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• Joel Jesús Arias

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Guía de estudio Matemática V

UNEFM

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL “FRANCISCO DE MIRANDA” AREA DE TECNOLOGIA COMPLEJO ACADEMICO “LOS PEROZO” DEPARTAMENTO DE FÍSICA Y MATEMATICA

Profesor: Ing. Pedro Manuel Pérez. MSc: (Jefe Depto Física y Matemática).

A continuación, les envió la actividad es importante que cada uno de ustedes se esmere en realizar de forma específica cada uno de los aspectos a desarrollar que deben entregar de forma ordenada y detallada. Esta

Asignación

deberá

ser entregada

por

el

correo

electrónico

([email protected] o por el WhatsApp de cada uno de ustedes, y no hacerlo al WhatsApp del grupo), todo debe estar compilado en un solo archivo, es decir deben organizar en un solo documento Word o PDF todos los ejercicios y problemas desarrollados. La actividad debe ser entregada en la fecha establecida, viernes 12/02/2021 en el horario de 8:00 am a 05:00 pm.  Si cumple con la fecha fijada, la actividad se evaluara en base a un 100%, es decir 20 puntos.  Si entrega el mismo día fuera de la hora establecida, la actividad se evaluará en base a un 75%, es decir 15 puntos.  Si entrega el día siguiente en la mañana, la actividad será evaluada en base a un 50%, es decir 10 puntos.

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1). Realizar un mapa mental o conceptual donde se plasmen los aspectos más importantes sobre los tópicos estudiados. (Se puede realizar un esquema por cada tema estudiado): 2). Realizar los ejercicios propuestos al final de cada tema.

TEMA 6 SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 4.1.

METODO DE GAUSS - SEIDEL

El método de Gauss-Seidel es un método iterativo y por lo mismo resulta ser bastante eficiente. Se comienza planteando el sistema de ecuaciones con el que se va a trabajar:

De la ecuación 1 despejar x1, de la ecuación 2 despejar x2, …, de la ecuación n despejar x n. Esto da el siguiente conjunto de ecuaciones:

x1 

b1  a12 x 2    a1n x n a11

x2 

b2  a 21x1    a 2n x n a 22

 xn 

bn  a n1 x1    a nn1 x n1 a nn

Este último conjunto de ecuaciones son las que forman las fórmulas iterativas con las que se va a estar trabajando. Para comenzar el proceso iterativo, se le da el valor de cero a las variables x 2,…, xn; esto dará un primer valor para x1. Más precisamente, se tiene que:

Enseguida, se sustituye este valor de x 1 en la ecuación 2, y las variables x3,…, xn siguen teniendo el valor de cero. Esto da el siguiente valor para x2:

Estos últimos valores de x1 y x2, se sustituyen en la ecuación 3, mientras que x4,…, xn siguen teniendo el valor de cero; y así sucesivamente hasta llegar a la última ecuación. Todo este paso arrojará una lista de primeros valores para las incógnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Para una mejor comprensión esto se simbolizará de esta forma:

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Se vuelve a repetir el proceso, pero ahora sustituyendo estos últimos datos en vez de ceros como al inicio. Se obtendrá una segunda lista de valores para cada una de las incógnitas, lo cual se simbolizará así:

En este momento se pueden calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incógnitas. La lista de errores se presenta a continuación:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:

donde se

s debe prefijar convenientemente.

Criterio de convergencia para el método de Gauss-Seidel: Es lógico preguntarse si siempre el método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema de ecuaciones y también es lógico esperar que la respuesta es NO. Un resultado de Análisis numérico da una condición suficiente para la convergencia del método. Teorema: El método de Gauss-Seidel converge a la solución del sistema si se cumple la condición de que la matriz de coeficientes del sistema sea una matriz diagonalmente dominante, es decir, si se cumple la siguiente condición:

La condición de ser una matriz diagonalmente dominante simplemente significa que los elementos de la diagonal son mayores (en valor absoluto) que la suma de los valores absolutos de los demás elementos del mismo renglón. Sin embargo, la condición de la matriz diagonalmente dominante, solamente es una condición suficiente pero no necesaria, es decir, existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que sí convergen a la solución y también existen sistemas de ecuaciones que no cumplen con la condición y que no convergen a la solución. Ejemplo:

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Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

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s  1% .

