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PLASTICIDAD (Metalúrgica) Unidad VII INTRODUCCIÓN

Tanto en la ingeniería metalúrgica como en la Mecánica y otras, es imprescindible conocer el comportamiento de los materiales cuando son solicitados por cargas. En la teoría de la Elasticidad (Malvern ,1969) se considera que al menos en un pequeño intervalo las tensiones son proporcionales a las deformaciones. Cuando esto ocurre se dice que el cuerpo se encuentra en el campo elástico. Cuando las cargas sobrepasan este campo el cuerpo se comporta en forma plástica dando como resultado relaciones no lineales entre la tensión y la deformación.

1. Elasticidad, plasticidad y termofluencia Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria presentan el comportamiento de los materiales ingenieriles cuando están cargados en tensión o compresión, como se describió en la sección anterior. Para ir un paso mas allá, consideremos que sucede cuando la carga se quita y el material se descarga. Suponga por ejemplo, que aplicamos una carga de tensión a una muestra tal que el esfuerzo y la deformación unitaria vayan del origen O al punto A en la curva de esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1-1.a. Suponga además que cuando la carga se remueve, el material sigue exactamente la misma curva de regreso al origen O. Esta propiedad de un material, mediante la cual regresa a sus dimensiones originales durante la descarga, se denomina elasticidad y se dice que el propio material es elástico. Observe que la curva esfuerzo-deformación unitaria de O a A no tiene que ser lineal a fin de que el material sea elástico. Ahora suponga que cargamos este mismo material hasta un nivel mayor, tal que se alcanza el punto B en la curva esfuerzodeformación unitaria (fi gura 1-1. b). Cuando la descarga sucede a partir del punto B, el material sigue la línea BC en el diagrama. Esta línea de descarga es paralela a la parte inicial de la curva de carga; es decir, la línea BC es paralela a una tangente a la curva esfuerzo-deformación unitaria en el origen. Cuando se alcanza el punto C, la carga se ha removido por completo, pero en el material permanece una deformación unitaria residual o deformación unitaria permanente, representada por la línea OC. Figura 1-1

Como consecuencia, la barra ensayada es mas larga ahora que antes de la aplicación de la carga. Este alargamiento residual de la barra se denomina deformación permanente. De la deformación total OD desarrollada durante la carga de O a B, la deformación unitaria CD se ha recuperado elásticamente y la deformación unitaria OC permanece como una deformación unitaria permanente. Así, durante la descarga la barra regresa parcialmente a su forma original y, por tanto, se dice que el material es parcialmente elástico.

Entre los puntos A y B en la curva esfuerzo-deformación unitaria (fi gura 1-1b), debe haber un punto antes del cual el material es elástico y después del cual el material es parcialmente elástico. Para encontrar este punto, cargamos el material hasta un valor seleccionado de esfuerzo y luego removemos la carga. Si no hay una deformación unitaria permanente (es decir, si el alargamiento de la barra regresa a cero), entonces el material es completamente elástico hasta el valor seleccionado del esfuerzo. El proceso de carga y descarga se puede repetir para valores sucesivamente mayores del esfuerzo. Al final se alcanzara un esfuerzo tal que no toda la deformación unitaria se recupera durante la descarga. Mediante este procedimiento es posible determinar el esfuerzo en el limite superior de la región elástica, por ejemplo, el esfuerzo en el punto E en las figuras 1.1a y b. El esfuerzo en este punto se conoce como límite elástico del material.

Figura 1-1 repetida

Muchos materiales, incluyendo la mayor parte de los metales, tienen regiones lineales al inicio de sus curvas esfuerzo-deformación unitaria (por ejemplo, consulte las figuras 1-2 y 1-3). El esfuerzo en el limite superior de esta región lineal es el limite de proporcionalidad, como se explico en la sección anterior. El limite elástico usualmente es igual o ligeramente mayor que el limite de proporcionalidad. De aquí que, para muchos materiales, a los dos limites se les asigne el mismo valor numérico. En el caso del acero dulce, el esfuerzo de fluencia también esta muy cercano al limite de proporcionalidad, tal que para fines prácticos el esfuerzo de fluencia, el limite elástico y el limite de proporcionalidad se suponen iguales. Por supuesto, esta situación no es valida para todos los materiales. El caucho es un notable ejemplo de un material que es elástico mucho mas allá de su limite de proporcionalidad.

Figura 1-2. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria para un acero estructural común en tensión (fuera de escala).

Figura 1-3. Diagrama esfuerzo-deformación unitaria típico para una aleación de aluminio

La característica de un material por la cual experimenta deformaciones unitarias inelásticas, mas allá de la deformación unitaria en el limite elástico, se conoce como plasticidad. Por tanto, en la curva esfuerzo-deformación unitaria de la figura 1-1a tenemos una región elástica seguida de una región plástica. Cuando suceden deformaciones unitarias grandes en un material dúctil cargado en la región plástica, se dice que el material experimenta flujo plástico. Carga repetida de un material Si el material permanece dentro del rango elástico, se puede cargar, descargar y cargar de nuevo sin cambiar significativamente su comportamiento. Sin embargo, cuando esta cargado en el rango plástico, la estructura interna del material se altera y cambian sus propiedades. Por ejemplo, ya hemos observado que se da una deformación unitaria permanente en la muestra después de la descarga desde la región plástica (fi gura 1.18b). Ahora suponga que el material se recarga después de esa descarga (figura 1.19). La nueva carga inicia en el punto C en el diagrama y continua hacia arriba hasta el punto B, el punto en el cual comenzó la descarga durante el primer ciclo de carga. Entonces el material sigue la curva original de esfuerzo-deformación unitaria hacia el punto F. Así, para la segunda carga, podemos imaginar que tenemos un diagrama nuevo de esfuerzo-deformación unitaria con su origen en el punto C.

