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UPLA MECÁNICA DE FLUIDOS E HIDRÁULICA

FACULTAD DE INGENIERÍA Mg. Alejandro García Ortiz

UNIVERSIDAD PERUANA LOS ANDES

2020-I

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UPLA MECÁNICA DE FLUIDOS E HIDRÁULICA

FACULTAD DE INGENIERÍA Mg. Alejandro García Ortiz

PRÓLOGO El estudio de la Ingeniería exige al estudiante una constante metodología, y aún más, la convicción de que el número de problemas resueltos sobre un determinado tema, son los suficientes para tener bien clara la teoría estudiada. Este compendio académico ha sido concebido con el principal propósito de complementar los textos utilizados en el curso de Mecánica de Fluidos. Se basa en la convicción del esclarecimiento y comprensión de los principios fundamentales de cualquier rama de la mecánica se obtienen mejor mediante numerosos ejercicios ilustrativos. Este compendio académico de Mecánica de Fluidos I se divide en siete capítulos que abarcan áreas bien definidas de teoría y estudio. Cada capítulo se inicia con el establecimiento de las definiciones pertinentes, principios y teoremas junto con el material ilustrativo y descriptivo, al que sigue una serie de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos y propuestos ilustran y amplían la teoría, presentan métodos de análisis, proporcionan ejemplos prácticos e iluminan con aguda perspectiva aquellos aspectos de detalle que capacitan al estudiante para aplicar los principios fundamentales con corrección y seguridad. Es importante aclarar que este compendio académico hace uso del sistema internacional de unidades (SI). Concretamente, en la mitad de los problemas se utiliza el SI y en la mitad restante el Sistema Ingles, para así poder familiarizarse con los dos sistemas de unidades. Deseo que encuentren agradable el contenido de este compendio académico y que les sirva de eficaz ayuda en sus estudios de Mecánica de Fluidos e Hidráulica. Agradeceré con sumo gusto sus comentarios, sugerencias y críticas.

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ÍNDICE ❖ CAPÍTULO I VISCOSIDAD DE LOS FLUIDOS

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❖ CAPÍTULO II ESTÁTICA DE FLUIDOS (MANOMETRÍA)

41

❖ CAPÍTULO III ESTÁTICA DE FLUIDOS (FUERZA HIDROSTÁTICA SOBRE SUPERFICIES SUMERGIDAS)

69

❖ CAPÍTULO IV DINÁMICA DE FLUIDOS (ECUACIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA)

95

❖ CAPÍTULO V DINÁMICA DE FLUIDOS (FUERZAS DESARROLLADAS POR LOS FLUIDOS EN MOVIMIENTO)

136

❖ CAPÍTULO VI FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS (PÉRDIDAS DE ENERGÍA DEBIDO A LA FRICCIÓN)

151

❖ CAPÍTULO VII FLUJO VISCOSO EN TUBERÍAS (PÉRDIDAS MENORES)

176

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CAPÍTULO I

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OBJETIVOS ➢ Definir Fluido. ➢ Identificar las propiedades físicas que gobiernan a un fluido. ➢ Definir Viscosidad. ➢ Definir Viscosidad Dinámica y Viscosidad Cinemática. ➢ Identificar las unidades de viscosidad tanto en el Sistema Internacional (SI) como en el Sistema Británico (SIG). ➢ Describir la diferencia entre un fluido newtoniano y un fluido no newtoniano. ➢ Describir la variación de viscosidad con la temperatura tanto para líquidos como para gases. ➢ Describir la Aplicación Ingenieril de la mecánica de fluidos.

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MECÁNICA DE FLUIDOS La mecánica de fluidos es la disciplina del amplio campo de la mecánica aplicada que estudia el comportamiento de líquidos y gases en reposo o en movimiento. Es obvio que este campo de la mecánica comprende una amplia gama de problemas que puedan variar desde el estudio del flujo del torrente sanguíneo en los vasos capilares (que miden apenas unos cuantos micrómetros de diámetro) hasta el flujo de petróleo crudo por Alaska a través de un ducto de 4 pies de diámetro y 800 millas de longitud. Los principios de mecánica de fluidos son necesarios para explicar por qué los aviones se fabrican en forma aerodinámica con superficies lisas para obtener vuelos más eficaces, en tanto que las pelotas de golf se elaboran con superficies rugosas (con hoyuelos) a fin de incrementar su eficacia. ANÁLISIS DEL COMPORTAMIENTO DE FLUIDOS El estudio de la mecánica de fluidos emplea las leyes fundamentales que ya se han encontrado en física y otros cursos de mecánica. Estas leyes incluyen las leyes de movimiento de Newton, la ley de conservación de la masa y la primera y segunda ley de la termodinámica. Así, existen fuertes semejanzas entre el método general de la mecánica de fluidos y el de la mecánica de sólidos de cuerpo rígido y un cuerpo deformable. Este hecho es efectivamente de utilidad, ya que muchos de los conceptos y técnicas de análisis usadas en mecánica de fluidos ya han aparecido en otros cuerpos. El amplio tema de la mecánica de fluidos se puede subdividir, en general, en estática de fluidos, donde el fluido está en reposo, y en dinámica de fluidos, donde el fluido está en movimiento. En los temas siguientes del desarrollo del curso se abordarán en detalle ambas áreas. Sin embargo, antes de proceder es necesario definir y analizar ciertas propiedades de los fluidos que están estrechamente relacionadas con el comportamiento del fluido. Es obvio que los fluidos diferentes pueden poseer, en general, características distintas. Por ejemplo, los gases son ligeros y compresibles, mientras los líquidos son pesados (por comparación) y relativamente incompresibles. Un jarabe sale lentamente de un recipiente, pero el agua lo hace rápidamente cuando es vertida del mismo recipiente. Para cuantificar éstas diferencias se usan ciertas propiedades de los fluidos. En las diversas secciones siguientes se consideran las propiedades que desempeñan un papel importante en el análisis del comportamiento de fluidos. 1. MEDIDAS DE MASA Y PESO DE FLUIDOS 1.1. DENSIDAD La densidad de un fluido, designado por la letra griega  (rho), se define como la masa por unidad de volumen. La densidad se usa para caracterizar la masa de un sistema fluido. En el sistema IG, las 3 3 unidades de  son slugs / pie y en el SI, Kg / m .

