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Conceptos Fundamentales

Rigo Alvarado [email protected]

Competencias a desarrollar: a)

Conoce los diferentes sistemas de unidades para distinguir la unidad fundamental de la unidad compuesta. b) Comprende las características de los vectores y escalares para establecer el equilibrio de la partícula en plano.

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1.1. Cantidades físicas 1.2. Sistemas de unidades 1.3. Conceptos de espacio, tiempo y marco de referencia 1.4. Vectores 1.4.1. Descomposición 1.4.2. Suma, resta 1.4.3. Vector unitario 1.4.4. Productos 1.5. Equilibrio de la partícula

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1.1. Cantidades físicas Mecánica Clásica. Estudia el movimiento de cuerpos bajo la acción de fuerzas. Solo aplica para cuerpos no extremadamente pequeños ni extremadamente grandes con velocidades que no se acerquen a la velocidad de la luz. También se conoce como Mecánica Newtoniana. 4

1.1. Cantidades físicas

Partícula o punto. Cualquier objeto bajo estudio independientemente de su tamaño, orientación o rotación. Cuerpo rígido. Cualquier objeto bajo estudio que se considera no deformable (combinación de muchas partículas que mantiene constante la distancia entre ellas). 5

1.1. Cantidades físicas

Magnitud. Cualidad observable de los cuerpos o los fenómenos que puede ser medida. Cantidad. Estado de alguna magnitud en un objeto o fenómeno determinado.

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1.1. Cantidades físicas

Magnitud fundamental. Se define por si sola y no se puede medir en función de otras (tiempo ( t ), longitud ( l ), masa ( m ), etc.). Magnitud derivada (compuesta). Se expresa en función de las magnitudes físicas fundamentales (volumen ( l × l × l ), densidad ( l×ml×l ), velocidad ( lt ), etc.).

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1.2. Sistemas de unidades

8

1.2. Sistemas de unidades

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1.2. Sistemas de unidades

Conversiones.  Regla de tres simple. E.g. 15m → ft

0.3048m

1 ft

15m

ft

 Multiplicación por “uno”. E.g. 15 hrm →

15 hrm

(

1 ft 0.3048 m

)(

1hr 3600 s

15m ≈ 49.21 ft

ft s

) = 0.136 fts 10

1.2. Sistemas de unidades

Conversiones.  Multiplicación por “uno” para unidades cuadradas. E.g. 15m 2 → ft 2

15m

2

(

)

2 1 ft 0.3048 m

= 161.45 ft 2

Examples

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1.3. Conceptos de espacio, tiempo y marco de referencia Espacio. Entidad sin límites tridimensional en la que ocurren los eventos de un sistema físico, los cuales tienen magnitudes relativas. Tiempo. Magnitud física con la cual se mide la duración o separación de acontecimientos en un sistema bajo observación. 12

1.3. Conceptos de espacio, tiempo y marco de referencia

Marco de referencia. Conjunto de convenciones usadas por un observador para medir la posición y otras magnitudes físicas de un sistema físico.

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1.4.Vectores Escalar. Cantidad caracterizada por un número positivo o negativo (masa, volumen, distancia, temperatura, etc.). Vector. Cantidad que tiene magnitud, dirección y sentido (posición, desplazamiento, velocidad, fuerza, etc.). 14

1.4.Vectores

 Cuántos objetos hay sobre el escritorio??? NÚMERO

 Cuál es la distancia desde el TEC hasta la macro???

ESCALAR

 Cuál es la posición de la macro con respecto al TEC???

VECTOR 15

1.4.Vectores

Escalar

m = 1kg

Vector

 w  w = 9.81N

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1.4.Vectores

Características de vectores.  Los vectores se representan gráficamente con una flecha y se denotan con una letra mayúscula  negrita A o con una letra mayúscula con una flecha encima A.  Su magnitud se denota como A o A, siempre es un número positivo y constituye la longitud de la flecha.  La línea de acción es una recta infinita sobre la cual actúa el vector y tiene un ángulo con respecto a un eje de referencia. 17

1.4.Vectores

 La dirección es el ángulo θ entre la línea de acción y el eje de referencia.  El sentido es la dirección de la flecha.

T

θ

18

1.4.Vectores

 Los vectores A y B son iguales si tienen las mismas unidades, la misma magnitud, la misma dirección y el mismo sentido.