Durante la segunda carga el material se comporta de una manera linealmente elástica de C a B, donde la pendiente de la recta CB es igual que la pendiente de la tangente a la curva original de carga, en el origen O. Ahora el limite de proporcionalidad esta en el punto B, el cual esta mayor esfuerzo que el limite elástico original (punto E). Así, al estirar un material como el acero o el aluminio en el rango inelástico o plástico, cambian las propiedades del material —aumenta la región linealmente elástica, aumenta el limite de proporcionalidad y aumenta también el limite elástico—. Sin embargo, la ductilidad se Figura 1-4. Carga repetida de un reduce debido a que en el “nuevo material” la cantidad de fluencia material y elevación de los limites mas allá del limite elástico (de B a F) es menor que en el material elástico y de proporcionalidad. original (de E a F). Termofluencia

Los diagramas de esfuerzo-deformación unitaria descritos antes se obtuvieron a partir de ensayos de tensión en los que se aplicaba carga y descarga estática a las muestras y el paso del tiempo no entro en nuestros análisis. No obstante, cuando los materiales se cargan durante periodos largos, algunos de ellos desarrollan deformaciones unitarias adicionales y se dice que presentan termofluencia. Este fenómeno se manifiesta de diversas maneras. Por ejemplo, suponga que una barra vertical (figura 1-5a) se carga lentamente mediante una fuerza P, produciendo un alargamiento igual a δ0. Supongamos que la carga y el alargamiento correspondiente tiene lugar durante un intervalo que dura t0 (figura 1-5b). Después del tiempo t0, la carga permanece constante

Figura 1-5. Termofluencia en una barra sometida a una carga constante.

Sin embargo, debido a la termofluencia, la barra puede alargarse en forma gradual, como se muestra en la fi gura 1.20b, aunque la carga no cambie. Este comportamiento sucede en muchos materiales, aunque algunas veces el cambio es demasiado pequeño para considerarlo.

Figura 1-6. Relajación del esfuerzo en un alambre sometido a una deformación unitaria constante.

Como otra manifestación de termofluencia, considere un alambre que se estira entre dos soportes inmóviles, de manera tal que tiene un esfuerzo de tensión inicial σ0 (figura 1-6). Una vez mas, denotaremos el tiempo durante el cual el alambre se alarga inicialmente como t0. Con el paso del tiempo el esfuerzo en el alambre disminuye de manera gradual y termina alcanzando un valor constante, aun cuando los soportes en los extremos del alambre no se muevan. Este proceso se denomina relajación del material. En general, la termofluencia es mas importante a temperaturas elevadas que a temperaturas ordinarias y, por lo tanto, siempre se debe tomar en cuenta en el diseño de motores, chimeneas y otras estructuras que operan a temperaturas elevadas durante grandes periodos. Sin embargo, materiales como el acero, el concreto y la madera tendrán una termofluencia ligera aun a temperaturas ambiente. Por ejemplo, la termofluencia del concreto en el trascurso de grandes periodos puede crear ondulaciones en las calzadas de puentes debido a la flexión entre los apoyos. (Una solución es construir la calzada con una contraflecha, que es un desplazamiento inicial arriba de la horizontal, de modo que cuando ocurra la termofluencia, los tramos del puente bajen hasta su posición a nivel.)

Ejercicio

Una barra de acero estructural que tiene el diagrama esfuerzo-deformación unitaria que se muestra en la figura tiene una longitud de 48 in. El esfuerzo de fluencia del acero es 42 ksi y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzodeformación unitaria (módulo de 3 elasticidad) es 30× 10 ksi. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 0.20 in y luego se quita la carga. Cual es la diferencia entre la longitud final de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en la figura 1-b).

σ A

B

σf ϵE

O

ϵR

ϵB

ϵ

Datos: L= 48 pulg σf= 42ksi δ= 0.20 pulg pendiente= 30x103 ksi

σ A

Datos: L= 48 pulg σf= 42ksi δ= 0.20 pulg pendiente= 30x103 ksi

B

σf ϵE

O

ϵR

ϵB

ϵ 3. Deformación residual εR

1. Esfuerzo y deformación en el punto B

ε R = ε B − ε E = 4.17 x10−3 − 1.40 x10−3 = 2.77 x10−3

σ B = σ F = 42ksi εB =

δ L

=

4. Deformación permanente

0, 20 pu lg = 4.17 x10−3 48 pu lg

ε R .L = ( 2.77 x10−3 ) ( 48 pu lg ) = 132.96 x10−3 pu lg ≃ 0.133 pu lg ..