El valor de la densidad puede variar ampliamente entre fluidos diferentes, pero para líquidos las variaciones de presión y temperatura en general afectan muy poco el valor de  . El pequeño cambio en la densidad del agua con grandes variaciones de temperatura se ilustra en la siguiente figura.

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Densidad del agua en función de la temperatura La densidad del agua a 60ºF(15ºC) es1.94 slugs / pie3 o 1000 Kg / m3 . ¡La gran diferencia entre estos dos valores ilustra la importancia que se debe otorgar a las unidades! Al contrario de cómo sucede en los líquidos, la densidad de un gas es fuertemente afectada por la presión y la temperatura, y esta diferencia se analizará en la siguiente sección. 1.2. PESO ESPECÍFICO El peso específico de un fluido, designado por la letra griega  (gamma), se define como su peso por unidad de volumen. Así, el peso específico está relacionado con la densidad por medio de la ecuación:

 = .g Donde g es la aceleración local debida a la gravedad. Así como la densidad se usa para caracterizar la masa de un sistema fluido, el peso específico se usa para caracterizar el peso del sistema. En el IG,  tiene unidades de lb / pie3 y en el SI, las unidades son N / m3 . En condiciones de gravedad normal

g = 32.2 pies / s 2 (IG) o g = 9.81m / s 2 (SI), el agua a 60ºF (15ºC) tiene un peso específico de 3 62.4 lb / pie o 9810 N / m3 .

1.3. DENSIDAD RELATIVA La densidad relativa de un fluido, designada por DR, se define como la densidad del fluido dividida entre la densidad del agua a alguna temperatura específica. Casi siempre la temperatura específica se considera 3

como 4ºC (39.2ºF) y esta temperatura la densidad del agua es 1.94 slugs / pie o 1000 Kg / m3 . En forma de ecuación, la densidad relativa se expresa como:

DR =

  agua a 4 ªC

Resulta evidente que la densidad, el peso específico y la densidad relativa están, todos, interrelacionados y que a partir de cualquiera de ellos es posible calcular los demás. 7

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2. LEY DE LOS GASES IDEALES Los gases ideales son bastante compresibles en comparación con los líquidos, donde los cambios en la densidad del gas están relacionados directamente con los cambios en la presión y temperatura por medio de la ecuación:

p = RT Donde p es la presión absoluta,  es la densidad, T es la temperatura absoluta, R es una constante del gas (para el aire R = 0.287KJ / kgK o R = 1716pie.lb / slugº R ). La ecuación mostrada anteriormente se denomina ley de los gases ideales o perfectos, o bien, ecuación de estado para un gas ideal. Las unidades de presión, en IG se expresa como lb / pie2 o como lb / pu lg 2 , y en unidades SI se expresa como N / m 2 . En el SI, 1 N / m 2 se define como pascal (que se abrevia Pa) y las presiones se especifican en pascales. La presión en la ley de los gases ideales se debe expresar como una presión absoluta, lo que significa que se mide con respecto a la presión cero absoluta (presión que sólo ocurriría en el vacío perfecto). Por acuerdo internacional, la presión atmosférica normal a nivel del mar es de 14.696 lb / pu lg 2 (abs) o 101.33 kPa (abs).Para casi todos los cálculos, estas presiones se pueden redondear a 14.7 lb / pu lg 2 y 101 kPa, respectivamente. En ingeniería es práctica común medir la presión con respecto a la presión atmosférica local y cuando se mide de esta manera se denomina presión manométrica. Así, la presión absoluta se puede obtener a partir de la presión manométrica sumándole el valor de la presión atmosférica normal.

pabs = pman + patm Ejemplo: Un depósito de aire comprimido tiene un volumen de 0.84 pie3 . Determinar la densidad y el peso del aire en el depósito cuando éste se llena de aire a una presión manométrica de 50 lb / pu lg 2 . Suponer que la temperatura es de 70ºF y que la presión atmosférica es de 14.7 lb / pu lg 2 (abs). Solución: Determinación de la densidad del aire

=

p RT

…(1)

Determinación de P

pabs = pman + patm = 50

lb lb lb + 14 . 7 = 64 . 7 pu lg 2 pu lg 2 pu lg 2

Determinación de T

T = 70 + 460 = 530º R Para el aire comprimido

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R = 1716

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pie.lb slugº R

Reemplazando valores en (1)

 lb pu lg 2   64.7   144 2 2  pu lg pie  =  pie.lb  1716   (530º R ) slug º R  

 = 0.0102

slugs pie3

Rpta.

Determinación de W

W = .g.V W = 0.0102

slugs pie slug. pie 3  32 . 2  0 . 84 pies = 0 . 276 pie3 s2 s2

Como:

1

slug. pie = 1 lb , entonces: 2 s

W = 0.276 lb

Rpta.

