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• Marco PoloVillanueva

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FACULTAD DE CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y RECURSOS HUMANOS FACULTAD DECIENCIAS CONTABLES ECONÓMICAS Y FINANCIERAS

UNIDAD ACADEMICA DE ESTUDIOS GENERALES

Manual para uso exclusivo de los estudiantes

II Ciclo Semestre 2018 – II

Ciudad Universitaria USMP Av. Las Calandrias N°151 Santa Anita - Lima

Material didáctico para uso exclusivo de los estudiantes de las Facultades y Escuelas Profesionales: FACULTAD DE CIENCIAS ADMINITRATIVAS Y RECUSOS HUMANOS Escuela Profesional de Administración de Negocios Internacionales Escuela Profesional de Administración Escuela Profesional de Gestión de Recursos Humanos Escuela Profesional de Marketing

FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES, ECONÓMICAS Y FINANCIERAS Escuela de Profesional Contabilidad y Finanzas Escuela Profesional de Economía

INTRODUCCION

El presente Manual de Ejercicios y Problemas de Matemática II para el estudiante representa uno de los objetivos de mejora continua que la Coordinación Académica y el Área de Matemática vienen realizando en cada semestre académico. Su elaboración está orientada a incrementar la calidad del proceso de enseñanza-aprendizaje de la Asignatura de Matemática II, en la Unidad Académica de Estudios Generales. Este Manual que presentamos, contiene ejercicios y problemas de aplicación después cada una de las sesiones de aprendizaje que se realizarán en el presente semestre académico 2018 - II, por lo que está dividido en cuatro unidades, de acuerdo al silabo correspondiente. Estas unidades son: Matrices, Determinantes y Sistemas de Ecuaciones Lineales, Límite y Continuidad de una Función Real de Variable Real, Derivadas e integrales. Es nuestra intención y propósito, que el presente Manual sea en un instrumento básico de trabajo para el estudiante, por tanto, es indispensable la consulta permanente con la bibliografía recomendada en el silabo. Asimismo, esperamos que contribuya a la formación profesional y académica de cada uno de los estudiantes de Estudios Generales que cursan la Asignatura de Matemática II, así como también el de mejorar los procesos de enseñanza aprendizaje.

Los profesores

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

SEMANA 1

MATRICES

DEFINICIÓN Una matriz es un arreglo rectangular de elementos aij dispuestos en filas y columnas. Estos elementos o entradas son encerrados entre corchetes. A las matrices se les simboliza con las letras mayúsculas A, B, C , etc. Representación General:

 a11 a12 .......   a21 a22 .......  A .  .  a a .......  m1 m 2

a1 n a2 n

a mn

         mxn

Orden de una matriz El orden de una matriz queda determinado por el número de filas y columnas que tenga la matriz. Si, A  [ a ]

ij mn

es una matriz , entonces i = 1 ; 2 ; 3 ; ……… ; m, y

j = 1 ; 2 ; 3 ; …; n.

determinan el orden, que en este caso es m x n (se lee “m” por “n”). Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila (i) y el segundo la columna (j).

Por ejemplo el elemento a12 está en la fila 1 y en la columna 2.

CONSTRUCCIÓN DE MATRICES EJERCICIOS: Elaborar las matrices siguientes:

1)

A [ a ] ij

2 x 2

 i j ; i  j /a  ij 3  2 i ; i  j

2) A  [ a

ij

]

3x3

 2 i 2 j ; i  j  /a  i j ij ; i j   2

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IGUALDAD DE MATRICES Las matrices A  [ a ] ij

mn

y B  [b ] ij

mn

son iguales, si y solo si tienen el mismo orden y

sus entradas correspondientes son iguales.

A  B  aij  bij , para todo i, j EJERCICIOS: Si las matrices A y B son iguales, entonces:

1. Calcule: E 

x yz 6

si:

6 x  2 y A  4z  2

 0, 2 x  2. Calcule: E  xy  xz  yz si: A   4   z 1 

8  x  y 

1 0 8

 6 8 B   2 5

y

 7   y  1  3

y

 25 1  B4 0  x  y 8

7  y 3 y 

TRANSPUESTA DE UNA MATRIZ La transpuesta de una matriz A se obtiene al intercambiar las filas por las columnas y se denota AT . El orden original es m x n y el orden de AT es n x m. Propiedades 

( AT )T  A



( A B )T  AT  BT



( k  A )T  k  AT

MATRICES ESPECIALES Matriz Fila: Es aquella matriz que tiene solo una fila. Matriz Columna: Es aquella matriz que tiene solo una columna. Matriz Cero o Nula: Es aquella matriz cuyos elementos son todos iguales a cero.

02

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Matriz Cuadrada: Es aquella matriz que tiene el mismo número de filas que de columnas y se denota An . En una matriz cuadrada de orden n, las entradas a11 , a22 , a33 , ...... , ann forman la diagonal principal. Matriz Diagonal: Es aquella matriz cuadrada donde todas las entradas que se encuentran fuera de la diagonal principal son ceros. Matriz Escalar: Es una matriz diagonal, donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales. Matriz Identidad: Es una matriz diagonal donde todas las entradas que pertenecen a la diagonal principal son iguales a uno. Matriz Triangular Superior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas debajo de la diagonal principal son ceros. Matriz Triangular Inferior: Es una matriz cuadrada, donde todas las entradas por encima de la diagonal principal son ceros. Matriz Simétrica: Es una matriz cuadrada que cumple: A  AT . Matriz Antisimétrica: Es una matriz cuadrada que cumple:

A  AT . En una matriz

antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son todos igual a cero.

EJERCICIOS: 1.

Si:

 x 5 A   y  5

 8 2. Si: B   2 y 10   0

z 10  es una matriz nula, calcule 0 

x 2 16 4 3 z  21

E  x y z .

z  7 0  es una matriz diagonal, halle los valores de x , y , z  0 

OPERACIONES CON MATRICES

ADICIÓN DE MATRICES Si A  a ij 

y B  bij  son matrices de orden m x n, entonces la suma A  B es la matriz

de orden m x n, que se obtiene sumando las entradas correspondientes de A y B .

03

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MULTIPLICACIÓN DE UNA MATRIZ POR UN ESCALAR Si A es una matriz de orden m x n y k es un número real (escalar), entonces la matriz k  A , tiene el mismo orden m x n y se obtiene al multiplicar cada entrada por k . Propiedades Sean A , B , C y

O matrices del mismo orden, O es la matriz nula y k , k1 , k 2 son

números reales: 1.

A B  B  A

5. ( k1  k 2 ) A  k1 A  k 2 A

2.

A( B C )  ( A B ) C

6. k1 ( k 2 A )  ( k1 k 2 ) A

3.

AO  O A  A

7. 0 A  O

4.

k ( A  B )  kA  kB

8. k O  O

SUSTRACCIÓN DE MATRICES: Dado que  B  ( 1 ) B , se define: A  B  A  (  B )

MULTIPLICACIÓN DE MATRICES Sea A una matriz de orden m x n y B una matriz de orden n x p, entonces el producto AB es la matriz C de orden m x p

cuyas entradas c ij , se obtienen al sumar los productos de las

entradas de la fila “i” de la matriz

A , con sus respectivas entradas de la columna “j” de la

matriz B . Propiedades 1.

A ( BC )  ( AB ) C

3. ( A  B ) C  AC  BC

2.

A ( B  C )  AB  AC

4. ( AB )T  BT AT

EJERCICIOS: 1. Dadas las matrices

5 A 2

7 , 4 

Calcule: a) C ( B  A )

 2

2. Si, A  

 0

1  1 3   , B  5  4 0 

B  2 I2 x 2  A b)

y C  A B.

( C  B )T  ( 2 C )T

y C  3I 2 x 2  B . Calcular: P  B2  A( B  C )  BT

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO

I.

RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F 1. Es una matriz triangular superior si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, aij = 0  i > j. 2. Una matriz es antisimétrica si se cumple: -A = AT 3. Una matriz cuadrada se denota por An 4. Si A·B = O implica que A = O ó B = O 5. La multiplicación de matrices siempre es conmutativa

II.

IDENTIFICA las matrices y coloca el nombre a cada una de ellas.

7 0 0  5 1 5  0 3 5 7 0  c)  0 5 9 a)  3 0 4  b)  3  5  9 7   0  5 4 0  0 5 

7 0 0  2  0 1   0 d) 0 7 0 e)  0  f)  1    1 2  7    0 0 7 

2  7 0 

____________________________________________________________________________ APLICACION - ELABORACION A. ELABORA (Construye) las siguientes matrices. 1)

B [ b ] ij

3x3

i  j 2 ; i  j /b   ij  i j; i j

 2 j  3i ; i  j

3) D  d ij  / d  j i ij 3x3  2 3 ; i  j

5)

M  m ij 

3x2

  / m  ij  

3i  j

2)

B [ b ] ij

4) E [ e ] ij

3x3

max ( i , j ) ; i  j /e  ij min ( i , j ) ; i  j

2 x3

; i j

i2  j2 ; i  j 2i  j ; i  j

; i j  2i /b  ij j2 ; i j

6) N  n ij  2x3

 ji ; i  j  / n   i j ; i  j ij  j ; i j i

B. IGUALDAD DE MATRICES Si las matrices son iguales, entonces:

1. Calcule: E  s  m  p , si

2. Calcule: E 

x  5y , z 1

3. Calcule: E  2 xz 

si

3 p  m C   s p 4

5s  m   10 

y

 27 125 D   64 10 

9 y z M   x y 2

5x z   2 

y

81 25 N   8 2

 i j ,i  j 1 , si: A [ a ] / a ij =  ij 2 x 2 z  2 i ,i j

y

2 x  y B  x y

2   z x 3 

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4. Calcule: E 

x y  i j ,i  j , si: A [ a ] / a ij =  ij 2 x 2 z  2 i ,i j

 0,5S  A 4   p 1 

5. Calcule: E  s  m  p si:

  7  s  1   7 

2 0 3

y

y

2 x  y B  x y

2 

z

x 3 

16 2 7  B 4 0 s  m  s 3 7 m

    

C. MATRICES ESPECIALES

4 x  y  0 6. Si: N   c  4

a b  4

 4 d  2 b 3 c a  b  6  es una matriz escalar, halle: E  2 ( x y ) 5 x  2 y  7 0

10 d 3

 3 0 ,25 x  y x y 7. Si: A   2 x z yz  es una matriz simétrica, halle E    z 8 7    6  5x  8. Si: M  7  4 y z 

yz 0 x 3z

4 2x  y  9. Si: A   5 12  x  2 y 3y z 

0, 25 x2 y  6 y  es una matriz simétrica, calcule: E  z  1  5 



243  es una matriz simétrica, calcule 4 

  0  1 10. Halle los valores de a, b y c, si A   a   2  b

11. Si:

a  b  1  A   2 x y  5 y z 

 16 a  b 1 3x  z

1 0 3 c

 3   1   0  

E  2 x 3 y  z

es antisimétrica.

 125  3 x3  2 y  4 z   1/ 27  es antisimétrica, calcule E  a  b2 0 

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a  b  12. Si: A   5    6

5 c 3a

d  c a bc  9  , es antisimétrica, calcule: E  d 0 

a 13. Sea M la matriz antisimétrica dada por: M   p  3 E  ab  c  p  mn

( mn ) a b 1

m  n m  n  , Calcule:  c 

D. APLICANDO PROPIEDADES

 35 50  2  2  2 1  ; ; C B    1 7   0  4  , halle la matriz X si 0  1

14. Dadas las matrices: A  

se cumple: ( A  B T )T  4 AC  2 X T  B  ( A  C )T 15. Halle la matriz X en: ( AT  3 B )T  3 X T  A  ( AB )T  C . Si

 3 7  33  , B   1 A 3  2  49  7  

16. Si

4 3 

y

C  BT AT  3 I

2x2

3 1  2 1 y BT   , determine la matriz X si se cumple: A  4  2  3  5

2 AT  3 ( AT  B ) T  5 X  4 ( 2 A  B ) T

COMPRENSIÓN - ANALISIS - SINTESIS Comprende, analiza y resuelve los siguientes problemas: 1. Un fabricante de zapatos para niños, damas y caballeros los produce en color negro, blanco y gris. La capacidad de producción (en miles de pares) en la Planta de Vitarte está dada por la siguiente matriz: Niños

50  A  60   20

Damas

Caballeros

80

160

Negro

38

12

Gris

50

  28 

Blanco

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La producción en la Planta de la Victoria está dada por la matriz: Niños

Damas

26  B  60   20

Caballeros

12

66 Negro

30

64

  8 

36

Gris Blanco

a) Halle la representación matricial de la producción total de cada tipo de zapatos en ambas plantas. b) Si la producción en la planta de Vitarte se incrementa en un 50% y de la Victoria en un 25%, hallar la matriz que represente la nueva producción total de cada tipo de calzado. 2. Un fabricante de pantalones para niños, damas y caballeros los produce en color crema, rojo y verde. La producción (en miles de pantalones) en la fábrica de Santa Anita está dada por la siguiente matriz: Niños

70 A   24   28

Damas

Caballeros

80 Crema 18 Rojo  8  Verde

30 4 16

La producción en la fábrica de la Villa el Salvador está dada por la matriz siguiente: Niños

 40 B   10   20

Damas

Caballeros

20 Crema 10  Rojo  80  Verde

30 40 60

a) Determine la representación matricial de la producción total del fabricante. b) Halle la producción total de pantalones color rojo para niños. c) Halle la producción total de pantalones color crema para damas. d) Si la producción en la fábrica de Santa Anita disminuye en un 50% y en la fábrica de Villa el Salvador se incrementa en un 30%, hallar la matriz que represente la nueva producción total.

3. La empresa distribuidora de autos Perú Vagen de San Luis presenta las ventas, del mes de Julio, de los autos WV modelo Bora y Vento mediante la matriz A siguiente: Color Negro Color rojo Tamaño 2 Tamaño 3

 50 S   30

20 60

Color Plata

28   14 

Bora Vento

08

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Mientras que las ventas en la Av. La Marina está representada por la matriz B siguiente: Color Negro Color rojo Tamaño 2 Tamaño 3

 25 M   30

50 20

Color Plata

40   35 

Bora Vento

a) Indique el modelo y color de auto más vendido en cada local. b) Escriba una matriz que represente la venta total de ambos locales e indique el modelo y color de auto que menos se vendió en el mes de Julio. 4. Juan y Manuel son dos hermanos empresarios de la zona industrial de Villa el Salvador,

fabricantes de camas de una plaza, plaza y media y dos plazas en colores blanco, cedro y nogal. La producción mensual de la fábrica administrada por Manuel se representa mediante la matriz M siguiente: Una plaza

 M   

Plaza y media Dos plazas

15 10 12

20 18 16

 Blanco  Cedro   Nogal

27 28 30

Mientras que la producción mensual de la fábrica administrada por Juan está dada por la matriz N siguiente: Una plaza

 N   

Plaza y media Dos plazas

14 11 12

22 15 13

26 30 31

 Blanco  Cedro   Nogal

a) Indicar el modelo y color de cama, que es más fabricada, por cada uno de los hermanos. b) Halle la matriz que representa la producción total mensual. c) Halle la producción total de camas de dos plazas en color cedro. d) Halle la producción total de camas de una plaza en color blanco. 5. Una fábrica ensambladora de automóviles de los modelos M1, M2 y M3, en sus dos plantas A y B ubicados en la ciudad de Tacna. Los ingresos mensuales en dólares en el mes de diciembre son representados por la siguiente matriz: M1

 32000   40000

M2

17000 21000

M3

25000  Planta A  15000  Planta B

09

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Mientras que los costos de producción mensuales en dólares del mes de diciembre son como se muestra en la siguiente matriz: M1

M2

 5000   10000 a) b) c)

12000 3000

M3

15000  Planta A  5000  Planta B

Matricialmente, halle la utilidad en la planta A. Matricialmente, halle la utilidad en la planta B. Halle la matriz utilidad.

6. Un agente de bolsa vendió a un cliente 50 acciones del tipo A, 60 del tipo B, 10 del tipo C y 60 del tipo D. Si las acciones se venden a $ 20; $17, $ 30 y $ 50 por acción respectivamente, determine el valor total de la transacción comercial en forma matricial. 7. Tiendas Tottus, por ocasión del mundial y la participación de Perú en dicho evento, vendió en el mes de junio: 120 TV LED 3D de 20”, 85 de 32”, 115 de 42” y 100 de 47”. Los TV LED 3D de 20” tenían un precio de $ 520, los de 32” un precio de $ 980, los de 42” $ 1 820 y los de 47” a $ 2 899. Calcule en forma matricial el ingreso total que recibió la tienda Tottus. 8. En una tienda de ropa deportiva para hombres, se venden tres modelos de buzos: modelo A, modelo B y modelo C. Si los precios por cada modelo son S/. 300, S/. 420 y S/. 360 respectivamente, calcule en forma matricial, la recaudación total por la venta de 30, 45 y 60 buzos de cada modelo respectivamente. 9. En las elecciones municipales pasadas, un grupo político, contrató los servicios de una empresa de relaciones públicas para promover a su candidato mediante tres formas: por teléfono, repartiendo volantes a las casas y mediante cartas. El costo por cada contacto establecido se obtuvo mediante la matriz: Costo por contacto

S / . 1,20  Teléfono S / . 1,80  Volante   Carta S / . 2,20  El número de contactos que pudo establecerse en dos distritos, está representado por la siguiente matriz: Teléfono volante

carta

930  750

3120  Lince

1260 2300

 2000  Jesús María

010

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a) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Lince. b) Halle la cantidad total que se gastó en el distrito de Jesús María. c) Halle el gasto total realizado. 10. Una empresa fabrica billeteras, carteras y maletines en dos plantas A y B. Las unidades vendidas en el mes de Julio se muestran en la siguiente matriz: Billeteras

 250  130

Carteras

Maletines

120 350

110  Planta A  150  Planta B

Las utilidades obtenidas por cada unidad vendida se muestran en la matriz: Planta A

 $3  $8   $10

Planta B

$4  Billeteras $9   Carteras $12  Maletines

Mediante el producto de matrices, calcule: a) La utilidad obtenida en la planta A b) La utilidad obtenida en la planta B.

011

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SEMANA 2 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ

El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz cuadrada A, que se denota por: A . DETERMINANTE DE UNA MATRIZ DE ORDEN 2

a b  A  c d 

A 

a b  ad  bc , ejemplo: c d

A 

2 3  ( 2 )( 5 )  ( 3)( 4 )  2 4 5

DETERMINANTE PARA UNA MATRIZ DE ORDEN 3 (REGLA DE SARRUS)

a b c  A   d e f   g h i 

a b A  d e g h

c f i

a b d e   aei  bfg  cdh    ceg  afh  bdi  g h  36  20 0

2 1 3 2 1 A  0 4 5 0 4  (0  15  0)  (36  20  0)  41 3 2 0 3 2

 2 1 3  Ejemplo: A   0 4 5    3 2 0 

 15

0

0

Propiedades 1. Si una matriz A tiene una fila o columna cuyos elementos son todos ceros, entonces:

A 0

2. Si una matriz A tiene dos filas o columnas iguales, entonces: 3. Si una matriz A es triangular superior o inferior, entonces entradas de la diagonal principal.