2. Recuperación elástica εE

εE =

σB pendiente

=

42ksi = 1.4 x10−3 3 30 x10 ksi

La longitud final de la barra es 0,133 pulg mayor que su longitud original

Ejercicio

Una barra con una longitud de 2.0 m esta hecha de un acero estructural que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura. El esfuerzo de fluencia del acero es 250 MPa y la pendiente de la parte inicial lineal de la curva esfuerzo-deformación unitaria (modulo de elasticidad) es 200 GPa. La barra se carga axialmente hasta que se alarga 6.5 mm y luego se quita la carga..Cual es la diferencia entre la longitud final de la barra y su longitud original? (Sugerencia: utilice los conceptos ilustrados en la figura 1-b).

σ A

B

σf ϵE

O

1. Esfuerzo y deformación en el punto B

δ 6.5mm εB = = = 3.25x10

−3

ϵB

ϵ

2. Recuperación elástica εE

εE =

σ B = σ F = 250MPa

L 2000mm

ϵR

Datos: L= 2.0 m σf= 250 MPa δ= 6.5 cm pendiente= 200GPa

σB pendiente

=

250 MPA = 1.25 x10 −3 3 200 x10 MPa

4. Deformación permanente

3. Deformación residual εR

ε R = ε B − ε E = 3.25 x10−3 − 1.25 x10−3 = 2.0 x10−3

ε R .L = ( 2.0 x10−3 )( 2.0 x103 mm ) = 4mm La longitud final de la barra es 4.0 mm mayor que su longitud original

2. Comportamiento no lineal Hasta este punto nuestros análisis han tratado principalmente con elementos y estructuras compuestas de materiales que siguen la ley de Hooke. Ahora consideraremos el comportamiento de elementos cargados axialmente cuando el esfuerzo excede el limite de proporcionalidad. En esos casos los esfuerzos, las deformaciones y los desplazamientos dependen de la forma de la curva esfuerzo-deformación unitaria en la región mas allá del limite de proporcionalidad. Curvas esfuerzo-deformación unitaria no lineales

Para fines de análisis y diseño, con frecuencia representamos la curva esfuerzo-deformación unitaria real de un material mediante una curva idealizada esfuerzo-deformación unitaria que se puede expresar como una función matemática. Algunos ejemplos se muestran en la figura 2-1. El primer diagrama (figura 2.1a) consiste en dos partes, una región inicial linealmente elástica seguida de una región no lineal definida por una expresión matemática apropiada. El comportamiento de algunas aleaciones de aluminio algunas veces se puede representar con mucha precisión mediante una curva de este tipo, al menos en la región antes de que las deformaciones se hagan excesivamente grandes.. En el segundo ejemplo (figura 2.1b), se utiliza una sola expresión matemática para toda la curva esfuerzo-deformación unitaria. La expresión mejor conocida de este tipo es la ley esfuerzo-deformación unitaria de Ramberg-Osgood,

Figura 2-1. Tipos de comportamiento idealizado del material: (a) curva esfuerzo deformación unitaria elástica no lineal (b) curva esfuerzo-deformación unitaria general no lineal, (c) curva esfuerzo deformación unitaria elastoplástica y (d) curva esfuerzodeformación unitaria bilineal.

En la figura 2.1c se ve el diagrama esfuerzo-deformación unitaria empleado para el acero estructural. Como el acero tiene una región linealmente elástica seguida de una región de fluencia considerable, su comportamiento se puede representar mediante dos líneas rectas. Se supone que el material sigue la ley de Hooke hasta el esfuerzo de fluencia σf, después de lo cual fluye ante un esfuerzo constante, este último comportamiento se conoce como plasticidad perfecta. La región perfectamente plástica continua hasta que las deformaciones unitarias son 10 o 20 veces mayores que la deformación unitaria de fluencia. Un material que tiene un diagrama esfuerzo-deformación unitaria de este tipo se denomina material elastoplástico (o material elástico-plástico).

A la larga, cuando la deformación unitaria se hace extremadamente grande, la curva esfuerzodeformación unitaria para el acero se eleva arriba del esfuerzo de fluencia debido al endurecimiento por deformación, Sin embargo, en el instante que inicia el endurecimiento por deformación, los desplazamientos son tan grandes que la estructura habrá perdido su utilidad. En consecuencia, es practica común analizar las estructuras de acero con base en el diagrama elastoplástico que se muestra en la figura 2-1c, tanto para análisis de tensión como de compresión. Un análisis basado en estas suposiciones se denomina análisis elastoplástico, o simplemente, análisis plástico y se describe en la siguiente sección. En la figura 2-1d se muestra un diagrama esfuerzo-deformación unitaria formado por dos líneas con pendientes diferentes, se llama diagrama bilineal esfuerzodeformación unitaria. Observe que en las dos partes del diagrama la relación entre el esfuerzo y la deformación unitaria es lineal, pero solo en la primera parte el esfuerzo es proporcional a la deformación unitaria (ley de Hooke). Este diagrama idealizado se puede emplear para representar materiales con endurecimiento por deformación o se puede utilizar como una aproximación a diagramas con las formas no lineales generales que se muestran en las figuras 2-1a y b. Ley esfuerzo-deformación unitaria de Ramberg-Osgood

Las curvas esfuerzo-deformación unitaria para varios metales, incluyendo el aluminio y el magnesio, pueden representarse exactamente por la ecuación de Ramberg-Osgood:

σ  σ ε = +α   σ0 σ0 

m

Ec. 2-1a

En esta ecuación, σ y ϵ son el esfuerzo y la deformación unitaria, respectivamente, y ϵ0, σ0, α y m son constantes del material (obtenidas mediante ensayos de tensión). Una forma alternativa de la ecuación es m

ε= donde E = unitaria.