3. VISCOSIDAD Las propiedades de densidad y peso específico son medidas de la “pesadez” de un fluido. Sin embargo, resulta claro que estas propiedades no son suficientes para caracterizar de manera única cómo se comportan los fluidos, ya que dos fluidos (como el agua y el aceite) pueden tener aproximadamente el mismo valor de la densidad aunque un comportamiento bastante diferente al fluir. Aparentemente, existe una propiedad adicional necesaria para describir la “fluidez”. A fin de determinar esta propiedad adicional, considérese un experimento hipotético en el que un material se coloca entre dos placas paralelas bastante anchas, la placa inferior está fija, pero la placa superior se puede mover libremente. Si un fluido, como el agua, se colocase entre las dos placas y se cargara con la fuerza P como se muestra. Cuando la fuerza P se aplica a la placa superior, ésta se mueve de manera continua con una velocidad, U (una vez que se extingue el movimiento transitorio inicial), como se ilustra en la figura 3.1. Este comportamiento es consistente con la definición de fluido; es decir, si se aplica un esfuerzo cortante a un fluido, éste se deforma de manera continua. Una revisión más detallada del movimiento del fluido entre las dos placas revelaría que el fluido en contacto con la placa superior se 9

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mueva a la velocidad de la placa, U, y que el fluido en contacto con la placa inferior fija posee una velocidad igual a cero. El fluido entre las dos placas se desplaza con una velocidad u = u(y) que varía linealmente, u = Uy / b , como se ilustra en la figura 3.1. Así, en el fluido entre las dos placas se forma un gradiente de velocidad, du / dy . En este caso particular, el gradiente de velocidad es constante, ya que du / dy = U / b , pero en situaciones de flujo más complejas esto no es cierto. La observación experimental de que el fluido se “adhiere” a los linderos del sólido es de suma importancia en mecánica de fluidos, y se llama condición de no deslizamiento. Todos los fluidos, tanto líquidos como gaseosos, satisfacen esta condición. En un pequeño incremento de tiempo t , una recta vertical imaginaria AB en el fluido giraría un ángulo  , de modo que:

Tan( )   =

a b

Como a = U .t , se concluye que:

 =

U .t b

Se observa que en este caso  es función no sólo de la fuerza P (que rige a U), sino también del tiempo. Así, se considera la razón de cambio de  y la razón (o velocidad) de deformación de corte se define •

 como: •

 t →0 t

•

U du = b dy

 = lím Que en este caso es igual a:

=

La continuación de este experimento revelaría que a medida que el esfuerzo cortante  se incrementa al aumentar P (recuérdese que  = P / A ), la razón de deformación de corte aumenta en proporción directa; es decir: •

  O bien:



du dy

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Este resultado indica que para fluidos comunes como agua, aceite, gasolina y aire el esfuerzo cortante y la razón de deformación de corte (gradiente de velocidad) se pueden relacionar mediante una expresión de la forma:

 =

du dy

Donde la constante de proporcionalidad se designa por la letra griega  (mu) y se denomina viscosidad absoluta, viscosidad dinámica o simplemente viscosidad del fluido.

Figura 3.1 Comportamiento de un fluido colocado entre dos placas paralelas. 3.1 VISCOSIDAD DINÁMICA Cuando un fluido se mueve, desarrolla en él una tensión de corte, cuya magnitud depende de la viscosidad del fluido. La tensión de corte, denotada con la letra griega  (tao), puede definirse como la fuerza requerida para deslizar una capa de área unitaria de una sustancia sobre otra capa de la misma sustancia. Así pues,  es una fuerza dividida entre un área y puede medirse en unidades de newtons por metro cuadrado ( N / m 2 ) o en libras por pie cuadrado ( lb / pie2 ). En un fluido como el agua, el aceite, el alcohol, o cualquier otro líquido común, encontramos que la magnitud de la tensión de corte es directamente proporcional al cambio de velocidad entre diferentes posiciones del fluido. En la figura 3.1.1 se ilustra el concepto de cambio de velocidad en un fluido mediante la exhibición de una capa delgada del fluido situada entre dos superficies, una de las cuales está estacionaria, mientras que la otra se está moviendo.

Figura 3.1.1 11

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Una condición fundamental que se presenta cuando un fluido real está en contacto con una superficie frontera, es que el fluido tiene la misma velocidad que la frontera. En la figura 3.1.1, entonces, el fluido que está en contacto con la superficie inferior tiene velocidad cero y el que está en contacto con la superficie superior tiene velocidad U. Si la distancia entre las dos superficies es pequeña, entonces la rapidez de cambio de velocidad con respecto de la posición “y” es lineal. Esto es, varía como una línea recta. El gradiente de velocidad es una medida del cambio de velocidad y se define como du / dy . También se le conoce como rapidez de corte. El hecho de que la tensión de corte del fluido es directamente proporcional al gradiente de velocidad puede establecerse matemáticamente como:

 =

du …(3.1.1) dy

Donde la constante de proporcionalidad  (letra griega mu) se conoce como viscosidad dinámica del fluido. Unidades de la viscosidad dinámica Se utilizan muchos sistemas de unidades diferentes para expresar la viscosidad. Los sistemas que se utilizan con más frecuencia se describen en la presente sección para la viscosidad dinámica, y en la siguiente para la viscosidad cinemática. La definición de viscosidad dinámica puede ser derivada de la ecuación 3.1.1, despejando  .

=



 y  =  …(3.1.2) du / dy  u 

Las unidades para  pueden derivarse al sustituir unidades SI en lugar de las cantidades involucradas en la ecuación (3.1.2), de la manera siguiente:

=

N m N .s  = m2 m / s m2

Puesto que Pa es otro nombre de las unidades

N / m2 , también podemos expresar 

como:

 = Pa.s En ocasiones, cuando las unidades de  se combinan con otros términos, en especial la densidad, resulta 2 conveniente expresar  en términos de Kg, en lugar de N. Como 1N = 1Kg.m / s , la viscosidad

dinámica puede expresarse como:

=

N .s Kg .m s Kg = 2  2 = 2 m s m m.s

Así, tanto N .s / m 2 , Pa.s , Kg / m.s pueden utilizarse como unidades de  en el Sistema Internacional. En resumen se muestra el siguiente cuadro de equivalencias entre unidades. 12

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3.2 VISCOSIDAD CINEMÁTICA Muchos cálculos en mecánica de fluidos implican el cociente de la viscosidad dinámica entre la densidad del fluido. Como una convención, la viscosidad cinemática,  (letra griega nu), se define como:

=

 

…(3.2.1)

Puesto que  y  son propiedades del fluido,  también lo es. Unidades de la viscosidad cinemática Podemos derivar las unidades SI para la viscosidad cinemática al sustituir las unidades desarrolladas previamente para  y  :

=

1  =     

Entonces:

Kg m3 m 2 =  = m.s Kg s En la siguiente tabla se presentan las unidades de viscosidad cinemática en los tres sistemas utilizados con más frecuencia.

