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• Jesus Rodriguez

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UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CALCULO EN UNA VARIABLE Gu´ıa No 3 - Integrales Iv´an Vega ANTIDERIVADAS Hallar la antiderivada general o particular de las siguientes funciones √ 1. f (x) = 5x1/4 − 7x3/4 6. h0 (x) = 4/ 1 − x2 , h(1/2) = 1 2. f (x) =

10 x9

2 + x2 1 + x2 √ 4. g 0 (x) = x(6 + 5x),

7. f 00 (x) = 20x3 + 12x2 + 4,

f (0) = 8,

f (1) = 5

8. f 00 (x) = x−2 , x > 0, f (1) = 0, f (2) = 0

3. f (x) =

g(1) = 10.

5. f (x) = (x + 1)(x3 − 2)

9. f 00 (t) = 2et + 3 sen t, 10. f 000 (x) = cos x,

f (0) = 0,

f (0) = 1,

f (π) = 0.

f 0 (0) = 2,

f 00 (0) = 3.

11. La pendiente de una curva en cualquier punto P (x, y) de ella es igual a sen x. Encuentre una ecuaci´ on para la curva si esta pasa por el punto (π/2, 2). 12. En cada punto de una curva cuya ecuaci´ on es y = f (x), y 00 = 6x2 − 2; y el punto (2,2) la pendiente de la curva es 8. Halle una ecuaci´ on de la curva. 13. Dado que la gr´ afica de f pasa por el punto (1,6) y que la pendiente de su recta tangente en (x, f (x)) es 2x + 1, encuentre f (2). 14. ¿Qu´e aceleraci´on constante se requiere para aumentar la velocidad de un autom´ovil de 30 km/h a 50 km/h en 5 s.? 15. Un autom´ovil se desplaza a 100 km/h cuando el conductor observa que ha ocurrido un accidente 80 mts adelante y frena repentinamente. ¿Qu´e desaceleraci´on constante se requiere para detener el autom´ ovil a tiempo antes que se suscite una colisi´ on? 16. Se muestra la gr´ afica de f 0 . Dibuje la gr´ afica de f si ´esta es continua y f (0) = 1.

¿C´omo ser´ıa la gr´ afica si f (0) = −1? INTEGRALES DEFINIDAS Z 17.

1

(1 + x2 )3 dx

Z

0

Z 18. 1

3π/2

| sin x| dx

19. 0

e 2 x

+x+1 dx x

Z 20. 0

1

1

10x dx

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CALCULO EN UNA VARIABLE Gu´ıa No 3 - Integrales Iv´an Vega R 10

w0 (t)dt? R 120 22. Si se fuga aceite a raz´ on de r(t) galones por minuto en el instante t, ¿Qu´e representa 0 r(t)dt?

21. Si w0 (t) es la raz´ on de crecimiento de un ni˜ no en libras por a˜ no, ¿Qu´e representa

5

23. Del fondo de un tanque de almacenamiento fluye agua a raz´on de r(t) = 200 − 4t litros por minuto, donde 0 ≤ t ≤ 50. Encuentre la cantidad de agua que fluye del tanque durante los primeros 10 minutos. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CALCULO Z

x

f (t) dt, donde f es la funci´on cuya gr´afica se muestra .

24. Sea g(x) = 0

a. Eval´ ue g(0), g(1), g(2), g(3) y g(6). b. ¿En qu´e intervalo es creciente g? c. ¿Donde tiene un valor m´ aximo g? d. Trace una gr´ afica aproximada de g

Hallar la derivada Z x √ 25. g(x) = 1 + 2t dt 0

Z

√

10

Z tan θ dθ

28. y =

x

29.

√ sen x √ dx x

Z (3x −

30. Z 31.

√

2)20 dx

a + bx2 dx 3ax + bx3

3

sen at dt

x

cos t dt t

´ INTEGRAR USANDO SUSTITUCION Z Z √ 2 33. cot x csc x dx 37.

π

sec2 (t/4) dt

0

Z 34.

36.

√

dx 1 − x2 sen−1 x

Z

1+x dx 1 + x2

Z

ex + 1 dx ex

35.

Z 32.

tan−1 t dt

2

26. F (x) =

Z

1/2

Z 27. h(x) =

Z 38. 0

Z 39. e

40. ¿Cu´ales de las siguientes ´ areas son iguales? ¿Por qu´e?

2

1 z e

ez e4

+1 dz +z

dx √ x ln x

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41. Una poblaci´on de bacterias se inicia con 400 ejemplares y crece a raz´on de r(t) = (450,268)e1,12567t bacterias por hora. ¿Cu´antos espec´ımenes habr´ a despu´es de tres horas?

INTEGRAR POR PARTES Z

Z

x cos 5x dx

42.

2

ln x dx x2

Sustituya y luego aplique por partes

1

y dy e2y

Z

47. 1

Z 43.

x2 sen πx dx

Z 48. 0

Z 44.

ln(2x + 1) dx Z

45.

Z Z

1

50.

(x2 + 1)e−x dx

46.

Z

sen−1 x dx

52.

0

arctan 4t dt

sen √

1/2

49.

Z

51.

