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• John Anderson Sanchez Rengifo

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1. Dado un trapezoide (cuadrilátero irregular que no tiene ningún lado paralelo a otro), demuestre, usando el algebra vectorial, que los puntos medios de sus cuatro lados constituyen los vértices de un paralelogramo.

Un trapezoide (cuadrilátero irregular 𝑏⃗⃗

⃗⃗ 𝐵

G

F

𝐴⃗

𝐶⃗ 𝑐⃗

E ⃗⃗ 𝐷

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

En el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

…………………… ⃗⃗

⃗⃗

(ya que no son paralelos)

⃗⃗ ⃗⃗

En el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗

En el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗

En el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ De 2.

⃗

⃗⃗

H

𝑑⃗

……………… (

⃗ ⃗

)……………….

⃗⃗ ⃗

………………………4

⃗ ⃗⃗

……………………5

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗

De 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

( ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

)

⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗…………………………entonces se cumple

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

De 4

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

De 5

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗…………………..entonces se cumple Luego ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ luego decimos que el polígono inscrito es un paralelogramo

2. usando el algebra vectorial, demuestre que las diagonales de un rombo se cortan en un ángulo recto. B

A

C

D

Sea el rombo ABCD ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅ ‖ ̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅

‖̅̅̅̅‖ ̅̅̅̅

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅ ‖

̅̅̅̅ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅̅ ‖̅̅̅̅‖ ̅̅̅̅

̅̅̅̅

3.-Dada una circunferencia de centro O y radio R, y un diámetro AB cualquiera, demuestre que las cuerdas PA y PB se cortan perpendicularmente, para todo punto P perteneciente a la circunferencia (arco capaz de 90º). SOLUSION: 1.-Graficamos :

Demostración. Hipótesis:sea el triangulo PBA inscrito en el circulo de centro O. TESIS. Por demostrar que PBA es un triangulo rectangulo. bastara probar que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.⃗⃗⃗⃗⃗⃗ En efecto, en el

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

………………1

Y en el triangulo

: .⃗⃗⃗⃗⃗⃗=⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

…………………2

Multiplicando escalarmente 1 en 2 se tiene: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.⃗⃗⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ Pero ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖

‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖ por ser radios de semicirculo

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗.⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗‖

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

4.-usando algebra vectorial demuestre el teorema de los senos y el teorema del coseno para triángulos planos.

Demostración del teorema de los senos: tiene como vectores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

Si el triangulo ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Multiplicamos vectorialmente por cada uno de sus vectores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗|

| ⃗ ⃗⃗⃗⃗|

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗ ⃗|

| ⃗ ⃗⃗⃗⃗|

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗+ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗

| ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗|

| ⃗⃗ ⃗⃗⃗|

Entonces: |⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗|

| ⃗⃗ ⃗⃗⃗|

| ⃗ ⃗⃗⃗⃗|

Expresando los módulos de los productos vectoriales se obtiene: | ⃗⃗|| ⃗|

| ⃗|| ⃗⃗|

| ⃗|| ⃗|

y dividiendo por el producto | ⃗|| ⃗|| ⃗⃗| se obtiene el teorema del seno |⃗⃗|

|⃗⃗|

|⃗⃗|

Demostración del teorema del coseno Supongamos el triángulo ABC determinado por los vectores ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ tal que ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ | ⃗|| ⃗⃗|

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

5.-

Los puntos O, A, B, C son los vértices del tetraedro regular cuyas caras son triángulos equiláteros con lados de longitud λ. A partir de las aristas de dicho tetraedro se definen los siguientes vectores libres: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Por simple inspección geométrica se deducen las coordenadas de los vértices O(0,0,0), B(0,-λ,0), es preciso determinar las de A y C. Las coordenadas de A pueden expresarse en función de los ángulos directores de ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

*

√

+………….1

Las coordenadas del vértice C(x,y,z), se calculan determinando el vector ⃗⃗⃗⃗⃗ De este vector conocemos su módulo y el producto escalar con ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗=|⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗|

, ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

.*

√

√

√

+

√

………………………..2

Análogamente con el producto escalar ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|⃗⃗⃗⃗⃗||⃗⃗⃗⃗⃗⃗| [

]

……………3

Sustituyendo (3) en (2) se obtiene el valor de x √

y sustituyendo x e y en (1) se obtiene el valor de z √

En consecuencia

*

√

√

+

⃗⃗⃗⃗⃗

6.-Calcule el volumen del paralepípedo que tiene como aristas los vectores ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗. Las coordenadas cartesianas de dichos puntos vienen dadas por las ternas O(1, 0, 2), A(3, 2, 4), B(2, 6, 8) y C(2,−3, 1), (unidades del S.I.). Solución

Sea O1 el origen de coordenadas y P un punto que puede ser A, B, ó C. Según se indica en la segunda figura el vector ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en el caso que nos ocupa los valores en unidades del S.I. son: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ El volumen del paralepípedo, determinado por esos tres vectores, viene dado por su producto mixto: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

|

|

7. Hallar el volumen de un tetraedro del cual se sabe que las coordenadas cartesianas de dos de sus vértices se corresponden con las ternas A (0, 1,1) y B (2,-1, 2), y que dos de las aristas que concurren en B están definidas por los vectores libres . Las unidades vienen dadas en metros. ̅̅̅̅

̅̅̅

A(0,1,1)

B(2,-1,2) ̅̅̅

Donde S representa el área de la base y h la altura. El área de la base puede calcularse mediante el producto vectorial de los vectores ̅̅̅̅ ̅̅̅ que la ̅̅̅̅ ̅̅̅ es perpendicular al plano de la base , determinado por ̅̅̅̅ ̅̅̅ definen. El vector ̅ sobre ̅ , luego.

Por otra parte, la altura h es la proyección del otro vector ( ̅̅̅̅

̅̅̅̅

̅̅̅) ̅

̅̅̅ ̅

El producto mixto se calcula mediante el valor del determinante formado con las componentes de cada uno de los vectores que componen el tetraedro. |

|

8) Obtenga la ecuación del plano perpendicular al vector libre ⃗

y que contiene a un punto P, cuya posoición respecto al origen de un sistema de referencia 0XYZ viene dado por el vector posición ⃗ . Calcule la distancia que separa al origen O de dicho plano. (unidades SI)

Tenemos los vectores ⃗ ⃗ Cualquier vector contenido en el plano ha de ser perpendicular al vector dado ⃗ . Si suponemos que un punto genérico del plano es Q(x,y,z), este punto ha de satisfacer la ecuación vectorial del plano ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

…………

De donde del plano ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗………

Remplazando 2 en 1 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗

De donde ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⃗

[ [

]( ⃗ ⃗

⃗

⃗⃗ )

⃗

⃗⃗ ] ( ⃗

⃗⃗ )

⃗

este es la ecuacion.  Encontrando la distancia del plano al origen Esta distancia puede obtenerse mediante la proyección del vector perpendicular al plano dada por el vector ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

( ⃗ √

⃗

⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sobre la dirección

9.- Demuestre que si se cumplen simultáneamente las condiciones (a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (b) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

Siendo ⃗⃗⃗⃗

⃗

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ .

SOLUCION:

Aplicamos la regla de cancelación a cada una de las expresiones (a) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ (b) ⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗

⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

donde ⃗

⃗⃗⃗⃗⃗ donde

u es cualquier escalar

⃗⃗⃗⃗ son perpendiculares entre si y nunca Los vectores complementarios ⃗ ⃗⃗⃗⃗ ⃗ Sin embargo si coinciden excepto en el caso de ser ⃗ en ese caso ⃗⃗ ⃗ sólo se cumple una de ellas en general ⃗⃗⃗⃗⃗

INTEGRANTES:    

FUSTAMANTE BENAVIDES JOSE ELMER FUSTAMANTE BENAVIDES CESAR ROJAS BERRU JOSE LUIS CHUMACERO ACARO WILMER