3.3 FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS El estudio de las características de deformación y de flujo se conoce como reología, que es el campo del cual aprendemos acerca de la viscosidad de los fluidos. Una diferencia importante que se debe entender es la de los fluidos newtonianos y los fluidos no newtonianos. Cualquier fluido que se comporte de acuerdo con la ecuación (3.1.1) se conoce como newtoniano. La viscosidad  es función exclusivamente de la condición del fluido, en particular de su temperatura. La magnitud del gradiente de velocidad, du / dy , no

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tiene efecto sobre la magnitud de  . Los fluidos más comunes, como agua, aceite, gasolina, alcohol, kerosene, benceno y glicerina, están clasificados como fluidos newtonianos. Por el contrario, un fluido que no se comporta de acuerdo con la ecuación (3.1.1) se conoce como fluido no newtoniano. La diferencia entre los dos tipos se muestra en la figura 3.3.1. La viscosidad del fluido no newtoniano depende del gradiente de velocidad, además de la condición del fluido.

Figura 3.3.1 Variación del esfuerzo cortante con la razón de deformación de corte

3.4 VARIACION DE LA VISCOSIDAD CON LA TEMPERATURA Como ya se mencionó y se ilustra en la figura 3.4.1, la viscosidad es bastante sensible a la temperatura. Por ejemplo, a medida que la temperatura del agua cambia de 60 a 100ºF, la densidad disminuye menos de 1%, pero la viscosidad disminuye casi 40%. Así, resulta evidente que cuando se determina la viscosidad es necesario tener cuidado especial con la temperatura. El efecto de la temperatura sobre la viscosidad se puede aproximar bastante usando dos fórmulas empíricas. Para gases, la ecuación de Sutherland se puede expresar como:

CT 3 / 2 = T +S

…(3.4.1)

Donde C y S son constantes empíricas y T es la temperatura absoluta. Por lo tanto, si se conoce la viscosidad a dos temperaturas es posible determinar C y S. O bien, si se conocen más de dos viscosidades es posible correlacionar los datos con la ecuación 3.4.1 usando algún tipo de esquema de ajuste de curvas. Para líquidos, una ecuación empírica que se utiliza es:

 = D.e B / T

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Donde D y B son constantes y T es la temperatura absoluta. Esta ecuación a menudo se denomina ecuación de Andrade. Así como en el caso de los gases, para poder determinar las dos constantes es necesario conocer la viscosidad por lo menos a dos temperaturas.

Figura 3.4.1 Viscosidad dinámica de algunos fluidos comunes en función de la temperatura. 4. COMPRESIBILIDAD DE LOS FLUIDOS 4.1 MODULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO Una cuestión importante a contestar cuando se considera el comportamiento de un fluido particular es cuán fácilmente puede caviar el volumen (y, por tanto, la densidad) de una masa dada del fluido cuando hay un cambio en la presión. Es decir, ¿cuán compresible es el fluido? Una propiedad de uso común para caracterizar la compresibilidad es el módulo de elasticidad volumétrico, Ev ,definido por:

Ev = −

dp (dV / V ) …(4.1.1)

Donde dp es el cambio diferencial de presión necesario para crear un cambio diferencial de volumen,

dV , de un volumen V . El signo negativo se incluye porque un aumento de presión produce una 15

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disminución de volumen. Como al disminuir el volumen de una masa dada, m = V , se obtiene un incremento en la densidad, la ecuación 4.1.1 también se puede expresar como:

Ev =

dp (d /  ) …(4.1.2)

4.2 COMPRESIÓN Y EXPANSIÓN DE GASES Cuando se comprimen (o expanden), la relación entre presión y densidad depende de la naturaleza del proceso. Si la compresión o expansión se efectúa en condiciones de temperatura constante (proceso isotérmico), entonces por la ley de los gases ideales se tiene que:

p



= cte …(4.2.1)

Si la compresión o expansión es sin fricción y no se intercambia calor con el retorno (proceso isentrópico), entonces:

p

k

= cte …(4.2.2)

Donde k es la relación del calor específico a presión constante, c p , al calor específico a volumen constante, cv (es decir, k = c p / cv ). Los dos calores específicos están relacionados con la constante del gas, R, a través de la ecuación R = c p − cv . Relacionado estas ecuaciones 4.1.1; 4.1.2; 4.2.1 y 4.2.2 se obtiene concluye también: Para un proceso isotérmico:

Ev = p

Para un proceso isentrópico:

Ev = k. p

Obsérvese que en ambos casos el módulo volumétrico varía directamente con la presión. Para aire en 2 condiciones atmosféricas normales con p = 14.7lb / pu lg (abs) y k = 1.40 , el módulo volumétrico 2 isentrópico es 20.6 lb / pu lg . Al comparar este valor con el del agua en las mismas condiciones 2 ( Ev = 312000 lb / pu lg ) se observa que el aire es aproximadamente 15000 veces más compresible que

el agua. Así, es obvio que al tratar con gases es necesario prestar mayor atención al efecto de la compresibilidad sobre el comportamiento del fluido. Sin embargo, los gases a menudo se pueden considerar como fluidos incompresibles si los cambios de presión son pequeños.