σ0/ϵ0

σ 0 .α  σ    E E  σ0 

σ

+

Ec. 2-1b

es el modulo de elasticidad en la parte inicial de la curva esfuerzo-deformación

En la figura 2-2 se muestra una grafica de la ecuación (2-1a) para una aleación de aluminio para la cual las constantes son las siguientes: En la figura 2-2se muestra una grafica de la ecuación (2-1b) para una aleación de aluminio para la cual las constantes son las siguientes: E = 10 × 106 psi, σ0 = 38,000 psi, α = 3/7 y m = 10. La ecuación de esta curva particular esfuerzo-deformación unitaria es

σ

1  σ  ε= +   6 10 x10 614.0  38000 

10

donde σ tiene unidades de libras por pulgada cuadrada (psi). Una ecuación similar para una aleación de aluminio, pero en unidades SI (E = 70 GPa, σ0 = 260 MPa, α = 3/7 y m = 10) es la siguiente:

Figura. 2-2. Curva esfuerzo-deformación unitaria para una aleación de aluminio empleando la ecuación de Ramberg- Osgood (ecuación 2.1b).

σ

1  σ  + ε=   70000 628.1  260 

10

Ejercicio

Una barra prismática AB con longitud L = 2.2 m y área de su sección transversal A = 480 mm2 soporta dos cargas concentradas P1 = 108 kN y P2 = 27 kN, como se muestra en la figura. El material de la barra es una aleación de aluminio que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria no lineal, representada por la ecuación de Ramberg-Osgood siguiente.

ε=

σ 70000

1  σ    628.1  260 

10

+

en donde s tiene unidades de MPa. (La forma general de esta curva esfuerzo-deformación unitaria se muestra en la figura) Determine el desplazamiento dB del extremo inferior de la barra para cada una de las siguientes condiciones: (a) la carga P1 actúa sola, (b) la carga P2 actúa sola y (c) las cargas P1 y P2 actúan simultáneamente. Solución

(a) Desplazamiento debido solo a la carga P1. La carga P1 produce un esfuerzo uniforme de tensión en toda la longitud de la barra igual a P1/A o 225 MPa. Sustituyendo este valor en la relación esfuerzodeformación unitaria da ϵ = 0.003589. Por tanto, el alargamiento de la barra, igual al desplazamiento en el punto B.

δ B = ε .L = ( 0.003589 ) . ( 2.2m ) = 7.90mm Alargamiento de una barra de material no lineal empleando la ecuación de Ramberg-Osgood

(b) Desplazamiento debido solo a la carga P2. El esfuerzo en la mitad superior de la barra es P2/A o 56.25 MPa y no hay esfuerzo en la mitad inferior. Continuando como en el inciso (a), obtenemos el siguiente alargamiento:

δB = ε.

L = ( 0.0008036 ) . (1.1m ) = 0.88mm 2

(c) Desplazamiento debido a las dos cargas que actúan simultáneamente. El esfuerzo en la mitad inferior de la barra es P1/A y en la mitad superior es (P1 +P2)/A. Los esfuerzos correspondientes son 225 MPa y 281.25 MPa, y las deformaciones correspondientes son 0.003589 y 0.007510 (de la ecuación de Ramberg-Osgood). Por tanto el alargamiento de la barra es

δ B = ( 0.003589 )(1.1m ) + ( 0.07510 )(1.1m ) = 3.95mm + 8.26mm = 12.2mm

Los tres valores calculados de δB ilustran un principio importante relativo a una estructura hecha de un material que se comporta no linealmente: En una estructura no lineal, el desplazamiento producido por dos (o más) cargas que actúan simultáneamente no es igual a la suma de los desplazamientos producidos por las cargas actuando por separado.

3. Análisis elastoplástico

Figura 3-1. Diagrama idealizado esfuerzo-deformación unitaria para un material elastoplástico, como el acero estructural.

En la sección anterior analizamos el comportamiento de estructuras cuando los esfuerzos en el material exceden el limite de proporcionalidad. Ahora describiremos un material de mucha importancia en el diseño de ingeniería: el acero, el metal estructural que mas se utiliza. El acero dulce (o acero estructural) se puede modelar como un material elastoplástico con un diagrama esfuerzo-deformación unitaria como se muestra en la figura 3-1. Un material elastoplástico al inicio se comporta de una manera linealmente elástico con un modulo de elasticidad E. Después del inicio de la fluencia plástica las deformaciones unitarias aumentan a un esfuerzo mas o menos constante, llamado esfuerzo de fluencia σY. La deformación unitaria al inicio de la fluencia se conoce como deformación unitaria de fluencia σY. El diagrama carga-desplazamiento para una barra prismática de material elastoplástico sometida a una carga de tensión (figura 3-2) tiene la misma forma que el diagrama esfuerzo-deformación unitaria. Al inicio, la barra se alarga de una manera linealmente elástica y sigue la ley de Hooke Por tanto, en esta región de carga podemos determinar el cambio de longitud a partir de la formula conocidaδ= PL/EA. Una vez que se alcanza el esfuerzo de fluencia, la barra se puede alargar sin un aumento en la carga y el alargamiento no tiene una magnitud especifica. La carga a la cual inicia la fluencia se llama carga de fluencia Py y el alargamiento correspondiente de la barra se denomina desplazamiento de fluencia δY. Observe que para una barra prismática individual, la carga de fluencia PY es igual a σY A y el desplazamiento de fluencia δY es igual a PYL/EA o σYL/E. (Son validos comentarios similares en una barra en compresión, siempre que no ocurra pandeo).