A 0 A es igual al producto de las

4. Si “ k ” es una constante y A una matriz de orden “n”, entonces:

kA  k n A

5. El

de

determinante

de

A B  A  B .

un

producto

es

igual

al

producto

los

6. El determinante de una matriz es igual al determinante de su transpuesta 7. Si A es una matriz invertible:

A 1 

determinantes

A  AT

1 A 012

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MÉTODO O REGLA DE CRAMER PARA RESOLVER UN SISTEMA DE ECUACIONES

Dado el sistema

 a11x  a12 y  b1 ,   a21x  a22 y  b2

Denotamos:

a A   11  a21

luego:

b Ax   1 b2

a12  a22 

x

Ax A

b a Ay   11 1   a21 b2 

a12  a22 

y

Ay A

siempre que

A 0

Este método es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre que A  0 CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS DE ECUACIONES: De acuerdo a sus soluciones, pueden ser: 1. Sistema Compatible. Es aquel sistema que tiene solución y puede ser: a) Determinado. Cuando tiene solución única. b) Indeterminado. Cuando tiene Infinitas soluciones (solución paramétrica).

2. Sistema Incompatible. Es aquel que no tiene solución. Atendiendo a sus términos independientes: a) Homogéneos. Cuando todos los términos independientes son nulos. b) No Homogéneos. No todos sus términos independientes son nulos.

Ejemplo 1 Resolver por el método o regla de Cramer:

2 x  5 y  11  3 x  4 y  6

Solución:

A 

2 5  8  15  7 , 3 4

Ax 

14 11 5  44  30  14 , luego x  6 4 7

Ay 

2 11  12  33  21 , 3 6

luego

y

21 7

 x2 

y 3

013

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Ejemplo 2

 2 x  y  z  3  Resolver el sistema:  3 x  2 y  2 z  20   x  3 y  5 z  29

utilizando el método o regla de Cramer.

Solución:

2 1 1 2 1 A  3 2  2 3 2    20  2  9    2  12  15   9  5  14 1 3 5 1 3

Ax

3 1 1 3 1  20 2  2 20 2   30  58  60    58  18  100   148  176  28 29 3  5 29 3

Ay

2 3 1 2 3  3 20  2 3 20    200  6  87    20  116  45   107  51  56 1 29  5 1 29

Az

2 1 3 2 1  3 2 20 3 2  116  20  27    6  120  87   69  27  42 1 3 29 1 3

luego:

x

Ax A



28 14

2 ;

y

Ay A



56 14

4

; z

Az A



42 14

3

014

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. COMPLETA correctamente, colocando la palabra adecuada sobre la línea:  La regla de Sarrus, sirve para calcular el _____________________ de una matriz de tercer orden.  Sistema Compatible Indeterminado es aquel que __________________________________.  El determinante de una matriz es un número real asociado a una matriz ________________.  El determinante de una matriz es igual al determinante de su ______________

A  AT

 El método o regla de Cramer es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con

“n” incógnitas, siempre que el __________________________________________________. B. IDENTIFICA sin resolver, colocando un check a la matriz tiene determinante cero.

4 2 1 3 0 0 (

5 6 0

7 5 2

)

0 0 0 (

2 1 3 4 4 1 2 1 3

3 4 5 )

(

)

6 1 2 0 3 5 0 0 3 (

)

5 1 1

1 5 4 1 6 1 (

)

APLICACIÓN

1. Calcule los siguientes determinantes:

2 1 5 a) 3 4 1 0 6 1

4 2 3 4 5 b) 1 3 1 7

5 0 2 c) 3 2 4 0 1 6

3 2 1 d) 0 5 2 2 3 7

4 2 5 6 e) 1 3 3 1 2

7 1 5 3 2 6

2 1 3 g) 4 4 1 2 6 5

6 1 2 h) 2 3 5 2 8 3

f)

3 4 5

2. Utilizando el método o regla de Cramer resuelva los siguientes sistemas:

 3x  y  8

a) 

 x2y 5

 2 x  5 y  25

d) 

 4x 7 y 1

 3 x  2 y  4

b) 

 5 x  3 y  25

 7 x  8 y  26

e) 

 6 x  11 y  43

 11 x  3 y  7

c) 

 2 x  5 y  21

 9x 5y  7

f) 

 7 x  4 y  37

015

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Calcular el valor de x en:

 2 x  y  3 z  1  g)  x  3 y  2 z  12   3 x  2 y  z  5 Calcular el valor de y en:

 5 x  6 y  7 z  31  i)  3 x  5 y  3 z  4   4x 3y 2z  5 Calcular el valor de x en:

 0,2 x  0,3 y  0,4 z  2,7  k)   0,3 x  0,1 y  0,5 z  3,1   0,7 x  0,2 y  0,4 z  4

Calcular el valor de z en: h)

 4 x  3 y  2 z  14   3 x  5 y  2 z  23   2 x  y  5 z  6

Calcular el valor de x en:

 6 x  5 y  4 z  28  j)  5 x  3 y  3 z  17   2 x  2 y  5 z  13 Calcular el valor de z en:  7x  7 y  7z  0  l)  13x  13 y  2 13z  3 13    5x  3 5 y  2 5z  3 5 

ANALISIS - SINTESIS Lee los siguientes enunciados, comprende y resuelve. 1. La empresa “Textiles del Perú” produce pantalones y faldas, con un costo de producción unitario de S/. 90 y S/. 60 respectivamente y con un costo fijo mensual de S/. 6 000. Sabiendo que el costo total mensual es de S/. 16 800 y que cada pantalón se vende a S/. 200 y cada falda a S/.180, que generan un ingreso total mensual de s/. 26 800. Determine la cantidad de pantalones y faldas producidas en un mes. 2. La empresa H&B fabrica y envasa mermelada de fresa y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende la ganancia es de S/. 6 y por cada unidad de puré que vende la ganancia es de S/. 9. Se vendieron 500 unidades entre mermelada y puré siendo la ganancia total de S/. 3 900. ¿Cuántas unidades de cada producto se vendieron? 3. Una empresa que fabrica artículos de cuero, tiene un costo fijo mensual de S/.10 000. Si produce carteras y correas, con un costo de producción unitario (mano de obra y material) de S/. 40 y S/. 30 respectivamente y con un costo total mensual fue de S/. 20 000 y, además se fabrican 300 artículos (entre carteras y correas). Calcule la cantidad de carteras y correas producidas en el mes. 4. Una fábrica de automóviles produce dos modelos, A y B. El modelo A requiere 1 hora de mano de obra para pintarlo y 1/2 hora de mano de obra para pulirlo, el modelo B requiere de 1 hora de mano de obra para cada uno de los dos procesos. Durante cada hora que la línea de ensamblado está funcionando, existen 100 horas de mano de obra disponibles para pintura y 80 horas de mano de obra para pulirlo. ¿Cuántos automóviles de cada modelo pueden terminarse cada hora si se utilizan todas las horas de mano de obra?

016

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5. Una fundidora produce dos esculturas diferentes de bronce. El departamento de fundición dispone de un máximo de 136 horas de trabajo por semana y el departamento de acabado tiene un máximo de 124 horas de trabajo por semana. La escultura A necesita 12 horas para fundición y 8 horas para acabado; y la escultura B necesita 8 horas para fundición y 12 horas para acabado. Si la planta debe funcionar a su máxima capacidad, ¿cuántas esculturas de cada tipo debe producir cada semana? 6. Una empresa tiene dos plantas para la fabricación de mochilas. Una está ubicada en La Victoria y la otra en Los Olivos. En la planta de la Victoria, los costos fijos mensuales ascienden a $ 5 900 y el costo unitario de producción a $ 25. En la planta de los Olivos, los costos fijos son de $ 9 000 y el costo unitario de producción es de $ 30. Si se desea fabricar 1400 mochilas mensuales, halle la producción de cada planta, sabiendo que los costos totales mensuales en cada planta deben ser iguales. JUICIO DE VALOR Recomienda o en su defecto Defiende o Critica: 7. Escritorios Nacionales tiene plantas para la producción de escritorios en la Costa del Atlántico y en la Costa del Pacífico. En la planta de la costa del Atlántico, los costos fijos son de $16 000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $90. En la planta del Pacífico, los costos fijos son de $20 000 por año y el costo de producción de cada escritorio es de $80. El año siguiente la compañía quiere producir en total de 800 escritorios. Recomienda la producción de la planta del Pacífico para el año próximo si el costo total de cada una debe ser el mismo. 8. Una diseñadora de modas que confecciona trajes de noche, tarda 3 horas en cortar y 2 horas en coser un vestido de fiesta. Para confeccionar un terno tarda 3 horas en cortar y 3 horas en coser. En una semana de trabajo la diseñadora dispone de 30 horas para el corte y 25 horas para el cosido. La diseñadora calcula que el número de trajes de noche de cada tipo que puede producir en una semana, teniendo en cuenta que trabaja aprovechando toda su capacidad es el mismo para ambos. Defienda o critique lo calculado por la diseñadora justificando su respuesta. 9. Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $700, el costo de producción unitario es de $40 y $30 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3 000 y se fabrican 70 pares entre zapatos y zapatillas. Recomienda la cantidad zapatos y zapatillas producidas en un mes.

017

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SEMANA 3 MATRIZ REDUCIDA - MATRIZ INVERSA SISTEMA DE ECUACIONES

MATRIZ REDUCIDA Una matriz se dice que es matriz reducida, si satisface lo siguiente: 

Si una fila no consiste solamente de ceros, entonces la primera entrada diferente de cero en la fila, llamada entrada principal, es 1; mientras que todas las demás entradas de su columna, son ceros.



En cada fila, la primera entrada diferente de cero está a la derecha de la primera entrada diferente de cero de cada fila arriba de él.



Todas las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte inferior de la matriz.

REDUCCIÓN DE MATRICES Para transformar una matriz a su forma reducida, se ejecutan Operaciones elementales sobre filas de la matriz, estas son: 1° Fx  Fy : Intercambio de filas. Se cambian la fila Fx por la fila Fy . 2° k Fx :

Multiplicación de un escalar por una fila. El número real “ k ” diferente de cero, multiplica a la fila Fx .

3° k Fx  Fy : Suma de “ k ” veces una fila a otra fila. K veces la fila Fx se suma a la fila (La fila Fx no se altera). OBSERVACIÓN:

Fy .

Cuando una matriz pueda obtenerse a partir de otra por una o más operaciones elementales sobre filas, decimos que las matrices son equivalentes.

EJERCICIOS 1. Determinar si cada matriz que se muestra a continuación es reducida o no (justifique su respuesta):

1 0  a.   0 2

1 0  b.   0 0

1 0 0  c.   0 0 1 

0 1 0 0    d.  0 0 0 1  0 0 0 0   

0 1 0 2   e.  0 0 1 5  0 0 0 0   

018

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Ejemplo:

2 4 4    A  5 9 7  8 9 10   

Reducir la matriz

Solución:

2 4 4  5 9 7    8 9 10

(1 / 2) F1

( 8) F1  F3

2 1 2 0  1  3    0  7  6

( 2) F2  F1

0 1  0 1 0  7 

1 0  4 (1 / 15) F3 0 1 3  0 0 1 

1 2 2  5 9 7    8 9 10

( 5) F1  F2

2 1 2 0 1 3   0  7  6

( 1) F2

 4  3  6 

(7) F2  F3

(4) F3  F1

2 1 2 0  1  3   8 9 10 

1 0  4 0 1 3    0 0 15 

1 0 0 0 1 3   0 0 1

2 4 4    Por lo tanto, la matriz reducida de A   5 9 7     8 9 10 

( 3) F3  F2

es

1 0  B  0 1  0 0

1 0 0 0 1 0    0 0 1 0  0 .  1

2. Haciendo uso de las operaciones elementales, reducir las siguientes matrices:

4 a)   0 

0  1 5

4  b)  2 1 

8 4 2

6  3 3 

4 0  c)  1 4  3 3

2  2 2 3 12

6

019

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MATRIZ INVERSA Definición. Una matriz cuadrada A se dice que es invertible (o no singular), si existe una matriz denotada por A

1

1

tal que: A  A

 A1  A  I .

A la matriz A

1

se le llama matriz

inversa de A .

CALCULO DE LA MATRIZ INVERSA POR EL MÉTODO DE GAUSS - JORDAN Sea A , una matriz cuadrada de orden “n”. Para calcular la matriz inversa de A , denotada por 1

A , se sigue los siguientes pasos: 1º. Se construye una matriz de la forma:  A

I  donde I es la matriz identidad. A esta matriz

se le llama matriz aumentada. 2º

Utilizando las operaciones elementales sobre filas (método de Gauss - Jordan), se transforma (si es posible) la matriz A , en la matriz identidad:  I

A 1  . La matriz que

resulta en el lado derecho, será la matriz inversa de A . Ejemplo 1.

3 7   1 2 

Calcular la matriz inversa de A   Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

3 7  1 2

1 0  0 1

A Aplicando operaciones elementales sobre fila:

3F1 + F2

1   0

2 0 1  1 1 3

I F1  F2

2F2 + F1

 2 7  A1     1 3

0 1  1 0

0 2 7   1 1 3

1   0

I Por lo tanto:

1 2  3 7

A 1

es la matriz inversa de A .

020

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Ejemplo 2.

Calcular la matriz inversa de

1 A   2  3

1 3 1 4  2  2 

Solución:

Formando la matriz aumentada de A :

1 1 3 1 0 0  2 1 4 0 1 0     3 2  2 0 0 1

A

I

2F1 + F2

Aplicando operaciones elementales sobre fila:

3F1 + F3 F2 + F1 5F2 + F3

F3 + F1 2F3 + F2

1

1 0   0

0

1 0   0

0

0

6

4

1

0

 16

11

0

1

7

5

0 1  2  2 1 0  0  1 7  5  1 1

 F3

1 0   0

0

0  2  2 1 0   11  3 0 1  3

1

1 1

1 2 2 0

1

7

0

0 1 0  5 1 

1

1  2   1

A 1

I

Por tanto: A 1

1

1  1 0 1   0 5

 6   16  7

4 11 5

1  2   1 

es la matriz inversa de A .

Propiedades a)

A 1  A  I

b) ( A  B ) 1  B 1  A 1

c) ( A 1 ) 1  A

d) ( I ) 1  I

e) ( AT ) 1  ( A 1 ) T

f)

( k  A ) 1  k 1  A 1 ; k  0 , k 

021

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SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES Resolución por el Método de la Matriz Inversa

El sistema

 a11 x  a12 y  b1   a 21 x  a 22 y  b2

, se puede expresar como:

a11 a12   x  b1        a a  21 22   y  b 2  A

Simbólicamente

X

= B

AX  B , donde:

A es la matriz de los coeficientes. X es la matriz columna de variables. B es la matriz columna de las constantes Multiplicando a ambos miembros por A 1 (por la izquierda), se tiene: A 1 AX  A 1 B de donde:

X  A 1 B

IX  A 1 B , por lo tanto:

Este procedimiento es válido para cualquier sistema de “n” ecuaciones lineales con “n” incógnitas, siempre y cuando exista

A 1 .

Ejemplo:

 x  5 y  23

Resolver el sistema 

 2 x  11 y  49

Solución:

1 5    2 11

Formando la matriz de coeficientes: A  

1 5 1 0  Hallando su matriz inversa:    2 11 0 1 

5F2 + F1

1  0

Como: X  A 1 B

0 11 5  1 2 1 

2F1 + F2

entonces:

1  0

5 1 0  1 2 1 

 11 5 A1     2 1 

 x   11 5   23   8          y   2 1   49   3  Por lo tanto:

x 8 ;

y 3

022

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F. 1. En una matriz reducida las filas que consistan únicamente de ceros están en la parte superior de la matriz. 2. Se pueden intercambiar dos columnas para reducir una matriz. 3. Todas las matrices cuadradas tienen inversas. 4. Con la matriz inversa se cumple la propiedad de conmutatividad en la multiplicación de matrices. 5. Una matriz cuadrada puede tener varias matrices inversas. B. COMPLETA correctamente, colocando la/s palabra/s adecuada/s sobre la línea:  La matriz

A

B  donde B es la matriz de los términos independientes, se le llama matriz

aumentada para el método de la __________________________________ . I  donde I es la matriz identidad se le llama matriz aumentada para el

 La matriz  A

método de la _____________________________ .  Si A y B son matrices cuadradas en las que se cumple que A.B= I y B.A = I entonces por definición B es la matriz _________________ de A.  Si una matriz cuadrada A no tiene inversa, entonces se dice que es una matriz ___________ _________________________ . C. IDENTIFICA sin resolver, colocando un check a la matriz reducida.

1 0 0 4    b. 0 1 1 0 

a.

(

)

1 0 0    0 1 6 (

)

c.

 1 0 0 3   0 1 0 1 (

1 0 0  0 1 4 

d. 

)

(

e.

)

1 3 0 3  0 3  (

)

APLICACIÓN

1. Haciendo uso de las operaciones elementales, reduce las siguientes matrices:

a)

0 0 8     0 6 10 

c)

2 / 3  3 / 2  2 

1 1 8

4 / 3  1  12 

b)

0  1 3 

0 6  1 0 0 1 

d)

3 4  2 3 10  2 

1  4 6 

023

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2. Dada las siguientes matrices:

 2 5 A ,  1 3

 3 5 B ,  1 2 

 1 1  D   1 0

 3 6 C ,  1 1 

a) Calcula AB y BA . ¿Se puede decir que las matrices A y B son inversas? b) Calcula CD y DC . ¿Se puede decir que las matrices C y D son inversas?

3. Halla la inversa de las siguientes matrices:

3 1  A , 5 2 

 2 3 B , 3 5

 1 C   2  0

1 0 1

1 1  1 

7 D   0  6

1 3 0 1 12 18

APLICACIÓN - ELABORACION

1. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la matriz inversa.

5 x  2 y  46

a) 

 2 x  y  19

8 x  5 y  66

b) 

3 x  2 y  25

6 x  5 y  50

c) 

3 x  2 y  23

2. Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones lineales, por el método de la inversa.

 x  y  3 z  10  a)  2 x  y  4 z  20  3 x  2 y  2 z  28

3 x  2 y  2 z  15  b)  2 x  y  z  10   x  y  2 z  16

4 x  5 y  z  6  c) 3 x  2 y  z  9  2 x  3 y  2 z  4

024

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SEMNA 4 RESOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

Problema de aplicación resuelto por el Método de G. POLYA 1. Miriam gerente de una fábrica que elabora dos productos M y N. Sabe que por cada unidad que vende de M la ganancia es de $8 y por cada unidad que vende de N la ganancia es de $11. De su experiencia ha encontrado que puede vender 25% más de M que de N. Para el año siguiente Miriam desea obtener una ganancia total de $42 000. La Gerente ha calculado que debe vender 2 000 unidades del producto N. Ayúdala tú calculando ¿Cuántas unidades de cada producto debe vender? Utiliza el método de la matriz inversa e indica si es correcto lo que calculó Miriam. RESOLUCION PASO 1 : ENTIENDO EL EJERCICIO a)

Identifica la/las incógnitas ¿Cuál es la/las incógnitas del problema? La cantidad de productos M y N elaborados y vendidos.

b) Identifica los datos ¿Cuáles son los datos del ejercicio?  Por cada unidad M la ganancia es $ 8  Por cada unidad N la ganancia es $ 11  Se desea obtener una ganancia de $ 42 000 el próximo año  c)

Se debe vender 25% más del producto M que de N.

