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• Juli Castillo

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UNIDAD V: INTRODUCCION A LAS SERIES DE FOURIER. 5.1 TEORIA PREELIMINAR. Las series de Fourier son series de términos coseno y seno, y surgen en la tarea práctica de representar funciones periódicas generales. Como aplicación constituyen una herramienta muy importante en la solución de problemas en los que intervienen ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. La teoría de las series de Fourier es bastante complicada, pero la aplicación de estas series es simple. Las series de Fourier son, en cierto sentido, más universales que las series de Taylor, ya que muchas funciones periódicas discontinuas pueden desarrollarse en serie de Fourier, pero, desde luego, no tienen representaciones en serie de Taylor. La introducción de las series de Fourier (y de las integrales de Fourier) fue uno de los mayores avances jamas realizados en la física matemática y en sus aplicaciones en la ingeniería, ya que las series de Fourier (y las integrales de Fourier) son probablemente la herramienta más importante en la solución de problemas con valores en la frontera. La transformada de Laplace es con mucho la transformada integral más importante en ingeniería. Desde el punto de vista de las aplicaciones, las si guientes en importancia serían quizás la transformada de Fourier, aun cuando su manejo resulta un tanto más difícil que la transformada de Laplace.

5.2 SERIES DE FOURIER. El concepto de series de Fourier no es fácil de asimilar y por lo mismo, trataremos de introducirlo de una forma sencilla, a través de un planteamiento matemático similar al de Serie de Taylor que se estudia en los cursos de Cálculo, es decir, como un problema de representación de funciones como series de ciertas funciones particulares. Sea

una función definida en un intervalo de la forma

que existe. Queremos saber si es posible representar a serie de senos y cosenos. Formalmente, planteamos el siguiente:

, tal como una

Problema: ¿ Podemos encontrar números siguiente igualdad:

y

tales que se cumpla la

(1) ? Observación: Nótese que el término , aparentemente está aislado del resto de la serie, pero en realidad podríamos integrarlo a ella, si hacemos que la suma comience desde . Sin embargo, para seguir con la costumbre de los autores de los libros de texto, seguiremos la escritura tal y como se planteó en el problema anterior.

Para poder maniobrar más fácilmente con la igualdad (1), veamos primero el siguiente:

LEMA. i) Si n, m son enteros no negativos y distintos entre sí, entonces:

ii) Para cualquier

,

iii) Para cualquier entero positivo n:

Demostración. Es una simple integración, en todos los casos.

Regresando al problema planteado arriba, vemos que si efectivamente se da la igualdad, entonces podemos integrar miembro a miembro, y si esta integración se puede realizar término a término, entonces:

donde hemos usado el lema inciso (i) y (ii), para concluir que todas las integrales dentro de la serie, son 0.

De aquí podemos despejar el primer coeficiente para obtener:

Para encontrar los demás coeficientes, seguimos la siguiente táctica: elegimos un entero positivo k y multiplicamos (1) por el término

:

Y enseguida integramos como antes:

Por el lema inciso (i) y (ii), todas las integrales del lado derecho son 0, excepto aquellas cuando el integrando es de la forma y con lema inciso (iii), esta última integral, toma el valor de L y de aquí que:

De esta igualdad, podemos despejar el coeficiente

. Por el

para obtener:

Igualdad que es válida para todo

El procedimiento para obtener los coeficientes restantes, es similar, solo que ahora multiplicamos la igualdad (1), por

:

Como antes, integramos término a término:

Otra vez por el lema, todas las integrales son 0, excepto cuando el integrando es de la forma tanto, tenemos que:

y con

, y en este caso, dicha integral vale L. Por lo

De donde, despejamos los coeficientes

:

Igualdad que es válida para todo

Todo este análisis, nos lleva a la siguiente:

Definición. (Series y coeficientes de Fourier) Sea

que

una función definida en un intervalo de la forma

existe. Entonces:

i) Los coeficientes de Fourier de

en

son los números:

,

, ii) La serie de Fourier de

en

es:

, tal

donde

,

y

son los coeficientes de Fourier definidos en (i).

Ejemplo 1. Sea

, para

. Calcular la serie de Fourier de esta función.

Solución. En este caso, vemos que de Fourier para esta función son:

De esta forma, la serie de Fourier de

y

. Por lo tanto, los coeficientes

en el intervalo

está dada por:

Desarrollando algunos términos de esta serie, ésta se ve como sigue:

Observe que en este ejemplo, todos los coeficientes son 0, y por lo tanto, la serie de Fourier contiene solamente términos de senos. Esto no es una casualidad, sino más bien una consecuencia de propiedades intrínsecas de

.