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1.4.Vectores

1.4.1. Descomposición Cualquier vector puede considerarse como el resultante de la suma de dos vectores, denominados vectores componentes. En coordenadas rectangulares, esto puede representarse como F = Fx + Fy

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1.4.Vectores

La magnitud y sentido de las componentes puede expresarse en términos de escalares algebraicos, Fx y Fy. F cos θ = x F sin θ = = F

Fy F

Fx2 + Fy2

 Fy  θ = tan    Fx  −1

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1.4.Vectores

Usando los escalares algebraicos y los vectores unitarios, podemos representar un vector como

= F Fx iˆ + Fy ˆj

Fx iˆ

Escalar: Magnitud y sentido

Unitario: Dirección

Examples

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1.4.Vectores

1.4.2. Suma, resta Suma (Regla del paralelogramo). Consiste en dibujar los vectores, uno tras otro, con sus respectivos inicio y final unidos. Todos los vectores a sumar deben tener las mismas unidades. La suma es independiente del orden en que se acomoden los vectores.

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1.4.Vectores

Opuesto de un vector. El opuesto de A se define como el vector que sumado con A da como resultado cero, i.e. A + ( − A ) =0 . Los vectores A y − A tienen la misma magnitud y dirección pero sentidos opuestos. Resta vectorial. Se utiliza la definición de opuesto de vector y suma vectorial, i.e. A − B = A + ( −B )

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1.4.Vectores

Suma / resta por componentes rectangulares. Se descomponen los vectores en componentes y se suman o restan componente por componente respetando los signos, i.e. F1 = F1x iˆ + F1 y ˆj + F1z kˆ

F2 = F2 x iˆ + F2 y ˆj + F2 z kˆ

Ft = F1 + F2 = ( F1x + F2 x ) iˆ + ( F1 y + F2 y ) ˆj + ( F1z + F2 z ) kˆ Examples Exercises

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1.4.Vectores

1.4.3. Vector unitario Tiene magnitud igual a 1 y es adimensional. Los vectores unitarios cartesianos son iˆ , ˆj y kˆ y se usan para designar las direcciones de los ejes x, y y z respectivamente.

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1.4.Vectores

1.4.4. Productos Multiplicación / División de vector por escalar. Si el vector A se multiplica / divide por el escalar s , el producto sA es un vector que tiene la misma dirección y sentido que A pero una magnitud sAs. Si ss es un escalar negativo, el vector sA tiene el sentido opuesto a A .

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1.4.Vectores

En componentes cartesianas, la multiplicación sA se define como sA = sAx iˆ + sAy ˆj + sAz kˆ y la división

A como s A Ax ˆ Ay ˆ Az ˆ = i+ j+ k s s s s

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1.4.Vectores

Producto punto (escalar). Dados los vectores A y B, el producto punto es el escalar

A⋅ B = AB cos θ donde θ es el ángulo entre los vectores (mayor o menor) y A y B B son sus magnitudes.

En componentes cartesianas, esta definido como A ⋅ B= Ax Bx + Ay By + Az Bz 29

1.4.Vectores

Producto cruz (vectorial). Dados los vectores A y B , el producto cruz es un tercer vector C con magnitud C ≡ AB sin θ

donde θ es el ángulo entre los vectores y tiene un valor menor a 180° 180ll. El vector C siempre es perpendicular al plano formado por los vectores A y B. La dirección de C se determina por medio de la regla de la mano derecha. 30

1.4.Vectores

Regla de la mano derecha: Si la operación a realizar es A × B , el dedo índice debe representar la dirección y sentido del primer vector ( A ), el dedo medio la dirección y sentido del segundo vector (BB) ( B ) y el pulgar la dirección y sentido del vector resultante CC.

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1.4.Vectores

En componentes cartesianas, el producto cruz se calcula con determinantes, i.e. iˆ = A× B

Ax Bx

ˆj

kˆ

Ay Ay= Az By By Bz

Ay Bz − By Az

Az A ˆi − x Bz Bx

Ax Bz − Bx Az

Az Bz

ˆj +

Ax Bx

Ay kˆ By

Ax By − Bx Ay

Examples Exercises

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1.5. Equilibrio de la partícula Una partícula se encuentra en equilibrio si esta en reposo (equilibrio estático) o se mueve con velocidad constante (equilibrio dinámico), i.e. si la fuerza neta (resultante) que actúa sobre la misma es nula. Por eso, la única condición para equilibrio se expresa mediante la segunda ley de newton como Ecuación de    ∑ F =∑ Fx i + ∑ Fy j + ∑ Fz k =0 equilibrio 33

1.5. Equilibrio de la partícula

34

1.5. Equilibrio de la partícula

Suma vectorial

Equilibrio de partícula

∑F = ?