Figura 3-2. Diagrama carga desplazamiento para una barra prismática de material elastoplástico.

Si una estructura solo consiste de elementos cargados axialmente es estáticamente determinada (figura 3-2), su comportamiento general sigue el mismo patrón. La estructura se comporta de una manera linealmente elástica hasta que uno de sus elementos alcanza el esfuerzo de fluencia. Luego ese elemento comenzará a alargarse (o acortarse) sin cambio adicional en la carga axial en ese elemento. Así, toda la estructura fluirá y su diagrama cargadesplazamiento tiene la misma forma que para una sola barra (figura 3-2).

Ejercicio

Dos barras idénticas AB y BC soportan una carga vertical P (consulte la figura). Las barras están hechas de acero que tiene una curva esfuerzo-deformación unitaria que se puede idealizar como elastoplástica con esfuerzo de fluencia σY. Cada barra tiene un área de la sección transversal A. Determine la carga de fluencia PY y la carga plástica PP. Solución

∑F

vert

La estructura es estáticamente determinada. La fuerza de fluencia Py y la carga plástica PP ocurren simultáneamente. Ocurre cuando ambas barras alcanzan el esfuerzo de fluencia.

=0

( 2σ Y A ) senθ = P PY = PP = 2σ Y A.senθ

Ejercicio

Una carga P actúa sobre una viga horizontal que esta soportada por cuatro barras configuradas en un patrón simétrico como se muestra en la figura. Cada barra tiene un área de sección transversal A y el material es elastoplástico con esfuerzo de fluencia σY. Determine la carga plástica PP. Solución

La carga plástica somete a las cuatro barras a tensión de fluencia. La suma de las fuerzas en la dirección vertical solucionan el problema.

F = σY A

F

F F

F

P Diagrama de cuerpo libre

PP = 2 F + 2 Fsenα

PP = 2σ Y A (1 + senα )

5. Teorías de fallas Cuando un ingeniero se enfrenta a un problema de diseño usando un material especifico. Es importante establecer un límite superior en el estado de esfuerzo que defina la falla del material. Si el material es dúctil, la falla suele especificarse mediante el inicio de la fluencia, mientras que si el material es frágil, se especifica por la fractura. Estos modos de falla pueden definirse con facilidad si el elemento está sometido a un estado de esfuerzo uniaxial, como en el caso de la tensión simple; sin embargo, si el elemento está sometido a esfuerzos biaxiales o triaxiales, el criterio para la falla se vuelve más difícil de establecer. Se analizaran cuatro teorías de fallas que suelen utilizarse en la práctica de la ingeniería para predecir la falla de un material sometido a un estado multiaxial de esfuerzo. Sin embargo, no hay teoría de falla que pueda aplicarse a un determinado material en todos los casos, ya que un material puede comportarse de manera dúctil o frágil dependiendo de la temperatura, la razón de carga, entorno químico o la manera en que el material se forma o fabrica. Cuando se utiliza una teoría en particular de falla, primero es necesario determinar los pontos donde los esfuerzos normal y cortante son máximos en el elemento. Después de haber de haber establecido este estado de esfuerzo, se denominan los esfuerzos principales en los puntos críticos, puesto que cada una de las teorías siguientes se basan en el conocimiento del esfuerzo principal. 5.1. Materiales dúctiles Teoría del esfuerzo cortante máximo. El tipo más común de fluencia de un

45º

Figura 5.1-1. Líneas de Lüder sobre una franja de acero de bajo carbono

material dúctil como el acero es causado por deslizamiento, el cual ocurre a lo largo de los planos de contacto de los cristales ordenados aleatoriamente que componen el material. Si se hace una probeta con una franja delgada altamente pulida y se somete a una prueba de tensión simple, en realidad es posible ver cómo este deslizamiento hace que el material ceda. figura 5.1-1. Los bordes de los planos de deslizamiento que aparecen en la superficie de la tira se conocen como líneas de Lüder. Estas líneas indican claramente los planos de deslizamiento en la franja, los cuales se producen a unos 45º respecto al eje de la franja. El deslizamiento que se produce es causado por el esfuerzo cortante. Para mostrar esto, considere un elemento del material tomado de una probeta de tensión, cuando ésta se somete al esfuerzo de fluencia σY, figura 5.1-2. El esfuerzo cortante máximo puede determinarse mediante la elaboración del círculo del Mohr para el elemento figura 5.1-2a (en siguiente página). Los resultados indican que:

τ m áx =

σY 2

Además, este esfuerzo cortante actúa sobre los planos que están a 45º de los planos de esfuerzo principal, figura 5.1-2ª,y estos planos coinciden con la dirección de las líneas de Lüder que aparecen sobre la probeta, lo que efectivamente que la falla ocurre por una fuerza cortante. A partir de la idea de que los materiales dúctiles fallan por cortante, Henri Tresca propuso la teoría del esfuerzo cortante máximo o criterio de Tresca para la fluencia. Esta teoría puede utilizarse para predecir el esfuerzo de falla de un material dúctil sometido a cualquier tipo de carga. La teoría establece que la fluencia del material se inicia cuando el esfuerzo cortante máximo absoluto en el material alcanza el esfuerzo cortante que causa la fluencia del mismo material cuando está sometido sólo a esfuerzo axial. Por lo tanto, para evitar la falla se requiere que

