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UNIVERSIDAD JOSE CARLOS MARIATEGUI

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRALES ITERADAS POR: -YAHAIRA YUDITH BARRIOS PINO -MARIA DEL CARMEN CACGIA MAMANI

FACULTAD: INGENIERIA Y ARQUITECTURA

DOCENTE: MGR. ROGER CUTIMBO LUQUE

MOQUEGUA, MAYO DE 2018

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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DEDICATORIA: Este trabajo se lo dedicamos a Dios y a nuestros padres por el deseo de superación y amor que nos brindan cada día, por ofrecernos un mañana mejor.

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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INDICE:

Contenido 1. Integrales triples..................................................................................................................6 1.1

Definicion:....................................................................................................................6

1.2

Propiedades de integrales triples..................................................................................8

1.2.1

Propiedad de linealidad.........................................................................................8

1.2.2

Propiedad de orden...............................................................................................8

1.2.3

Propiedad aditiva respecto a la región de integración..........................................8

1.3

Aplicaciones de las integrales triples...........................................................................8

1.3.1

Volumen de un solido...........................................................................................8

1.3.2 solido

Masa, momentos respectos a los planos coordenados y centro de masa de un 9

1.3.3

Momentos de inercia de un solido........................................................................9

1.4

Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas...................................................9

1.4.1

Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas......................................9

1.4.2

Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas.......................................10

2.

Integrales iteradas.............................................................................................................11

3.

Integrales triples mediante integración iterada.................................................................12 3.1

Ejercicios resueltos.....................................................................................................13

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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INTRODUCCION:

Esta investigación es realizada para ser utilizada en la parte de Cálculo Integral con el tema de integración con tres variables del curso de Cálculo III de la facultad de ingeniería y arquitectura de la Universidad José Carlos Mariátegui de Moquegua. En esta monografía participan estudiantes de Ingeniería Civil. El trabajo de Integrales Triples mediante Integrales Iteradas está a cargo de las autoras. Agradecemos cualquier observación o comentario que deseen hacernos llegar.

Yahaira Barrios Carmen Cacgia Mayo 2018.

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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1. Integrales triples 1.1 Definición: Las integrales triples son el análogo de las integrales dobles para tres dimensiones. Son una herramienta para sumar infinitas cantidades infinitesimales asociadas con puntos de una región tridimensional. A riesgo de sonar obvio, las integrales triples son como integrales dobles, pero en tres dimensiones. Están escritas de manera abstracta como ∭RfdV Donde: R es alguna región en el espacio tridimensional. f (x.y.z) es alguna función con valores escalares que tiene como entrada puntos en el espacio tridimensional. dV es una unidad de volumen pequeña. En coordenadas cartesianas, se desarrolla como dV= dxdydz Concretamente, estas se calculan como tres integrales anidadas:

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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Al igual que con las integrales dobles, los límites de las integrales interiores podrían ser funciones de las variables externas. Estas funciones acotadas son lo que codifica la forma de R. Usa una integral tridimensional cada vez que tengas la sensación de querer despedazar una región tridimensional en infinitos pedazos, asociar cada pedazo con un valor y luego sumar todo. Esto es sorprendentemente útil para encontrar el volumen de regiones tridimensionales al sumar todos los mini volúmenes dV. Como con las integrales dobles, la parte difícil es encontrar los límites adecuados que codifican la región. Esto solo toma algo de práctica y el deseo de arremangarte la camisa y sumergirte en la suciedad de un problema.[ CITATION kha \l 10250 ] 1.2 Propiedades de integrales triples A continuación, se presentan las propiedades de la integral triple de una función f: R^3 → R real de tres variables sobre una región general B del espacio tridimensional. Estas propiedades son similares a las propiedades de las integrales dobles.[ CITATION Ger \l 10250 ] 1.2.1

Propiedad de linealidad

Sean 3 f: R^3 → R y 3 g: R^3→ R dos funciones reales y continúas definidas en una región tridimensional B, y sean α y β dos números reales cualesquiera, entonces:

1.2.2

Propiedad de orden

Sean 3 f: R^3 → R g: \ \ → dos funciones reales y continúas definidas en una región tridimensional B, tales que f (x.y.z) g (x.y.z) ∀ (x.y.z) ∈ B, entonces:

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1.2.3

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Propiedad aditiva respecto a la región de integración

Sea 3 f: R^3 → R una función real y continúa definida en una región general tridimensional B. Si la región B está dividida en dos subregiones B1 y B2 (es decir B = B1 ∪ B2), entonces:

[ CITATION Ger \l 10250 ] 1.3 Aplicaciones de las integrales triples 1.3.1

Volumen de un solido

El volumen de un sólido cualquiera viene dado por:

1.3.2

Masa, momentos respectos a los planos coordenados y centro de masa de

un solido Denotemos por d: R e R ^3*2→ R^+ (continua) la densidad del solido S.

