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ITESRC CALCULO VECTORIAL UNIDAD V: INTEGRAL EQUIPO: MAURO GARCIA ZAMUDIO MARIO ALBERTO CHAVEZ CASTILLEJA SAMUEL ABRAHAM SANCHEZ JUAREZ CARLOS MANUEL FLORES MALDONADO

ING JUAN SERVANDO HERNÁNDEZ MANCHA

26/11/13

INDICE Unidad V: Integración 1. Introducción………………………………………………………………………………...3 2. Integración de línea……………………………………………………………………...4 3. Integrales dobles & triples……………………………………………………………6 4. Aplicaciones en áreas…………………………………………………………………...9 5. Integral doble en coordenadas polares………………………………………..11 6. Coordenadas cilíndricas & esféricas…………………………………………….14 7. Aplicaciones de la integral triple…………………………………………………18

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INTRODUCCION Teorema Fundamental del Cálculo: El teorema fundamental del cálculo consiste (intuitivamente) en la afirmación de que la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su integral es igual a ella misma. Este teorema es central en la rama de las matemáticas denominada análisis matemático o cálculo. La idea del cálculo integral consiste en calcular, en general, superficies curvilíneas, es decir, el área entre la gráfica de una función y el eje-x. Estamos de acuerdo con la siguiente notación:

Es la integral definida de la función f de [variable] x [los límites] de A a B. Se pretende que la zona entre la curva y los ejes como en la imagen de arriba S. Más específicamente, es que esta es una integral de Riemann (por ejemplo, Riemann), hay también integrante líneas generales. El cálculo integral se refiere al cálculo de integrales tales.

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INTEGRACIÓN DE LÍNEA Definición: La integral de trayectoria (o de línea) de f (x, y, z) a lo largo de la trayectoria c, está definida cuando c: [a, b] → es de clase C1 y cuando la función compuesta f (c(t)) es continua en I. Definimos esta integral por la ecuación:

Puesto que las integrales de línea se definen en función de integrales ordinarias, no debe sorprender que aquéllas gocen de muchas de las propiedades de éstas. Por ejemplo, tienen la propiedad de linealidad respecto al integrando,

y la propiedad aditiva respecto al camino de integración:

Donde las dos curvas Cl y C. forman la curva C. Esto es, C es la gráfica de una función a. definida en un intervalo [a, b], y las curvas Cl y C2 son las representaciones gráficas de α (t) al variar t en los sub intervalos [a, e] y [c, b] respectivamente, para un “C” que cumple a < c< b. Las demostraciones de estas propiedades son consecuencia inmediata de la definición de la integral de línea. Sea α un camino continuo definido en un intervalo [a, b], sea u una función real derivable, de modo que u' nunca sea cero en un intervalo [c, d], y tal que el recorrido de u sea [a, b]. Entonces la función β definida en [c, d] por la ecuación:

Es un camino continuo que tiene la misma gráfica que α dos caminos α y β así relacionados se llaman equivalentes. Se dice que proporcionan distintas representaciones paramétricas de la misma curva. Se dice que la función u define un cambio de parámetro.

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Demostración. Basta demostrar el teorema para caminos regulares; luego se aplica la propiedad aditiva con respecto al camino de integración para deducir el resultado para caminos regulares a trozos. La demostración es una simple aplicación de la regla de la cadena. Los caminos α y β están ligados por una relación de la forma , estando u definida en un intervalo [c, d] y α en un intervalo [a, b]. De la regla de la cadena resulta:

Por consiguiente encontramos:

En la última integral hacemos la sustitución v = u(t), dv = u'(t) dt y se obtiene

En donde se utiliza el signo + sí α = u(c) y b = u(d), y el signo - si α = u(d) y b = u(c). El primer caso se presenta si α y β originan e en la misma dirección, el segundo si originan e en direcciones opuestas.

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INTEGRALES DOBLES & TRIPLES

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Cambios de Variables en Integrales Dobles

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Integrales Triples

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APLICACIONES EN ÁREAS La integral definida es un método rápido para calcular áreas, volúmenes, longitudes, etc. En física su empleo es constante al estudiar el movimiento, el trabajo, la electricidad, etc. 1. Área del recinto donde interviene una función positiva f (x) ≥ 0 f(x) continua y positiva en , [ a b ] (encima del eje de abscisas ) El área limitada por la curva y = f(x) , el eje de abscisas OX y =0 , y las rectas , x =a, x = b viene dada por:

2. Área del recinto donde interviene una función negativa f(x) ≤ 0 f(x) continua y positiva en , [ a b ] (debajo del eje de abscisas ). El área limitada por la curva y =f(x) el eje de abscisas OX y =0 , y las rectas x =a, x = b viene dada por:

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3. Área del recinto donde f(x) es positiva y negativa en subintervalos. En este caso el área del recinto total no viene dada por la integral definida entre a y b , sino que es necesario calcular las áreas de cada una de las regiones i R , y luego sumarlas.

4.Área del recinto donde intervienen dos funciones. Si las gráficas de dos funciones se cortan en dos o más puntos, pueden determinar también un recinto cuya área es posible calcular. En este caso se calculan previamente los puntos de intersección de ambas curvas. Se dibuja siempre que sea posible el recinto y se ve cómo puede obtenerse a partir de la suma o diferencia de los recintos que abarcan por separado las gráficas.

