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• Javier Saldarriaga Herrera

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UNIVERSIDAD ALAS PERUANAS FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA PROFESIONAL DE CONTABILIDAD

MATEMATICA III UNIDAD I: INTEGRAL DEFINIDA

2.1.

Introducción: Quienquiera que haya tenido un negocio, conoce la necesidad de estimar costos con precisión. Cuando los trabajos se contratan de manera individual, la determinación de cuánto cuesta el trabajo, por lo general es el primer paso para decidir cuánto pedir. Por ejemplo, un pintor debe determinar cuánta pintura utilizará en un trabajo. Como un galón de pintura cubrirá cierto número de metros cuadrados, la clave es determinar el área de la superficie que será pintada. Por lo general, esto sólo requiere de aritmética simple –las paredes y los techos son rectangulares, de modo que el área total es una suma de productos de base por altura. Pero no todas las áreas son tan sencillas de calcular. Por ejemplo, suponga que el puente que se muestra abajo debe pintarse. ¿Cómo calcularía el contratista, el número de metros cuadrados del área de la pared vertical de cada lado del puente?

Si la forma del arco del puente puede describirse en forma matemática por medio de una función, el contratista podría utilizar el método introducido en esta unidad: integración. La integración tiene muchas aplicaciones, la más simple de las cuáles es la determinación de áreas de regiones acotadas por curvas. El cálculo integral también involucra un concepto de límite que nos permite determinar el límite de un tipo especial de suma, cuando el número de términos en la suma tiende a infinito. ¡Ésta es la verdadera fuerza del cálculo integral! Con el podemos calcular el área de una región que no pueda encontrarse con algún otro método conveniente.

2.2.

Sumatoria Con el fin de prepararlo para otras aplicaciones de la integración, tendremos que analizar ciertas sumas. Consideremos el cálculo de la suma

de los primeros

enteros positivos: (

(

)

)

Ejemplo 2.1: encuentre la suma de los primeros 100 números enteros positivos. Solución: Aquí n

(

00 entonces tendremos que: S

)

0 0

Por conveniencia, para indicar una suma introduciremos la notación sigma o de sumatoria, llamada así por la letra griega

(sigma) que se

usa. Por ejemplo, la notación )

∑( Denota la suma de aquellos números que se obtienen de la expresión

al remplazar primero

por 1, luego por 2 y finalmente por 3.

Así: ∑(

)

[ ( )

]

[ ( )

]

[ ( )

]

Ejemplo 2.2: Notación Sigma ∑ Solución:

∑(

)

(

)

Solución:

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Página 1

Integral Definida

UAP

Para expresar la suma de los primeros

Matemática III

enteros positivos en notación sigma, podemos escribir (

∑

)

( )

Ejemplo 2.3: Aplicación de la fórmula ( ) ∑

∑

Solución:

Otra fórmula útil es la de la suma de los cuadrados de los primeros (

∑

)(

enteros positivos:

)

( )

Ejemplo 2.4: Aplicación de la fórmula ( ) Evaluar 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 Solución:

Concluimos con una propiedad de sigma. Si

son números reales y es una constante, entonces (

∑

)

∑

Por lo tanto, ∑

∑

Esto significa que un factor constante puede “salir” del símbolo de sumatoria. Ejemplo 2.5: Evalúa. ∑ 𝑖 𝑖

Solución: Aquí n

entonces, a través de la tendremos que: ∑ 𝑖

∑ 𝑥𝑖

𝑖

𝑖

( )(

)

EJERCICIOS DE APLICACION Evaluar las siguientes sumas indicadas. ∑(

∑(

∑(

)

)

)

∑( n

∑

∑

)

n n

∑

(

) (

)

∑

0

∑

(

∑(n

Exprese las sumas dadas por medio de la notación sigma. 0 0 Evaluar las siguientes sumas por medio de las ecuaciones ( ) y ( ) ∑

∑

0

∑

∑

∑

∑( )

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Página 2

)

(

n)

)

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2.3.

