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REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DE EDUCACIÓN UNIVERSIDAD VALLE DEL MOMBOY FACULTAD DE CIENCIAS ECONÒMICAS, ADMINISTRATIVAS Y GERENCIALES CARRERA: ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS VALERA- EDO. TRUJILLO

Prof. Zullyn Valderrey Materia: Matemática II V Unidad

VARIAS VARIABLES Definición De Funciones De Varias Variables Y Noción Limite, Dominio Y Continuidad Las funciones de varias variables son funciones como cualquier otra, cumplen la misma definición de función; una relación. La diferencia es que una variable dependiente estará regida por más de una variable independiente. Es muy común trabajar con funciones de tres variables, generalmente llamadas z = f(x,y). Funciones de varias variables Una función de valor real, f, de x, y, z, ... es una regla para obtener un nuevo número, que se escribe como f(x, y, z, ...), a partir de los valores de una secuencia de variables independientes (x, y, z, ...). La función f se llama una función de valor real de dos variables si hay dos variables independientes, una función de valor real de tres variables si hay tres variables independientes, y así sucesivamente. Como las funciones de una variable, funciones de varias variables se pueden representar en forma numérica (por medio de una tabla de valores), en forma algebraica (por medio de una formula), y en forma gráfica (por medio de una gráfica)

DERIVADAS PARCIALES

Ejercicio de derivadas parciales

Se f una función de dos o mas variables tenemos una función de tres variables Se tiene

Para obtener las derivadas parciales de una función respecto a una variable en referencia, las demás variables se asumen como si fueran una constante. Las derivadas parciales tienen aplicación en matemáticas superiores como por ejemplo en la resolución de ecuaciones diferenciales

Ejemplo Obtener las derivadas parciales de la función

MÁXIMO Y MÍNIMO Toda función cuadrática posee un máximo o un mínimo, que es el vértice de la parábola. Si la parábola tiene concavidad hacia arriba, el vértice corresponde a un mínimo de la función; mientras que, si la parábola tiene concavidad hacia abajo, el vértice será un máximo. ¿Cuál es el punto máximo o mínimo de una parábola? El vértice es un punto que forma parte de la parábola, el cual tiene como ordenada el valor mínimo o máximo de la función. En ese punto se puede trazar un eje imaginario que hace simétrica la gráfica de la función, el cual es llamado eje de simetría. Definimos extremos relativos y absolutos de una función y enunciamos las reglas de la primera y segunda derivada. Proporcionamos ejemplos y resolvemos algunos problemas. La regla de la primera derivada proporciona los puntos candidatos a ser extremo relativo y la regla de la segunda derivada nos indica si un candidato es o no un extremo. Definición de extremo Intuitivamente, un punto a es un máximo relativo de la función f si f(a)≥f(x) para los x cercanos a a. Es un mínimo relativo si f(a)≤f(x) .

Ejemplo

La función tiene un máximo relativo en (0,0) y un mínimo relativo en (2,−4) . Observad que x=0 es un máximo en los puntos de su alrededor, pero no en todos, ya que, por ejemplo,

Definición formal: Sea f:R→R una función y sea a∈R , entonces •

a

es un mínimo relativo de f si existe ε > 0

• tal que

• a es un máximo relativo de f si existe ε > 0 • tal que

• a es un extremo relativo de f •

sí es un mínimo relativo o un máximo relativo.

Extremos absolutos: Si a es un mínimo (o un máximo) para todo x del dominio de f , se dice que es un mínimo absoluto (o un máximo absoluto). Formalmente, •

a

es un mínimo absoluto de f • si

•a

es un máximo absoluto de f • si

•a es un extremo absoluto de f •

sí es un mínimo absoluto o un máximo absoluto.

Nota: observa que un extremo absoluto cumple la definición de extremo relativo. Ejemplo Los extremos de la función del ejemplo anterior no son absolutos. El vértice de una parábola siempre es un extremo absoluto. Por ejemplo, la siguiente parábola tiene un mínimo relativo en (−1,1) :

2. Regla de la primera derivada Si la función f es derivable en c y f′(c)=0, decimos que c es un punto crítico.

Los puntos críticos son los candidatos a ser extremos relativos (y absolutos). Regla de la primera derivada: Si f es derivable en el intervalo I=(a,b) , entonces •

f

es creciente en I • si

•f es decreciente en I •

si

Por tanto, los candidatos para ser extremos son los puntos que anulan la derivada. Demostración en Criterio de la primera derivada. Aplicación de la regla: Supongamos que f es derivable en I=(a,b) y que c ∈ I es un punto crítico (es decir, f′(c)=0). Entonces, pueden darse las siguientes situaciones (estudio del signo de la derivada en los intervalos (a,c) y (c,b)

Es decir, c es un máximo si la función es f es creciente a su izquierda y decreciente a su derecha. Y es un mínimo si f es decreciente a su izquierda y creciente a su derecha. Para saber si f′ es positiva o negativa un intervalo, sólo tenemos que ver el signo de f′(x) de cualquier x de dicho intervalo. Ejemplo Vamos a calcular los extremos de la función

La primera derivada es

Igualamos a 0 y resolvemos la ecuación para hallar los puntos críticos:

La función ex nunca es igual a 0. Por tanto, el único punto crítico es x=−1 . El punto crítico divide los reales en dos intervalos:

Evaluamos la derivada f′ en un punto arbitrario de cada uno de los intervalos para saber si f es creciente o decreciente:

Por tanto, f es monótona decreciente en el intervalo (−∞,−1) y monótona creciente en (−1,+∞) . Como consecuencia, x=−1 es un mínimo. Además, por la monotonía de la función, se deduce que es un mínimo absoluto. Gráfica:

Regla de la segunda derivada La regla de la segunda derivada permite determinar si un punto crítico es un mínimo o un máximo relativo según el signo de la segunda derivada. Regla de la segunda derivada: Si f es dos veces derivable y x=c es un punto crítico, entonces •

c

es un mínimo relativo si f′′(c)>0 • c es un máximo relativo si f′′(c)0 el volumen de la bolsa (en litros). ¿Cuál debe ser el volumen de la bolsa para que su coste sea mínimo? ¿Cuál es dicho coste? Derivamos la función:

Igualamos la derivada a 0 y resolvemos:

El único punto crítico que tenemos es x=√5 (descartamos el negativo porque x debe ser positiva). El signo de la derivada se mantiene constante en los intervalos

Evaluamos la derivada en cualquier punto de cada intervalo:

Por tanto, la función es decreciente el primer intervalo y creciente en el segundo. Esto implica que el punto crítico es un mínimo de la función. El volumen debe ser √5 litros para que el coste sea mínimo. Calculamos el coste:

Gráfica de la función (para x>0):

2 ejemplo Disponemos de una barra de aluminio de 6 metros para construir una portería de fútbol. Si queremos que el área de la portería sea máxima, ¿cuánto deben medir los postes y el larguero? Sean x la longitud del larguero e y la de los postes:

La suma de las tres barras debe ser 6:

De donde podemos obtener y en función de x:

El área de la portería es

Derivamos la función:

El único punto crítico es x=3. La derivada es positiva para x3. Por tanto, x=3 es un máximo de la función área. Calculamos la longitud de los postes:

Por tanto, el larguero debe medir 3 metros y los postes, 1.5 metros. Gráfica de la función: