• Author / Uploaded
• JJOC

Citation preview

BLOQUE II ALGEBRA VECTORIAL CONTENIDO: 2.1 Definición de magnitud escalar y vectorial 2.2 operaciones con escalares 2.3 Resultante de fuerzas en dos dimensiones. 2.4 tipos de sistemas de vectores 2.5 operaciones con vectores por método grafico y analítico 2.6 Descomposición de fuerzas. 2.7 métodos: 2.7.1 triangulo rectángulo 2.7.2 Paralelogramo 2.7.3 Polígono 2.7.4 método de los senos y cósenos.

 Escalar  Dos tipos de magnitudes:   Vectorial  Magnitudes escalares: Son cantidades que se determinan por un solo número y la unidad de medida; y que son validas las reglas de operación de los números reales.  volumen area   temperatura  Tales como:  tiempo longitud  densidad frecuencia  Magnitudes vectoriales: Son aquellas no se les puede determinar completamente mediante un numero real y una unidad de medida, se requiere indicar la magnitud, la dirección y el sentido. desplazamiento  velocidad  aceleracion Tales como:  cantidad movimiento fuerza  impulso mecanico Características de un vector.

1

Las cantidades vectoriales se representan por medio de un vector. Un vector se define como un ente matemático que consta de: origen y extremo, dirección, sentido y magnitud o módulo. Punto de aplicación u origen y extremo. El origen, también denominado punto de aplicación, es el punto exacto sobre el que actúa el vector. El extremo es el punto donde finaliza el vector.

Dirección. Está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Esto se logra indicado el ángulo con respecto a un eje de referencia (por ejemplo, la horizontal, representada generalmente como eje X) y se le llama ángulo director.

Sentido. Se Indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. El sentido de éste se puede identificar de manera convencional con signos (+) o (-).

Magnitud, intensidad o módulo del vector.

2

Es la longitud o tamaño del vector. Para hallarla es preciso conocer el origen y el extremo del vector, pues para saber cuál es el módulo del vector debemos medir desde su origen hasta su extremo, representada de acuerdo a una escala convencional.

Escala de un vector Para representar un vector necesitamos una escala convencional, la cual estableceremos según nuestras necesidades, de acuerdo con la magnitud del vector y el tamaño que se le desee dar. 1:1 1:10  Las escalas normalmente utilizadas son:  1:100 1:1000 Por ejemplo en la representación de los siguientes vectores utilizamos las escalas indicadas: a) F1  3.5 N utilizamos 1 cm = 1 N b) F2  40 N

utilizamos

1 cm = 10 N

c) F3  580 N

utilizamos

1 cm = 100 N

d) F4  4200 N

utilizamos

1 cm = 1000 N

CLASIFICACIÓN Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA de un SISTEMA DE VECTORES Existen diversos criterios para clasificar los vectores, pero el que se emplea con mayor frecuencia es el que se muestra a continuación.  concurrentes   Colineales paralelos ni concurrentes ni paralelos    concurrentes    coplanares paralelos  ni concurrentes ni paralelos    concurrentes   no coplanares paralelos ni concurrentes ni paralelos    a) Vectores coplanares Son aquellos que se encuentran en un mismo plano o en dos ejes (x, y).

3

b) Vectores no coplanares. Son aquellos que se encuentran en diferentes planos, es decir tres ejes (x, y, z). La figura siguiente muestra cómo cada uno de los vectores representados se puede asociar a un solo eje cartesiano o a planos diferentes. Por ejemplo a1 pertenece al plano formado por los ejes x – z o bien al que definen los ejes x – y. Estos planos no coinciden con aquellos en los que puede ubicar el vector a2

c) Vectores deslizantes: Son aquellos que se pueden desplazar a lo largo de su línea de acción, es decir en su misma dirección.

d) Vectores libres: No están aplicados en ningún punto en particular, no se localizan en un solo punto fijo en el espacio, además de que no tienen ningún punto en común con otros vectores.

e) Vectores paralelos. Son aquellos en los que su línea de acción es paralela.

4

f) Vectores opuestos. Se llama vector opuesto (-A) de un vector (A) cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección, pero sentido contrario.

g) Vectores perpendiculares. Son aquellos que forman un ángulo de noventa grados entre sí.

Sistemas de vectores -

Sistema de vectores colineales. Se le llama sistema cuando dos o más vectores se encuentran en la misma dirección o línea de acción.

-

Sistema de vectores concurrentes o angulares. Son aquellos cuyas líneas de acción se cruzan en un punto. El punto de cruce es el punto de “aplicación” de los vectores concurrentes y se les llama angulares por que forman un ángulo entre ellos.

5

-

Resultante de un sistema de vectores. Es el vector resultante que produce , el sólo, el mismo efecto que los demás vectores del sistema.

Equilibrante de un sistema de vectores. Es el vector encargado de equilibrar el sistema. Por tanto, tiene la misma magnitud y dirección que la resultante pero en sentido contrario.

6

Propiedades de los vectores. a) Igualdad de dos vectores: Dos vectores son iguales cuando su magnitud, dirección y sentido son iguales.

b) Adición Solo se pueden sumar dos o más vectores si tienen las mismas unidades de medida. c) Negativo de un vector Se define como aquel vector que sumado al vector a , da como resultado igual a cero



a a 0

El negativo de un vector tiene la misma magnitud y dirección de dicho vector pero su sentido es contrario.

d) Ley conmutativa de la adición de vectores Cuando se suman dos vectores, la resultante de la adición es la misma, sin importar el orden en que se sumen los vectores. ab  ba e) Propiedad de transmisibilidad del punto de aplicación. El efecto externo de un vector deslizante no se modifica si es trasladado en su misma dirección, es decir sobre su propia línea de acción.

7

f) Propiedad de los vectores libres Los vectores no se modifican si se trasladan paralelamente a sí mismos.

Operaciones con vectores. Adición o suma de vectores. Para sumar magnitudes vectoriales, conformadas por magnitud, dirección y sentido, debemos utilizar métodos diferentes a la simple suma aritmética, estos métodos pueden ser gráficos y analíticos, cuando dos o más vectores se suman todos deben tener las mismas unidades. Existen diferentes métodos para calcular la suma de vectores entre los cuales se tienen los siguientes: a) El método de adición del triángulo Este método consiste en referir un vector en un plano cartesiano, en el punto final del mismo trazar un nuevo plano cartesiano y aplicar el segundo vector, el vector resultante o vector suma, se definirá del punto de origen del primer vector al punto final del segundo vector.

Cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen de A hasta la punta de B. Ejemplo: 1) Un jinete y su caballo cabalgan 3 km al norte y después 4 km al oeste. Calcular: - ¿Cuál es la distancia total que recorren? (R = 7 km) - ¿Cuál fue su desplazamiento? (R = 5 km) b) El método del polígono

8

Este método es una generalización del método del triángulo, la diferencia es que se siguen aplicando los vectores en la misma forma hasta colocarlos todos, la resultante se genera del punto de origen del primer hasta el punto de origen del último vector.

Cuando se suman más de dos vectores, por ejemplo R = A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la punta del último vector, en este caso de A hasta la punta de D. 1) Una lancha de motor efectúa los siguientes desplazamientos: 300 m al oeste, 200 m al norte, 350 km al noreste y 150 m al sur. Calcular: - Distancia total recorrida. (r = 1000 m) - Desplazamiento, dirección: (r = 300, NO, 80.5º) 2) Una ardilla camina en busca de comida efectuando los siguientes desplazamientos: 15 m al sur, 23 m al este, 40 m en dirección noreste con un ángulo de 35º respecto al este, 30 m en dirección noroeste con un ángulo de 60º respecto al oeste y finalmente 15 m en una dirección suroeste con un ángulo de 40º respecto al oeste. Calcular: o distancia total (sol: 123 m) o desplazamiento, dirección (38 m y 40º) c) Método del paralelogramo En este método se refieren los dos vectores al mismo sistema de coordenadas, posteriormente se sacan líneas auxiliares, las cuales son paralelas a cada vector pero iniciando en el vector opuesto, él vector suma o resultante se generará del punto de origen de los dos vectores al punto de intersección de las líneas auxiliares.

9

En esta construcción los orígenes de los dos vectores A y B están juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B. Ejemplo: - Hallar la resultante y el ángulo que forma con la horizontal en la siguiente suma de vectores: (sol. 6.5 N y 13.2º)

Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa. Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuación: A+B=B+A

Cuando tres o más vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma. A + (B + C) = (A + B) + C 10

Negativo de un vector Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo cual ocasiona que el resultado de la operación sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0. Sustracción Es la sustracción de vectores se usa la definición del negativo de un vector. Esta operación se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector - B sumado al vector A.( A B = A + (-B) )

1) Un auto recorre 20 km hacia el Norte y después 35 km en una dirección 60º al Oeste del Norte. Determine magnitud y dirección del desplazamiento resultante del auto.

Métodos analíticos en la suma de vectores a) Descomposición de vector en sus componentes rectangulares Dado el vector, se sitúa su origen en la intersección de dos ejes coordenados y se trazan perpendiculares a los dos ejes desde la flecha que indica la dirección del vector. Acto seguido, se marcan sobre los ejes los segmentos de recta acompañados de la flecha correspondiente. Cada componente se identifica con una x o con una y según se proyecten sobre el eje x o y, respectivamente. 11

La figura anterior tiene una representación equivalente en la que se forma un triángulo rectángulo.

Aplicando los conocimientos trigonométricos, las componentes se pueden expresar como se muestra Componente en X Componente en y c.o c.a sen   cos   h h v v cos   x sen   y v v despejando vx despejando v y

vx  v cos 

v y  v sen 

Una vez encontradas las componentes rectangulares se suman en cada eje respetando su signo.

x

y

y

Para encontrar la magnitud de la resultante, utilizaremos el teorema de Pitágoras:

R

 x   y 2

2

Si se quiere conocer el valor del ángulo que forma el vector con el eje de las x, podemos valernos de la función tangente: 12

tan  

co  y  ca  x

y Por lo tanto   tan 1    x    El sentido lo indica la flecha y el cuadrante en el que se encuentra Ejemplos: 1) Encontrar en forma analítica los componentes rectangulares del siguiente vector. F = 3N y un ángulo de 135º (sol: 2.1213N y -2.1213N) 2) Mediante una cuerda un niño jala un carro con una fuerza 80 N, la cual forma un ángulo de 40º con el eje horizontal. (sol: Fx=61.28 N y Fy=51.42 N) 3) Dadas las componentes rectangulares de un vector, encontrar el vector resultante. (sol: 50 N y ángulo de 53º 6´)

4) Un pez ángel nada en un ángulo de 27° con la horizontal y tiene un vector de velocidad V con una magnitud de 25 cm/s. Encuentra los componentes en x e y. 5) Se sabe que las componentes del vector A, son Ax = 25cm/s2 y Ay = 15 cm/s2. Determina la magnitud del vector A y el ángulo que forma con la horizontal. b) Ley de senos y cosenos Este método analítico también puede ser utilizado en el cálculo de suma de vectores.

 



Para los lados utilizamos la ley de cosenos: “El cuadrado de un lado es igual a la suma del cuadrado de los otros dos lados, menos su doble producto, multiplicado por el coseno del ángulo formado por estos lados”. a 2  b 2  c 2  2bc cos  b 2  a 2  c 2  2ac cos  c 2  a 2  b 2  2ab cos 

En el caso de los ángulos la ley de senos: En cualquier triángulo la relación de cualquiera de sus lados al seno del ángulo opuesto es constante” 13

a b c   sen  sen  sen  Ejemplo: Encontrar la magnitud de la resultante, dirección y sentido de los siguientes vectores.

Utilizando la ley de cosenos para encontrar la magnitud de a (resultante): a 2  b2  c 2  2bc cos  En seguida utilizar la ley de senos para calcular la dirección del a (resultante) a c  sen  sen  1) Un autobús se mueve en dirección norte con una rapidez de 70 km/h. El humo que sale por el tubo de escape, localizado hacia arriba del autobús, forma un ángulo de 20º en dirección sudeste. Si el viento sopla en dirección este, ¿cuál es la rapidez del viento en ese lugar? 2) Un hombre juega con una pistola en un avión que se dirige al este a 500 km/hr. El sujeto dispara la pistola directamente hacia el techo del avión. La bala sale de la pistola con una rapidez de 1000 km/hr. Respecto a un observador en la tierra, ¿qué ángulo forma la dirección de la bala con la vertical?

Producto de un vector por un escalar. El producto de un escalar k y de un vector r se escribe: kr y se define como un nuevo vector cuya magnitud es k veces mayor que la magnitud de r . Por ejemplo:

14

Ejemplos:

a) a + b c) c + d e) a + d + c + b g) 3b - ( a + d ) b) b - c d) a - b - d f) 2a - 3b + 2c h) 2( a - c ) - 3( d - b )

15