este trabajo es explicar mediante ejemplos la resolución de problemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias al vaciado de tanques que pueden contener líquidos, este caso es utilizado en muchos proyectos y para ello se necesita saber predecir el tiempo que demora en vaciarse todo o alguna parte del contenido, como también saber el volumen de líquido que desaloja en un determinado instante; aquí se demuestra cómo conseguir esta información con la ayuda de las Ecuaciones Diferenciales de 1er grado. Al inicio se hace un análisis de lo que se ha estudiado al respecto, en lo que tiene que ver con la Ley de Torricelli, pero donde si se tiene en cuenta la geometría del recipiente y la del hoyo por donde se drena el tanque. En este trabajo, se presenta la modelación matemática que hay entre la altura del nivel de un tanque y el tiempo que toma en su vaciado, usando ecuaciones diferenciales ordinarias que son resueltas por separación de variables. Al final se realiza el cálculo del coeficiente de determinación.

2. OBJETIVOS:   

Determinar el tiempo de vaciado de un tanque mediante ecuaciones diferenciales de primer grado. Aplicar las ecuaciones diferenciales para solucionar casos de la vida real sin tener mucho error. Relacionar las ecuaciones diferenciales con ciencias exactas como la matemática y la física.

3. MARCO TEORICO En hidrodinámica, la ley de Torricelli establece que la velocidad v del flujo (salida) del agua a través de un orificio en la parte lateral o en el fondo de un tanque lleno con agua hasta una altura (o profundidad) h es igual a la velocidad de un objeto (en este caso una gota de agua), que cae libremente desde una altura h; esto es, √2𝑔ℎ, donde g es la aceleración de la gravedad. Esta última expresión se origina al igualar la energía cinética 𝑚𝑣 2 /2, , con la energía potencial, m.g.h, luego de despejar v. Supongamos que un tanque lleno de agua se deja vaciar por un agujero, por la acción de la gravedad. Se desea determinar la profundidad, h, del agua que queda en el tanque (ver figura 1) en el momento t. Si el área transversal del agujero es 𝐴0 , y la velocidad del agua que sale del tanque es √2𝑔ℎ, el volumen de agua que sale del tanque, por segundo, es 𝐴0 √2𝑔ℎ. Así, si V (t) representa la velocidad del agua en el tanque en cualquier momento t. 𝑑𝑉 = −𝐴0 √2𝑔ℎ 𝑑𝑡

(1)

Figura 1: Diagrama Tanque Cilíndrico, Ley de Torricelli Si el tanque es tal que el volumen del agua en cualquier momento t se expresa como 𝑉(𝑡) = 𝐴𝑤 ℎ, donde 𝐴𝑤 es el área constante de la superficie superior del agua. 𝑑𝑉 𝑑ℎ = 𝐴𝑤 𝑑𝑡 𝑑𝑡

(2)

Al reemplazar está última en (1) se llega a 𝑑ℎ 𝐴0 =− √2𝑔ℎ 𝑑𝑡 𝐴𝑤

(3)

Donde (3) es una ecuación diferencial por separación de variables.

4. MODELO PROPUESTO Se desea modelar el vaciado de un tanque de la figura N° 2. El cual es llenado inicialmente de un líquido, que para nuestro caso es agua. El tanque cuenta con un orificio central, ubicado en el fondo, el cual regula el paso del líquido en su salida. En una fase inicial, el tanque se encuentra según se observa en las figuras N° 3 y 4.

Figura N° 2: Tanque Vacío

Dimensiones para el modelado:   

Altura: 15 cm Diámetro: 19.8 cm Diámetro del orificio: 2.6 cm

Fase Inicial:

Figura N° 3: Tanque lleno de agua

Figura N° 4: Vaciado del Tanque Recopilación de datos: Prueba 1 2 3 4 5

Tiempo (seg) 10.21 10.74 10.90 10.62 10.94

5. TRABAJO DE GABINETE:

Aplicando la fórmula: 𝑑ℎ 𝐴0 =− √2𝑔ℎ 𝑑𝑡 𝐴𝑤 Donde: 𝐴0 = 𝐴𝑤 =

𝜋𝑥2.62 4

= 5.309cm2

𝜋𝑥19.82 4

g=981cm/s2

= 307.907cm2

Reemplazando: 𝑑ℎ 5.309 √2 ∗ 981 ∗ ℎ =− 𝑑𝑡 307.907 Resolviendo 1

𝑑ℎ = 0.7637 ∗ ℎ2 𝑑𝑡 0

𝑡

1

∫ ℎ−2 𝑑ℎ = −0.7637 ∗ ∫ 𝑑𝑡 15

0

Integrando y reemplazando limites tenemos: −7.745 = −0.7637𝑡 T=10.14seg

6. CONCLUSIONES

 Se determinó el tiempo de vaciado de un modelo de tanque de altura 15 cm totalmente lleno de agua, dando como resultado 10.14 segundos.  Se predijo un resultado aproximado haciendo uso de las ecuaciones diferenciales.  Se aplicó la teoría de ecuaciones diferenciales para formular ecuaciones diferenciales de primer grado relacionadas con la fórmula de Torricelli.

7. BIBLIOGRAFIA a. Modelo Matemático para vaciado de Tanques, Luis Fernando Plaza Gálvez Unidad Central del Valle del Cauca, Tuluá, Valle, Colombia(2017) b. S. C. Chapra, R. P. Canale, Métodos numéricos para Ingenieros, Mc Graw Hill, 3 a edición, México D.F., (2000)