• Author / Uploaded
• juan chocano

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL “SAN LUIS GONZAGA” DE ICA FACULTAD DE INGENIERIA CIVIL ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

TEMA:

VECTORES

CURSO:

FISICA I

DOCENTE:

ING. WALTER AQUIJE MUÑOZ

CICLO:

I-A

PRESENTADO POR:

NÉLIDA HUAYCHA CONDE

ICA – PERU

•

Ejemplo 01

•

La figura muestra un cubo en donde se han trazado distintos desplazamientos de un abeja cuando cambia de la posición 1, 2,3 y 1. ¿Cuánto vale cada uno de los desplazamientos? ¿Cuál es el desplazamiento total?

Solución: Arista del cubo ``a`` *coordenadas en: 1 = (𝑎𝑖̂ ; 0𝑗̂ ; 𝑎𝑘̂) 2 = (𝑎𝑖̂ ; 𝑎𝑗̂ ; 0𝑘̂ ) 3 = (0𝑖̂ ; 𝑎𝑗̂ ; 𝑎𝑘̂ ) *Desplazamiento total: ∑(𝑎 + 𝑏 + 𝑐) = 0𝑖̂ ; 0𝑗̂ ; 0𝑘̂ → √0 = 0 *Desplazamiento Desplazamiento en 𝑎⃗ = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 − 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 = (0𝑖̂ ; 𝑎𝑗̂ ; −𝑎𝑘̂ ) → 𝑎√2 m Desplazamiento en 𝑏⃗⃗ = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 − 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 2 = (−𝑎𝑖̂ ; 0𝑗̂ ; 𝑎𝑘̂ ) → 𝑎√2 m Desplazamiento en 𝑐⃗ = 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 1 − 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 3 = (𝑎𝑖̂ ; −𝑎𝑗̂ ; 0𝑘̂ ) → 𝑎√2 m

•

Ejemplo 02

En la figura se muestra dos fuerzas actuando sobre un cuerpo puntual. Si los módulos de ellas son 200 N y 100 N, respectivamente. ¿Cuál es la magnitud y la dirección de la fuerza resultante?

DATO: |𝐹1 | = 200 𝑁 |𝐹2 | = 100 𝑁 SOLUCION: *Magnitud de la fuerza resultante, por ley de cosenos: |𝑅| = √𝑎2 + 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 cos 𝜃

|𝑅| = √1002 + 2002 + 2(100)(200) cos 60 |𝑅| = 264,57 𝑁 *Dirección de la fuerza resultante, por la ley de senos:

|𝑅| |𝐹2 | = sin 120 sin 𝜃 264.57 √3 2 sin 𝜃 =

=

100 sin 𝜃

100√3 264.57 × 2

𝜃 = sin−1 (

100√3 ) 264.57 × 2

𝜃 = 18.66°

•

Ejemplo 03

•

Un avión viaja en la dirección Este con una velocidad de 480 km/h y entra a una región donde el viento sopla en la dirección 30° Norte del este con una velocidad de 160 km/h. Determine la magnitud y dirección de la nave

SOLUCION

*DATO: ̅̅̅̅̅ |𝑉 𝐴𝑇 | = 160 𝐾𝑚⁄ℎ ̅̅̅̅̅ |𝑉 𝑁𝐴 | = 480 𝐾𝑚⁄ℎ

*DETERMINAR: ̅̅̅̅̅ |𝑉 𝑁𝑇 |; 𝜃

*SOLUCION: i) magnitud de vector resultante (ley de cosenos): 2 2 ̅̅̅̅̅ |𝑉 𝑁𝑇 | = √160 + 480 + 2(160)(480) cos 30

̅̅̅̅̅ |𝑉 𝑁𝑇 | = 623.71 𝐾𝑚⁄ℎ

ii) dirección de la nave (ley de senos): ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ |𝑉 |𝑉 623.71 160 𝑁𝑇 | 𝐴𝑇 | = → = sin 150 sin 𝜃 0.5 sin 𝜃 𝜃 = 7.36°

•

EJEMPLO O4

La resultante FR de las dos fuerzas que actúan sobre el tronco de madera está dirigido a lo largo del eje x positivo y tiene una magnitud de 10 kN. Determine el ángulo θ que forma el cable unido a B tal que la magnitud de la fuerza FB en este cable sea un mínimo. ¿Cuál sería la magnitud de la fuerza en cada cable para esta situación?