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TABLAS Y DIAGRAMAS VISCOSIDAD DINÁMICA DE FLUIDOS COMUNES COMO FUNCION DE LA TEMPERATURA.

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PROBLEMAS RESUELTOS PROB.1.57 (MUNSON) Entre dos placas paralelas hay petróleo crudo cuya viscosidad es de 9.52x10 -4 lbs/pie2. La placa inferior está fija y la placa superior se mueve cuando se aplica una fuerza P. Si la distancia entre las dos placas es de 0.1 pulg, ¿qué valor de P se requiere para trasladar la placa con una velocidad de 3 pies/s? El área efectiva de la placa superior es de 200 plug2 . SOLUCIÓN: Gráfica del problema

La fuerza P está dada por: P =   A …(1) Sabemos:

 =

dV dy

Para el problema la velocidad (V) y espesor de película (h) son constantes

 = 

V …(2) h

Reemplazando en (1)

P=

V A h

Reemplazando valores en está ecuación:

   3 pie / s     lb . s 1 pie2  −4 2      P =  9.52 10   200 pu lg  2  2  0 . 1 pie 144 pu lg     pie    12  P = 0.476lb Rpta.

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PROB.1.58 (MUNSON) Un fluido newtoniano con densidad relativa de 0.92 y viscosidad cinemática de 4x10 -4m2/s fluye por una superficie fija. En la figura se muestra el perfil de velocidad cerca de la superficie. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante desarrollado sobre la placa. Expresar la respuesta en términos de U y  , con U y  expresados en unidades de metros por segundo y metros, respectivamente.

SOLUCIÓN: Determinación de

 =



du …(1) dy

Determinación de du / dy 3 du d   3 y 1  y   = U −    dy dy   2  2    

du 3U  1 y 2   −  = dy 2    3  Para la condición de la superficie (y =0)

 du  3U   =  dy  y =0 2 También sabemos que:

 = .

,entonces:  =  ( DR)  agua

Reemplazando valores en (1)

3 U 2 3  (4 10−4 m 2 / s)(0.92 1000kg / m3 )U = 2 U N  = 0.552 Rpta.  m2

=

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PROB.1.59 (MUNSON) Un fluido newtoniano con densidad relativa de 0.92 y viscosidad cinemática de 4 x10−4 m 2 / s fluye por una superficie fija. En la figura se muestra el perfil de velocidad cerca de la superficie. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante desarrollado sobre la placa. Expresar la respuesta en términos de U y  , con U y  expresados en unidades de metros por segundo y metros respectivamente.

SOLUCIÓN: Determinación de

 =



du …(1) dy

Determinación de du / dy

du d    y  = U .sen  dy dy   2   du U  y  = cos  dy 2 2 Para la condición de la superficie (y =0)

 du  U   =  dy  y =0 2 También sabemos que:

 = .

,entonces:  =  ( DR)  agua

Reemplazando valores en (1)

( DR)  aguaU 2   (4 10−4 m 2 / s)(0.92 1000kg / m3 )U = 2

=

 = 0.578

U



N Rpta. m2

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PROB.1.60 (MUNSON) La viscosidad de la sangre de debe determinar a partir de mediciones del esfuerzo cortante,  , y de la razón de deformación de corte, du / dy , obtenidas a partir de una pequeña muestra de sangre probada en un viscosímetro apropiado. Con base en los datos que se proporcionan a continuación, determinar si la sangre es un fluido newtoniano o no newtoniano.

 (N/m2) du/dy

(s-1)

0.04 2.25

0.06 4.50

0.12 11.25

0.18 22.5

0.30 45.0

0.52 90.1

1.12 225

2.10 450

SOLUCIÓN: Ecuación básica:

 =

du  = dy  du     dy 

De la teoría de fluidos newtonianos y no newtonianos, tenemos que: Si: ➢  = cte , entonces se trata de un fluido newtoniano ➢   cte , entonces se trata de un fluido no newtoniano Evaluando con los datos presentados por el problema du  =  /( ) 0.01178 0.0133 0.0107 0.0080 0.0067 dy

0.0058

0.0050

0.0047

Según los resultados mostrados en el cuadro anterior, podemos observar que se trata de un fluido no newtoniano Análisis gráfico con base a los datos proporcionados

Esfuerzo cortante

2,50 2,00 1,50 1,00 0,50 0,00

450,00

225,00

90,00

45,00

22,50

11,25

4,50

2,25

Gradiente de velocidad

Rpta: .¡La

sangre es un fluido no newtoniano!

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PROB.1.61 (MUNSON) Un bloque de 10Kg se desliza hacia abajo sobre un plano inclinado liso, como se muestra en la figura. Determinar la velocidad terminal del bloque si la separación de 0.1mm entre el bloque y la superficie contiene aceite SAE 30 a 60ºF. Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal y que el área del bloque en contacto con el aceite es de 0.2 m2 .

SOLUCIÓN: Ecuación básica:

F V = =  A y V …(1) y Realizando“D.C.L” del bloque  F =  . A = . A.

Aplicamos la 2da. Ley de Newton

F

= m.a X = 0 F − W .sen = 0 …(2) X

Reemplazando (1) en (2)

. A.

V y.m.g.sen − m.g.sen = 0  V = …(3) y . A

Para el aceite SAE30 a 60ºF:  = 0.38

N .s m2

Reemplazando valores en (3):

(0.1 10−3 m)(10x9.81Nxsen20º ) V= N .s (0.38 2 )(0.2m 2 ) m V = 0.044m / s Rpta.