τmáx,abs

en el material sea menor o igual a σY /2, donde σY se determina a partir de una prueba de tensión simple. Para la aplicación se expresará el esfuerzo cortante máximo absoluto en términos de esfuerzos principales. El procedimiento para hacer esto en la Unidad VI con referencia a una condición de esfuerzo plano, es decir, el punto donde el esfuerzo principal fuera del plano sea cero. Si los dos esfuerzos principales en el plano tienen el mismo signo, es decir, ambos son de tensión o de compresión, entonces la falla ocurrirá fuera del plano y, con base a la ecuación

Si en vez de esto, los esfuerzos principales en el plano tienen signos opuestos, entonces la falla se produce en el plano y, con base a la ecuación

Figura 5.1-1. Teoría del esfuerzo cortante máximo

Al usar estas ecuaciones y la ecuación τabs, máx = σy /2, la teoría del esfuerzo cortante máximo para el escuerzo plano puede expresarse para cualquiera de los esfuerzos principales en el plano σ1 y σ2, mediante los siguiente criterios:

 σ 1 = σ Y     σ 2 = σ Y 

{σ 1 − σ 2 = σ Y }

σ1,σ2 tienen los mismos signos

σ1,σ2 tienen signos opuestos

En la figura 5-2 se nuestra una gráfica de estas ecuaciones. Resulta claro que si cualquier punto del material se somete a esfuerzo plano, y sus esfuerzos principales en el plano están representados por una coordenada (σ1, σ2) trazada en el límite u fuera del área hexagonal que se nuestra en la figura 5.1-2, el material cederá en el punto y se dirá que ocurrió una falla.

Figura 5.1-2. Teoría del esfuerzo cortante máximo

Ejercicio

Un eje sólido de hierro fundido que se muestra en la figura está sometido a un par de torsión T=400 lb-pie. Determine su radio más pequeño de modo que no falle según la teoría del esfuerzo normal máximo. Una probeta de hierro fundido, probada en tensión, tiene un esfuerzo último de σult = 20 ksi.

Solución

El esfuerzo máximo o crítico ocurre en un punto situado en la superficie del eje. Si se supone que el eje tiene un radio r, el esfuerzo cortante es

τ máx =

T .c ( 400lb. pie )(12 pu lg/ pie ) .r 3055.8lb. pu lg = = π 4 IP r3 r 2

El esfuerzo círculo de Mohr para este estado de esfuerzo (cortante puro) se muestra en la figura (b). Como R= τmáx, entonces,

σ 1 = −σ 2 = τ máx =

3055.8lb. pu lg r3

La teoría del esfuerzo normal máximo, requiere que

σ 1 ≤ σ últ 3055.8lb. pu lg ≤ 20000lb. pu lg 2 ⇒ r = 0.535 pu lg 3 r

5.2. Teoría de la energía de distorsión máxima Cuando a un elemento es sometido a una carga externa ésta deformará el material provocando que almacene energía internamente a través de su volumen. La energía por unidad de volumen del material se denomina densidad de la energía de deformación, y si el material está sometido a un esfuerzo uniaxial, la densidad la densidad de la energía de deformación, está definida por la ecuación:

1 u = σ .ε 2

II

Ec. 5.2-1

Si el material se somete a un esfuerzo triaxial, figura 5.2-a, entonces cada esfuerzo principal aportará una parte de la densidad de la energía de deformación total, de modo que

1 1 1 u = σ 1ε1 + σ 2ε 2 + σ 3ε 3 2 2 2 Por otra parte, si el material se comporta de manera elástico lineal, entonces se aplica la ley de Hooke. Por lo tanto, al sustituir la ecuación 5.2-2,en la ecuación anterior, y al simplificar, obtenemos la ecuación 5.2-3

Ec. 5.2-2

+ u=

Figura 5.2-1. Teoría del esfuerzo cortante máximo

1 σ 12 + σ 2 2 + σ 3 2 − 2ν (σ 1σ 2 + σ 1σ 3 + σ 2σ 3 )  2E 

Ec. 5.2-3

Esta densidad de energía de deformación puede considerarse como la suma de dos partes, una representa la energía necesaria para causar un cambio de volumen en el elemento sin cambio en su forma, y otra representa la energía necesaria para distorsionar el elemento. En específico, la energía almacenada en el elemento como consecuencia del cambio de volumen es causada por la aplicación del esfuerzo principal promedio, σprom= (σ1 + σ2 +σ3)/3, puesto que el esfuerzo causa deformaciones principales iguales en el material, figura 5.2-1b. La porción restante de esfuerzo (σ1 – σprom ), (σ2 – σprom ), (σ3 – σprom ), ocasiona la energía de distorsión, figura 5.2c.