Identifica las condiciones (verbos) ¿Cuál es la condición o condiciones del ejercicio? Cuántas unidades de cada producto M y N se debe fabricar y vender.

PASO 2: CONCIBO UN PLAN a)

Redacta cómo vas a resolver el ejercicio o Puedes redactar el problema con tus propias palabras  Primero debo formar las ecuaciones lineales  Formo el sistema de ecuaciones matriciales.

025

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 Construyo la matriz aumentada.  Resuelvo el sistema de ecuaciones por el método solicitado.  Obtengo los valores de M y N  Verifico las soluciones  Redacto mi respuesta.  Emito mi juicio crítico. b)

¿Qué operación matemática debes hacer?  Formo las ecuaciones:

8 M  11 N  42 000



M 1 NN 4

 8 M  11 M  42000  4 M  5 N  0

 Aplico el algoritmo de la matriz inversa. PASO 3: EJECUTO EL PLAN OPERACIONES

 Formo el sistema de ecuaciones matriciales:  Construyo la matriz aumentada:

8  4

11 1 0   5 0 1 

8 11 1 0   Hallando la matriz inversa:    4 5 0 1 

4F1 + F2

entonces:

1   0

1  8 8 0  21 2  1 2 1  11

1 5 A1   84  4

Como: X  A 1 B

8 11 M  42000 4 5   N    0      

11/8 F1

-2/21 F1

1   0

1 11 8   4 5 

0 1

 8 0 0 1 

1

11  84 84  1 2  21  21

5

11  -8  M   N

Por lo tanto:

 1  5 11   42000   2 500        84  4 8   0   2000 

M  2 500 ;

N  2000

026

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PASO 4: EXAMINO LA SOLUCION  Verifico las soluciones obtenidas.

8 M + 11 N = 42000 8(2500) + 11(2000) = 42000 42000 = 42000

M M M

= 14 N + N = 14 (2000) + 2000 = 2500

RESPUESTA Se deben vender 2500 unidades del producto M y 2000 unidades del producto N JUICIO DE VALOR Estoy de acuerdo con la Gerente Miriam porque su cálculo es correcto, se debe vender 2 000 unidades del producto N.

PROBLEMAS DE APLICACIÓN ANALISIS – SINTESIS Lee los siguientes problemas, comprende y resuelve, utilizando el método de Cramer o el método de la inversa de matrices. 1.

Un empresario compró acciones mineras y comerciales de los tipos A y B respectivamente. Cada acción del tipo A la adquirió a S/.10 y cada acción del tipo B la adquirió a S/.15. Si se sabe que compró 900 acciones entre las del tipo A y las del tipo B y que invirtió S/.11 000 en la compra. ¿Cuántas acciones del tipo A y del tipo B adquirió el empresario?

2.

En una empresa textil se fabrican chompas y camisas cuyos precios de venta unitaria se fijan en $ 25 y $ 20 respectivamente. Los costos totales ascienden a $ 12 000 y se desea fabricar 700 prendas en total. Halle la cantidad de chompas y camisas que se debe fabricar para obtener una utilidad de $ 4 000.

3.

Una fábrica de automóviles produce dos modelos A y B. Suponga que cada modelo A requiere 10 partes del tipo I y 14 partes del tipo II, mientras que cada modelo B requiere 8 partes del tipo I y 6 partes del tipo II. Si La fábrica puede obtener 850 partes del tipo I y 930 partes del tipo II, ¿cuántos automóviles de cada modelo se producen, si se utilizan todas las partes disponibles?

4.

Una fábrica de zapatos y zapatillas tiene un costo fijo mensual de $1 000. El costo de producción por par (mano de obra y material) es de $40 y $20 respectivamente. Si el costo total mensual es de $3 000 y se fabricaron 70 pares entre zapatos y zapatillas, calcule la cantidad de pares de zapatos y zapatillas producidas en un mes.

027

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5.

La empresa “Dulces SAC” fabrica, envasa y vende mermelada y puré de manzana. Por cada unidad de mermelada que vende, la ganancia es de $6 y por cada unidad que vende de puré la ganancia es de $ 9. La empresa determinó que por cada 3 frascos de mermelada vende 2 frascos de puré. Así que para el próximo año la empresa desea obtener una utilidad de $72 000. ¿Cuántas unidades de puré deberá vender?

6.

Una tienda comercial ofrece dos modelos diferentes de memorias USB B1 y B2. El precio de venta del modelo B1 es de $30 y del modelo B2 es de $40. Si en el mes de enero la tienda vendió 400 memorias USB entre los dos modelos y su ingreso total fue de $15 000, determine el número USB de cada tipo que se vendieron durante el mes de enero.

7.

Una compañía tiene ingresos gravables por $ 312 000. El impuesto a la Sunat es el 25% de la parte que queda después que el impuesto al Municipio ha sido pagado. El impuesto al Municipio es el 10% de la parte que queda después que el impuesto a la Sunat ha sido pagado. Encuentre el monto pagado a la Sunat y al Municipio.

JUICIO DE VALOR Defienda o Critique la afirmación hecha: 8.

Un sastre por campaña escolar compra tela para pantalones y camisas, el metro de tela para pantalón cuesta S/ 10, y el metro de tela para camisa cuesta S/.5, El sastre compró 400 metros de tela de ambos tipos; esto le generó un gasto de S/2500. El sastre afirma que compró 100 metros de tela para pantalón y 300 metros de tela para camisa. Defienda o Critique lo afirmado por el sastre.

9.

Un veterinario compra comida para pollos y cerdos, la bolsa de 4kg de comida para pollos le cuesta S/ 10, y el de comida para cerdos la bolsa de 4kg le cuesta S/.15, El veterinario compró 900 bolsas en total entre comida para pollos y cerdos; que le generó un gasto total de S/ 11 000. El veterinario afirma que tiene que comprar 300 bolsas de comida para pollos y 600 bolsas de comida para cerdos. Defienda o Critique lo afirmado por el veterinario.

10. Una fábrica de muebles, que produce mesas y roperos, tiene un costo fijo mensual de $500. El costo de producción unitario (mano de obra y material) es de $300 y $400 respectivamente. Si el costo total es de $10 500 y se fabricaron en un mes 30 muebles entre mesas y roperos, calcule la cantidad de mesas y roperos producidos en un mes. El fabricante afirma que se debe fabricar igual cantidad de mesas y roperos. Defienda o Critique esta afirmación calculando la producción de cada artículo.

028

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CASO: MATRICES – DETERMINANTES – MATRIZ INVERSA El promedio del número de pasajeros que viaja en una unidad del metropolitano de Lima durante el día es 1 000 personas. La tarifa preferencial para escolares y universitarios es de S/1,25 y la tarifa general es $2,50. El total de ingresos recibidos por los pasajes del día (en promedio) es de $2 250.¿Cuántos pasajeros viajaron haciendo uso de la tarifa preferencial y cuantos de la tarifa general? Fuente:https://diariocorreo.pe/ciudad/el-metropolitano-planea-atender-a-100-mil-pasajeros-mas-en-este-ano-662690/

Si consideramos: x= Pasajeros que pagaron con tarifa preferencial. y =Pasajeros que pagaron con tarifa general.

METROPOLITANO

CONOCIMIENTO 1.

2.

3. 4. 5.

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. x + y = 1 000 es la ecuación que representa al total de pasajeros B. x + y = 1 250 es la ecuación que representa al total de pasajeros C. Ninguna es correcta. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A. 1.25 x + 2.50 y = 1 000 es la ecuación que representa los ingresos B. 1.25 x + 2.50 y = 2 250 es la ecuación que representa los ingresos C. Ninguna es correcta. ¿Cuánto paga de pasaje un adulto común? ¿Cuánto paga de pasaje un estudiante de USMP? ¿En cuánto excede la tarifa general a la tarifa preferencial?

COMPRENSION 6. 7.

Que representa la ecuación: x + y = 1 000? Que representa la ecuación: 1.25x + 2.50y = 2 250?

APLICACIÓN 8.

Escriba el sistema de ecuaciones lineales (simplifíquelas) y luego represéntelo en forma matricial usando la multiplicación de matrices. a) ¿Cuál es el orden de la matriz de las variables? b) La matriz de los coeficientes es una matriz escalar. Justifica tu respuesta.

ANALISIS 9.

Utilizando los datos proporcionados en el caso y el Método de la matriz inversa resuelve e indica: a) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa preferencial? b) ¿Cuántos pasajeros viajan usando la tarifa general? 10. Verifica tu respuesta haciendo uso del método de Cramer.

JUICIO DE VALOR El gerente de Relaciones del metropolitano afirma que el número de pasajeros que usaron la tarifa preferencial es 250 y el número de pasajeros que usaron la tarifa general es 750. Defienda o critique usted esta afirmación. Emita su opinión sobre lo que afirma el gerente.

029

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SEMANA 5

LÍMITES

NOCIÓN INTUITIVA DE LÍMITE Es importante conocer el comportamiento de una función f ( x) , cuando los valores de la variable independiente “ x ”, se aproximan a un número determinado que llamaremos x0 . Haremos esto tabulando los valores de la función para valores de x cada vez más cercanos al número x0 . Ejemplo Si f  x  

x3 1 x 1

Observamos que el punto x0  1 no pertenece al dominio de la función. En la tabla adjunta escribimos algunos valores para la variable independiente x , en el entorno de 1, y calculamos los valores correspondientes de la función f ( x) :

x 1

x 1

x

0,95

0,99

0,995

0,999

1,001

1,005

1,01

f x 

2,8525

2,970

2,9850

2,9970

3,0030

3,0150

3,0301

1,05 3,1525

De la tabla podemos observar que, mientras el valor de “x” se aproxima al número 1, el valor de

f ( x) se aproxima al número 3. Deducimos, intuitivamente, que el límite de la función f ( x) cuando x “tiende” a 1; es 3. Esto se simboliza:

3 lim x  1  3

x 1

x 1

DEFINICIÓN INTUITIVA DE LÍMITE El límite de una función f ( x) , cuando la variable x se aproxima a un valor dado x0 , es el número real “L” , (siempre que exista), al cual se aproxima la función, esto se simboliza:

lim f ( x )  L ,

x x0

se lee: “El límite de f ( x) cuando x tiende a x0 es L ”

030

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ALGUNOS LÍMITES BÁSICOS Sean k , x0 números reales y n un número entero positivo. Entonces: 1.

lim k  k

lim x  x 0

2.

x x

3.

x x

0

0

lim x n  x 0n

x x

0

PROPIEDADES DE LOS LÍMITES Sean k , x0 números reales y n un número entero positivo y f, g funciones cuyos límites existen:

lim f ( x )  L

y

x x

lim g ( x )  M

x x

0

0

Entonces: 1.

lim k f ( x )  k lim f ( x )  k L

x x

x x

0

2.

0

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )  L  M

x x

x x

0

3.

0

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )  L  M

x x

x x

0

4.

x x

0

xx

0

0

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x )  lim g ( x )  L  M

x x

x x

0

x x

0

0

lim f ( x )

5.

lim

x x

0

f ( x) g ( x)



x x

0

lim g ( x )

x x



L M

, siempre que M  0 .

0

n

6.

  lim  f ( x )    lim f ( x )   Ln x x  x x0  0

7.

lim n f  x  

n

x x0

n

lim f  x  

x  x0

n

L

031

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FORMA INDETERMINADA:

 00 

f ( x) reemplazamos la variable por un valor dado “x0” y nos da la forma indeterminada 0/0 , es posible calcular el lim f ( x ) ; previamente se debe factorizar o Cuando en una función

x  x0

racionalizar f ( x) con la finalidad de “eliminar o levantar la indeterminación. Ejemplo 1

2 lim  x2  x  2 

Calcular

x 1

 x  2x  3 

 xx 2xx23   00 F.I . ( x  1)( x  2) lim  x  x  2   lim ( x  1)( x  3) x  2x  3 2

lim

Solución:

2

x 1

2

2

x 1

x 1

 lim x 1

( x  2) ( x  3)

3 4  3 4

 Por tanto:

Ejemplo 2

x

2 lim x2  x  2

x1

Calcular

 2x  3

lim x 7

Solución:



x  2 3 x7

lim

x  2 3  0 x7 0

lim

x  2  3  lim x 7 x7

x 7

x 7

F. I. x  2 3 x7

  lim x 7

 lim x 7

( x  7)(

( x  7)(

x 7

Por tanto: lim x 7



2

 32

x  2  3)

( x  7)

 lim



x2

x2 3 x2 3

(

x  2  3)

1 x  2  3)

1 6

x  2 3  1 x7 6

032

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EJERCICIOS: Calcular los siguientes límites 1.

lim (7 )

lim x 4

2.

x2

x3

4.

2 lim 3 x  3

x 3

Forma indeterminada

7.

10.

13.

4 lim x  1

x 1

x 1

lim

x 2

x22 x2

2 lim x2  5 x  6

x 2

x  3 x  10

lim

5.

2x 1

3.

x 2

6x 3 x

6.

lim  2  3 x  x 2 

x 2

2 lim x 2  3 x  2

x 2

x  4x  3

 00  x4 x  x  12

8.

lim

11.

lim

14.

x4

x3

x 3

12.

x2  7  4

lim x  2  x x 1

9.

2

lim x2  2

x 2

lim 1 

x 0

2

15.

x 1

x 4

lim

x 3

1 x2 x

x3 x  2x  3 2

LÍMITES LATERALES Consideremos una función por tramos: 2 ; si x  2  x f ( x)  x  34 ; si x  2 

y 6

4 2

x

Podemos observar que cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la izquierda ( x  2) , la función se aproxima al número 4; esto se simboliza:

lim f ( x )  4

x2 

Asimismo, cuando “ x ” se aproxima al número 2 por la derecha ( x  2) , la función se aproxima al número 6, esto se simboliza:

lim f ( x )  6

x2 

033

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DEFINICIÓN. Una función f ( x) tiene límite en “ a ” si los límites laterales en “ a ” son iguales; esto es:

lim f ( x)  lim f ( x)  L

lim f ( x)  L 

x a 

x a

x a 

Verifique si existen los siguientes límites: 2   2 x 1 ; 1. f ( x )     4 x 1 ;

si x 1

a)

si x 1

 x2  4 ; si x  2  2. f ( x)   x  2  5 x  2 ; si x  2 

a)

3. Halle el valor de m y n si existen

lim f (x)

b)

lim f (x)

b)

x1

x2 

x1

lim f (x)

c)

lim f ( x) x 1

lim f (x)

c)

lim f (x)

x2 

lim f ( x ) y lim f ( x )

x2

x1

x2

;

 2 x  3 m ; si x  2  f ( x )   5 mx  n ; si  2  x  1  ; si x  1  32 x 4. Dada la gráfica de la función f ( x) , calcule si existen los siguientes límites;

y

4 a)

3

1 d)

3 2

1

2

lim f ( x )

b)

lim f ( x )

e)

lim f ( x )

h)

x 1 3

x 1 2 

lim f ( x )

c)

lim f ( x )

f)

x 1 3

x 1 2 

lim f ( x )

x 1 3

lim f ( x )

x 1 2

x g)

x 12 

lim f ( x )

x 12 

i)

lim f ( x ) x 12

034

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN I. CONOCIMIENTO A. COMPLETA correctamente, colocando la respuesta adecuada sobre la línea:  Para que exista el límite de una función cuando la variable se aproxima a un valor

determinado, ______ necesario que la función esté definida en ese valor o punto.  

lim f ( x )  L ,

x x0

lim f ( x)  L

x a

se lee: “El límite de f ( x) cuando x ____________ a x0 es L ”

 xlim a

f ( x) 

 ______

lim f ( x) x a 



 Si el límite de una función existe, este se puede determinar, estimar o calcular usando una

tabla (y calculadora), aplicando ____________________ o observando una ___________ . B. RESPONDE acertadamente si la proposición es verdadera o falsa colocando V o F.

lim x  x 0

Si x0 es un número real. Entonces:

x x

0

lim  f ( x )  g ( x )   lim f ( x ) - lim g ( x )  L  M

x x

x x

0

lim

x x

0

n

x x0

f  x 

n

0

lim f  x  

n

x  x0

L

II. APLICACION A. Aplicando las propiedades correspondientes calcule los siguientes límites: 1.

2 lim x  3 x  10  x 2 

11  x

2 lim x 2 5 x  24

2.



x 3

3.

x  12

lim

x 1

8 x 3 x

B. Forma Indeterminada (0/0) 1.

4.

7.

2 lim2 3 x2  x  2

x 

3

lim

x 0

lim x 0

3x  4 x  4

x9 3 x  16  4 x2  9  3 x4  x2

2.

2 lim x  4 x  4

x 2

lim

5.

8.

x a

lim x 4

x  2

b2  x  b2  a xa

x2 x 1 

2 3

3.

6.

9.

2 lim x 2  9 x  20

x 4

x  3x  4

2 lim x  3 x x 0

lim x 4

3x  1 1

2x 1  3 x2 2

C. En los siguientes ejercicios, calcule la constante c de modo que el límite exista. Para ese valor de c determinar el límite. a)

2 lim 2 x 2 x  c

x1

x 1

b)

2 lim 3 x 2 7 x  c x 2

x 4

c)

2 lim x 2  5 x  c x 2

x  x6

035

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d)

2 lim x2  x  c

x 4

2 lim x2  4 x  c

e)

x  2x  8

x 3

2 lim x2  5 x  c

f)

x  2 x  15

x 2

x  4 x  12

III. ANALISIS Y SINTESIS A. Analiza la función por tramos y determina si los limites existen:

 x 2  x ; si x  1  x2 1 1. f ( x )    x  3 ; si x  1  8

a)

 x3  8 ; si x  2  x 2  4 2. f ( x )    3 x  3  3 ; si x  2  x2

a)

lim f ( x )

x 1

lim f ( x )

x 2 

b)

b)

lim f ( x )

c)

lim f ( x )

lim f ( x )

c)

lim f ( x )

x 1

x 2 

x 1

x 2

B. Analiza la siguiente grafica y determina si los limites existen:

y 5

1.

3 1 2

-2

I. a) II. a) III. a) 2.

lim f ( x ) 

b)

lim f ( x ) 

b)

lim f ( x ) 

b)

x  2 

x 5 

x 7 

6

5

7

x

lim f ( x ) 

lim f ( x ) 

c)

lim f ( x ) 

c)

lim f ( x ) 

lim f ( x ) 

c)

lim f ( x ) 

x  2 

x 5 

x 7 

x  2

x 5

x 7

Dada la gráfica de la función f ( x) , calcule si existen los siguientes límites:

y

9

a)

8 d)

4 2

1 3

2

x g)

lim f ( x )

b)

lim f ( x )

e)

x 11

x 1 2 

lim f ( x )

x 12 

h)

lim f ( x )

c)

lim f ( x )

f)

lim f ( x )

i)

x 11

x 1 2 

x 12 

lim f ( x ) x 11

lim f ( x )

x 1 2

lim f ( x ) x 12

036

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 Bx 3  3 x 2 1 ; si x 1  3. Dado: f ( x )   x 2 1 , calcule el valor de, B si existe ; si x 1   3 x 1  2 4. Halle el valor de a y b si existen

lim f ( x ) x1

y

lim f ( x ) x3

lim f ( x ) . x1

;

 2 x 1 ; si x 1  f ( x )   ax b ; si 1 x  3   5 x ; si x  3

5. Halle el valor de m y n si existen

lim f ( x ) y lim f ( x )

x2

x1

;

 2 x  3 m ; si x  2  f ( x )   5 mx  n ; si  2  x  1  ; si x  1  32 x

IV.