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INTEGRAL DOBLE EN COORDENADAS POLARES En ocasiones las integrales son más fáciles de evaluar si se cambia a coordenadas polares. En esta sección se muestra como hacer el cambio y como evaluar las integrales sobre regiones con fronteras dadas por ecuaciones polares. En la dentición de la integral doble de una función sobre una región R en el plano xy utilizamos rectángulos con lados paralelos para dividir la región. En coordenadas polares la forma natural es un sector polar cuyos lados tienen valores de r y θ constantes (figura 5.4).

Para definir la integral doble de una función continua z = f(x,y) en coordenadas polares, la región R está acotada por las curvas r = g1(θ) y r = g2(θ) y las rectas θ = α y θ = β. La región R se divide en múltiples sectores polares (en lugar de rectángulos). El área de un sector específico i es Ai = ri∆ri ∆θi La suma de Riemann (convirtiendo a polares x y y) es

El límite de la sumatoria cuando n → ∞ es la integral doble

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En forma análoga a las regiones en coordenadas rectangulares, se pueden definir regiones r-simples en las cuales la región está limitada por ´ángulos fijos θ1 y θ2, y por r constante o función de θ y se especifican como R = {r,θ) | θ1 ≤ θ ≤ θ2, g1(θ) ≤ r ≤ g2(θ)} En las regiones θ-simples, la región está acotada por valores constantes de r (r1 y r2) y por ángulos funciones de r y se especifican de la siguiente forma R = {(r,θ) | h1(r) ≤ θ ≤ h2(r), r1 ≤ r ≤ r2} Para definir los límites de regiones polares, se utiliza un rayo desde el origen (en lugar de una recta), si el rayo entra y sale por las mismas curvas en toda la región R, entonces es una región r-simple. Si los límites en r son constantes y los ángulos mínimos y máximo de la región son funciones de r, entonces es una región θ-simple. Ejemplo 1 Determine los límites en forma polar de la región acotada por el circulo x2 + y2 = 4 y la recta y =√2. Solución. Se procede de la misma manera que para identificar las regiones en coordenadas rectangulares, esto es, se hace un dibujo de la región y se traza el rayo de prueba.

El rayo L siempre entra en la región por la recta y =√2 y sale por la curva x2 + y2 = 4. Estas ecuaciones en coordenadas polares son, para la curva (r cosθ)2 + (r sinθ)2 = r2(cos2 θ + sen 2θ) = 4 r2 = 4 r = 2

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Y para la recta r sen θ =√2 r =√2 sen θ r =√2 cscθ El ángulo mínimo es la intersección de la recta con la curva r = 2 = √2/sen θ θ = arcsen √2/2 = π/4 Y el ángulo máximo es π/ 2, la región se especiada como R = {n (r,θ) | π 4 ≤ θ ≤ π 2, √2cscθ ≤ r ≤ 2} Y la integral doble

Área en coordenadas polares Al igual que en coordenadas rectangulares, si f(x,y) = 1, el resultado de la integral doble es el área de la región plana, esto es

Donde dA = dr dθ = dθ dr. Y para los sólidos sobre la región plana en el plano xy y limitados por la superficie f(x,y), la integral doble que da el volumen se transforma

donde la ecuación de la superficie se convierte a coordenadas polares al sustituir x = r cosθ y y = r sen θ.

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COORDENADAS CILÍNDRICAS & ESFERICAS Son un sistema de coordenadas para definir la posición de un punto del espacio mediante un ángulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la dirección del eje. Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. En el sistemas de coordenadas cilíndricas un punto P del espacio tridimensional está representado por la terna ordenada (r,θ,z), donde r y el θ son las coordenadas polares de la proyección de P en el plano xy y z es la distancia dirigida del plano xy a P. Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Rectangulares

Las coordenadas cilíndricas son útiles en problemas que tienen simetría alrededor de un eje, en ese caso se selecciona el eje z de manera que coincida con el eje de simetría Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Cilíndricas

Ecuaciones para transformar de Cilíndricas a Esféricas

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto.

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Ejemplo # 1 Convertir el Punto

a coordenadas cilíndricas.

Encontramos

Ahora encontramos

el cuadrante donde

es negativo (-3) y

es positivo (3) es el IV

cuadrante. Ahora encontramos :

Entonces, el punto en coordenadas cilíndricas es:

Coordenadas Esféricas Las coordenadas esféricas (ρ, θ, φ) de un punto P en el espacio, donde ρ =│OP│ es la distancia del origen a P, θ es el mismo ángulo que en las coordenadas cilíndricas, y φ es el ángulo entre el semieje positivo z y el segmento de recta OP. Note que P≥ 0

0≤φ≤ π

El sistema de coordenadas esféricas es especialmente útil en problemas donde hay simetría alrededor de un punto, y el origen se pone en ese punto. Dado un vector del espacio tridimensional y tres planos que se cortan en el punto origen de , se definen las coordenadas esféricas como los tres números que se obtienen desde las proyecciones ortogonales del vector sobre las tres aristas de intersección de los planos perpendiculares, por las relaciones siguientes:

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Sistema de Coordenadas Esféricas Es el sistema de coordenadas esféricas un punto p del espacio que viene representado por un trío ordenado , donde: 1.- es la distancia de P al origen,

.

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilíndricas para 3.-

es el Angulo entre el semieje positivo y el segmento recto

. ,

Nótese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

Coordenadas Esféricas Ecuaciones para transformar de Esféricas a Rectangulares

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.

Ecuaciones para transformar de Rectangulares a Esféricas

Ecuaciones para transformar de Esféricas a Cilíndricas

Ejemplo # 6 Convertir la ecuación rectangular a coordenadas esféricas.

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APLICACIONES DE LA INTEGRAL TRIPLE

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