La evidencia experimental ha demostrado que los materiales no ceden cuando están sometidos a un esfuerzo uniforme (hidrostático), como el σprom analizado anteriormente. Como resultado, en 1904 M. Huber propuso que la fluencia de un material dúctil se produce cuando la energía de distorsión por unidad de volumen del material es igual o superior a la energía de distorsión por unidad del volumen del mismo material cuando se somete a la fluencia en una prueba de tensión simple. Esta teoría se llama teoría de la máxima energía de distorsión, y como después fue redefinida en forma independiente por R. Von Mises y H. Henky, en ocasiones también adopta sus nombres.

Para obtener la energía de distorsión por unidad de volumen, les esfuerzos σσσdela ecuación 5.2-2 se sustituyen por (σ1 – σprom ), (σ2 – σprom ), (σ3 – σprom ), respectivamente, teniendo en cuenta que σprom= (σ1 + σ2 +σ3)/3. Al expandir y simplificar, se obtiene

)

(

2 2 2 1 +ν = (σ 1 − σ prom ) + (σ 2 − σ prom ) + (σ 3 − σ prom ) 6E En el caso de esfuerzo plano, σ3= 0 y esta ecuación se reduce a u = 1 + ν σ 2 − σ σ + σ 2 ( 1 1 2 2) d 3E 1 +ν 2 σY Para una tensión uniaxial, σ1= σY, σ1= σ2 = 0 y así ( ud )Y = 3E

ud =

Como la teoría de la energía máxima de distorsión requiere que ud = (ud)Y, entonces para el caso de esfuerzo plano o biaxial, se tiene 2 2 2

(σ

1

− σ 1σ 2 + σ 2

) =σ

Y

Ec. 5.2-4

Ésta es la ecuación de una elipse, figura 5.2-2. Por tanto, si un punto en el material se esfuerza de modo que (σ1, σ2) está representado en el límite del área de la elipse, se dice que el material falla. En la figura 5.5-3 se muestra una comparación de estos dos criterios de falla. Tenga en cuenta que ambas teorías dan los ,mismos resultados cuando los esfuerzos principales son iguales, es decir, σ1 = σ2 = σY, o cuando uno de los esfuerzos principales es cero y el otro tiene una magnitud de σY. Si el material está sometido a cortante puro, τ, entonces la teorías tienen la mayor discrepancia posible en la predicción de falla. Las coordenadas de esfuerzo de estos puntos sobre las curvas pueden determinarse al considerar el elemento mostrado en la figura 5.2-3. A partir del círculo de Mohr asociado para este estado, figura 5.2-4b, se obtienen los esfuerzos principales σ1 = τ y σ2 = - τ. Así, con σ1 = - σ2 y a partir de la ecuación 5.2-2, la teoría del esfuerzo cortante máximo da (σY /√2. - (σY /√2), y a partir de la ecuación 5.2-4, la teoría de la máxima energía de distorsión da (σY /√3. - (σY /√3), figura 5.2-3. Las pruebas reales de torsión, usadas para desarrollar una condición de cortante puro en una probeta dúctil, han demostrado que la teoría de la máxima energía de distorsión da resultados más exactos para la falla por cortante puro que la teoría del esfuerzo cortante máximo. De hecho, como da (σY /√3)/(σY /2) = 1.15, el esfuerzo cortante para la fluencia del material, según la teoría máxima energía de distorsión, es 15 % más preciso que el dado por la teoría del esfuerzo cortante máximo.

Figura 5.2-2. Teoría de la máxima energía de distorsión

Figura 5.2-3

Figura 5.2-4

Materiales frágiles

5.3.Teoría del esfuerzo normal máximo Se estableció que los materiales, como el hierro fundido gris, tienden a fallar de manera súbita mediante una fractura sin fluencia aparente. En una prueba de tensión, la fractura se produce cuando el esfuerzo normal alcanza el esfuerzo último σult. Figura 5.3-1 a. Además, la fractura frágil ocurre en una prueba debido a la tensión ya que en el plano de la fractura de un elemento está a 45º de la dirección cortante, figura 5.3-1b. Por lo tanto, la superficie de la fractura es helicoidal como se muestra. Por otra parte, los experimentos han demostrado que durante la torsión, la resistencia del material no se ve afectada por la presencia del esfuerzo principal de compresión asociado que está en ángulo recto con el esfuerzo principal de tensión. En consecuencia, el esfuerzo de tensión necesario para fracturar una probeta durante una prueba de torsión es aproximadamente la misma que la necesaria para fracturar una probeta en tensión simple. Debido a esto, la teoría del esfuerzo normal máximo establece que un material frágil fallará cuando el esfuerzo máximo tensión, σ1 , en el material alcance un valor igual al esfuerzo normal último que el material puede soportar cuando se somete a tensión simple. Si el material es sometido a esfuerzo plano, se requiere que

σ 1 = σ últ σ 2 = σ últ

Ec. 5.3-1

Estas ecuaciones muestran gráficamente que la figura 5.3-2. Por lo tanto, si las coordenadas de esfuerzo (σ1, σ2) en un punto sobre el material caen en el límite o fuera del área cuadrada, se dice que el material se factura. Esta teoría se atribuye a W. Rankine, quien la propuso a mediados del siglo XIX. De manera experimental se ha encontrado que está en estrecha concordancia con el comportamiento de los materiales frágiles que tienen diagramas de esfuerzo deformación semejantes, tanto tensión como en compresión. Figura. 53.1