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PROB.1.62 (MUNSON) Un cubo sólido que mide 0.5 pies de arista y pesa 100 lb desciende por una superficie lisa que forma un ángulo de 30º con la horizontal. El bloque se desliza sobre una película de aceite cuya viscosidad es de 1.71 x 10 -2 lb.s/pie2. Si la velocidad es de 1.2 pies/s, ¿Cuál es el grosor de la película? Suponer una distribución de velocidad lineal en la película. SOLUCIÓN: Gráfica del problema

Ecuación básica:

F V = =  A y V …(1) y Realizando“D.C.L” del bloque  F =  . A = . A.

Aplicamos la 2da. Ley de Newton

F

= m.a X = 0 F − W .sen = 0 …(2) X

Reemplazando (1) en (2)

. A.

V V .. A − W .sen = 0  y = …(3) y W .sen

Reemplazando valores:

(1.2 pie / s)  (1.71 10 −2 lb.s / pie2 )  (0.5 x0.5 pie 2 ) 100 lb  sen30º y = 0.0001pie

y=

y = 0.0012pu lg Rpta.

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PROB.1.63 (MUNSON) Una capa de agua desciende por una superficie inclinada fija con perfil de velocidad que se muestra en la figura. Determinar la magnitud y dirección del esfuerzo cortante que ejerce el agua sobre la superficie fija para U =3m/s y h =0.1 m.

SOLUCIÓN: Determinación de

 =



du …(1) dy

u y y2 =2 − 2 Determinación de du / dy U h h du d   y y 2  = U  2 −  dy dy   h h 2  du  2 2y  =U − 2  dy h h  Para la condición de la superficie (y =0)

 du  2U   = h  dy  y =0 Para el agua a condiciones normales:  = 1.15  10 −3

N .s m2

Reemplazando valores en (1)

2.U h 2  (1.15 10−3 N .s / m 2 )(3m / s) = 0.1m N  = 0.069 2 Rpta. m

=

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PROB.1.64 (MUNSON) Una gran placa móvil está colocada entre dos grandes placas fijas, como se muestra en la figura. Dos fluidos newtonianos con las viscosidades indicadas están contenidos entre las placas. Determine la magnitud y dirección de los esfuerzos cortantes que actúan sobre las paredes fijas cuando la placa móvil posee una velocidad de 4 m/s, como se muestra. Suponer que la distribución de velocidad entre las placas es lineal.

SOLUCIÓN: Ecuación Básica:

 =

dV V = dy e

Diagrama de esfuerzos cortantes existentes

Para la placa superior con ancho de claro e1

V N .s 4m / s = (0.02 2 )( ) e1 m 0.006m N  1 = 13.33 2 m Rpta.

1 = 

Para la placa superior con ancho de claro

e2

V N .s 4m / s = (0.01 2 )( ) e2 m 0.003m N  2 = 13.33 2 m Rpta.

2 = 

Los esfuerzos cortantes actúan en dirección al movimiento de la placa móvil. Rpta.

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PROB.2.61M (R. MOTT) En un viscosímetro de caída de bola, se permite que una bola de acero de 1.6mm de diámetro caiga libremente en aceite combustible pesado que tiene una gravedad específica de 0.94. El acero pesa 77KN / m 3 .Si se observa que la bola cae 250mm en 10.4 segundos. Calcule la viscosidad del aceite. SOLUCIÓN: Diagrama de cuerpo libre de la bola en un viscosímetro de caída de bola

Cuando la bola alcance la velocidad terminal habrá equilibrio:

w − Fb − Fd = 0 ...(1)

El peso de la bola es:

1 w =  e .Vesfera =  e .  .D 3 6 La fuerza de flotación es:

1 Fb =  f .Vesfera =  f .  .D 3 6 Para fluidos muy viscosos y una velocidad muy pequeña, la fuerza de arrastre sobre la esfera es:

Fd = 3 ..V .D

Reemplazando valores en (1)

1 6

1 6 (e −  f ) D 2

 e .  .D 3 −  f .  .D 3 − 3 ..V .D = 0 =

18V

Calculo de la velocidad terminal V (Si se observa que la bola cae 250mm en 10.4 segundos)

V=

h 0.25m m = = 0.024 t 10.4s s

Entonces:

(77000N / m3 − 9221.4 N / m3 )(0,0016m) 2 = 18(0.024m / s) N .s  = 0,402 2 m Rpta.

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PROB.1.66 (MUNSON) La viscosidad de los líquidos se puede medir usando un viscosímetro de cilindro rotatorio como el que se muestra en la figura. En este dispositivo, el cilindro exterior esta fijo y el cilindro interior gira con velocidad angular ω. Se mide la torca T (par) requerida para desarrollar ω y la viscosidad se calcula a partir de estas mediciones. Obtener una ecuación que relacione μ, ω, T, l, R0 y Ri .ignorar los efectos en los extremos y suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.

SOLUCIÓN: La torca está dado por:

T = F.Ri …(1)

Sabemos que:

F V V = =   F =  . A =  A …(2) A e e Determinación de V

V = .R  V = .Ri

Determinación del área de contacto viscoso A: Del cilindro interior se tiene que el área lateral es:

A = 2Ri l

Determinación de e:

e = Ro − Ri

Reemplazando en (2)

F=

.Ri

Ro − Ri

2Ri l

2 ...l.Ri2 F= Ro − Ri Reemplazando en (1)

2 . ..l.Ri3 T= Ro − Ri

Rpta.

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PROB.1.67 (MUNSON) El espacio entre dos cilindros concéntricos que miden 6 pulgadas de longitud está lleno de glicerina (viscosidad =8.5 x 10 -3 lb.s/pie2). El radio del cilindro interior mide 3 pulg y el ancho de la separación ente los cilindros es de 0.1 pulg. Determinar la torca y la potencia requerida para hacer girar el cilindro interior a 180 rpm. El cilindro exterior está fijo. Suponer que la distribución de la velocidad en la separación es lineal. SOLUCIÓN: Gráfica del problema

Determinación de la torca Del problema anterior obtuvimos que:

2 . ..l.Ri3 T= Ro − Ri Reemplazando valores

 lb.s  2 rad  6  3   2  8.5  10−3 180  pie pie       2  pie 60 s 12 12        T=   0.1  pie    12  T = 0.944 lb. pie Rpta.

