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ESTADISTICA TALLER UNIDAD 5 REGRESIÓN LINEAL Ejercicio 1. Una determinada empresa de productos básicos muestra los datos del último año de ventas (en millones de pesos) y al gasto en publicidad (en millones de pesos). La tabla siguientes muestra estas dos variables X e Y.

Total

X

Y

181 176 174 196 200 188 184 193 190 199 170 184 2235

16 17 15 21 19 17 18 20 21 22 15 17 218

xi*yi 2896 2992 2610 4116 3800 3196 3312 3860 3990 4378 2550 3128 40828

x2 32761 30976 30276 38416 40000 35344 33856 37249 36100 39601 28900 33856 417335

X

Y

181 176 174 196 200 188 184 193 190 199 170 184

16 17 15 21 19 17 18 20 21 22 15 17

y2 256 289 225 441 361 289 324 400 441 484 225 289 4024

X-x -5,25 -10,25 -12,25 9,75 13,75 1,75 -2,25 6,75 3,75 12,75 -16,25 -2,25

Y-y -2,16 -1,16 -3,16 2,84 0,84 -1,16 -0,16 1,84 2,84 3,84 -3,16 -1,16

(X-x)2 27,5625 105,0625 150,0625 95,0625 189,0625 3,0625 5,0625 45,5625 14,0625 162,5625 264,0625 5,0625 1066,25

(Y-y)2 4,6656 1,3456 9,9856 8,0656 0,7056 1,3456 0,0256 3,3856 8,0656 14,7456 9,9856 1,3456 63,6672

(X-x)(Y-y) 11,34 11,89 38,71 27,69 11,55 -2,03 0,36 12,42 10,65 48,96 51,35 2,61 225,5

a. Grafique la nube de puntos

gráfico de puntos 25 20 15 10 5 0 165

170

175

180

185

190

195

200

205

b. Calcule el valor de la covarianza

𝑥̅ =

∑ 𝑥𝑖 2235 = = 186,25 𝑛 12

𝑦̅ =

∑ 𝑦𝑖 218 = = 18,16 𝑛 12

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥̅ ∗ 𝑦̅ 𝑁

40828 − (186,25) ∗ (18,16) 12

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 3402,33 − 3382,3 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 3402,33 − 3382,3 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 20,03 c. Determine el tipo de correlación lineal hallando el coeficiente de correlación

𝑟=

𝑟=

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) (𝑦𝑖 − 𝑦̅) √∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 √∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 225,5 √1066,25 √63,6672

= 0,86

Correlación aceptable

d. Halle la recta de regresión

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎=

𝑛 ∗ ∑(𝑥𝑖 ∗ 𝑦𝑖) − ∑ 𝑥𝑖 ∗ ∑ 𝑦𝑖 𝑛 ∗ ∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖)2 𝑏=

𝑎=

∑ 𝑦𝑖 − 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑛

12 ∗ (40828) − (2235)(218) 2076 = = 0,16 2 12 ∗ (417335) − (2235) 12795

𝑏=

218 − (0,16)(2235) −139,6 = = −11,63 12 12

La ecuación de la recta es

𝑦 = 0,16𝑥 − 11,63

Ejercicio 2. Para una muestra de 10 personas disponemos de información respecto a su grado de extroversión, y se desea evaluar su posible relación lineal con la dimensión de personalidad estabilidad emocional. Ambas variables se han medido con un test y se han obtenido las puntuaciones para cada sujeto en una escala de 0 a 10. Los valores obtenidos se presentan en la siguiente tabla: X: Grado de Extroversión

Y: Estabilidad Emocional

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 10 4 7 6 5 4 4 4 3

6 6 3 8 6 3 5 9 10 9

X

Y

xi*yi

x2

y2

X-x

Y-y

(X-x)2

(Y-y)2

5

6 6 3 8 6 3 5 9 10 9 65

30 60 12 56 36 15 20 36 40 27 332

25 100 16 49 36 25 16 16 16 9 308

36 36 9 64 36 9 25 81 100 81 477

-0,2 4,8 -1,2 1,8 0,8 -0,2 -1,2 -1,2 -1,2 -2,2

-0,5 -0,5 -3,5 1,5 -0,5 -3,5 -1,5 2,5 3,5 2,5

0,04 23,04 1,44 3,24 0,64 0,04 1,44 1,44 1,44 4,84 37,6

0,25 0,25 12,25 2,25 0,25 12,25 2,25 6,25 12,25 6,25 54,5

10 4 7 6 5 4 4 4 3

Total

Sujetos

52

a. Calcule el valor de la covarianza 𝑥̅ =

∑ 𝑥𝑖 52 = = 5,2 𝑛 10

𝑦̅ =

∑ 𝑦𝑖 65 = = 6,5 𝑛 10

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥̅ ∗ 𝑦̅ 𝑁

332 − (5,2) ∗ (6,5) 10

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 33,2 − 33,8 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = −0,6

(X-x)(Yy) 0,1 -2,4 4,2 2,7 -0,4 0,7 1,8 -3 -4,2 -5,5 -6

b. Grafique la nube de puntos

GRÁFICO DE PUNTOS 12 10 8 6 4 2 0 0

2

4

6

8

10

c. Determine el tipo de correlación hallando el coeficiente de correlación

𝑟=

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) (𝑦𝑖 − 𝑦̅) √∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 √∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2

