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“ AÑO DE LA PROMOCIÓN DE LA INDUSTRIA RESPONSABLE Y DEL COMPROMISO CLIMÁTICO”

UNIVERSIDAD FRANCISCO

AUTONOMA

DE

SAN

CARRERA

PROFESIONAL DE INGENIERIA MECANICA

ASIGNATURA

:

TEMA

: DERIVADAS PARCIALES

AUTOR

: CLEVER APAZA APAZA

SEMESTRE

: III

CICLO ACADEMICO : 2014-II

AREQUIPA-PERÚ

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE SAN FRANCISCO TEMA: DERIVADAS PARCIALES 2014

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DEDICATORIA

Sublimidad, vida; no existe más palabras de condecoro para nuestros padres, y por supuesto a los motores y bienes caídos del cielo nuestros amigos, y a su digna persona como forjador de los siguientes grandes hombres de derecho

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INDICE DEDICATORIA.................................................................................................. 2 INDICE............................................................................................................ 4 RESUMEN:...................................................................................................... 5 DERIVADAS PARCIALES...................................................................................7 DEFINICION (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES). .................................................................................................................... 7 INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES.................8 DERIVADA PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR...............................................8 TEOREMA 13(IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS)...........9 DEFINICIÓN FORMAL DE DERIVADA PARCIAL..............................................10 REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES................10 REGLA DE LA CADENA PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE....................10 REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES................11 REGLA DE LA CADENA PARA VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES............12 TEOREMA DE SCHWARTZ...........................................................................13 TEOREMA DE CLAIRAUT............................................................................. 14 BIBLIOGRAFÍA............................................................................................... 16

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RESUMEN: Las derivadas parciales es derivar respecto a una variable. Ejemplo: si existe F (y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables que existan en la función. Si

, las primeras derivadas parciales de

funciones

respecto de x e y son las

definidas como

Siempre que el límite existe. Demostración Recordemos que la derivada de una función de una variable se define como:

Ahora como tenemos la función lo que hacemos es fijar el valor de una de las variables a una constante, de esta manera analizamos el cambio en la función con respecto solo al cambio de una de sus variables. Entonces hacemos aquí lo que hicimos fue fijar el valor de hacer esto tenemos una función que depende sólo de .

, y al

Derivamos la función

Como entonces expresión anterior,

y

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cambiamos

la

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Entonces tenemos que la derivada de la función cuando fijamos y cambiamos es, (o dicho de otra manera la derivada parcial de la función con respecto al eje x)

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DERIVADAS PARCIALES En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variables, es su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras como constantes. Las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometría diferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la variable x se representa con cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes:

Donde

es la letra 'd' redondeada, conocida como la 'd de Jacobi'.

Cuando una magnitud

es función de diversas variables ( , , , ), es decir:

Al realizar esta derivada obtenemos la expresión que nos permite obtener la pendiente de la recta tangente a dicha función en un punto dado. Esta recta es paralela al plano formado por el eje de la incógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada y el eje z. Analíticamente el gradiente de una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija. Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica hacia donde hay mayor variación en la función.

DEFINICION (DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCION DE DOS VARIABLES). Si z = f(x, y) las primeras derivadas parciales de f con respecto a Las variables x e y son las funciones definidas como:

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Siempre y cuando el lımite exista. Observación. La definición indica que para calcular

af ax se considera y

constante derivando con respecto a x y para calcular

af ay

se considera x

constante derivando con respecto a y. Pueden aplicarse por tanto las reglas Usuales de derivación. Ejemplo 1.1. 1. Calcular las derivadas parciales de f(x, y) = yx2 + 3x3y4. 2. Dada f(x, y) = xex2y hallar fx, fy y evaluarlas en (1, ln(2)). INTERPRETACION GEOMETRICA DE LAS DERIVADAS PARCIALES Si y = y0 entonces z = f(x, y0) representa la curva intersección de la Superficie z = f(x, y) con el plano y = y0. Por tanto Fx (x0, y0) = pendiente de la curva intersección en (x0, y0, f(x0, y0)). Análogamente, f(x0, y) es la curva intersección de

Y entonces fy(x0, y0) = pendiente de la curva intersección en (x0, y0, f(x0, y0)) Diremos que los valores

∂f x (x , y ), 0 0 ∂y

∂f ∂ y (x0, y0) denotan las pendientes

de la superficie en las direcciones de x e y, respectivamente.

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DERIVADA PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR. Una función de dos variables z=(x,) da lugar a dos derivadas parciales o derivadas primeras. Estas a su vez funciones de dos variables que puede ser derivadas nuevamente para dar lugar a las cuatro derivadas segundas: 1. Derivada segunda respecto de x dos veces

2. Derivada segundo primero respecto de X y después respecto a Y

3. Derivada segundo primero respecto de Y y después respecto a X

4. Derivada segunda respecto de Y dos veces

Las derivadas fyx y fxy se llama derivadas cruzadas .frecuentemente, estas derivadas son iguales como indica el teorema. TEOREMA 13(IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS) Si f(x, y) una función real de dos variables tal que f, fx, fy, fyx, f xy son continuas en un abierto R. entonces. 9

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Las cuatro derivadas segundas dan lugar a ocho derivadas terceras, estas a dieciséis derivadas cuartas y así sucesivamente. TEOREMA 1.1 (IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS). Si F(x, y) es tal que fxy y fyx existen y son continuas en un disco abierto D Entonces:

DIFERENCIACIÓN DE FUNCIONES DE DOS VARIABLES Para una función de una variable f(x) se define la derivada como

Esto quiere decir que para h pequeño

Y por tanto la recta tangente es una buena aproximación de la función f Cerca del punto a.