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1.3.3

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Momentos de inercia de un solido

Los momentos de inercia respecto a los ejes vienen dados por:

[ CITATION Pat11 \l 10250 ] 1.4 Integral triple en coordenadas cilíndricas y esféricas 1.4.1

Cálculo de integrales triples en coordenadas cilíndricas

A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑅 en coordenadas cilíndricas. Para ello, si f(x, y, z) es una función continua y si definimos 𝑔 𝑟, 𝜃, 𝑧 = 𝑓(𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃, 𝑟𝑠𝑒𝑛𝜃) tenemos la siguiente relación entre las integrales: 𝑓( 𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑅 = 𝑔 𝑟, 𝜃, 𝑧 𝑟 𝑑𝑉 𝑈 Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas según convenga el orden de integración.[ CITATION Pat11 \l 10250 ] Ejemplo:

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

1.4.2

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Cálculo de integrales triples en coordenadas esféricas

A continuación, deseamos calcular una integral triple dada en coordenadas rectangulares 𝑓 (𝑥, 𝑦, 𝑧) 𝑑𝑉 𝑅 en coordenadas esféricas. Para ellos, si f (x, y, z) es una función continua y si definimos 𝑔 𝜌, 𝜃, 𝜑 = 𝑓 (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑) 11 tenemos la siguiente relación entre las integrales: 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 𝑑𝑉 𝑅 = 𝑓 (𝜌𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑠𝑒𝑛𝜃𝑠𝑒𝑛𝜑, 𝜌𝑐𝑜𝑠𝜑) 𝜌 2 𝑠𝑒𝑛𝜑𝑑𝑉 𝑈 Donde la integral triple se calcula mediante integrales iteradas. Ejemplo:

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2. Integrales iteradas Una integral iterada es una integral evaluada múltiples veces sobre una misma variable (en contraste con una integral múltiple, que consiste en un número de integrales evaluada con respecto a diferentes variables). Es importante tomar en cuenta en qué posición vienen dados los límites de las integrales en cuestión para saber en qué orden serán ejecutados los procesos de integración simple; es decir, reconocer si se va integrar primero considerando la diferencial dx o la diferencial dy o viceversa. Ahora veremos cómo se pueden presentar este tipo e integrales: Ejemplo:

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[ CITATION Ger1 \l 10250 ] 3. Integrales triples mediante integración iterada una integral triple se calcula mediante tres integrales simples llamadas integrales iteradas. Definición (Integrales iteradas). Si f es integrable en H= [a, b]× [c, d]× [e, j], ∫∫∫Hf (x.y.z) dV=∫ba∫dc∫jef (x.y.z) dzdydx La expresión de la derecha representa el proceso que comienza integrando la función f respecto de z, tomando x e y como constantes, resultando una función de dos variables. La integración iterada de esa función, primero respecto de y luego respecto de da como resultado el valor de la integral triple. Este orden de integración es el expresado en la integral anterior, pero podríamos intercambiar las variables: 

El cálculo de una integral triple se reduce a calcular una integral simple y una doble. Una vez elegida la variable para la primera integración, la integral doble se extenderá al dominio contenido en el plano de las otras variables; podemos escribir ∫∫∫Hf (x.y.z) dV=∫∫ [a, b]× [c, d] [∫jef (x.y.z) dz]dA ∫∫∫Hf (x.y.z) dV=∫∫ [a, b]× [e, j] [∫dcf (x.y.z) dy]dA ∫∫∫Hf (x.y.z) dV=∫∫ [c, d]× [e, j] [∫baf (x.y.z) dx]dA

[ CITATION gie18 \l 10250 ]

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3.1 Ejercicios resueltos  Ejemplo 1

Ejercicio 2

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BIBLIOGRAFIA:

Trabajos citados

INTEGRALES TRIPLES MEDIANTE INTEGRACIÓN ITERADA

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Cisneros, G. (s.f.). Obtenido de http://www.ing.uc.edu.ve/~gcisneros/pdf/IntTriples.pdf Frómeta, A. E. (octubre de 2014). integrales triples. Obtenido de http://navarrof.orgfree.com/Docencia/MatematicasIV/UT3/integrales_triples.htm giematic. (2018). Obtenido de https://www.giematic.unican.es/index.php/integracionmultiple/triple-sobre-cajas/calculo-integrales-iteradas khanacademy. (s.f.). Obtenido de https://es.khanacademy.org/math/multivariablecalculus/integrating-multivariable-functions/triple-integrals-a/a/triple-integrals Linares, G. M. (s.f.). Obtenido de https://cursos.aiu.edu/Matematicas %20Superiores/PDF/Tema%205.pdf Turpo, f. S. (enero de 2010). Obtenido de http://www.matematica.ciens.ucv.ve/labfg/mat3/cimat3.pdf Valdivia, P. N. (febrero de 2011). Obtenido de https://cursos.aiu.edu/Matematicas %20Superiores/PDF/Tema%205.pdf