*DATO: |𝑅̅ | = 10𝐾𝑁 SOLUCION: *Ley de senos: ̅̅̅ |𝑅̅ | |𝐹 10 𝐹𝐵 𝐵| = → = sin(180 − (30 + 𝜃)) sin 30 sin(30 + 𝜃) sin 30

10 sin 30 sin(30+𝜃)

5

= 𝐹𝐵 → sin(30+𝜃) = 𝐹𝐵

…*Para que 𝐹𝐵 sea mínimo, entonces ``sin(30 + 𝜃)`` tiene que ser máximo. → Para 𝜃 = 50° , el seno será máximo. →

5 = 𝐹𝐵 → 𝐹𝐵 = 5 sin 90

˄

̅̅̅ ̅̅̅ |𝐹 |𝐹 𝐴| 𝐵| ̅̅̅ = → |𝐹 𝐴 | = 5√3 sin 𝜃 sin 30

̅̅̅ |𝐹 𝐴 | = 5√3 𝐾𝑁

•

Ejemplo 05

•

La camioneta es remolcada usando dos cables como se muestra en la figura. Determine las magnitudes de las fuerzas FA y FB que actúa sobre cada uno de los cables, sabiendo que la superposición de ambas dan una resultante de 90N de módulo dirigida a lo largo de el eje x. Considere que 𝜃 =50

Dato: |R|= 90N Y 𝜃 = 50

*POR LA LEY DE SENOS: |𝑅| |𝐹𝐵| |𝐹𝐴| = = 𝑠𝑒𝑛20 𝑠𝑒𝑛20 𝑠𝑒𝑛𝜃

FA= 73,36 N |𝐹𝐵| |𝐹𝐴| = 𝑠𝑒𝑛20 𝑠𝑒𝑛𝜃

𝐹𝐵 =

73.36×sen 50 𝑠𝑒𝑛20

𝐹𝐵 = 32,75𝑁

•

Ejemplo 06

La figura muestra un triángulo cuyos lados son

Demuestre el teorema de los cosenos

SOLUCION *se aplica el teorema de los cosenos, cuando se conocen los lados y el ángulo que dormán entre ellos y se tiene las siguientes relaciones. 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐴 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐. 𝑐𝑜𝑠𝐵 𝑐 2 = 𝑏 2 + 𝑎2 − 2𝑎𝑏. 𝑐𝑜𝑠𝐶 *cos 𝜃 =

|𝐴|−𝑌 |𝐵|

→ 𝑌 = |𝐴| − 𝑐𝑜𝑠𝜃 × |𝐵|

*ℎ2 + 𝑦 2 = |𝑐|2 → ℎ2 + |𝑐|2 − 𝑦 2 …………………….I *ℎ2 + (|𝐴| − 𝑌)2 = |𝑐|2 → ℎ2 = |𝑏|2 − (|𝐴| − 𝑦)2 ……….II

IGUALANDO I Y II |𝐶|2 − 𝑦 2 = |𝐵|2 − (|𝐴| − 𝑦)2

|𝑐|2 − 𝑦 2 = |𝐵|2 − (|𝐴|2 − 2|𝐴|𝑌 + 𝑦 2 ) |𝑐|2 = |𝐵|2 − |𝐴|2 + 2|𝐴|2 − 2|𝐴||𝐵|𝐶𝑂𝑆𝜃 QUEDA DEMOSTRADO QUE: |𝑐|2 = |𝐵|2 + |𝐴|2 − 2|𝐴||𝐵|𝐶𝑂𝑆𝜃

Ejemplo 07 Sabiendo que el módulo de los vectores D y G son 10 y 20√2 Determine el vector unitario del vector

unidades respectivamente.

SOLUCION: *Reduciendo los vectores: ̅ = 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ − 𝐺̅ 𝑁 ̅=𝐷 ̅ − 𝐸̅ − 𝐹̅ 𝑁 ̅ − 𝐸̅ − 𝐹̅ → 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ − 𝐺̅ = 𝐷 ̅ + 𝐺̅ → 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ + 𝐸̅ + 𝐹̅ = 𝐷

… (1)

*POR DATO: ̅ = 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ + 𝐷 ̅ + 𝐸̅ + 𝐹̅ + 𝐺̅ 𝑊 ̅ = 𝐴̅ + 𝐵̅ + 𝐶̅ + 𝐸̅ + 𝐹̅ + 𝐷 ̅ + 𝐺̅ →𝑊 Reemplazando (1): ̅ =𝐷 ̅ + 𝐺̅ + 𝐷 ̅ + 𝐺̅ →𝑊

̅ = 2(𝐷 ̅ + 𝐺̅ ) = 2(10 + 20√2) →𝑊 ̅ = 20 + 40√2 ∴𝑊

•

Ejemplo 08

En la figura mostrada, determine el vector x, en función de los vectores A y B. Si PQRS es un cuadrado y PORQ es un cuadrante de círculo.