DEFINICIÓN FORMAL DE DERIVADA PARCIAL La definición formal de derivada parcial sigue siendo el cálculo de un límite, como la derivada de una función de una variable. Sea U un subconjunto abierto de Rn y una función f: U→R. Definimos la derivada parcial de f en el punto p∈U, p=p1,..., pn, respecto la variable xi como

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REGLA DE LA CADENA PARA FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES La regla de la cadena para funciones de una variable establece que si y=f(x) y x= (t) entonces

REGLA DE LA CADENA PARA UNA VARIABLE INDEPENDIENTE Sea z=f(x, y) una función diferenciable, que depende de dos variables x e y que a su vez dependen de otra variable t, a través de las ecuaciones: X=f (t) Y=f (t) Llamadas intermedias o auxiliares. De esta forma la derivada de z con respecto a t, tendrá expresión:

Esta expresión también se puede escribir con la otra notación, quedando

Para facilitar la compresión de la expresión anterior, estableceremos un diagrama de dependencia, que puede variar en función del enunciado del problema en este caso será:

La explicación ala diagrama es la siguiente: Se parte de la función z, cuya dependencia de las variables auxiliares x e y, se establecen mediante dos vectores. A Continuación de cada variable x e y se vuelve a establecer la correspondiente dependencia de la variable final t, a través de otros dos vectores de forma que cada vector representa de un tipo de derivada, con el siguiente criterio

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1. Si de una variable o función , en este caso la z, parten dos vectores , las derivadas correspondientes son parciales , en este caso las derivadas son zx y zy 2. Si de una variable o función en este caso la x o la y , parte de un solo vector , las derivadas correspondientes son en este caso:

REGLA DE LA CADENA PARA DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea z=f(x, y) una función diferenciable, que depende de dos variables x e y que a su vez dependen de otros dos variables u y v, a través de las ecuaciones

Al igual que en casos contrarios, las llamaremos intermedias o auxiliares En este caso la diferencia, es que las variables auxiliares en vez de depender de una sola variables t, lo hacen de dos variables, la u y v, de forma que una vez establecido el siguiente diagrama de dependencia de las variables

Las fórmulas de las derivadas que se piden esto son, z u y zv

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Con la otra notación se escribe

REGLA DE LA CADENA PARA VARIAS VARIABLES INDEPENDIENTES Llegados a este punto, cualquier combinación de las relaciones entre variables, puede ser reflejado en el diagrama de dependencia de las derivadas sin ninguna dificultad, solo habrá que fijarse en el enunciado para establecer el diagrama de dependencia de las variables del que, a su vez se establecerían las correspondientes formulas. Ejemplo: Hallar las derivadas parciales de z x y zy de la función de dos variables, resuelta de un problema anterior, utilizamos la derivación logarítmica

En primer lugar, prepararemos la función

A continuación aplicaremos logaritmos neperianos

Después derivamos respecto a x:

Despejando zx y sustituyendo z, se tendrá

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Derivando respecto a y, quedara

Despejando zy y sustituyendo z, , se tendrá:

TEOREMA DE SCHWARTZ

Todo lo anterior puede generalizarse a funciones de n Variables. Así, por ejemplo, una función f(x1, x2, . . . , xn) tiene derivadas parciales en cada punto (x1, x2,. . . , xn) ∈ Rn, que denotamos por:

Y tiene n2 derivadas parciales de segundo orden, quede notamos por:

El Teorema de Schwartz nos asegura que, bajo ciertas condiciones de continuidad, las derivadas cruzadas coinciden: 14

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TEOREMA DE CLAIRAUT Si

es una función definida en el dominio D y si

continuas, entonces EJEMPLO:



Demostrar que

Siendo

Son iguales.

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&

son

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CONCLUSIÓN Cuando trabajamos con funciones de varias variables, o sea, que dependen de más de una variable, y queremos encontrar la razón de cambio de esta magnitud (función) con respecto a una de sus variables acudimos a la DERIVACIÓN PARCIAL. Cuando estamos con funciones de una variable f(x) definimos la derivada como un límite de las secantes, o sea, como el límite del cociente incremental: [f(x+h)-f(x)]/h cuando h->0... En varias variables, definimos la derivada parcial de una manera parecida, si f=f(x1, x2,...xn) definimos la derivada parcial con respecto a la variable i-ésima xi como el limite cuando h->0 del cociente incremental [f(x1, x2,...xi + h,...xn)f(x1, x2,..Xi,..Xn)]/h. Como regla de cálculo, se trata de derivar con respecto a la variable xi que te digan considerando las demás xj como CONSTANTES.

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BIBLIOGRAFÍA 

F.Treves, Basic linear Partial Differential Equations, Academic Press,



1975. [25] Tijonov, A. Samarsky, A., Ecuaciones de la Física Matemática, Ed.

      

Mir, 1983. [26] Widder, D.V., the Heat Equation, Academic Press, 1975. www.wikipedia.com Introducción al análisis matemático II Escrito por José Manuel Casteleiro www.monografias.com Matemáticas con Derive, By Luis Manuel Sánchez Ruiz, La Derivada Parcial Es Fácil Manual Autodidactico

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