JUICIO DE VALOR

6. Se sabe que

lim f ( x ) x2

y

lim f ( x ) x1

existen, Pedro afirma que el valor de a es 5 y b

es -6. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Pedro. Justificando su respuesta.

 ax 2  2 x ; si x  1  2 f ( x)   4 x  ax  b ; si 1  x  2  3x  6; si x  2  7. Se sabe que

lim f ( x ) y lim f ( x ) x3

x5

existen, Luis afirma que el valor de m es 4 y n es

-7/3. si. Juzgue Ud. si está a favor de lo que afirma Luis. Justificando su respuesta.

 x 2  nx ;  f ( x)   mx  n ;   m x  1  3;

si x  3 si 3  x  5 si x  5

037

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

SEMANA 6

CONTINUIDAD Continuidad de funciones Una función f ( x ) es continua en a  condiciones:

; si y sólo si, se cumplen las siguientes tres

1. Existe f (a) , es decir a pertenece al dominio de f ( x ) .

lim f ( x ) , es decir los limites laterales existen y son iguales

2. Existe el

x a

lim f ( x )  lim f ( x )  lim f ( x ) x a 

x a

3.

xa 

f ( a )= lim f ( x ) x a

OBSERVACIONES 

Una función polinomial es continua en todo su dominio. Ejemplo 1

Sea a 

f ( x )  2 x 3  3 x  1, x 

:

i ) f ( a )  2 a 3  3 a  1, existe. ii )

lim f ( x )  lim 2 x 3  3 x  1  2 a 3  3 a  1, existe. x a

x a

iii ) f ( a )  lim f ( x )  2 a 3  3 a  1 x a

 

f es continua en a 

Una función racional es discontinua en los puntos donde el denominador es cero, y es continua en cualquier otro punto de su dominio. Ejemplo 2 Analizar la continuidad de la función: f ( x) 

2x 1 x2  9

Solución:

Si x  3 : i ) f ( 3) 

2 ( 3)  1 32  9



7 0

 ,

 f es discontinua en x  3

038

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

Si x  3 : i ) f ( 3) 

2 ( 3)  1 ( 3) 2  9



5 0

 ,

 f es discontinua en x  3

EJEMPLOS

x0  3 x  1,  2 0  x 1 1. Analizar la continuidad de la función: f ( x )   x ,  2 x  1, x 1  Solución:

Si x  0 : i ) f ( x )  02  0 ii ) 

lim x 2

x 0 

lim

x 0 

 0 2  0;

f ( x) 

lim 3 x  1  3( 0 )  1  1

x 0 

lim f ( x )

x 0 

  lim f ( x ) x 0

 f es discontinua en x  0 Si x  1: i ) f (1)  12  1 ii ) 

lim 2 x  1  2 (1)  1  1; lim x 2

x 1

x 1

 12  1

lim f ( x )  1 x 1

iii ) f (1)  lim f ( x )  1 x 1

 f es continua en x  1

2.

x 1 3 x  a ,  Hallar los valores de a y b , si: f ( x )   3 a  1, 1  x  2  x2  2 bx  1, es continua en todo su dominio. Solución: 

Se analiza la continuidad en x  1 y x  2 , pues esto va generar que se formen ecuaciones que nos permitirá hallar el valor de “ a ” y “ b ”.

039

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I



Como f ( x ) es continua en x  1 , basta observar que:

f (1)  lim f ( x)  lim f ( x) x1

f (1)  3a  1 ;

Luego:

 3a  1 = 3  a 



x1

lim (3a  1)  3a  1 ; lim (3x  a)  3  a x1

x1

a 1

Como f ( x ) es continua en x  2 , basta observar que:

f (2)  lim f ( x)  lim f ( x) x2

x2

Luego:

f (2)  2b(2)  1 ;

lim (2bx  1)  2b(2)  1 ; lim (3a  1)  3a  1 ;

x2

 4b  1 = 3a  1 

x 2

4b  1 = 3(1)  1 = 2 

b 1 4

TIPOS DE DISCONTINUIDAD 1. Discontinuidad removible o evitable. Una función presenta discontinuidad removible o evitable en un punto “ a ” cuando existe

lim f ( x ) x a

pero es diferente de f ( a )

ó

a  Df ( x ) . Ejemplo:

5

f ( x)

f ( x)

4

4

3

3

b)

a)

OBSERVACIÓN b)

En el primer gráfico, f (3)  5 pero luego



lim f ( x)  4 , x3

f ( x) es discontinua removible en x  3

040

M AT EM ÁT I C A I I

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

c) En el segundo gráfico, f (3) no existe, sin embargo,

lim f ( x)  4



x3

f ( x) es discontinua removible en x  3

2. Discontinuidad no removible o inevitable. Una función presenta discontinuidad en un punto “ a ” cuando no existe

lim f ( x ) x a

, o al menos uno de los límites laterales en “ a ”

es . Ejemplo

7

4

1

2

3

OBSERVACIÓN a) En el primer gráfico,

  lim f ( x) x 2



b) En el segundo gráfico,

  lim f ( x) x 3



lim

x 2 

f ( x)  4 y

lim

x 2 

f ( x)  7

f ( x) es discontinua no removible en x  2

lim

x 3 

f ( x)  1 y

lim f ( x)   

x3 

f ( x) es discontinua no removible en x  3

041

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO Y APLICACION I. En los siguientes ejercicios, utilizando la definición de continuidad indique porqué la función dada es continua en el punto indicado. a. f  x   x3  8x, x  2 ____________________________________________________

3x 2 b. f  x   , x  0 ____________________________________________________ x2 x 3 c. f  x   , x  3 ____________________________________________________ 9x d. f  x  

3

x , x  1 _____________________________________________________

e. f  x  

2  3x , x  0 ___________________________________________________

f. f  x  

x3  8 , x  2 ___________________________________________________ x2

II. Encuentre los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones e indique de qué tipo se trata: a. f ( x) 

x4 x2

b. f ( x) 

x 3 x2  9

c. f ( x) 

x2  4 x2  1

d. f ( x) 

x2  x  1 x2  4

e. f ( x) 

x2  4 x x 2  16

f. f ( x) 

x7 x3  x

ANALISIS Y SINTESIS I. Analice la continuidad de las siguientes funciones:

 x 2 1 ; si x 1  a. f ( x )   x 1   2 ; si x 1

 4 x 1 ; si x 1  ; si x 1 c. f ( x )   5   2 x  3 ; si x 1

 x2  x  1  3  ; si x  1  x  1 e. f ( x)    2x  1 ; si x  1  3

 x 2 3 x  2 ; si x  2   2 x4 b. f ( x )    2 x4 ; si x  2  x 2  4  x 3 8 ; si x  2  x  2  ; si x  2 d. f ( x )   3  2 x 1 ; si x  2  

 4 x  2 ; si x 1  f. f ( x )   3 x 2  x ; si 1 x  4  ; si x  4  6x

042

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

 2 x  1 ; si x  2  g. f ( x)   6 ; si  2  x  8  4 x  3 ; si x  8 

i)

 x2 ; x2  2  x 4 f ( x)   ; 2 x3  x2  5 ; x3

h.

 2 x 2  x  1 ; si x  7  f ( x)   x  1 ; si 7  x  9  2 x ; si x  9 

j)

    f ( x)      

x 1 ; si x  0 x3 2x  1 ; si 0  x  2 3 x3  8 ; si x  2

II. Calcule el valor de las constantes, sabiendo que las funciones son continuas en todo su dominio.

 ax 3 ; x  1  3 ax ; x  1

2. f ( x ) 

1. f ( x )  

 x2  a ; x 1   3 ; x 1

 2 ax 2  4b ; si x  2  3. f ( x )  6 ; si 2  x  4 3ax  2b ; si x  4 

ax 2  2b  5 ; si x  1  4. f ( x)  8 x  2 ; si 1  x  3 ax  b  2 ; si x  3 

 x  2a ; si x  2  5. f ( x)  3ax  b ; si  2  x  1 6 x  2b ; si x  1 

3x  1 ; si x  1  6. f ( x)  ax  b ; si  1  x  3 4  x ; si x  3 

 x  3 ; si x  1  ; si 1  x  2 7. f ( x )  4 2bx  8; si x  2 

ax 2  3x  1 ; si x  1  8. f ( x)   x 2  1 ; si x  1  3 x  1  2 

 2m  x ; si x  3  10. f ( x)   x3  27 ; si x  3  2  x  3x

 mx 2  2 n  1; si x  2  9. f ( x )   2 x  1 ; si x  2  n  3mx  3 ; si x  2 

III. Analiza las gráficas siguientes y determina los valores de x donde la función es continua o discontinua. En caso de ser discontinua indica el tipo de discontinuidad. Justificando tu respuesta.

y 6

y

y

7

f ( x)

5

5

3 x

1

4

f ( x)

2

1

3

5

x

2

x

2

043

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

JUICIO DE VALOR 1. Manuel estudiante aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=1 y discontinua inevitable en el punto x=4, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

 4 x  2; si x  1  f ( x)   3x 2  x ; si 1  x  4  6x ; si x  4  2. Julio estudiante poco aplicado de Mat II de la USMP, afirma que esta función por tramos es continua en el punto x=0 y discontinua inevitable en el punto x=2, defiende o critica esta afirmación, justificando tu respuesta.

    f ( x)      

x 1 ; si x  0 x3 2x 1 ; si 0  x  2 3 x3  8; si x  2

3. José afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-3 y discontinua no removible en x=0. Defienda o critique usted lo planteado por José. Justifique su respuesta.

4. Armando afirma que la gráfica de la función dada, es discontinua evitable en x=-2 y discontinua no removible en x=2. Defienda o critique usted lo planteado por Armando. Justifique su respuesta

044

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

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CASO: LIMITES - CONTINUIDAD Los costos fijos de una empresa encargada de empaquetar emparedados al vacío es $3000, los costos totales de la empresa para incentivar la producción disminuirán hasta $2000 cuando se empaqueten hasta mil emparedados, según la función: C ( x)   x  3 , si 0  x  1. Donde x es el número de emparedados empaquetados expresado en miles y C(x) es el costo total también expresado en miles de dólares. Si el número de emparedados empaquetados es superior a mil el costo

C ( x) 5 4 3

2 1

total se calculará de acuerdo a la siguiente función C ( x)  x 2  1 , si

x

1

2

3

4

x  1.

CONOCIMIENTO 1. De los datos, la función lineal del costo total es: 2. De los datos, la función cuadrática del costo es: 3. Cuáles el costo total de la empresa cuando se empaqueten exactamente mil emparedados.

COMPRENSION 4. Con los datos completa la gráfica y contesta verdadero (V) o falso (F): - El punto (0;3) debe ser abierto ( ) - El punto (1;2) debe ser cerrado ( ) 5. Cuál será el costo total de la empresa cuando se empaqueten 2 000 emparedados. Responda solamente observando la gráfica.

APLICACIÓN 6. Escribe la regla de correspondencia de la función por tramos 7. Aplicando límites demuestra tu respuesta de la pregunta 5. 8. Aplicando limites laterales demuestra que lim C ( x) no existe x 0

ANALISIS 9. Analiza la continuidad o discontinuidad (indicando el tipo), de la función por tramos o la gráfica de la función en x = 0 y x = 1.

JUICIO DE VALOR 10. El Gerente afirma que la función es continua en ambos puntos. Emite tu opinión sobre lo afirmado por el Gerente.

045

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SEMANA 7

LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN. REGLAS DE DERIVACIÓN DERIVADA DE UNA FUNCIÓN: Sea f (x) una función definida en cada punto del intervalo I  es derivable en el punto x  I , si existe el límite siguiente:

lim

, entonces se dice que f (x)

f ( x  h)  f ( x )

h0

h

La derivada de una función se denota por: f '( x) o por

df ( x)

y se lee “la derivada de f (x)

dx

en el punto x ”, entonces por definición se tiene:

df ( x) f ( x  h)  f ( x )  f '( x)  lim dx h h0

Ejemplos: Halle la derivada de las siguientes funciones usando la definición. a) f ( x)  3x  2

b)

f  x   3x 2  2 x  5

c)

f ( x) 

2x 1

Solución: a) f ' ( x ) 

f ( x  h)  f ( x)

li m

h

h  0

f '( x) 

li m

f '( x) 

li m

 3( x  h )  2   ( 3 x  2 )

h  0

3 x  3h  2  3 x  2 h

h  0

f '( x ) 

f '( x) 

lim

h 0

h

3h h

f ' ( x)  3 .

li m 3

h 0

b) f ´( x ) 

lim

f ( x  h)  f ( x)

h  0

f '( x ) 

lim

h  0

h

3( x  h ) 2  2( x  h )  5  (3 x 2  2 x  5) h

046

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

f '( x ) 

lim

3( x 2  2 xh  h 2 )  2 x  2 h  5  3 x 2  2 x  5 h

h  0

f '( x ) 

lim

3 x 2  6 xh  3h 2  2 x  2 h  5  3 x 2  2 x  5 h

h  0

f '( x ) 

lim

3 x 2  6 xh  3h 2  2 x  2 h  5  3 x 2  2 x  5 h

h  0

f '( x ) 

lim

6 xh  3h 2  2 h h

h  0

f '( x ) 

lim

f '( x) 

li m

lim

lim

h0

f '( x) 

lim

h0

f '( x) 

2 x  1)



h

(2 x  2h  1  2 x  1) h ( 2 x  2h  1 

2 x  1)

2 ( 2 x  2h  1 

2 2x  1

2( x  h)  1 

lim

1 2x  1

2 x  1)

( 2 x  2h  1 

2 x  1)

( 2 x  2h  1 

2 x  1)

 

2x  1

h

h0

( 2 x  2h  1 



h

f '( x) 

h

2

h (6 x  3h  2)

f ´( x )  6 x  2 .

f ( x  h)  f ( x)

h0

f '( x) 

 6x  2

h

h  0

f '( x) 

lim

h  0

h (6 x  3h  2)

h  0

c)

f '( x ) 

2h h( 2 x  2 h  1 

2 x  1)

2 ( 2x  1 

2 x  1)

.

REGLAS BASICAS DE DERIVACIÓN Si f (x) y g (x) son funciones diferenciables en el intervalo I , entonces se define:

f ( x)  k , es una función constante, entonces:

1)

Si,

2)

Si, f ( x)  xn ,

3)

k 

4)

 f ( x)  g ( x)    f  ( x)  g  ( x)

n 

, entonces:

f '( x)  0

f ' ( x )  nxn 1

f ( x)   k  f  ( x) , donde k es constante.

047

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. COMPLETA correctamente lo siguiente, colocando la palabra o el signo adecuado:  Si,

f ( x)  k , es una función constante, entonces:

f '( x)  _______________ .

 Coloca los signos que faltan a la siguiente formula: f ( x)  lim

h0

f ( x h) h

f ( x)

 Si, f(x) = xn,  n   , entonces: f '( x)  __________________ . 

f '( x) se lee “la derivada de f (x) en _____________________ .

APLICACIÓN A. Aplicando la definición, encuentre la derivada de las siguientes funciones: 1.

f ( x)  5 x  2

2.

f ( x)  x 2  5 x  6

4.

f (x) 

5.

f (x) 

2x 7

2x 5 4x 1

3.

f (x) 

6.

f (x) 

x3 3x  5 4x 2

APLICACIÓN Y ELABORACIÓN I. Aplicando las diferentes reglas de diferenciación, halle la derivada de las siguientes funciones y evalúe en el punto dado: 1.

2

f (x) =

x5  3x 4 

x2 

145

f ( z ) = 2 z1/2  3z

x3 2 x 2  3x  3 ; x  1

4.

f (x) = 4x 2 (3 x  8 3 x  2 ); x  1

x 1 ; x4 x

6.

f ( x )  5 x 2  2 x  6 x 5 ;

8.

1  f ( x)  2 x  2 x3  3x 2   ; x  8 x 

2



5.

f ( x) 

7.

f ( x) 

9.

5 x 1  2 x 2  3x 4/3   f ( x)  ;

2 x  32 x 2/3  2 3 x 4 x1/3

x 4

5 3 t  2t  7 6 t t

x2



f ( x) =

2

;

78

3.

11. f (t ) =

1  z1/4 ; z  1 5

2.

5 5

3

;

; x 8

x 1

t  64

10. f (x) =

2/3

(3 x  4 x 2  3) 3

;

x 1

x  64

x

12. f (x) = (3x 2  x )(7 x  3 x ) ; x  1

048

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M AT EM ÁT I C A I I

SEMANA 8

DERIVADA DE UNA POTENCIA, PRODUCTO Y COCIENTE Derivada de una potencia

5)

n  n1   n f ( x)   f  ( x) f ( x )    

Derivada de un producto

6)

 f ( x)  g ( x)    f  ( x)  g ( x)  f ( x) g  ( x)

Derivada de un cociente

 f ( x)   f  ( x)  g ( x)  f ( x) g  ( x) 7)  , si g ( x)  0   2 g ( x )    g ( x )  INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA Sea y  f ( x ) una función definida en I , I 

y

Si: f ( x0 )  f ( x0  x0 )  f ( x0 )

f ( x)

Entonces, en el triángulo rectángulo MPN, f ( x0 ) representa la longitud del cateto

N

f ( x 0  x 0 )

, cuya gráfica sea la siguiente:

PN, de igual manera que x0 representa la del MP.

M f ( x0 )

De aquí se tiene que :

P 

x0

0

x 0  x 0

x

f ( x0 )  tg ( ) x0

Pero si hacemos x0  0, Entonces:

lim

 x0  0

 f ( x0 )  x0

 f  ( x0 ) .

Esto quiere decir que, geométricamente, la derivada de una función en un punto debe interpretarse como: la pendiente de la tangente geométrica a la curva de la función f , en el punto considerado

 x 0,

f (x 0 )  .

049

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M AT EM ÁT I C A I I

RECTA TANGENTE Y NORMAL La recta tangente es una recta que corta en un punto a una curva. La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es perpendicular a la recta tangente. La ecuación de la recta tangente L T a la gráfica de y  f ( x) en el punto  x 0 , y 0  y pendiente

f ( x) LN

LT

m LT está dada por : y  y0  mLT ( x  x0 ) . Pero sabemos que la pendiente de la recta tangente en x 0 es la derivada de f ( x 0 ) : m LT  f  ( x 0 ) .

P( x 0 ; y 0 )

Entonces, la ecuación de la recta tangente es:

y  y0  f  ( x0 )( x  x0 )

y  f ( x) en el punto

 x 0, y 0 

Pero sabemos que: m LN  

La ecuación de la recta normal L N a la gráfica de de pendiente m LN , está dada por: y  y0  mLN ( x  x0 ) .