SOLUCION DATO: |B|= a y |A| = a………………. Por ser un cuadrado 𝑅̅ = 𝑋̅ + 𝐵̅ O 𝑅̅ = 𝑋̅ + 𝐴̅

   

|R| =√𝑎2 + 𝑎2 + 2𝑎𝑏𝑐𝑜𝑠90 |R|=√𝑎2 + 𝑎2 |R|=√2 a |𝑋̅ + 𝐴̅| = √2 a

→ |𝑥| = √2 𝑎 − 𝑎 → |𝑥| = 𝑎(√2 − 1)

•

Ejemplo 09

Descomponga el vector fuerza de 400 kN representado en la figura en dos componentes, una según la dirección AB y la otra perpendicular a ella.

•

EJEMPLO 10

Determine el ángulo θ para conectar el elemento a la placa tal que la resultante de las fuerzas FA y FB esté dirigida horizontalmente a la derecha. Determine además la magnitud de la fuerza resultante,

Por la ley de senos ABC: 8𝐾 6𝑘 = 𝑠𝑒𝑛50 𝑠𝑒𝑛(90 − 𝜃) 𝑐𝑜𝑠𝜃 =

6𝑘𝑁 × 𝑠𝑒𝑛50 8𝑘𝑁

𝜃 = 55.24 

POR LA LEY DE COSENOS 𝑅 = √82 + 62 + 2 × 6 × 8 × 𝐶𝑂𝑆(140 − 𝜃)

R= 10,42

•

EJEMPLO 11

Un cable ejerce una fuerza F en el soporte del miembro estructural. Si la componente x de F es 4 kN. Halle su componente y y su módulo

SOLUCION FCOS53= 4K F=20/3 KN

 Fx=4KN  Fy=5.3KN

 Fy= F SEN53  FY= 20/3K.4/5  Fy=16/3kN

•

Ejemplo 12

•

Utilizar el método de las componentes rectangulares para determinar el módulo R de a resultante y los ángulos que forma su recta soporte con los semiejes x, y, z de coordenadas.

SOLUCION ̅̅̅̅ = (10𝐶𝑂𝑆 26 × 𝑆𝐸𝑁38)𝐼̂ + (10𝐶𝑂𝑆26𝐶𝑂𝑆38)𝐽̂ + (10𝑆𝐸𝑁26)𝐾 ̂ 𝐹1 ̅̅̅̅ ̂ 𝐹2 = (16𝐶𝑂𝑆 40 × 𝐶𝑂𝑆35) − 𝐼̂ + (16𝑆𝐸𝑁40 ×)𝐽̂ + (10𝑆𝐸𝑁26)𝐾 ̅̅̅̅ = (24𝐶𝑂𝑆 50 × 𝐶𝑂𝑆60)𝐼̂ + (24𝐶𝑂𝑆50 × 𝑆𝐸𝑁60)𝐽̂ + (24𝑆𝐸𝑁50)𝐾 ̂ 𝐹3 ̅̅̅̅ + 𝐹2 ̅̅̅̅ + 𝐹3 ̅̅̅̅ = 7.35𝐼̂ + 10.4𝐽̂ + 33.04𝐾 ̅̅̅̅ = 𝐹1 ̂ 𝐹𝑅 |𝐹𝑅| = √7.352 + 10.42 + 33.042 |FR|=35.4 N

 Resultante y los ángulos que forman con los semiejes. 7.35 → 𝛼 = 78.01° 35.4 10.4 𝑐𝑜𝑠𝛽 = → 𝛽 = 72.91° 35.4 33.04 𝑐𝑜𝑠𝛾 = → 𝛾 = 21.03° 35.4 𝑐𝑜𝑠𝛼 =

•

Ejemplo 13 La resultante de las tres fuerzas mostradas en la figura es vertical. Determine: (a) la magnitud de la fuerza A y (b) la resultante del sistema

*Como la resultante es vertical ̅̅̅̅ 𝑄𝑥 − 𝐴̅ = 0 ̅̅̅̅ 𝑄𝑥 = 𝐴̅ → 𝐴̅ = 425𝑁 *Resultante: 𝑅 = (850 ×