3

Determinación de la potencia

P = T .

2 rad   P = (0.944lb. pie)180   60 s   lb. pie P = 17.8 s Rpta.

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PROB.1.19 (SHAMES) Para el aparato del problema 1.18 desarrolle una expresión para el torque de atenuamiento como función del x (la distancia a la cual se encuentra el plano medio de la placa rotante desde su posición central). Haga esto para una rotación angular de w = 0.2 rad/s. DATOS: -

µ = 8  10 3 N.s/m2  = 0.2 rad/s D = 75mm  R = 37.5mm a = 0.5 mm x en mm SOLUCIÓN: Cálculo del torque en 1 Para esta parte: dT = r. .dA ……………(1) Siendo:

v = .r ; y1 = a − x

dA = 2 .r.dr ;

Además:

=

.v

a−x

Reemplazando en (1)



T1

0

2 .. R 3 ..R 4 dT = r .dr T 1= a − x 0 2(a − x )

Calculo del torque en 2 Siendo:

dA = 2 .r.dr ; v = .r T2 2 .. R 3 dT = r .dr 0 a + x 0 ..R 4 T 1= 2(a + x )

;

y1 = a + x

Calculo del torque total

1   1 T T =T 1+T 2= R 4  +  a− x a+ x R 4 a T T= 2 …………………….. (α) a − x2 Reemplazando datos en (α)

T T=

 (8 x10−3 )(0.2)(37.5 x10−3 ) 4 (0.5 x10−3 )

4.97 x10−6 T T= 0.52 − x 2

(0.52 − x 2 ) x10−6 Rpta.

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PROB.1.30 (POTTER) Una banda de 60 cm de ancho se mueve como se muestra en la figura P1.30. Calcule la potencia requerida en caballos de fuerza (hp) suponiendo un perfil de velocidad lineal en el agua a 10º C.

SOLUCIÓN: DATOS:

L= 4 m W= 60 cm a = 2 mm v = 10 m/s Fluido: Agua a 10ºC µ = 1.3X10-3 N.s/m2 Calculo de la potencia en (hp) Siendo: P = F. ……………………… (1)

F =





A =  L.w a a

Reemplazando en (1)

P=

2 a

L.w

Reemplazando datos:

(1.3x10−3 )(10) 2 (4)(60x10−2 ) P= = 156Watts 2 x10−3 Finalmente:

P = 0.210hp

Rpta.

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PROB.1.69 (MUNSON) Los siguientes datos torca-velocidad angular se obtuvieron con un viscosímetro de cilindro rotatorio del tipo descrito en el problema1.66 (Munson). Torca 13.1 (pie.lb) Velocidad 1.0 angular(rad/s)

26.0 39.5 52.7 64.9 78.6 2.0

3.0

4.0

5.0

6.0

Para este viscosímetro, Ro=2.50 pulg, Ri =2.45 pulg y l = 5.00 pulg. Usando estos datos y un programa estándar de ajuste de curvas, determinar la viscosidad del líquido contenido en le viscosímetro. SOLUCIÓN: La torca está dado por: 2 . ..l.Ri3 T= Ro − Ri 2 . .l.Ri3 Haciendo: m = … (1) Ro − Ri

T ( pie.lb)  (rad / s) Determinación de m por medio de la tabla mostrada por el problema Entonces: T = m. → m(lb. pie.s) =

(13.1 / 1.0) + (26.0 / 2.0) + (39.5 / 3.0) + (52.7 / 4.0) + (64.9 / 5.0) + (78.6 / 6.0) 6 m = 13.087 lb. pie.s m=

De la ecuación (1) despejamos  m( Ro − Ri ) = 2 .l.Ri3 Reemplazando valores en esta última ecuación (13.087lb. pie.s )   2.50 − 2.45 pie  12   = 3 5   2.45  2   pie    pie   12   12  lb.s  = 2.45 2 Rpta. pie

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PROB.1.70 (MUNSON) Un eje de 25 mm de diámetro es empujado a través de un cojinete cilíndrico, como se muestra en la figura. El lubricante que llena la separación de 0.3 mm entre el eje y el cojinete es un aceite con viscosidad cinemática de 8x10−4 m2 / s y densidad relativa de 0.91. Determinar la fuerza P requerida para empujar el eje a una velocidad de 3m/s. Suponer que la distribución de velocidad en la separación es lineal.

SOLUCIÓN: La fuerza P está dada por:

P =  A

Determinación de A El área lateral en contacto es:

A = DL

Determinación de Sabemos:

 =



dV dy

Para el problema la velocidad (V) y espesor de película (e) son constantes

 = 

V V =  r  agua e e

Reemplazando en (1)

V  DL e r  aguaVLD

P =  r  agua P=

e Reemplazando valores en está ecuación:  (0.91 1000kg / m 3 )(8  10−4 m 2 / s)(3m / s)(0.5m)(25  10−3 m) P= 0.3  10−3 m P = 285.88N Rpta.

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PROB.1.14 (SHAMES) Un bloque de 1KN de peso y 200mm de lado desliza hacia abajo en un plano inclinado sobre una película de aceite con un espesor de 0.0050mm. Si se utiliza un perfil lineal de velocidades en el aceite. ¿Cuál es la velocidad terminal del bloque? La viscosidad de aceite es 7 x10−2 Poise .

SOLUCIÓN: Ecuaciones básicas:

F V = =  A y

F

X

......(1)

= m.a X = 0

……(2)

De la ecuación básica1:

F =  . A =  . A.