𝑟= No hay correlación

−6 √37,6 √54,5

= −0,13

12

d. Halle la recta de regresión

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎=

𝑛 ∗ ∑(𝑥𝑖 ∗ 𝑦𝑖) − ∑ 𝑥𝑖 ∗ ∑ 𝑦𝑖 𝑛 ∗ ∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖)2 𝑏=

𝑎=

∑ 𝑦𝑖 − 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑛

10 ∗ (332) − (52)(65) −60 = = − 0,15 2 10 ∗ (308) − (52) 376

𝑏=

65 − (−0,15)(52) 72,8 = = 7,28 10 10

La ecuación de la recta es

𝑦 = −0,15𝑥 + 7,28 e. Determine la estabilidad emocional para un grado de extroversión de 2

𝑦(2) = −0,15(2) + 7,28 𝑦(2) = −0,15(2) + 7,28 𝑦(2) = −0,30 + 7,28 𝑦(2) = 6,98 Ejercicio 3. Para una muestra de 15 personas se disponemos de información del resultado promedio en Saber Pro y el grado académico de la madre, y desea evaluar su posible relación lineal con respecto al puntaje. Ambas variables se han extraído de un formulario que los estudiantes contestaron al momento de inscribirse. Los puntajes en Saber Pro van de 0 a 300 y los de grado académico de la madre de 0 a 11. Los valores obtenidos se presentan en la siguiente tabla:

Total

Sujetos

X: Puntaje Saber Pro

Y: Grado académico de la madre

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

105 109 94 97 96 105 100 94 94 103 90 99 95 101 91

6 7 3 6 6 10 7 3 5 11 6 8 6 4 1

X

Y

xi*yi

x2

y2

X-x

Y-y

(X-x)2

(Y-y)2

105

6

109

7

94

3

97

6

96

6

105

10

100

7

94

3

94

5

103

11

90

6

99

8

95

6

101

4

91

1

36 49 9 36 36 100 49 9 25 121 36 64 36 16 1 623

0,07 1,07 -2,93 0,07 0,07 4,07 1,07 -2,93 -0,93 5,07 0,07 2,07 0,07 -1,93 -4,93

89

11025 11881 8836 9409 9216 11025 10000 8836 8836 10609 8100 9801 9025 10201 8281 145081

6,8 10,8 -4,2 -1,2 -2,2 6,8 1,8 -4,2 -4,2 4,8 -8,2 0,8 -3,2 2,8 -7,2

1473

630 763 282 582 576 1050 700 282 470 1133 540 792 570 404 91 8865

46,24 116,64 17,64 1,44 4,84 46,24 3,24 17,64 17,64 23,04 67,24 0,64 10,24 7,84 51,84 432,4

0,0049 1,1449 8,5849 0,0049 0,0049 16,5649 1,1449 8,5849 0,8649 25,7049 0,0049 4,2849 0,0049 3,7249 24,3049 94,9335

a. Calcule el valor de la covarianza.

𝑥̅ =

∑ 𝑥𝑖 1473 = = 98,2 𝑛 15

(X-x)(Yy) 0,476 11,556 12,306 -0,084 -0,154 27,676 1,926 12,306 3,906 24,336 -0,574 1,656 -0,224 -5,404 35,496 125,2

𝑦̅ =

∑ 𝑦𝑖 89 = = 5,93 𝑛 15

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) =

∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − 𝑥̅ ∗ 𝑦̅ 𝑁

8865 − (98,2) ∗ (5,93) 15

𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 591 − 33,8 𝑐𝑜𝑣(𝑥, 𝑦) = 8,674

b. Grafique la nube de puntos.

GRÁFICO DE PUNTOS 25 20 15 10 5 0 165

170

175

180

185

190

195

200

c. Determine el tipo de correlación y halle el coeficiente de correlación.

𝑟=

𝑟= Correlación Regular

∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ ) (𝑦𝑖 − 𝑦̅) √∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 √∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2 125,2 √432,4 √94,9335

= 0,61

205

d. Halle la recta de regresión.

𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑎=

𝑛 ∗ ∑(𝑥𝑖 ∗ 𝑦𝑖) − ∑ 𝑥𝑖 ∗ ∑ 𝑦𝑖 𝑛 ∗ ∑ 𝑥𝑖 2 − (∑ 𝑥𝑖)2 𝑏=

𝑎=

𝑏=

∑ 𝑦𝑖 − 𝑎 ∑ 𝑥𝑖 𝑛

15 ∗ (8865) − (1473)(89) 1878 = = 0,28 15 ∗ (145081) − (1473)2 6486

89 − (0,28)(1473) −323,44 = = −21,56 15 15

La ecuación de la recta es

𝑦 = 0,28𝑥 − 21,56 e. Determine el puntaje promedio que obtendría un individuo si su madre tiene un nivel académico de 9.

𝑦 = 0,28𝑥 − 21,56 9 = 0,28𝑥 − 21,56 9 + 21,56 = 0,28𝑥 9 + 21,56 0,28

=𝑥

𝑥 = 109,14