√3 ) + 1000 2

𝑅 = 1736.12 𝑁 •

Ejemplo 14

•

Exprese la fuerza en componentes i, j y k y determine la proyección de F = 800 N sobre BC

•

Ejemplo 15 (a) Exprese la fuerza de 250 N de módulo en componentes i, j y k. (b) halle la proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA

𝐴 = (0.5; −1; 0) 𝐵 = (−0.5; 0; 0) 𝐶 = (−2.5; −(1 + 1.5𝐶𝑂𝑆30); 1.5𝑆𝐸𝑁30) = (−2.5; −2.3; 0.75) ̅̅̅̅ = (3 𝑖̂; 1.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂) 𝐶𝐴 ̅̅̅̅ = (2 𝑖̂; 2.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂) 𝐶𝐵 𝐹̅ = |𝐹̅ |𝑈𝐹̅ = 250

(2 𝑖̂; 2.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂ ) √22 + 2.32 + 0.752

𝐹̅ = (159.29 𝑖̂; 183.19 𝑗̂; −59.73𝑘̂) *Proyección ortogonal del vector fuerza sobre la línea CA: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅̅̅̅̅ 𝐶𝐴 = (

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅𝐶𝐴 ̅̅̅̅ = (

𝐹̅ . ̅̅̅̅ 𝐶𝐴 ̅̅̅̅ 𝐶𝐴 ) . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |𝐶𝐴| |𝐶𝐴|

(159.29 𝑖̂; 183.19 𝑗̂; −59.73𝑘̂). (3 𝑖̂; 1.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂) (3 𝑖̂; 1.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂) ). √32 + 1.32 + 0.752 √32 + 1.32 + 0.752

𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅𝐶𝐴 ̅̅̅̅ =

(477.87 + 238.15 + 44.79) . (3 𝑖̂; 1.3 𝑗̂; −0.75𝑘̂) 11.25

̂) 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅𝐶𝐴 ̅̅̅̅ = (127.43 𝑖̂; 27.52 𝑗̂; −2.99𝑘

•

EJEMPLO 16

(a) Expresar el vector fuerza F de 400 N en función de los vectores unitarios i, j y k. (b) Hallar la proyección sobre la recta OA.

*Proyección: 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = (

𝐹̅ . ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 ) . ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |𝑂𝐴| |𝑂𝐴|

Pero: 𝐹̅ = |𝐹̅ |𝑈𝐹̅ → 𝑈𝐹̅ =

(𝐹𝑖𝑖̂; 𝐹𝑗𝑗̂; 𝐹𝑘𝑘̂ ) √𝐹𝑖 2 + 𝐹𝑗 2 + 𝐹𝑘 2

𝐹𝑖 = 400 cos(40) . sen(50) = 234.7 𝐹𝑗 = 400 sen(40) = 257.1 𝐹𝑧 = 400 cos(40) . cos(50) = 196.96 → 𝐹̅ = 400

(234.7𝑖̂; 257.1𝑗̂; 196.96𝑘̂ ) √234.72 + 257.12 + 196.962

𝐹̅ = (234.7𝑖̂; 257.1𝑗̂; 196.96𝑘̂ ) → 𝑈𝑂𝐴 ̅̅̅̅ =

(234.7𝑗̂; 196.9𝑘̂) √234.72 + 196.92

̂) 𝑈𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = (0.76𝑗̂; 0.64𝑘 ̂ ̂ ̂ → 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅̅̅̅̅ 𝑂𝐴 = ((234.7𝑖̂; 257.1𝑗̂; 196.96𝑘 ). (0.76𝑗̂; 0.64𝑘 )) . (0.76𝑗̂; 0.64𝑘 ) ̂) → 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅𝑂𝐴 ̅̅̅̅ = 321 (0.76𝑗̂; 0.64𝑘

̂ ∴ 𝑃𝑟𝑜𝑦𝐹̅̅̅̅̅ 𝑂𝐴 = 243.96𝑗̂; 205.44𝑘

•

Ejemplo 17

•

A un punto de un cuerpo se aplican dos fuerzas en la forma que se indica en al figura. Determine: (a) El módulo dirección y sentido de la fuerza resultante R; (b) El ángulo α que forman las fuerzas F1 y F2.