1 . Entonces, la ecuación de la recta normal es: m LT

y  y0  

1 f ( x 0 )

(x  x 0 )

Ejemplo: Halle la ecuación general de la recta tangente y de la recta normal a la parábola: y  2 x2  8 x  5 en el punto P (1,  1) . Solución: Derivando f ( x )  2 x 2  8 x  5 , se tiene: f  ( x )  4 x  8 . Evaluando la derivada en x  1 , se tiene la mLT es f ' (1)   4 , luego: La ecuación general de la recta tangente es:

y  1  4 ( x 1)

 LT : 4 x  y  3  0 .

La ecuación general de la recta normal es:

y 1 

1

( x 1)

4

 LT : x  4 y  5  0 .

EJERCICIOS: Determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes: 1. f ( x)  4 x 2  5x  2

; en P (2, 8)

2.

y

1 3 x  x 2 ; en 3

x0

050

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

M AT EM ÁT I C A I I

EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. COLOCA adecuadamente los signos que faltan a las siguientes fórmulas:

 f ( x)   f  ( x) g ( x)  f ( x) g ( x)     g ( x)   g ( x ) 

y

y0  f ( x0 )( x  x0 )

Siempre que g ( x)  0 .

y

1

y0 

f (x 0 )

(x

x 0)

 f ( x) g ( x)    f  ( x)  g ( x) f ( x) g  ( x)

B. COMPLETA correctamente, colocando la(s) palabra(s) adecuada(s):  Geométricamente la derivada de una función se interpreta como la _____________ de la recta tangente a la curva de la función f en un punto.  La recta normal es una recta que pasa por el punto de tangencia y es _________________ a la recta tangente.  La pendiente de la recta tangente a f ( x 0 ) en el punto x 0 es la _____________de f ( x 0 ) APLICACION I.

Aplicando las fórmulas adecuadas derive las siguientes funciones:

1.

f ( x)  ( x  3)

3.

f ( x) 

5.

f ( x)  (2 x 3  x) 4 ( x 2  2 x  7) 9

7.

f ( x) 

9.

f ( x) 

3

5

2.

(4 x 2  3 x  2) 2

5 x 2  3x  2

( x  3) 6 ( x  1) 8 ( x  2) 3

x2  1 13. f ( x)  x2 1 3

4. f ( x)  ( x 4  1)( x 2  3x  5) 6.

f ( x )  ( x  1) 4  2 x  3

8. f ( x) 

x3  4

 x 2  3x  1  11. f ( x)    3  x 7 

f ( x)  ( x 

3 3) 5

10.

4x3  x 2  x ( x  1) 2

f ( x) 

2/3

12. f ( x ) 

14. f ( x) 

 xx74 

10

( x 5 ) 4 3 x 1

(3x 2  7 x)5 ( x 2  2 x  1)2 3

x2  6 x

051

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

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ANALISIS - SINETSIS A. Analice y determine la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de las funciones siguientes: 1. f ( x)  5x 2  3x  1 3. f ( x )  x 

; en P (3, 37)

2 ; en x  2 . x 1

2. 4.

f ( x)  4 x 2  5 x  6 ; en x  1

f ( x )   x 2  3 x  2  ; en x  0

6. f ( x) 

5. f ( x)  x x  7 ; en x  3 2

x (2  x 2 ) x

; en P(4, k ) f ( x)

B. Analice y halle, determine o encuentre: 7.

Encuentre la ecuación general de la recta tangente a la curva

y  f ( x) 

2x 1 2 x

que pasa por el punto (1,1) . 8.

Halle la ecuación general de la recta tangente a la curva: f ( x )  x 2 x  3  1 ,

en

x2 . 9.

Sea y  f ( x ) 

x 1 x3

. Hallar la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la

recta normal, en el punto de abscisa 1. 10. Encontrar la ecuación general de la recta tangente y normal a la gráfica de la función:

y  f ( x) 

x 1 que pasa por el punto ( 2 , k )  f ( x ) . x 1

11. Sea : y  g ( x ) 

3 x2  6 3

2

x a la gráfica de y  g ( x )

, halle la ecuación general de la recta tangente y normal que pasa por el punto (1, k )  g ( x ) .

052

SEMESTRE ACADÉMICO 2018 - II

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SEMANA 9

DERIVADA DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Derivada de funciones exponenciales.

8)

9)

 f ( x )    f ( x )  f  ( x)  ln a , donde a . a  a

 f ( x )    f ( x )  f  ( x) , donde e es la constante de Euler. e  e Caso particular (e x ) '  e x

Derivada de funciones logarítmicas. 10)

f  ( x)  ln f ( x)    f ( x)

11)

f  ( x) Log f ( x)   b   f ( x)  ln b

, caso particular:

1  ln x    x

, caso particular:

1 Log ( x)   b   x  ln b

NOTA Es conveniente, antes de derivar algunas funciones logarítmicas, aplicar algunas propiedades de los logaritmos, para reducir su dificultad. Estas propiedades son las siguientes: 1)

ln a n  n ln a

2)

ln(a.b)  ln a  ln b

3)

a ln( )  ln a  ln b b

4)

log b a 

ln a ln b

(cambio de base)

EJERCICIOS: I.

Derive las siguientes funciones:

e4 x

3

 2 x2 5

1.

f ( x) 

3.

y   x  1 ln 2



x 2

2.



3

4.

f ( x )  ln  x 2  1 y

1  ln x 1  ln x

053

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M AT EM ÁT I C A I I

EJERCICIOS DE APLICACIÓN Y ELABORACION

Aplicando las formulas correspondientes, derive las funciones 3 6 x 2

f ( x )  e3 x

3.

f ( x )  (7 x  8) 4 e3 x



5

2 6

 

5. y  x 2  1 ln x  x 2  2 7.

y

4.



8. f ( x )  ln

9. y  x 2 ln(2 x  1)



5

13. y  log 2

15.



y  ln x 4 



x  x2 1

3

x2  x

 6 x  5  ( 4 x  5)3 y  ln   ( 7 x  8) 2  4 8 x  1



x2 1

3

6. y  2 x  3  ln3 x  2

ln x x2

11. y  log

3

2x

2. f ( x )  ( x  3)

1.

x1 x1

10.

y  ln( 2 x  5 ).

12.

y 

ex ex

y  ln

14.

  

  

x3  4



x 2 2 x



e x  e x 

 x2

 1

 x2

2

 x  1

 4

3

 5 4 x  3  ( 2 x  7 )4 y  ln   ( 2 x  7 )7  3 x  2

16.



  

ANALISIS Y SINTESIS Analice y determine, halle o encuentre lo solicitado: 5 x 2 e f ( x)  3 e x 1 2

1. Halle la ecuación de la recta tangente a la curva:

2. Encuentre la ecuación de la recta normal a la curva y  f ( x ) 

en

x0 .

4  3ln x que pasa por el

punto (1, 2 ) . 3. Halle

la

ecuación general de la recta tangente y y  f ( x )  ( x  1) ex2 en el punto ( 2 , 5 ) .

normal

a la curva

2

4. Halle la ecuación general de la recta normal a la curva: f ( x )  ( x 3  2) e

ln ( 2 x 3)

, en el

punto donde x  2 . 5. Determinar

la

ecuación

general de la f ( x )  ( x  3)  ln (3 x  1)  3 en el punto ( 0 , 3 ) .

recta

tangente

a

la

curva

054

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SEMANA 10

INCREMENTO Y RAZÓN DE CAMBIO. APLICACIONES A LA ECONOMÍA.

Razón media de cambio de “y” con respecto a “x”: Si tenemos la función y = f(x). Todo cambio en la variable independiente “x” produce un cambio en la variable dependiente “y”. Así, si x cambia del valor “ x” a x1  x , entonces “y” cambia de

f ( x1 ) . Así el cambio en “y” que podemos denotar como y es f ( x1  x)  f ( x1 ) , cuando el cambio en x es x . El promedio de la razón de cambio de “y” por unidad de cambio en “x”, cuando “x” cambia de x1 a x1  x , es:

f ( x1  x)  f ( x1 ) y  x x

Así en general, tenemos:

Cambio en x: x   x  x   x Cambio en y: y  f  x  x   f ( x)

Cambio en y y f ( x  x)  f ( x)   Cambio en x x x RAZON INSTANTANEA DE CAMBIO DE “y” CON RESPECTO A “x”

Si existe el límite de como

lim x 0

f ( x1   x )  f ( x1 )

x f ( x1   x )  f ( x1 ) x

cuando x se aproxima a cero, lo cual denotamos

; este límite es el que recibe el nombre de razón instantánea

de cambio de “y” por unidad de cambio de “x”.

Definición Si y  f ( x) , la razón de cambio instantánea de “y” por unidad de cambio de “x” en x1 es la derivada de “y” con respecto a x en x1, denotada por f '( x 1 ) , si ésta existe en x = x1.

055

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APLICACIONES A LA ECONOMIA Función de costo total. La función de costo total de un fabricante, C  f (q) , nos da el costo total C de producir y comerciar q unidades de un producto. La razón de cambio de C con respecto a q se llama costo marginal. Así, Costo marginal  C ' 

dC dq

Interpretamos el costo marginal como el costo aproximado de una unidad adicional producida. Ejemplo 1. El costo total en dólares de producción de q libras de cierta sustancia química está dado por

C  45  5q 2 . Determine el costo marginal cuando se producen 3 libras de dicha sustancia. Solución: Derivamos la función costo:

C '  10q entonces C '(3)  10(3)  30 , es decir, si la

producción se incrementa de 3 a 4 libras, el costo se incrementa aproximadamente en 30 dólares. Función de costo promedio. Si C es el costo total de producir q unidades de un producto, entonces el costo promedio por unidad C es: C 

C

q

Además, la función costo total se puede hallar utilizando:

C  q C .

Ejemplo 2. El costo medio unitario en la producción de q unidades es C  0.002 q 2  0.4q  50 

100000 q

.

Determine la función del costo marginal y, en base a esta función, calcule el costo marginal luego de producir 40 unidades. Solución: Para hallar el costo marginal, primero debemos hallar el costo total, y esto se logra multiplicando el costo promedio por la cantidad, es decir:

C  Cq  0.002q3  0.4q2  50q  100000

056

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La función del costo marginal se halla al derivar el costo total, es decir:

C '  0.006q2  0.8q  50 (Función de costo marginal) Entonces, el costo marginal luego de producir 40 unidades es:

C '(40)  9.6  32  50  $27,60

aproximadamente

por

la

unidad

adicional

producida; es decir por la unidad 41. Función de ingreso total. La función de ingreso total para un fabricante, esta dada por la ecuación

r  f ( q )  pq

que establece el valor total recibido al vender q unidades de un producto cuando el precio por unidad es p .

Función de ingreso marginal. El ingreso marginal se define como la razón de cambio del valor total recibido, con respecto al número total de unidades vendidas. Por consiguiente, el ingreso marginal es solamente la derivada de r con respecto a q : Ingreso marginal  r ' 

dr dq

El ingreso marginal indica la rapidez con la que el ingreso cambia, respecto a las unidades vendidas. Lo interpretamos como el ingreso aproximado recibido al vender una unidad adicional de producción. Ejemplo 1. Un fabricante vende un producto a 3q  50 dólares/unidad. Determine la ecuación del ingreso marginal y el ingreso marginal para q  100 . Solución: El ingreso es r  pq , entonces r  p q   3q  50  q  3q 2  50q Por lo tanto, el ingreso marginal es r '  6q  50 . Para q  100 , el ingreso marginal será: r '(100)  $650 por una unidad adicional vendida .

Interpretación: Por la unidad adicional vendida (la unidad 101), se tiene un incremento en el ingreso de aproximadamente $ 650.

057

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Función Utilidad La función utilidad total por la producción y venta de q unidades, es la ecuación:

U  Ingresos - Costos  r  C donde r es el ingreso recibido por vender q unidades y C el costo de producir q unidades.

Función de utilidad marginal Es la razón de cambio del valor total de la utilidad obtenida con respecto al número de unidades producidas y vendidas, es decir, la utilidad aproximada obtenida por la fabricación y venta de una unidad adicional. Por consiguiente, la utilidad marginal es solamente la derivada de U con respecto a q :

U '  r'

C '

Ejemplo 1. La ecuación de la demanda para el producto de un fabricante es 10 p  q  0,01q 2  700 y la función de costo es C  1000  0,01q 2 . Calcular la función utilidad marginal y también evaluar la utilidad marginal para q  100 unidades. Solución: Sabemos que la utilidad está dada por U (q)  r (q)  C (q) y que el ingreso es r  pq . Por lo tanto despejamos p de la ecuación de la demanda y lo multiplicamos por q para obtener la función ingreso:

10 p  700  q  0,01q2



 r (q)  pq  70q  0,1q2  0,001q3

p  70  0,1q  0,001q 2





U (q)   70q  0,1q 2  0,001q3   1000  0,01q 2  0,001q3  0,11q 2  70q  1000 U '(q)  0,003q2  0.22q  70 . Esta es la función utilidad marginal, para evaluarla en q  100 simplemente sustituimos este valor de

q en dicha función. Es decir:

U (100)  0,003(100)2  0,22(100)  70  30  22  70  $94 , que es la ganancia aproximada, por la unidad adicional producida y vendida.

058

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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Cuando se deriva una función y  f ( x) se obtiene f '( x ) que también es una función. Si se deriva esta función la nueva función que se obtiene se denomina segunda derivada y se le denota como f ''( x ) . De manera análoga si se deriva la segunda derivada se obtiene otra función llamada tercera derivada. A las derivadas que se obtienen de esta forma se llaman derivadas de orden superior. Las notaciones que se usan para las derivadas de orden superior son:

y 

dy df , primera derivada de la función f ( x) .  dx dx

y  

d2 y

y  

d3 y

yn 

dx 2

dx 3

dn y dx n



d2 f



d3 f



dx 2

, segunda derivada de la función f ( x) . , tercera derivada de la función f ( x) .

dx 3 dn f dx n

, n  esima derivada de la función f ( x) .

Ejemplo: Dada la función: y  4 x 4  3 x 3  5 x  1 , halle f

'''( x )

y evalúe en x  1

Solución:

y '  16 x 3  9 x 2  5 

y ''  48 x 2  18 x 

y '''  96 x  18

 y '''(1)  96  18  78 EJERCICIOS: Halle la derivada indicada de las siguientes funciones y, evalúe en el punto correspondiente. a. b.

y  5 x3  6 x 2  4 x  2 ;

f ( x) 

3x x 1

y' ' '

;

d3 y ;

dx

3

;

x0 = 1 x  0.

059

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. RESPONDE dentro de los paréntesis con V o F según le corresponda a cada una de las siguientes proposiciones: 1. El ingreso marginal es la derivada del ingreso con respecto al número de unidades vendidas. 2. La razón de cambio de C con respecto a q se llama Costo marginal 3. La función costo total se puede hallar utilizando:

C

C

q 4. Interpretamos el ingreso marginal como el ingreso aproximado recibido al vender la última unidad de producción. 5. Si la utilidad es U  I  C entonces la utilidad marginal es U   I   C

APLICACIÓN Calcule la derivada indicada de las siguientes funciones y evalúe en el punto correspondiente a.

f (t ) 

b.

y

c.

y

d. e.

8t

1 4x  2 x 1

; ;

f ' ' (t ) ; d2 y dx 2

t0 = 4

;

x0

=1 =2

;

y''

;

x0

y  e5 x

;

y' ' '

;

y  ln (4 x  2)

;

y' ' '

;

x0 = 1/5 x( 0 ) = 1

x 1

ANALISIS Y SINTESIS

ANALIZA el enunciado de los siguientes problemas, resuelve y responde según lo planteado: 1

La aceptación de cierto pisco dependerá del tiempo que tenga en el mercado de acuerdo a la siguiente función A( t ) 

50t  150

t 1

, donde A es la aceptación expresada en puntos y t

es el tiempo en meses. Hallar la razón de cambio de la aceptación con respecto al tiempo dentro de 3 meses. Interprete el resultado. 2

Debido a la depreciación, el valor de cierta maquinaria después de t años, está dada por V  800000  60000t , donde 0  t  10 . Determinar que tan rápido cambia el valor de la maquinaria con respecto al tiempo a los 2 años. Interprete el resultado.

3

Sea p  500  2q 2 la ecuación de demanda del producto de un fabricante, donde q es el número de artículos demandados y p es su precio unitario en dólares. Halle la razón de

060

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cambio del precio con respecto a los artículos demandados, cuando éstos son 5. Interprete el resultado. 4

Un sociólogo estudia varios programas que pueden ayudar en la educación de niños de edad preescolar en cierta ciudad. El sociólogo cree que “ x ” años después de iniciado un programa particular, miles de niños estarán matriculados, donde f ( x)

f ( x) 

10

(12 x  x 2 ) ,

0  x  12

9 a) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 3 años de iniciado el programa? b) ¿A qué razón cambiará la matrícula después de 9 años de iniciado el programa? 5

Supóngase que C (q) 

1 2 q  2 q  5 es el costo total de la producción en dólares, de 2

ciertos artículos, determine: a) La función de costo promedio b) La función de costo marginal c) El costo total al producir 1000 unidades d) El costo promedio al producir 1000 unidades e) El costo real de producir la unidad # 1001

6

Si la ecuación de demanda para cierta mercancía es p 2  q  12  0 . Encontrar: a) La función del precio b) La función del ingreso total.

c) La función del ingreso marginal d) El ingreso total al vender 8 unidades e) El ingreso al vender la unidad numero 9 7

El número de dólares del costo total de la manufactura de q relojes en cierta fábrica, está dada por: C (q) 

20  30 q  1500 .Encontrar: q

a) La función de costo promedio

b) El costo promedio al producir 550 relojes c) La función de costo marginal d) El costo marginal cuando q = 40 e) El costo real de manufactura del cuadragésimo primer reloj.

8

Si C(q) es el costo total de la manufactura de “q” juguetes y C (q)  110  4q  0,02 q 2 . Encontrar:

061

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a) La función de costo promedio b) La función de costo marginal c) El costo promedio al producir 500 juguetes d) El costo marginal cuando q = 10 e) El costo real de manufactura del onceavo juguete 9

Supóngase que un líquido se produce por cierto proceso químico y que la función del costo total C(q) está dado por C (q)  6  4 q , donde C(q) dólares es el costo total de la producción de q galones del líquido. Encontrar a. El costo de producir el 17 avo. galón b. El número de galones producidos cuando el costo marginal es de $ 0.40 por galón.