Solución: Verificando el criterio de convergencia: Primera fila: |a11| > (|a12| + |a13|) 3 > (0.2 + 0.5) 3 > 0.7; es cierto. La condición se cumple para la primera fila. Segunda fila: |a22| > (|a21| + |a23|) 7 > (0.1 + 0.4) 7 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la segunda fila. Tercera fila: |a33| > (|a31| + |a32|) 10 > (0.4 + 0.1) 10 > 0.5; es cierto. La condición se cumple para la tercera fila. Se puede observar que la matriz sí es diagonalmente dominante y por lo tanto, el método de Gauss-Seidel sí converge a la solución del sistema. Primera iteración: Primero se despejan las incógnitas x1, x2 y x3 de las ecuaciones 1, 2 y 3 respectivamente. Se tiene:

Estas últimas son el juego de fórmulas iterativas que se estará utilizando. Se comienza el proceso iterativo sustituyendo los valores de x 2 = x3 = 0 en la primera ecuación, para calcular el valor de x1:

x1  2.66667

x1  2.66667 y x3 = 0 en la segunda ecuación para obtener x2: x2  2.82381 Ahora se sustituye x1  2.66667 y x2  2.82381 en la tercera ecuación para obtener x3: x3  7.1051 Ahora se sustituye

Así se tiene la primera aproximación a la solución del sistema:

Segunda iteración:

x2  2.82381 y x3  7.1051 en la ecuación 1 se obtiene x1  3.6626 . Sustituyendo x1  3.6626 y x3  7.1051 en la ecuación 2 se obtiene x2  3.24404 ; finalmente, sustituyendo x1  3.6626 y x2  3.24404 en la ecuación 3 se obtiene x3  7.06106 . Es así como se tiene la segunda lista de valores de aproximación a la solución del Sustituyendo

sistema:

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Ahora se pueden calcular los errores absolutos para cada una de las incógnitas:

Nótese que aunque el error aproximado

a,3  1% , esto se debe cumplir para los tres errores

aproximados. Por lo tanto se repite el mismo proceso. Tercera iteración: Omitiendo los pasos intermedios, se obtiene:

En este caso se tienen los siguientes errores aproximados:

a,1 

3.62724  3.6626  100%  0.97% 3.62724

a,2 

 3.24102  3.24404  100%  0.093%  3.24102

a,3 

7.06250  7.06106  100%  0.02% 7.06250

Se puede observar que ahora se ha cumplido el objetivo para cada uno de los errores aproximados. Por lo tanto, se concluye que la solución aproximada es:

Propuestos 1. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

10 x1  2 x 2  x3  27  3x1  6 x 2  2 x3  61.5 x1  x 2  5 x3  21.5

s  1% .

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2. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

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s  1% . Si es

necesario, reacomode las ecuaciones para lograr convergencia.

 3x1  x 2  12 x3  50

6 x1  x 2  x3  3 6 x1  9 x 2  x3  40 3. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para

s  1% . Si es

necesario, reacomode las ecuaciones para lograr convergencia.

 5 x1  1.4 x 2  2.7 x3  94.2 0.7 x1  2.5 x2  15 x3  6 3.3x1  11x2  4.4 x3  27.5 4. El sistema de ecuaciones siguiente está diseñado para determinar concentraciones (c) en g/m 3 en una serie de reactores acoplados como función de la cantidad de masa de entrada en cada uno de ellos (lados derechos) en g/d. Usar el método de Gauss-Seidel para aproximar la solución del sistema, para s  1% .

15c1  3c2  c3  3800  3c1  18c 2  6c3  1200  4c1  c 2  12c3  2350