√

√

x dx

π

θ3 cos(θ2 ) dθ π/2

2

(ln x)2 dx

Z

1

0

4 √

e

53.

x dx

1

´ ´ TRIGONOMETRICA ´ INTEGRALES TRIGONOMETRICAS Y POR SUSTITUCION Z Z 1 √ 59. 54. sen3 x cos2 x dx dx x = 2 tan θ x2 x2 + 4 Z 3π/4 55. sen5 x cos3 x dx Z √2 π/2 1 Z 2π dt 60. √ 3√ 2 t −1 − 2t 56. cos2 (6θ) dθ 0

Z 57.

tan3 x sec x dx

Z √ 58.

61. 9 − x2 dx x2

0

x−9 dx (x + 5)(x − 2)

Z

3

63. 2

Z

x2

√ 2 3

√

x3 dx 16 − x2

x = 3 sen θ

Z 62.

64.

Z

1 dx −1

10 dx (x − 1)(x2 + 9)

FRACCIONES PARCIALES Z 3 x + x2 + 2x + 1 65. dx (x2 + 1)(x2 + 2) Z √ x 66. dx x = u2 x−4 Z 1 √ 67. dx u2 = x + 2 x− x+2 3

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Z 68. Z 69. Z 70. Z 71.

x3 − x2 + x − 1 dx x2 + 9

INTEGRAR USANDO LAS TABLAS DE INTEGRALES Z 74. sen2 x cos x ln(sen x) dx Z 75.

dx √ 2 x 4x2 + 9

x4 dx x10 − 2 Z p 4 + (ln x)2 77. dx x Z √ 78. e2x − 1 dx Z

76.

π

x3 sen x dx

0

Z 72. 73.

tan3 (1/z) dz z2

Z p y 6 + 4y − 4y 2 dy

Z 80.

(nx) Z

81. 82.

83.

84. 85. 86.

87. 88. 89. 90.

ex dx 3 − e2x

sec3 (πx) dx

1−n n

dx.

√ √ ( x + 1)(x − x + 1) dx.

√ Z √ ( a − x)4 √ dx. ax √ Z √ 2 + x2 − 2 − x2 √ dx. 4 − x4 Z 2 x + 5x + 7 dx. x+3 Z 4 x + x2 + 1 dx. x−1 Z x dx. (x + 1)2 Z √ x + ln x dx. x Z dx dx. 3x2 + 5 Z 2 x − 5x + 6 dx. x2 + 4 Z dx √ . 7 + 8x2

Z 79.

91. 92. 93.

94. 95.

√

e2θ sen 3θ dθ

MISCELANEA DE EJERCICIOS Z 2x − 5 dx. 102. 3x2 − 2 Z x 103. √ dx. 4 a − x4 Z r arc sen x 104. dx. 1 − x2 √ Z 105. x − arctan 2x dx. 1 + 4x2 Z 106. dx q . √ (1 + x2 ) ln (x + 1 + x2 ) 107. Z x a

96.

(e +

x e− a )2 dx.

Z

x dx √ . x+1

Z

1+x √ dx. 1+ x

Z

ln 2x dx ln 4x x

Z

Z

97. Z 98. Z 99. Z 100. Z 101.

(ax − bx )2 dx ax bx √

et dt . 1 − e2t

sen3 x √ dx. cos x ln x dx.

Z x cos 3x dx Z

x dx. ex

Z

x · 2−x dx.

109. 110.

x dx . cos2 x2

111.

dx . cos x sen x

112.

√

e2x dx. ex + 1

Z

108. Z

√

Z x sen x cos x dx. Z

sen x cos x dx. cos2 x − sen2 x 4

Z 113.

ln2 x dx. x2 ln x dx.

UNIVERSIDAD AUTONOMA DE BUCARAMANGA CALCULO EN UNA VARIABLE Gu´ıa No 3 - Integrales Iv´an Vega Z 114.

ex sen x dx.

Z 125.

Z 115.

sen(ln x) dx. Z

116.

x2 dx √ . 1 − x2

127.

Z 122.

√

x2

124.

1−x 1+x

(arcsin x)2 dx.

137.

cos2 (ln x) dx.

ax + b 128. dx. αx + β 2 Z  b 129. a + x−a dx Z 130. Z 131. 132. Z

2

x ln Z

.

x3 e−x dx.

Z 123.

−

a2

136.

dx

ln (ln x) dx. x

earctan x + x ln (1 + x2 ) + 1 dx. 1 + x2

Z (1 − sen √x )2 2 sen √x2 Z q

Z

Z

x2 dx

Z

138.

x3 dx √ 117. . 2 − x2 Z √ 2 x − a2 118. dx. x Z √ 2 x +1 119. dx. x Z √ 120. 1 − x2 dx. 121.

126. Z

Z

Z

Z

√ arc sen x √ dx. 1−x

133.

135.

139.

140. (0 < b < a).

x2 Z

141.

x3 dx. a2 − x2

Z

(cos ax + sen ax)2 dx. sen ax)2

(cos ax + sen ax

1 − sin x dx. x + cos x

Z

sec2 x dx √ . 4 − tan2 x

5

dx . x x2 − 1 √

Z

dx (a + b) − (a − b)x2

Z 134.

Z

142. Z

dx.

143.

dx √ . 4 − x2

x2 e3x dx. x2 dx. (x2 + 1)2 eax sen bx dx.

Z

√

Z

x2 dx √ . 9 − x2

144.

145.

√ ln (x+ x2 +1) 1+x2

a + x2 dx.

dx.

dx.