∑F = 0 35

1.5. Equilibrio de la partícula

Fuerza. En lenguaje cotidiano se puede definir como un empujón o un jalón. Formalmente, es la interacción entre dos cuerpos o entre un cuerpo y su ambiente. Tiene magnitud y dirección, por lo tanto es un vector. La unidad SI para medirla es el newton ( N ) . Los tipos de fuerza se pueden agrupar en dos categorías: de contacto y de campo.

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1.5. Equilibrio de la partícula

Fuerza de contacto. Implica contacto directo entre dos cuerpos (empujón o jalón).

 n  Normal : Ejercida sobre un objeto por cualquier superficie con la que esté en contacto. Es “normal” porque siempre actúa perpendicular a la superficie, sin importar el ángulo de la superficie.

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1.5. Equilibrio de la partícula

  Fricción f : Ejercida sobre un objeto por una superficie. Siempre actúa de forma paralela a la superficie, en la dirección opuesta al deslizamiento.

  Tensión T: Ejercida por una cuerda tensionada (estirada) sobre un objeto al cual se encuentra atada.

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1.5. Equilibrio de la partícula

Fuerza de campo. Actúa aunque los cuerpos estén separados (imanes, gravedad, etc.).

  Peso w : Su magnitud es w = mg , y es producto del “jalón” que la gravedad ejerce sobre un objeto.

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1.5. Equilibrio de la partícula

Metodología para solucionar problemas. 1. Orden… orden y progreso… 2. Cuáles datos se proporcionan??? En qué unidades se dan??? 3. Dibujo de la situación y/o Diagrama de cuerpo libre 4. Principios físicos, i.e. ecuaciones 5. Tiene sentido la respuesta??? 40

1.5. Equilibrio de la partícula

Diagramas de cuerpo libre (Free Body Diagram, FBD). Se dibujan únicamente las fuerzas que actúan sobre el objeto bajo estudio. Nos da una relación causa-efecto. Es el paso más importante al analizar un problema.

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1.5. Equilibrio de la partícula

Pasos para FBD. 1) Identifica todas las fuerzas que actúan sobre el objeto; aíslalo del medio ambiente (2D, piensa en un círculo que envuelve al objeto de interés; 3D, piensa en una esfera que envuelve al objeto de interés) 2) Representa cada fuerza como un vector, respetando su dirección. Si la dirección es desconocida, asigna una de forma arbitraria. No olvides identificar a todos los vectores, los valores conocidos y las incógnitas 42

1.5. Equilibrio de la partícula

3) Elige un sistema de coordenadas apropiado

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1.5. Equilibrio de la partícula

Hints para FBD.  Piensa en todas las fuerzas que están afectando al objeto  Considera TODAS las direcciones; en la mayoría de los casos es necesario descomponer en componentes rectangulares alguna fuerza aplicada  Direcciones… Asegúrate que las direcciones conocidas de las fuerzas que dibujas son las correctas Examples

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1.5. Equilibrio de la partícula

HINTS para solucionar problemas de equilibrio de partícula. 1) FBD, paso más importante 2) Aplica la Ec. de equilibrio por componentes, i.e.

∑F

=0

∑F

=0

x

i + F j + F k =0 F = F ∑ ∑ x ∑ y ∑ z

∑F

y

=0

z

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1.5. Equilibrio de la partícula

3) Pon atención a los signos de las componentes escalares 4) Recuerda que debes tener el mismo número de ecuaciones que de incógnitas: en 2D tienes dos ecuaciones de equilibrio únicamente, por lo que solo puedes calcular dos incógnitas; en 3D tienes tres ecuaciones de equilibrio únicamente, por lo que solo puedes calcular tres incógnitas. Si un problema dado tiene más incógnitas que ecuaciones de equilibrio, necesitas obtener ecuaciones adicionales de la información que se proporcione 5) Necesitas calculadora/software para resolver sistemas de ecuaciones lineales de tres incógnitas 46

1.5. Equilibrio de la partícula

6) Las cuerdas y poleas se consideran ideales; las cuerdas no se estiran y las poleas no presentan fricción

Examples Exercises

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