10 Una compañía constructora renta cada departamento en p dólares por mes cuando se rentan x departamentos y p  10 300  2 x .¿Cuántos departamentos deben de ser rentados para que el ingreso marginal sea cero? 11 Si la ecuación de la demanda para cierta mercancía es 3q  4 p  12 . Encontrar: a) La función del precio. b) La función del ingreso total. c) La función del ingreso marginal 12 La ecuación de la demanda de cierta mercancía es p  q  8 y la función del costo total 2

está dada por C (q)  18 q  q 2 donde C (q) dólares es el costo total cuando se compran q unidades. a) Encontrar la función de ingreso total b) Encontrar las funciones de ingreso marginal y de costo marginal c) Encontrar el valor de “q” para el cual el costo marginal sea igual al ingreso marginal. 13 Supongamos que cuesta C  q 3  6 q 2  15 q dólares producir “ q ” radiadores cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un determinado taller usualmente se producen 10 radiadores al día. Aproximadamente ¿cuánto más costará producir un radiador adicional cada día?. 14 La

función

de

costo

total

de

una

fábrica

de

medias

está

dada

por

C  10 484 , 69  6 , 750 q  0 , 000328 q donde “ q ” es la producción en docenas de pares y C el costo total. Encuentre la función de costo marginal y evalúela cuando q  5000 . Interprete el resultado. 2

2 15 Si la ecuación del costo promedio de un fabricante es C  0, 0001q  0, 02q  5 

5000 , q

encuentre la función de costo marginal. ¿Cuál es el costo marginal cuando se producen 50 unidades? Interprete el resultado. 16 La función de ingreso total de la Empresa San Martín S.A. dedicada a la producción de 2 piensos (alimento especial) para aves viene dada por I  30 q  3 q , donde “ q ” es la

062

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cantidad de toneladas de piensos vendidas por dicha empresa en un año. Determine el ingreso marginal para q  3 toneladas. Interprete el resultado. 17 La ecuación de la demanda del producto de un fabricante está dada por

p

5000 , en q  25

donde q son los artículos demandados y p es el precio de cada artículo. Determinar la función del ingreso marginal y evaluarla cuando q  100 . Interprete el resultado.

 

18 Suponga que el ingreso obtenido al vender “ q ” lavadoras es r  20000 1 

1 q 

dólares. a) Determine el ingreso marginal cuando se producen 100 lavadoras. b) Use la función r ' para estimar el incremento en el ingreso como resultado del aumento en la producción, de 100 a 101 lavadoras a la semana. 19 La función de demanda para el producto de un fabricante es p  50  0, 2q  0,003q y la 2

función de costo es C (q)  500  0,3q . Halle la utilidad marginal de producir y vender 80 unidades, sabiendo que p y C están en dólares. Interprete el resultado. 2

JUICIO DE VALOR

DEFIENDE O CRITIQUE la decisión tomada en cada uno de los siguientes casos:

20 Sea

p  (50  q)(100  q) la función de demanda del producto “A” de un fabricante.

Encontrar la razón de cambio del precio “p” (dólares) por unidad con respecto a la cantidad “q” (unidades). ¿Qué tan rápido cambia el precio con respecto a “q” cuando q = 40? Calcule e interprete el resultado y defienda o critique la opinión del fabricante quien afirma que el precio disminuirá aproximadamente $ 30.

21 La función de costo promedio de una fábrica que produce ventiladores de mano, está dada por: C  0,002 q 2  0,4 q  50 

10000 , donde C está en dólares. Determine el costo q

marginal de producir 40 unidades. Interprete el resultado. Defienda o critique la opinión del dueño de la fábrica quien afirma que el costo aproximado de producir el ventilador # 41 es aproximadamente $ 27,6. 22 Supongamos que

r  q 3  3q 2  12q nos da el ingreso en dólares que se genera al

vender “ q ” radiadores cuando la producción es de 8 a 30 unidades. En un taller de tu propiedad usualmente se producen 10 radiadores al día. ¿En cuánto se incrementa el ingreso al vender 11 radiadores al día? Opina si es correcto o no el cálculo realizado

063

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que

indica

“el

ingreso

al

vender

el

11avo.

radiador

se

incrementara

en

aproximadamente $ 252.

23 La función de utilidad de una empresa, en miles de dólares, está

dada

por

U ( x)  50ln( x  1)  90 , donde x representa las unidades fabricadas y vendidas. Calcule la

razón de cambio de la utilidad con respecto al número de unidades, cuando se fabrican y venden 10 unidades. Defienda o critique la opinión del dueño de la empresa quien afirma que la utilidad aproximada recibida al producir la unidad # 11 es $ 4 545,45

24 Un carpintero ha decidido producir y vender 70 muebles de escritorio en melamine en vez de 50, pues cree que la razón de cambio de su Ingreso será mayor, siendo el ingreso: I  3x(60  x) donde x es precio por unidad. Defienda o critique la decisión del carpintero. Rpta: Critico la decisión del carpintero. Producir y vender 70 muebles es menor que de 50.

25 El docente de la asignatura propone el siguiente problema: Suponga que la ecuación de demanda para el producto de un monopolista es: p  400  2q y que la función de costo promedio es C  0, 2q  4 

400 q

, donde q es el número de unidades y, p y C se

expresan en dólares por unidad. Halle la utilidad marginal cuando q  30 e interprete el resultado. Mario estudiante aplicado de Matemática II opina: “El incremento de la utilidad cuando se produzca y venda la unidad 31 es de aproximadamente $ 264,00”. Emita usted un juicio al respecto refutando o corroborando dicha opinión.

064

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SEMANA 11 EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces: 

f es creciente en I si y solo si



f es decreciente en I si y solo si

f ( x)  0 x  I .

f  ( x)  0 x  I .

Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c  I y si f (c)  0

o f (c) no existe,

entonces el valor de c es un punto critico de f .

Ejemplo 1: Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función f ( x)  4 x 2  2 x3 . Solución: La derivada de f ( x)  4 x 2  2 x3 es f ( x )  2 x (4  3 x ) . La función es creciente en aquellos intervalos para los cuales f  ( x)  0 . Luego f es creciente para todo x  0 y x  4 / 3 , es decir en el intervalo

0, 

y

 ,  4 / 3 .

f es decreciente si f ( x)  0 , luego es decreciente para todo x  0 y x  4 / 3 , o sea en el intervalo  4 / 3, 0

Ejemplo 2: Determine los puntos críticos de la función definida por f ( x)  x 4/3  4 x1/3 . Solución:

4 ( x  1)  . Tenemos que f ´( x)  0 en x  1 . y la 3 3 3 x2 / 3 derivada no existe en x  0 . Luego x  1 ; 0 son los puntos críticos. f ´( x ) 

4

x1/ 3 

4

x 2 / 3



f ´( x ) 

1. En los siguientes ejercicios encontrar los puntos críticos:

1 3 1 2 x  x  2x 3 2

f ( x )  x2  8 x

b)

f ( x) 

c) f ( x)  4 x3  2 x 2

d)

f ( x )  x ( x  1)( x  2)

a)

065

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2. Hallar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de las siguientes funciones: a)

f ( x)  x 2

b)

f ( x )  x2  2 x  1

c)

f ( x )  2( x  3)2  5

d)

f ( x )  x2  8 x

CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Sea f ( x) una función continua en el intervalo abierto

a , b . Sea c un punto de

a,b .

Tenemos lo siguiente

a) Si,

 f ( x )  0     f ( x )  0

en todo punto de

axc

en todo punto de

c xb

y

Entonces f (c) es un valor máximo relativo de la función.

b) Si,

 f ( x )  0     f ( x )  0

en todo punto de

axc

en todo punto de

c xb

y

Entonces f (c) es un valor mínimo relativo de la función.

REGLA PARA DETERMINAR LOS EXTREMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN

Para determinar los extremos relativos de la función f ( x) se procede de la siguiente manera: 1. Se halla f ´( x) . 2. Se encuentran los puntos críticos de la función, o sea aquellos puntos tales que

f ´( x)  0 o´ f ´( x) no existe. 3. Se aplica el criterio de la primera derivada a cada punto crítico. Ejemplo: Determinar los máximos o mínimos relativos, de la función f ( x )  x3  6 x 2  9 x

066

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Aplicamos la regla dada: 1˚ . Derivada de la función: f ( x )  3( x  3)( x  1) . 2˚ . Puntos críticos: x  1, x  3 ambos anulan a la derivada. 3˚ . Si, 1  x  3 entonces f ( x )  0 , y si x  3, f ( x )  0 ; luego en x  3 la función tiene un mínimo relativo. Si x  1 entonces f ( x )  0 ,

y si 1  x  3 , entonces f ( x )  0 , luego en x  1 la

función tiene un máximo relativo. EJERCICIOS: 1.- Determine, para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos y haga un bosquejo de la gráfica. a) f ( x )  12  6 x  2 x3

b)

f ( x )  2 x3  9 x2  12 x

Solución de a: 1° Obtenemos los puntos críticos:

f  ( x)  6  16 x 2 ,  f  ( x)  0 , luego Los únicos puntos críticos son:

x  1,

6( x  1)( x  1)  0 

x 1

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada son: Crecimiento:

 ,  1    1,   

Decrecimiento:

 1, 1 

Máximo relativo en:

f (1)  16 y Mínimo relativo en:

f (1)  8

Con esta información podemos hacer el bosquejo de la gráfica:

067

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EJERCICIOS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. COMPLETA correctamente colocando la(s) palabra(s) adecuadas:  f es decreciente en I si y solo si _______________________________________.  Sea f una función con dominio en el intervalo I . Si c  I y si f (c)  0

o

f (c) no existe, entonces el valor de c es: __________________________ de f .  Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de una función siempre son:__________  En un intervalo I , si f ( x)  0 entonces la función es ____________________ en I .  Si cumple en el orden siguiente: f ( x)  0, f (c)  0 y f ( x)  0 entonces la función tiene un punto ______________ en . x  c APLICACION Aplicando tus conocimientos determina los puntos críticos y los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento en las siguientes funciones: a) f ( x )  x 2  4 x  3

e)

f ( x )  3 x 2  21x

f ( x)  x3

f)

f ( x)  4 x3  2 x 2

g)

f ( x)  x3  3x

h)

f ( x)  x3  6 x 2  9 x

b)

c) f ( x )  x ( x  1)( x  2) d)

f ( x)  x3  3x 2  1

ANALISIS Y SINTESIS ANALIZA y determina, para cada una de las siguientes funciones, los puntos críticos, los intervalos de crecimiento y/o decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos, con esa información haga usted un bosquejo de la gráfica. a)

f ( x )  x3  6 x 2  9 x

c) f ( x ) 

x3 x 2   6x 3 2

b)

f ( x )  x3  3 x 2  1

d)

f ( x )  x4  32 x  48 f ( x )  x3  3 x 2  2

e)

f ( x )  x2  4 x  3

f)

g)

f ( x )  x4  4 x3  12

h) f ( x ) 

2 3 x  4 x2  6 x  2 3



1 3 x  6 x2  9 x  6 6

i)

f ( x )  x5  6

j)

f ( x) 

k)

f ( x )  x 2 ( x  12)2

l)

f ( x )  2 x3 



11 2 x  10 x  2 2

068

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SEMANA 12

EXTREMOS ABSOLUTOS MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS DE UNA FUNCIÓN Si una función f es continua en un intervalo cerrado a, b se puede demostrar que entre todos los valores de x de la función

f ( x) en a, b , debe existir un valor máximo

(absoluto) y un valor mínimo (absoluto) a estos valores se les llama valores extremos.

Teorema del valor extremo Si la función f es continua en el intervalo cerrado a, b , máximo absoluto y un valor mínimo absoluto en a, b

entonces f tiene un valor

Regla Practica: Para la determinación de los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado 1)

Determinación de los valores de la función en los puntos críticos de f en a, b

2)

Determinación de los valores de f (a) y f (b) .

3)

El mayor valor determinado en los pasos 1) y 2) será el valor máximo absoluto, y el menor valor determinado en los pasos 1) y 2), será el mínimo absoluto.

Ejemplo 1 3 2 Hallar los valores máximo y mínimo absolutos de la función f ( x )  x  3 x  9 x definida en el

intervalo  4, 4  Solución: Como

f

es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está

garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada. Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

f ' ( x)  3( x  1)( x  3)  0  x  3,1 . Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

f ( 3)  27 ;

f (1)  5 ;

f ( 4)  20 ;

f (4)  68 , entonces:

069

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En x  4 se produce un máximo absoluto en  4, 4  , que es f (4)  68 . En x  1 se produce un mínimo absoluto en  4, 4  , que es f (1)  5 .

Ejemplo 2 Determine,

f ( x)  x

si existen los extremos absolutos (máximo y mínimo) de la función: 4

 8 x  16 en el intervalo  3, 2  2

Solución: Como f es continua en el intervalo dado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada por el teorema del valor extremo. Para determinarlos, se aplica la regla práctica dada. Obtenemos los puntos críticos por medio de la derivada.

f ' ( x)  4 x 3  16 x  0 x( x  2)( x - 2)  x  2, 0, 2 Luego, evaluando en los puntos críticos y en los extremos se tiene:

f ( 3)  25 ;

f (2)  0 ;

f (0)  16 ;

f ( 2)  0 , entonces:

Máximo absoluto de f en  3, 2  , es

f (3)  25

Mínimo absoluto de f en  3, 2  , es

f (2)  f (2)  0

Ejemplo 3. Determine, si existen los extremos absolutos de la función:

f ( x )  1  ( x  3)

2

3

en el

intervalo  5, 4 

Solución: La continuidad de f en el intervalo

 5, 4  , garantiza la existencia de extremos absolutos de

f en dicho intervalo. Se debe determinar primero los puntos críticos por medio de la derivada.

f '( x ) 

2 3( x  3) 1/3

El único punto crítico de es x  3 donde la derivada no existe. (Note que f '  x   0 , no tiene solución).

070

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Los extremos absolutos se escogen entre los siguientes valores:

f ( 5)  3 ;

f (4)  0 ;

f (3)  1 ;

entonces:

Máximo absoluto de f en  5, 4  , es Mínimo absoluto de f en

 5, 4  ,

es

f (3)  1 f (5)  3

EJERCICIOS: 1.- Hallar los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado. a)

f ( x)  4  3x, x   3, 1

b)

f ( x)  x 2 , x   1, 2

c)

f ( x)  x3 , x   1,1

d)

f ( x)  x2  4 x  3, 1,3

CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA PARA EXTREMOS RELATIVOS Si y  f ( x) es una función, y los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina puntos de inflexión, es decir en x0 se tiene un punto de inflexión si f  ( x 0 )  0 . Si x1 es punto crítico es decir f  ( x1 )  0 ó no existe f  ( x1 )  0 . Si, f  ( x )  0 , entonces existe mínimo en x  x1 Si f  ( x )  0 , entonces existe máximo en x  x1 Si, f  ( x )  0 , x  a , b

 f ( x)

es cóncava hacia arriba.

Si, f  ( x )  0 , x  a , b

 f ( x)

es cóncava hacia abajo.

Una función es cóncava en un intervalo si las rectas tangentes a la función en ese intervalo están por debajo de la función. Una función es convexa en un intervalo si las rectas tangentes a la función de ese intervalo están por encima.

La denominación de convexidad y concavidad depende del punto de vista que se adopte para considerar que es una concavidad, esto es si se mira a la función "desde arriba" o "desde abajo". Por ello, es frecuente que en ocasiones se adopten las denominaciones cóncava hacia arriba y cóncava hacia abajo para evitar las ambigüedades. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión.

071

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Según este criterio tendremos: Signo de f  ( x ) y f  ( x )

f  ( x )  0 y f  ( x )  0

Propiedades de la gráfica de f Creciente y cóncava hacia arriba

f  ( x )  0 y f  ( x )  0 f  ( x )  0 y f  ( x )  0

f  ( x )  0 y f  ( x )  0

Forma de la gráfica

Creciente y cóncava hacia abajo Decreciente y cóncava hacia arriba Decreciente y cóncava hacia abajo

Ejemplo:

4 Sea f ( x )  x 4  x3  4 x 2 . Determine los extremos relativos de f ( x) aplicando el criterio de 3

la segunda derivada, los puntos de inflexión (si los hay) y las concavidades. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f ( x) .

Solución: 1° Obtenemos los puntos críticos:

f  ( x)  4 x 3  4 x 2  8x ,  f  ( x)  0 , luego Los únicos puntos críticos son:

4 x ( x  2)( x  1)  0 

x  2, x  0, x  1

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada son: Crecimiento:

 2, 0    1,   

Decrecimiento:

 , 2    0,1 

Máximo relativo en:

f (0)  0 y Mínimo relativo en:

f (2)  

3° Obtenemos la segunda derivada: f  ( x )  12 x  8 x  8 2

32 5 y f (1)   3 3

 f  ( x)  0

12 x2  8 x  8  0  3x2  2 x  1  0  (3 x  1) ( x  1)  0 Luego los puntos de inflexión son:

x  1 y x  1 / 3

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4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

f  ( 2)  0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

f  (0)  0 cóncava hacia abajo, tenemos un máximo. f  (1)  0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo. y

          x 

















          

Ejemplo 2: Sea f ( x )  x3  3 x determine los puntos máximos y mínimos relativos de f ( x) aplicando el criterio de la segunda derivada, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Utilice esta información para dibujar la gráfica de f ( x) . Solución: 1° Obtenemos los puntos críticos:

f  ( x)  3x 2  3 ,  f  ( x)  0 , luego Los únicos puntos críticos son:

x  1,

3( x  1)( x  1)  0  x 1

2° Los intervalos de crecimiento o decrecimiento de acuerdo al criterio de la primera derivada son: Crecimiento:

 ,  1    1,   

Decrecimiento:

 1, 1 

Máximo relativo en:

f (1)  2 y Mínimo relativo en:

f (1)  2

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3° Obtenemos la segunda derivada: f  ( x )  6 x Luego el punto de inflexión es:

 f  ( x)  0  6x  0  x  0

x0

4° Con el criterio de la segunda derivada tenemos:

f  ( 1)  0 cóncava hacia abajo, tenemos un máximo. f  (1)  0 cóncava hacia arriba, tenemos un mínimo.

Con esta información podemos realizar la gráfica:

EJERCICIOS 1.

Determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Trace la curva que representa a cada función. a)

f ( x)  12  4 x  4 x3

c)

f ( x) 

1 3 1 2 x  x  6x 3 2

b)

f ( x )  12  12 x  x3

d)

f ( x )  x4  32 x  48

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APLICACIONES DE MAXIMOS Y MINIMOS MAXIMIZACIÓN DEL INGRESO Ejemplo: La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es: p 

80  q , 4

0  q  80 ,

donde q es el número de unidades y p el precio por unidad, en dólares. ¿Para qué valor de q se tendrá un ingreso máximo?. ¿Cuál es el ingreso máximo?. Solución: Sea r el ingreso total, el cual es la cantidad por maximizar. Como: Ingreso = (precio) (cantidad), tenemos: r  pq 

Haciendo

dr 80  2 q dr   0,  80  2 q  0 ;  q  40  0 , obtenemos: r   dq dq 4

-

+ 0

Luego:

80  q 80 q  q 2 q  , donde 0  q  80. 4 4

r  (10) 

10

80  20  15 4

40



50

r  (50) 

80

80  100  5 4

0  q  40 tenemos dr / dq  0 , por lo que r es creciente. Si q  40 , entonces dr / dq  0 , por lo que r es decreciente. A consecuencia de Examinando la

primera derivada para

que a la izquierda de 40 tenemos que r es creciente y a la derecha de r es decreciente, concluimos que q  40 da el ingreso máximo absoluto, esto es,

r

80q  q 2 4



r  (40)

80(40)  (40) 2

 400

4

MINIMIZACIÓN DEL COSTO PROMEDIO Ejemplo: La función de costo total de un fabricante está dada por : C 

q2  3q  400 , donde C es el 4

costo total de producir q unidades. Si C está en dólares, ¿Para qué nivel de producción será el costo promedio un mínimo? ¿Cuál es este mínimo?.