V y

En la ecuación básica2:

F − W .sen = 0  . A.

V − m.g.sen = 0 y

V=

y.m.g.sen . A

Reemplazando valores:

(0.0050x10−3 m)(1000Nxsen20º ) V= N .s (7 x10−3 2 )(0.2m 2 ) m

V = 6.11m / s

Rpta.

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PROB.1.20 (SHAMES) Se hace rotar un cuerpo conico con una velocidad constante de 10 rad/s. Una película de aceite con una viscosidad de 4.5 x 10-5 lb.s/pie2 separa el cono del contenedor. El espesor de la película es 0.01 pulg. ¿Qué torque se requiere para mantener este movimiento? El cono tiene un radio de 2 pulg en la base y 4 pulg de altura. Use la suposición de perfil lineal y la ley de viscosidad de Newton.

SOLUCIÓN: Calculo del torque lateral Para esta parte: dT = r. .dA ……………(1) Siendo: R2 + H 2 dA = 2 .r .dr ; R Además:

=

v = .r

.v a

Reemplazando en (1)

2 .. R 2 + H 2 R 3 0 0 r .dr a R ..R 3 TL = R2 + H 2 2a Calculo del torque de la base: Siendo: v = .r dA = 2 .r.dr ; Reemplazando en (1) TB 2 .. R 3 0 dTB = a 0 r .dr ..R 4 TL

dTL =

T 1=

2a Calculo del torque total

T T =T L+T B=



(

)

R 3 R 2 + H 2 + R ……………………(α)

2a Reemplazando datos en (α)  (4.5x10−5 )(10)(0.167)3 ( 0.1672 + 0.3332 + 0.167) =2.1167x10-3lb.pie T T= 2(8.333 10−4 ) Finalmente: T T = 0.0254lb. pu lg Rpta.

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PROB.1.21 (SHAMES) Una esfera de radio R rota con una velocidad constante de w rad/s. Una pelicula de aceite separa la esfera rotante de un contenedor esferico estacionario. Dedusca una expresion para el torque resistente en terminos de R, w,u, y e. Se muestran las coordenadas esfericas.

SOLUCIÓN: Cálculo del torque Siendo: dT = dF.r ………………………(1) Además:

r = R.sen dA = R2 sen.d.d

Luego:

dF =

r

R 2 sen .d .d

e

Reemplazando en (1)



T

0

dT =

T=

 e

 e

R4 

2

0





0

sen3 .d .d



R 4 (2 )  ( sen − cos2  .sen )d



0

2 cos3   T= R (2 )  − cos + e 3  3 4

Finalmente:

8R 4 T= 3e

Rpta.

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PROBLEMAS PROPUESTOS PROB.2.42 (R. FOX) La distribución de velocidad para flujo laminar entre placas paralelas esta dada por:

 2y 2 = 1− ( )  max h

Donde h es la distancia de separación de las placas y el origen se ubica en el punto medio entre las mismas. Considere el flujo de agua a 15 ºC , con μmax= 0.30 m/s y h =0.50 mm. Calcule la fuerza sobre una sección de 0.3 m2 de la placa inferior y proporcione su dirección. PROB.2.58 (R. FOX) Un eje con diámetro exterior de 18 mm gira a 20rev/s dentro de una chumacera estacionaria de 60 mm de longitud una delgada película de aceite de 0.2 mm de espesor llena el anillo concéntrico entre el eje y la chumacera el momento de torsión necesaria para hacer girar el eje es 0.0036 N.m estime la viscosidad del aceite que llena el claro. PROB.2.64 (R. FOX) Un acoplamiento libre de choques para una transmisión mecánica de baja potencia, se va a integrara a partir a partir de un par de cilindros concéntricos. El espacio anular entre los cilindros va ser llenado con aceite. La transmisión debe transmitir una potencia, P = 5 W. Otras dimensiones y propiedades son indicadas en la figura. Desprecie al fricción entre cojinetes y los efectos en los extremos. Supongas un claro practico mínimo δ para el dispositivo, igual a 0.5 mm. Determine la viscosidad que debe especificarse para satisfacer el requerimiento para este dispositivo.

PROB.9.9 (ROBERSON) Un cono movible se coloca en una depresión cónica fija como se ve en la figura. Si aplicamos un par de torsión al cono, este gira con cierta velocidad que dependerá de los ángulos ß y ø , el radio r o , y la viscosidad  del líquido. Encuentre una ecuación que exprese el par en función de las otras variables, considerando solamente la resistencia por viscosidad. Supóngase que ø es muy pequeño.

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PROB.9.20 (ROBERSON) En la figura siguiente, la placa superior se mueve hacia la derecha a una velocidad de 80 cm/s y la inferior se puede mover libremente bajo la accion de las fuerzas de viscosidad que actúan sobre ella. Una vez que el movimiento se establece, ¿Qué velocidad tendra la placa inferior? Supongase que el area de contacto con el aceite es la misma en la placa superior que en ambas caras de la placa inferior y en la superficie fija t1 = 2 mm, u1 = 10-1 N.s/m2, t2 = 1 mm y u2 = 4 x 10-2 N.s/m2.

PROB.9.27 (ROBERSON) Dos placas paralelas estan separadas 0.10 pulg y entre ellas fluye aceite de motor (SAE 30) a 100 ºF con un gasto de 0.0083 pie3/s por pie de ancho. ¿Cuál es el gradiente de presión en la dirección del flujo si las placas están inclinadas 60º con respecto a la horizontal y si el flujo es hacia abajo? PROB.2.70 (R. FOX) Se muestra un cojinete de empuje esférico. El claro entre el miembro esférico y el alojamiento es de ancho constante h. Obtenga y grafique una expresión algebraica para el momento de torsión del miembro esférico, como una función del ángulo  .

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