SOLUCION: ̅̅̅̅ = (1.5𝑖̂; −2𝑗̂; 4.2𝑘̂ ) 𝑂𝐵 ̅̅̅̅ 𝑂𝐴 = (1.5𝑖̂; 6𝑗̂; −4.5𝑘̂) ̂

̅̅̅̅ = 120 (1.5𝑖̂;−2𝑗̂ ; 4.2𝑘) 𝐹1 2 2 2 √1.5 +2 +4.2

̅̅̅̅ 𝐹1 = (36.8𝑖̂; −49.1𝑗̂; 103.1𝑘̂) ̅̅̅̅ = 150 𝐹2

̂) (1.5𝑖̂;6𝑗̂ ; 4.5𝑘 √1.52 +62 +4.52

̅̅̅̅ 𝐹2 = (29.4𝑖̂; 117.6𝑗̂; 88.2𝑘̂) ̅̅̅̅ = (66.2𝑖̂; 117.68.5𝑗̂; 191.3𝑘̂) 𝐹𝑅 ̅̅̅̅ 𝐹𝑅 = 213.7 𝑁 *Hallar el Angulo α que forman las fuerzas F1 y F2 𝑅 2 = 𝐹12 + 𝐹22 + 2𝐹1. 𝐹2. 𝐶𝑂𝑆 ∝ 213.72 = 119.92 + 147.52 + 2(119.9)(147.5)𝐶𝑂𝑆 ∝ ∝= 87.9° •

Ejemplo 18

Determine la resultante del sistema de vectores fuerza mostrados en la figura

•

EJEMPLO 19

Calcular las componentes rectangulares de la fuerza de 110 N, representada en la figura, una es paralela a AB y la otra es perpendicular a esta línea.

•

Ejemplo 20

•

La fuerza F tiene una intensidad de 2 kN y está dirigida de A hacia B. Determine: (a) La proyección FCD de La fuerza F sobre la recta CD (b) el ángulo que θ que forma la fuerza F y la recta CD.

•

Ejemplo 21 Halle el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores

Usando (a) el producto escalar y (b) el producto vectorial. •

Ejemplo 22 Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son los vectores

•

Ejemplo 23

(a) Halle los vectores de posición r1 r2 de los puntos P(2,4,3) Q(1,-5,2) en un sistema de coordenadas trirectangulares en función de los vectores unitarios i, j, k. (b) Determine grafica y analíticamente la resultante de dichos vectores. •

Ejemplo 24 Halle un vector unitario con la dirección y sentido de la resultante de los vectores

•

Ejemplo 25

•

Demostrar que el área de un paralelogramo de lados A y B es igual al módulo del producto vectorial

•

Ejemplo 26

•

Determine el vector unitario perpendicular al plano formado por los vectores A = 2i - 6j 3k y B = 4i + 3j – k

•

Ejemplo 27 ̅ = 4𝑖; −3𝑗; 𝑘 Halle el vector unitario paralelo al plano xy y perpendicular al vector 𝐷

SOLUCION: *Si el vector es: 𝑥𝑦 (𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜) ̸̸̸̸̸ ̸̸̸̸̸ ̅𝑉 = (𝑋, 𝑌, 𝑍) ̅𝑉 = (𝑋, 𝑌, 0) └ (4; −3; 1) → ̅𝑉 . (4; −3; 1) = 0 → 4𝑋 − 3𝑌 = 0 *Vector unitario:

̅𝑉 =

̅𝑉 → | ̅𝑉 | = √𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 → 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1 | ̅𝑉 |

Con: 4𝑋 − 3𝑌 = 0 → 𝑥 =

3𝑦 4

3𝑦 2 → ( ) + 𝑦2 = 1 4 → 𝑦2 =

16 25

∴ 𝑦 = ± 4⁄5 ∴ 𝑥 = ± 3⁄5 *Respuesta: El vector unitario paralelo es: ∴ (3⁄5 ; 4⁄5 ; 0) ∴ (− 3⁄5 ; − 4⁄5 ; 0)

•

Problemas de aplicación 28) Si F1 = 5i + 6j y F2 = 2i – 3j -4k. Determine F3 tal que la suma de las tres fuerzas sea nula. 29) ¿Cuál es el vector unitario en la dirección de la fuerza F = (2000i - 3000j +600k) lb? 30) Halle una fuerza a lo largo de que sumadas resulten en la fuerza

y otra fuerza norma l 𝑒̂

F  (5iˆ  10 ˆj  3kˆ) N

31) Dados los vectoresA  (2iˆ  4 ˆj  0kˆ)lb :

B  (0iˆ  3 ˆj  48kˆ)lb

y

Determine:

32) Halle los cosenos directores de la fuerza Y úselos para determinar los ángulos que forma la fuerza con los ejes coordenados.