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Solución: La función a minimizar es el costo promedio C . La función de costo promedio es:

q2  3 q  400 q C 400 4 C   3 q q 4 q Aquí q debe ser positiva. Para minimizar C , diferenciamos:



C 

d C 1 400 q 2  1600    dq 4 q 2 4q2

para obtener los valores críticos, resolvemos

dC 0 dq

_

luego: (q  40)(q  40)  0 . 

q 2  1600 4q 2

q 2  1600  0,

+

10

C 





40

50

q  40 (ya que q  0 ).

C  (10) 

(10) 2  (1600) 15  2 4(10) 4

C  (50) 

(50) 2  1600 9   4(50) 2 100

Entonces, como 0  q  40 es decreciente, mínimo absoluto.

q  40 es crecientes

 en q  40 hay un

Maximización del número de beneficiarios de los servicios de salud Ejemplo 3: Un artículo en una revista de sociología afirma que si ahora se iniciase un programa específico de servicios de salud, entonces al cabo de t años, n miles de personas adultas recibiría beneficios directos, donde: n 

t3  6t 2  32t ; 0  t  12. 3

¿Para qué valor de t es máximo el número de beneficiarios?

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Solución:

dn dn  t 2  12t  32  0  0 , tenemos: n  dt dt

haciendo

 (t  4)(t  8)  0 entonces:

t4

t 8

;

Como el dominio de n es el intervalo cerrado  0,12  , el valor máximo absoluto se obtiene evaluando en los puntos críticos y en los extremos de dicho intervalo:

n Si, t  0 , entonces n  0 , Si, t  4 , entonces n 

160 3

t3  6t 2  32t 3

128 3

Si,

t  8 , entonces n 

Si,

t  12 , entonces n  96 .

n

96

n

t3  6t 2  32t 3

4

en

 0,12 , así se tiene un

8

12

t

máximo absoluto en t  12 .

ADVERTENCIA: El ejemplo anterior ilustra que no se debe ignorar los extremos cuando se determinan extremos absolutos en un intervalo cerrado.

MAXIMIZACIÓN DE UTILIDADES Ejemplo 4: Una pequeña empresa manufacturera puede vender todos los artículos que produce a un precio de $ 6 cada uno. El costo de producir x artículos a la semana (en dólares) es: C  x  = 1000 + 6x  0.003x 2 + 10-6 x3 ¿Qué valor de x debemos seleccionar con el objeto de maximizar las utilidades? Solución: El ingreso producido por la venta de x artículos a $ 6 cada uno es R  x  = 6x dólares. Por consiguiente, la utilidad por semana es:

U  x = R  x - C  x U  x  = 6x  1000 + 6x  0.003x 2 + 10-6 x3 

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U  x   1000 + 0.003x 2 - 10-6 x3 A fin de encontrar el valor máximo de la utilidad, buscamos los puntos críticos en la forma usual y luego investigamos su naturaleza. Derivando obtenemos:

U   x  = 0.006x   3 . 10-6  x 2 y haciendo U   x  = 0 , encontramos que x  0 ó x  2000 Así que

x  0 es un mínimo local de U  x  , mientras que x  2000 es un máximo local.

Este último valor representa el nivel de producción en que la utilidad es máxima. La utilidad está dada por

U  2000   1000 + 0.003  2000  - 10-6  2000 = 3000 2

3

o

$ 3000 por semana.

PUBLICIDAD Y GANANCIAS Ejemplo 6: Una compañía obtiene una utilidad de $ 5 por cada artículo del producto que vende. Si gasta A dólares por semana en publicidad, el número de artículos que vende por semana está dado por



x  2000 1  e kA



en donde k  0.001 .

Determine el valor de A que maximiza la utilidad neta. Solución: La utilidad bruta por la venta de x artículos es de 5x dólares, y de ésta restamos el costo de la publicidad. Esto nos deja una utilidad neta dada por





U  5x  A  10 000 1  e kA  A

(1)

Derivamos con la finalidad de encontrar el valor máximo de la utilidad.





10ekA = 1 o bien

ekA 

U   x  = 10 000 ke kA  1 = 10 e kA  1. Haciendo esto igual a cero, obtenemos 10 y tomando logaritmos naturales, resulta que kA  ln 10 = 2.30 en

consecuencia:

A 

2,30 2,30   2 300 k 0, 001

La cantidad óptima que debe gastarse en publicidad es en consecuencia de $ 2 300 por semana.. La utilidad máxima se encuentra sustituyendo este valor de A en la ecuación: (1). Ya que

e kA 

1 10

, se sigue que la utilidad semanal máxima es:

Umáx = 10 000(1 -

1 )  2 300  6 700 dolares 10

078

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO

A. RESPONDE con proposiciones :

V o F según le corresponda a cada una de las siguientes

 A los valores máximos y/o mínimos absolutos de una función también se les llama valores extremos. En una función los puntos en donde la segunda derivada se anulan se denomina puntos críticos. Si f es continua en el intervalo cerrado, la existencia de máximo y mínimo absoluto está garantizada. Si f  ( x )  0 es cóncava hacia arriba, tenemos un valor mínimo. Los puntos donde la función cambia de curvatura se llaman puntos de inflexión APLICACIÓN Calcula los máximos absolutos y mínimos absolutos de cada función en el intervalo indicado: a)

f ( x)  x3  3x 2  7, x  0,5

b)

f ( x)  2( x  3)2  5, 0,5

c)

f ( x)  3x 2  21x, 1, 2

d)

f ( x)  x3  2 x 2  x  2,

e)

f ( x) 

f)

f ( x) 

x3  x 1 , 3

 4, 4 

x4 x2  3 , 4 2

1, 2

 4, 4 

APLICACIÓN – ELABORACION Aplicando los conocimientos adquiridos, determine para cada una de las siguientes funciones, los puntos máximos y mínimos relativos, los puntos de inflexión (si lo hay) y las concavidades. Luego con esa información elabore la curva que representa a cada función. a) f ( x )  x 2  4 x  3

b)

f ( x )  x3  3 x 2  2

c) f ( x )  x 4  4 x3  12

d)

f ( x) 

e)

f ( x )  x5  6

f)

f ( x) 

g)

f ( x )  x5  5 x3

h)

f ( x )  12  2 x 2  x 4

4 3 x  4 x2 3

i)

f ( x )  x4 

k)

f ( x )  10  4 x 3  x 4

2 3 x  4 x2  6 x  2 3



1 3 x  6 x2  9 x  6 6

j)

f ( x )  (1/ 8)( x4  8 x2 )

l)

f ( x )  x 4  8 x3



079

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ANALISIS - SINTESIS 1. La ecuación de demanda para el producto de un monopolista es

p  5q  60 donde

4  q  10 . Halle el precio que maximiza el ingreso. 2. La función de demanda para el producto de un monopolista es: p  1600  20 q , si el monopolista quiere que el nivel de producción se encuentre en 50  q  75 , donde “ q ” es el número de unidades producidas. Determine: a) El nivel de producción que maximiza el ingreso. b) El ingreso máximo. c) El precio para ese ingreso. 3. Un fabricante ha determinado que el costo total C , de producir un determinado artículo, está dado por la función de costo: C  0, 05q 2  5q  500 donde 100  q  120 . ¿Para qué nivel de producción será mínimo el costo promedio por unidad? 4. El

costo

por

hora

(en

dólares)

de

operar

un

automóvil

está

dado

por:

C  0,12s  0,0012s 2  0,08 ; 30  s  60 , donde s es la velocidad en km por hora. ¿A qué velocidad el costo por hora es mínimo?. 5. La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende pantalones, está dada por: C  0, 6 q  60 

3400 , donde 10  q  80 es el número de unidades producidas. C está q

en dólares y q Determine: a) El nivel de producción que minimiza el costo. b) El costo mínimo. 6. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por: C  2 q 2  36 q  210 

200 q

, donde 2  q  10 .

a) ¿A qué nivel dentro del intervalo  2,10  debe fijarse la producción para minimizar el costo total? . ¿Cuál es el costo total mínimo? b) Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo  5,10  , ¿qué valor de q minimizaría el costo total?. 7. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es p  72  0,04q , y la función de costo es C  500  30q . Si el costo está expresado en dólares y 600  q  700 , halle:

080

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a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) El precio que maximiza la utilidad. c) La utilidad máxima. 8. Un fabricante ha determinado que para cierto producto, el costo promedio (en dólares por unidad) está dado por : C  2 q 2  42 q  192 

5500 , q

donde 3  q  12 . Determine el

nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo. 9. La ecuación de demanda para cierto producto es p  q 2  11q 

7200 , y tiene un costo fijo q

mensual de $1200 y el costo variable es de $80. Además q   8, 20  . a) Determine el nivel de producción que maximiza la utilidad. b) Halle la utilidad máxima. 10. Para el producto de un monopolista, la función de demanda es: p  72  0,04q y la función de costo total

C  500  30q , donde q   100,500  . Si el precio y el costo

están en dólares, halle: a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) El precio que maximiza la utilidad. c) La utilidad máxima 11. Para un monopolista la función de demanda es de P ( q )  600  2 q , y la de costo

C ( q )  3300  480 q  q 2 , donde q   80 ; 110  . Si el precio y el costo están en dólares por unidad, determine: a) El nivel de producción que maximiza la utilidad. b) La utilidad máxima. c) El precio para esa utilidad. 12. Un banco lanza al mercado un plan de inversión cuya rentabilidad R ( x ) , viene dada en función de la cantidad que se invierte x , en miles de soles, por la siguiente expresión:

R ( x )  0, 001 x 2  0, 4 x  3, 5 a) ¿Cuándo aumenta y cuando disminuye la rentabilidad? b) ¿Qué cantidad de dinero convendrá invertir en ese plan, para obtener la máxima rentabilidad?. c) ¿Cuál será la rentabilidad máxima que se obtendrá?.

081

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JUICIO DE VALOR 13. La función de demanda para el producto de un monopolista es de P ( q )   q  150 

3300 , q

donde q   70 ; 110  . Si el precio está en dólares por unidad, determine: a) El nivel de producción que maximiza el ingreso. b) El ingreso máximo. c) El precio para ese ingreso. Defienda o critique la opinión del monopolista quien afirma: “El nivel de producción que maximiza el ingreso es 75 unidades, el ingreso máximo es $2 325 y el precio para ese ingreso es $31” 14. Un fabricante puede producir, cuando mucho, 120 unidades de cierto artículo cada año. La ecuación de demanda para ese producto es p  q 2  100 q  3200 , y la función de costo promedio del fabricante es

C

2 2 10000 q  40 q  . Determine la producción q que 3 q

maximiza la utilidad y la correspondiente utilidad máxima, si el precio y el costo promedio están en dólares. Luego defienda o critique la opinión de fabricante quien afirma: “la producción que maximiza la utilidad es 120 unidades y la utilidad máxima obtenida es $86000. 15. Un fondo de inversión genera una rentabilidad que depende de la cantidad de dinero invertido, según la fórmula: R ( x )  0, 002 x 2  0,8 x  5 , donde R ( x ) representa la rentabilidad generada cuando se invierte la cantidad de x dólares. Determine, teniendo en cuenta que disponemos de 500 dólares: a) Cuando aumenta y cuando disminuye la rentabilidad b) Cuanto se debe de invertir para obtener la máxima rentabilidad posible. c) Cual será el valor de dicha rentabilidad Defienda o critique la opinión del inversionista quien afirma: “La inversión aumenta cuando se invierte hasta cerca de $200, disminuye si se invierte mas de $200; para obtener la máxima rentabilidad se debe invertir $200 y la rentabilidad obtenida es de $75.”

082

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CASO: EXTREMOS ABSOLUTOS Una fábrica de Polos Publicitarios para empresas e instituciones, ubicados en Gamarra (Emporio comercial textil más grande del Perú). También los produce para exportación. El fabricante con el ingeniero textil han determinado que para exportar a Europa, el costo promedio (en euros por unidad) está dado por: C  2q 2  36q  210 

200 , donde 2  q  10 q

es la producción por hora. Fuente:http://polospublicitarios.net/fabrica-de-polos/

CONOCIMIENTO 1. De los datos, la función del costo total es: 2. ¿Qué grado tiene la función del costo total? 3. Escriba la función del costo marginal:

COMPRENSION 4. ¿Cómo se obtiene el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule. 5. ¿Cómo se interpreta el costo marginal? Redacte su respuesta, no calcule.

APLICACIÓN 6. ¿A qué nivel dentro del intervalo  2,10  debe fijarse la producción por hora, para minimizar el costo total? . 7. ¿Cuál es el costo total mínimo? 8. Si la producción tuviese que encontrarse dentro del intervalo  5,10  unidades por hora, ¿qué valor de q minimizaría el costo total?.

ANALISIS 9. Analiza la función del costo total y determine: Los intervalos en los que el costo aumenta (crece) y disminuye (decrece); los costos máximos y mínimos, con esa información grafique la función del costo total.

JUICIO DE VALOR 10. Que es lo más conveniente para el fabricante respecto al nivel de producción. Emita su opinión.

083

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SEMANA 13

LA INTEGRAL INDEFINIDA

ANTIDERIVADA DE UNA FUNCIÓN DEFINICIÓN: La función F : I 

f :I 





es una antiderivada o primitiva de una función

si y sólo si: F ( x)  f ( x), x  I  [a, b]

Si F ( x )  k , es la familia de antiderivadas de f ( x) . DEFINICIÓN: Si F ( x) es una antiderivada de f ( x) sobre un intervalo I  [a, b] , es decir,

F´( x)  f ( x) , entonces:

G( x)  F ( x)  k se demostrará por: G ( x) 

 f (x)dx  F (x)  k ,  x  I Llamaremos integral indefinida de f ( x)

Al término f ( x) se le llama integrando

PROPIEDADES BÁSICAS DE LA INTEGRACIÓN  

 dx  x  k



x n1 x dx  k n 1 n

;  n  1

3.

 cf ( x ) dx  c  f ( x ) dx

4.

  f ( x )  g ( x )  dx   f ( x ) dx   g ( x ) dx

Donde k se le llama constante de integración. Ejemplos I. Halle la antiderivada de las siguientes funciones: a)

f ( x)  5 x 3  6 x 2  2

b) f ( x)  7 x 4  x  8

c)

f ( x) 

x3  4 x 2  6 x2 084

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solución de a)

I 

 (5x

3

 6 x 2  2)dx 



 5x  6x dx  2dx 3





I  5 x3 dx  6 x 2 dx  2 dx  I 

2

dx

5 x31 6 x 21   2x  k 3 1 2 1

5 4 x  2 x3  2 x  k 4

EJERCICIOS: Halle la integral indefinida de las siguientes funciones:

1.



4dx



2.

1 4x 2

dx

3.



1 dx x9

4.



(

1 x3



2 x4

 x ) dx

II. Encuentre f ( x) , sujeta a las condiciones iniciales dadas: a) f  ( x )  5 x  4 , b)

f (2)  3 / 4

y  ( x )   x  1,

y  (0)  1,

y  (0)  2,

y (0)  4

Solución de a)

f  ( x) 

df ( x ) dx



df ( x )

5x2 f ( x)   4x  k ; 2

dx

 5x  4 

5 x2  4x  k f ( x )  5 x dx  4 dx  2





x2 3  f (2)    3 4  y  4

3 5 2 5 = (2)  4(2)  k  k   4 2 4

 f ( x) 

5 2 5 x  4x  2 4

III. APLICACIONES (Problemas resueltos)

1.

Un fabricante ha determinado que la función de costo marginal es

dC  0, 6q 2  0,8q  9, 5 dq

y el costo fijo es de $ 1 800, donde es el número de unidades producidas. Halle el costo promedio cuando se producen 200 unidades.

085

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Solución:

dC  0, 6q2  0, 8q  9, 5  dC  (0, 6q 2  0, 8q  9, 5)dq dq Integrando:

C



 dC 

(0, 6q2  0, 8q  9, 5) dq

(0, 6q 2  0, 8q  9, 5) dq  C  0, 2q3  0, 4q 2  9, 5q  k

Hallando la constante de integración De

CT  CV  CF si no hay producción ( q  0 ) , entonces el costo total es igual al

costo fijo, luego:

1800  k

C  CF  1800  0, 2(0)3  0, 4(0)2  9, 5(0)  k

La función de costo es: C  0, 2q3  0, 4q2  9, 5q  1800 Hallando el costo promedio: C 

C 1800  0, 2q 2  0, 4q  9, 5  q q

Evaluando en 200: C (200)  0, 2(200) 2  0, 4(200)  9, 5 

1800  7938, 5 200

Cuando se producen 200 unidades el costo promedio es de $ 7938,5.

2.

Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es:

dC dq

 4( q 2  5)  8 q . Si

el costo de producir 12 unidades es de $ 738, donde q es el número de unidades producidas, determine el costo promedio de producir 30 unidades. Solución:

dC dq

 4( q 2  5)  8 q

Integrando: C 

 (4q



2

dC  (4 q 2  20  8 q ) dq

 20  8 q ) dq  C 

4 q3 3

 20 q  4 q 2  k

Hallando la constante de integración: Del dato: q  12

 C  738 

La función de costo es:

C

4(12)3 3

4 q3 3

 20(12)  4(12)2  k   750  k

 20 q  4 q 2  750

086

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C

La función de costo promedio es:

C q



4 q2 3

 20  4 q 

750 q

El costo promedio cuando se producen 30 unidades es:

C (30) 

3.

Un

4(30) 2 3

fabricante

ha

 20  4(30) 

determinado

dr  9 q 2  200 q , donde dq

750 30

 $ 1035

que

la

función

de

ingreso

marginal

es

es el número de unidades producidas. Determine el ingreso

cuando se producen y venden 50 unidades. Solución:

dr  9 q 2  200 q dq Integrando:

r





dr  (9 q 2  200 q ) dq

(9q 2  200q) dq  3q3  100q 2  k

Hallando la constante de integración: De:

r  pq , si q  0



r  0  3(0)3  100(0)2  k

r0 

Entonces la función de ingreso es:

k 0

r  3q3  100q2

El ingreso cuando de producen y venden 50 unidades es:

r(50)  3(50)3  100(50)2  $ 125000

4.