Figura. 53.2 Teoría del esfuerzo normal máximo

5.4. Criterio de fallas de Mhor En algunos materiales frágiles, las propiedades de tensión y en compresión son diferentes, cuando esto ocurre, puede usarse un criterio basado en el uso del círculo de Mohr para predecir la falla. Este método fue desarrollado por Otto Mohr y en ocasiones se conoce como el criterio de falla de Mohr. Para aplicarlo, primero se realizan tres pruebas sobre el material. Se hace una prueba de tensión uniaxial con el fin de determinar los esfuerzos últimos de tensión y compresión (σúlt)t y (σúlt)c, respectivamente. Además, se realiza una prueba de torsión para determinar el esfuerzo cortante último del material τúlt . Después se grafica el circulo de Mohr para casa una de estas condiciones de esfuerzo como se muestra en la figura 5.4-1.Estos tres círculos están contenidos en una envolvente de falla indicada por la curva extrapolada que es tangente a los tres círculos. Si una condición de esfuerzo plano en un punto se representa mediante un círculo que tiene punto de tangencia con la envolvente, o si se extiende más allá de los límites de la envolvente, entonces se dice que ocurre la falla. El criterio también puede representarse mediante una gráfica de esfuerzos σ1 y σ2. Esto se muestra en la figura 5.4-2. Aquí la falla se produce cuando el valor absoluto de cualquiera de los esfuerzos principales alcanzan un valor igual o mayor que (σúlt)t y (σúlt)c o en general, si el estado de esfuerzo en un punto definido por las coordenadas de esfuerzo (σ1 , σ2) se representa en el límite o fuera del área.

En la práctica, puede usarse la teoría del esfuerzo normal máximo o criterio de falla de Mohr para predecir la falla de un material frágil. Sin embargo, debe observarse su utilidad es bastante limitada. Una fractura por tensión ocurre de manera súbita, y su inicio depende generalmente de las concentraciones de esfuerzos desarrolladas en las imperfecciones microscópicas del material, como inclusiones o huecos, hendiduras superficiales y pequeñas grietas. Como una de estas irregularidades varia de una probeta a otra, es difícil especificar una fractura con base en una sola prueba.

Ejercicio

En la figura se muestran las componentes de esfuerzo plano en un punto crítico sobre una coraza delgada de acero. Determinar si se produce una falla (fluencia) con base a la teoría de la energía de distorsión máxima. El esfuerzo de fluencia para el acero es σY = 650 MPa. Solución

Datos σx= -55 MPa σy= 340 MPa τxy= 65 MPa

σ 1,2 =

σ 1 − σ 1.σ 2 + σ 2 < σ Y 2

2

= ( 350.42 ) − ( 350.42 ) . ( −65.42 ) + ( −65.42 ) < σ Y 2 2

2

 σ −σ y  2 ±  x  + τ xy  2  2

−55 + 340  −55 − 340  2 ±   + 65 2 2   = 142.5 ± 207.92 2

σ 1,2 = σ 1,2

2

σx +σ y

σ 1 = 350.42MPa σ 2 = −65.42MPa

2

= 149943.66 < σ Y 2 = 422500 La lámina no falla por fluencia Ejercicio

El eje sólido que se muestra en la tiene un radio de 0.5 pulg y está fabricado de un acero con un esfuerzo de fluencia de σY = 36 ksi. Determine si las cargas ocasionan que el eje falle según la teoría del esfuerzo cortante máximo y la teoría de la energía de distorsión máxima. Solución

El estado de esfuerzo en el eje es originado tanto por la fuerza axial como por el par de torsión. Como el esfuerzo cortante máximo causado por el par de torsión se produce en la superficie externa del material, se tiene:

σx = τ xy =

σ 1,2 =

σx +σ y 2

 σ x −σ y  2 ±   + τ xy  2  2

−19.10 + 0  −19.10 − 0  2 ±   + 16.55 2 2   = −9.55 ± 19.11 2

σ 1,2 = σ 1,2

σ 1 = 9.56ksi σ 2 = −28.66ksi

P −15kip = = −19.10ksi A π ( 0.5 pu lg ) 2

T .c 3.25kip. pu lg ( 0.5 pu lg ) = = 16.55ksi π 4 IP ( 0.5 pu lg ) 2

Teoría del esfuerzo cortante máximo: Los esfuerzos principales tienen signos opuestos, el esfuerzo cortante máximo se produce en el plano y, por lo cual hay que aplicar la segunda ecuación.?????¿¿¿¿¿¿

σ1 − σ 2 ≤ σ Y 9.56 − ( −28.66 ) ≤ 36 38.2 > 36

De acuerdo a esta teoría, ocurrirá una falla cortante.

Teoría de la energía de distorsión máxima:

σ 12 − σ 1.σ 2 + σ 2 2 < σ Y 2 = ( 9.56 ) − ( 9.56 ) . ( −28.66 ) + ( −28.66 ) ≤ σ Y 2 ( 36 ) 2

2

2

De acuerdo a esta teoría, no se producirá falla alguna.

= 1187 ≤ σ Y 2 = 1296 Ejercicio

Un cilindro corto de concreto, que tiene un diámetro de 50 mm, se somete a un par de torsión de 500 N-m y a una fuerza axial de compresión de 2 kN. Determine si habrá falla según la teoría del esfuerzo normal máximo. El esfuerzo último del concreto es σúlt = 28MPa.