Un fabricante ha determinado que la

función de ingreso marginal es

dr  q 2  400 , dq

donde es el número de unidades producidas. Halle el precio cuando se demandan 120 unidades, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 4 200. Solución:

dr  q2  400 dq

 dr  ( q 2  400) dq 

 dr   (q

2

 400) dq

087

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Integrando:

r



(q 2  400) dq  r 

q3

 400 q  k

3

Hallando la constante de integración: Del dato: si q  30 entonces r  4200 , luego: Efectuando operaciones se tiene que: La función de ingreso es:

La función de demanda es:

r  4200 

(30)3 3

 400(30)  k

7200  k

q3 r  400q  7200 3 r  pq  p 

q2 7200  400  3 q

El precio cuando se demanda 120 unidades es:

P (120) 

(120) 2 7200  400   $ 4460 3 120

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO A. COMPLETA correctamente, colocando la(s) palabra(s) adecuada(s) sobre la línea: En la integral indefinida:  A F ( x )  k , se le llama familia de _________________ de f ( x) .  Al término f ( x) se le llama _________________.  A k se le llama constante de __________________ . B. RESPONDE colocando V o F según le corresponda: 1.



dx  x  k 2.



x n dx 

x n1  k ;  n 1 n 1

3.

 cf ( x ) dx  c  f ( x ) dx

APLICACIÓN A. Aplicando las propiedades básicas halle la integral indefinida de las siguientes funciones 1

3

5 7

8

10

12

14

16

 ( x  2 x  4) dx 5  ( x  4 x  3x  1) dx 5

2

2

4

2

 ( x  1) dx  (2 x  4)( x  5) dx 2



(

6 8

7 x3  2 x5  x 2 ) dx 2x

9

 ( xt  3x  1) dx  x ( x  3x ) dx 2

11

13



( x  1)( 3 x  x ) dx



(

6 x 4  3 x1/2  3x

x  9x

15

) dx

17

 (8 x  7 x  10) dx 4  (2 x  x  6 x  5) dx 3

2

9

3

 (2 x  3) dx  ( z  4 z )( z  1) dz 2

2



(

2

18 x 6  3 x 4 ) dx 6x2

 (za  3z  6) dz  (2 x  3)(t  6 x) dx 3

4

2

 

( x3 

3

x )( x  x ) 3

(

dx

x

8 x3  3x 2  2 x

) dx

4x

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B. Encuentre f ( x) , sujeta a las condiciones iniciales dadas: 2 a) f  ( x )   x  2 x ,

b) y  ( x )  x  1,

f  (1)  0,

y  (0)  0,

c)

y  ( x )  2 x  3 ,

d)

y  ( x )  2 x ,

f (1)  1

y (0)  6

y  (1)  1,

y  ( 1)  3,

y  ( 1)  3,

y ( 2)  4

y  (3)  10,

y (0)  12

ANALISIS - SINTESIS 1.

Un fabricante

ha

determinado

que

la

función

de

costo

dC  0, 03q 2  1, 8 q  6, 5 y el costo fijo es de $ 2 400 , donde dq

marginal es

es el número de

unidades producidas. Halle la función de costo y el costo cuando el nivel de producción es de 100 unidades.

2.

Para el producto de un fabricante, la función de costo marginal es el costo de producir 40 unidades es de $ 6 900, donde q

dC dq

 4(3  q )  80 y

es el número de

unidades

producidas. Determine el costo promedio cuando el nivel de producción es de 50 unidades. 3.

Un

fabricante

ha determinado que la

determinado producto es

función de ingreso marginal, para un

dr  15 q  2300 , donde dq

es el número de unidades producidas.

Encuentre la función de demanda. 4.

Para cierta fábrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

dr  275  4 q  3q 2 , donde q es el número de unidades producidas. Halle la función de dq demanda, si cuando se producen 50 artículos el ingreso es de $ 5 000. 5.

Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

dr q (3q  10)   50 (en dólares), para q unidades producidas. Encuentre el precio para dq 2 q  30 . 6.

Un fabricante ha determinado que la función de ingreso marginal viene dado por

dr  0, 03q 2  5 (en dólares), para q unidades producidas. Se sabe que al vender 10 dq productos se obtiene un ingreso de $1 000. Encuentre el precio cuando la demanda es de 20 unidades.

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SEMANA 14 INTEGRAL DEFINIDA. PROPIEDADES TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Sea f ( x ) una función continua, entonces: P1.

P2.

P3.

 

b

c dx  c (b  a ) , donde c es una constante

a

b

cf ( x ) dx  c

a



b a



b

f ( x ) dx , donde c es un número real arbitrario a

P4. Si a  c  b , se cumple: P5. Si c  d , entonces

P6.



a



 f ( x )  g ( x )  dx 



d



b



f ( x ) dx 

a

b

f ( x ) dx 

a

f ( x ) dx  

c





c

b

g ( x ) dx a



f ( x ) dx 

a

b

f ( x ) dx c

c

f ( x ) dx d

f ( x ) dx  0

a

P7. Si f ( x)  0 para todo x en a,b , entonces



b

f ( x ) dx  0

a

TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Sea f una función continua en un intervalo cerrado



 a, b  :

Parte I: Si la función G está definida por G ( x ) 



b

f ( t ) dt , para todo x en a

entonces si f ( x) es continua, G( x) es diferenciable sobre

G  ( x )  f ( x ) , es decir 

d dt



b

 a, b 

y se cumple que:

f ( t ) dt  f ( x ) .

a

Parte II: Si F es cualquier antiderivada de f ó llamada también primitiva de f en entonces:



b

 a, b 

 a, b  ,

f ( x ) dx  F (b )  F ( a )

a

091

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EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN CONOCIMIENTO RESPONDA verdadero (V) o falso (F), según corresponda.

 

b

c dx  c (b  a ) , donde c es una constante

a

b

f ( x ) dx  F ( a )  F (b )

a

Si f ( x)  0 para todo x en a,b , entonces Si f ( x) es continua en



a



b

f ( x ) dx  0

a

 a , b  , entonces G( x) es diferenciable en  a , b 

f ( x ) dx  1

a

APLICACIÓN Calcule en cada caso las integrales definidas:

7.

9.

1



3.

5.

2



1.

45 dx

2 1

2.

(2 x 3  x 2  8) dx

2



4 3  2  3 x  4 x  x  dx 1  



2 5x4

13.

 3x2  6 x2

0



11.

4.

9 x3  3x5  8

2 1



x

10 1



(

2

1 2

25 dx 2

2



 4 x3  3 x 2  2 x  dx   2 5  1  5



2



1

1

dx

8.

dx

10.

4 q3  3 q 2  1 q

6.



3

) dq

12.

5

18 x  2   6 x 2  2 x 

dx

14.

1 3  2  3 x  2 x  5 x  dx  

 5 x 4  4 x3  x  dx   3 02 



1 1





 3 x  1  4 x 2  x 

3 1

3 1

 x 2  1 x 3  x 2  x2

dx

dx

 5 x 2  8  9 x 3  3 x 2  dx

092

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SEMANA 15

APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

La integral definida es ampliamente aplicada en la economía. Esto se observa cuando se tiene como información la razón con la que varían los ingresos y los costos según la producción (ingresos y costos marginales, respectivamente) y si se quisiera encontrar las funciones de ingreso y costo. Asimismo, la integral definida puede aplicarse al cálculo de utilidades netas, depreciación de maquinarias, excedencia del consumidor o del productor, etc. Veamos algunos casos.

APLICACIONES 1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

dP dx

 0,09  0,0006 x 2 , donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas? b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10 semanas? Solución: Como

dP dx

Integrando:

 0,09  0,0006 x 2

dP 



dP  ( 0,09  0,0006 x 2 ) dx

 0  0,09  0,0006 x 2  10

10

dx   0,09 x  0,0002 x 3  0

El precio dentro de 10 semanas será:

P  46   0,09 x  0,0002 x 3 

10 0

Entonces: P  46  1,1  47,1. a) Dentro de diez semanas la tonelada costará 47,1 dólares. b) Se debe de esperar 10 semanas para vender todo el mineral posible.

093

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2.

Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R ( x )  ( 3 x 2  60 x ) . Calcula el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el ingreso esta en dólares.

Solución: Al integrar la función de ingreso marginal se obtiene la función de ingreso y al evaluarla se tiene el incremento, entonces:

dR dx

 ( 3 x 2  60 x )  dR  ( 3 x 2  60 x ) dx

Integrando: R 



20

15



20

3 x 2

20  3 x 3 60 x 2   60 x  dx       x 3  30 x 2  15  2  15  3

R    (20) 3  30(20) 2    (15) 3  30(15) 2    8000  12000    3375  6750   625 El incremento en el ingreso cuando la demanda varia de 15 a 20 unidades, es de 625 dólares.

3.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1  x   50  x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R2 ( x )  200  5 x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?. Solución: El segundo plan será mas rentable hasta que las funciones de ambos planes sean iguales: R1  x   R2  x  , entonces se tiene:

50  x 2  200  5 x

 x 2  5 x 2  150  0  (x  10)(x  15)  0

 x1  10 ; x1  15 El segundo plan es más rentable durante 15 años.

094

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4.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x )  5000  20 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de

C ( x )  2000  10 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido en la parte a)? Solución: a) El uso de la maquinaria será rentable mientras que el ritmo al que se generan los ingresos sea superior al que se generan los costos. Es decir, hasta que R ( x )  C ( x ) , entonces:

5000  20 x 2  2000  10 x 2

 x 2  100  0  (x  10)(x  10)  0

 x1  10 ; x1  10 El uso de la maquinaria es rentable durante 10 años. b) Dado que la ganancia neta generada por una maquinaria, durante cierto período de tiempo, está dada por la diferencia entre el ingreso total generado por la misma y su costo total de operación y mantenimiento, se puede determinar esta ganancia por la integral definida:

GN 



10 0



 



 5000  20 x 2  2000  10 x 2  dx   



10 0

 3000  30 x 2  dx

10

  3000 x  30 x 3  0   3000(10)  (10) 3   29000 Las ganancias netas ascienden a 29 000 dólares.

EJERCICIOS Y/O PROBLEMAS DE APLICACIÓN

ANALISIS 1.

La compañía minera “Duran Ventures” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a una razón de cambio dada por la función:

dP dx

 0,012 x 2  0,05 x , donde P es el precio.

095

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a) Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas. b) ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5 semanas? 2.

La Empresa Pacific Rubiales vende el barril de petróleo a $ 105,6. Los estudios de mercado indican que dentro de “ x ” meses, el precio del barril estará cambiando a una razón dada por la siguiente función:

dP dx

 0, 0084 x 2  0, 012 x , donde P es el precio.

a) Halle el precio del barril de petróleo dentro de dos meses. b) ¿La Empresa debe vender todo el petróleo posible ahora o debe de esperar dentro de tres meses?. 3.

En cierta fábrica, el costo marginal es 3 q  4 

2

dólares por unidad cuando el nivel de

producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades? 4.

Se estima que dentro de “ x ” meses la población de Tumbes cambiará a una razón de

x 2  x personas por mes. ¿En cuánto crecerá la población de Tumbes durante los próximos 3 años? 5.

En el Distrito Federal de México los especialistas han determinado que el número de personas infectadas por la gripe H1N1 tipo A, cambia a razón de

dPi

 2, 2t  2, 2 donde

dt Pi es el numero de personas infectadas y t es el tiempo en semanas. Determine el número de personas infectadas en los próximos dos meses. 6.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1  x   40  x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R2 ( x )  136  4 x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será más rentable?. 7.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x )  9260  25 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de

C ( x )  3500  15 x 2 dólares por año. Halle: a) El numero de años en que es rentable el uso de la maquinaria. b) Las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo de la parte a). 8.

Suponga que la función de demanda de los consumidores de cierto artículo es D(q)  4(25  q 2) dólares por unidad. Halle la cantidad total de dinero que los consumidores están dispuestos a gastar para obtener 3 unidades del artículo.

096

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9.

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Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R1 ( x )  100  x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón de

R2 ( x )  220  2 x dólares por año.

¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable? 10.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a la razón de R ( x )  6025  10 x 2 dólares al año y origina costos que se acumulan a la razón de

C ( x )  4000  15 x 2 dólares por año. ¿Durante cuantos años el segundo plan será el más rentable?. JUICIO DE VALOR Defienda o critique la opinión dada. 11.

Para cierta empresa la función de ingreso marginal es :

dr  60q  3q 2 (en dólares) halle dq

el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 20 a 25 unidades, pues el Gerente afirma que la empresa pierde $875. Defienda o critique esta afirmación. 12.

Suponga que la función de costo marginal para el producto de un fabricante es:

dc  0, 2q  8 Si c está en dólares, determine el costo de incrementar la producción de 65 dq a 75 unidades y defienda o critique pues el cálculo hecho por Gerente indica que es de $105.7 13.

Suponga que cuando tiene x años, cierta maquinaria industrial genera ingresos a la razón de R ( x )  6025  8 x 2 dólares por años y origina costos que se acumulan a la razón de

C ( x )  4681  13 x 2 dólares por año. ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria? ¿Cuáles son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido? La gerencia ha calculado 8 años y las ganancias netas de $7 168. Defienda o critique este cálculo.

097

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SEMANA 16

SESION INTEGRADORA I.

RESPONDA verdadero (V) o falso (F), según corresponda. 1. Si, f(x) = xn, n   , entonces: f ’(x) = nxn-1 2

2 1  entonces f ( x )  2 x x

2. Si f ( x )   3. Si

entonces !

 f ( x)  f '( x).g ( x)  f ( x).g '( x) 4.    2 g ( x )    g ( x) 

  8.  c dx  c (b  a ) , donde c 9.  f ( x) dx  F (a )  F (b) 6.

cf ( x ) dx  c

f ( x ) dx

(

)

(

)

f '( x)  lim

h0

5.



7.

x n dx 

f ( x  h)  f ( x ) h

x n1 k n 1

 n  1

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

b

es una constante

a

b

a

II.

COMPLETA correctamente lo siguiente, colocando la palabra adecuada sobre la línea:  Si,

f ( x)  k , es una función constante, entonces:

f '( x)  _______________

 La integral indefinida es una ___________________, y la integra definida es un número.  En la integral indefinida, k se le llama ________________ de integración.  Sea f una función derivable en un intervalo I . Entonces: f es ____________________

f  ( x)  0  x  I .

en I si y solo si III.

Utilizando las diferentes reglas de diferenciación: halle la derivada de las siguientes funciones y , si es el caso, evalúe en el punto dado:

1.

f ( x) 

3. f ( x ) 

5.

ex

2

3

2. f ( x )  2

ln( 2 x  1)

( x  1)( 2 x  4 ) 2

4

( x  2 )3 3 1

f ( x )  ex

.ln

x 1 ;

x=1

6.

x3 1



ln( x 2  5)

 5 6 x  5  ( 4 x  5)3 f ( x )  ln   ( 7 x  8) 2  4 8 x  1

f ( x )  e( x

2 1 )2

.ln( x  1)3 ;

  

x=1

098

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IV.

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva, en cada caso:

1.

f(x)

e( x

2  2x )

, en el punto (2; k) que pertenece a dicha gráfica.

x2  5

2. y  ( x 2  1) e x2 , en el punto (2; 5).

V.

3. y  x ln( 2 x  1) ,

en el punto x = 1 .

APLICACIONES A LA ECONOMÍA 1.

Sea : C  f(q)  (q 2  1 )  1  q 3 , función costo total. Halle el costo marginal. (No simplifique su respuesta).

2.

Para cierto fabricante, la función ingreso está dada por r  70q  0.3q 2 .

a) ¿Qué tan rápido cambia el ingreso respecto a q, cuando q = 100? b) Halle la razón de cambio relativa cuando q = 10 3.

La función de demanda, de una fábrica que produce carteras, está dada por: p  50  0,3 q , ( p está en dólares y q es la cantidad producida). Halle la función de ingreso marginal y evalúela para una producción de 30 unidades. Interprete el resultado.

4.

Si la función

de demanda, para el producto de un fabricante es:  700 , ( p está en dólares y q es la cantidad producida), halle la función de ingreso marginal y evalúela cuando se venden 10 unidades. Interprete el resultado.

10 p  q  0,01q2

5.

La función de costo promedio por unidad, de una fábrica que produce cartera s,

250 , ( C está en dólares). Halle la función de q costo marginal y evalúela para q  10 . Interprete el resultado. está dada por: C  0,02 q 2  0,1q 

VI.

Encuentre la derivada indicada y evalúe en el punto determinado:

a) y 

VII.

1 ; 7x  1

y' ' (2)

b)

y

7 ; 3x  2

y' ' ' (3)

REALICE EL BOSQUEJO DE LA GRÁFICA En las siguientes funciones halle los intervalos de crecimiento y decrecimiento, los puntos máximos y mínimos relativos, las concavidades y los puntos de inflexión. a) f ( x )  2 x3  3 x 2  12 x  1

b) f ( x)  3x 4  8x 3  48x 2  10

099

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VIII.

APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS 1.

La ecuación de demanda para el producto de un fabricante es:

p

60  q

;

4 0  q  60 , donde q es el número de unidades y p es el precio por unidad. ¿Para que valor de q se tendrá un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso máximo?

2.

La ecuación de costo promedio de un comerciante que vende polos, está dada por: C  0, 2 q  72 

9000 , donde C está en dólares y q es el número de unidades q

producidas. Halle el nivel de producción que minimiza el costo y el costo mínimo. IX.

INTEGRE las siguientes funciones: a)

 (6 x  2)(4 x

 x )dx

b)

 3 x

c)

(7 x  2)(4 x3  2 x) dx  x

d)



(

f)



 1  x  1  e 2  x  

h)

5

e)

g)

X.



3

2x  3 dx x 1



e x (1  x ) 3

dx

x

xe 1

2

5 x 4  3 x3  dx

 7x

2 x 4  x )( x  3

xln x

x

) dx

x 

1 x

dx

(1  ln x ) dx

APLICACIONES DE LA INTEGRAL 1.

Un

fabricante

ha

determinado

que

la

función

costo

marginal

es

dc  0.09q 2  0.8q  12 y el costo fijo es de $ 2,500, donde q es el número de dq unidades producidas. Encuentre la función de costo total y la función de costo promedio. 2.

Para

cierto

fabricante,

su

función

de

costo

marginal

está

dada

por:

dC  6 q  4 q  300 , donde q es el número de unidades producidas. Si sus dq

3.

costos fijos son de unidades:

$ 300, determine el costo promedio cuando se producen 4

Un

determinado

dr dq

fabricante

ha

que

la

función

de

ingreso

marginal

es

 20q 2  30q , donde q es el número de unidades producidas. Encuentre la

función de ingreso total.

0100

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4.

Para cierta fabrica de artesanías, su función de ingreso marginal está dada por:

dr  200  20q  3q 2 , donde q es el número de unidades producidas. Halle la dq función de demanda, si cuando se producen 30 artículos el ingreso es de $ 2000. 5.

Para cierta compañía su función de costo marginal está dada por:

dc  6q 2  10q , dq

donde q es el número de unidades producidas. Si sus costos fijos son de S/ 4000, determine el costo promedio cuando produce 100 unidades: 6.

Un

fabricante

ha

determinado

que

la

función

costo

marginal

es

dc  0.06q 2  2q  10 , donde q es el número de unidades producidas. Si los dq costos fijos son de $3600, determine la función de costo y el costo promedio producir de producir 90 unidades. 7.

La función de ingreso marginal, para el producto de un fabricante, está dada por:

dr  15q 2  10q  2800 . Si r está en dólares, determine el ingreso cuando se dq incrementa la producción de 10 a 15 unidades 8.

La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará cambiando a una razón de cambio dada por la función: donde

P

dP dx

 0,012 x 2  0,05 x ,

es el precio.

 Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas.  ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5 semanas? 9.

La Compañía Financiera Atlantis, lanza al mercado dos planes anuales de inversión. El primero generará una rentabilidad a razón de P1  x   x 2  20 dólares por año, mientras que el segundo lo hará a la razón de P2 ( x )  104  5 x dólares por año.  Determine el número de años que el segundo plan será más rentable que el primero.  Halle la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la primera parte.

0101