MATEMATICA III

La Integral Definida Uno de los problemas que más repercusión ha tenido la historia de las matemáticas es el estudio del área encerrada bajo una curva. Para estos casos precisamente es para los que se ideó, el método de exhaución. El método de exhaución: Este método consiste en inscribir y circunscribir el recinto considerado en regiones poligonales cada vez más próximas a él, tendiendo a llenarlo y cuyas áreas se pueden calcular fácilmente. Así, se obtienen valores mayores y menores que el área que deseamos calcular y que se aproximan, tanto más a dicho valor, cuanto mayor sea el número de lados de regiones poligonales inscritas y circunscritas. Consideremos primero rectángulos inscritos en el recinto. En este caso la suma de las áreas de los rectángulos es menor que el área del recinto, pero se van aproximando más a su valor según vayamos tomando rectángulos de menor base, como podemos ver en las aproximaciones de las siguientes figuras.

Si consideramos ahora rectángulos que circunscriban al recinto, es evidente que la suma de las áreas de dichos rectángulos es mayor que el área que encierra la función, pero a medida que vayamos tomando rectángulos cuyas bases sean menores, nuestra aproximación será más exacta. Veamos ahora los siguientes gráficos

Ejemplo 3.1: (aplicar el método de exhaución) halle el área inscrita a la curva dada por la función

( )

y limitada por el

intervalo [0 ]. Solución: Grafiquemos la función con una partición

y cojamos rectángulos inscritos en la

curva, entonces lo dividiremos en 4 regiones rectangulares A1; A2; A3 y A4; las cuales son las áreas de cada rectángulo de nuestra partición. Luego sumaremos estas áreas y la denotaremos por

(por ser 4 rectángulos a usar) la cual nos dará un área (aproximada)

menor al área real A. Entonces hallamos sus áreas correspondientes:

( )

∑

0

( )

[ ( )

( )

( )

[(

)

0

0

(

( )

( )

( )

( )] )

(

)

(

)]

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Página 3

Integral Definida

UAP

Matemática III

Así procederemos hallar para rectángulos circunscritos a la curva hallaremos un área (aproximada) mayor que el área real que la denotaremos por

usando la misma

cantidad de rectángulos, es decir:

∑

(

[ ( ) 0

[(

0

( )

)

( ) )

( ) (

( )

( )

( )

( )] )

(

)

(

)]

El área real se puede calcular basta hallando el área del trapecio que forma la curva y las rectas que limitan es decir A = 6. Entonces concluiremos que:

Ejemplo 3.2: (aplicar el método de exhaución) Halle el área inscrita a la curva dada por la función

( )

y limitada por el intervalo [0 ], para un

0.

Solución:

Ejemplo 3.3: (aplicar el método de exhaución) Halle el área circunscrita a la curva dada por la función

( )

y limitada por el intervalo [0 ], para un

0.

Solución:

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Página 4

Integral Definida 2.4.

UAP

Matemática III

Definición: , si éste existe, se llama integral definida de f sobre [

El límite común de

] y se escribe

∫ ( ) Los números a y b se llaman límites de integración; a es el límite inferior y b es el límite superior. El símbolo x se llama variable de integración y f(x) es el integrando. En términos de un proceso límite, tenemos

Ejemplo 4.1: (evaluación de una integral definida). Evaluar: ∫ ( 𝑥

)𝑑𝑥

Solución: Queremos encontrar la integral definida de f(x) = 2x + 1 sobre el intervalo [0 ]. Así tenemos que: 𝑆𝑛

𝑛

𝑆𝑛

𝑓(0) (

𝑛

𝑆𝑛 𝑆𝑛

𝑛

𝑆𝑛

𝑛

𝑆𝑛

𝑛

𝑓 ( ) 𝑛 )

0

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

(

𝑛

( ) 𝑛

)

(

(𝑛

𝑛 (𝑛

*𝑛

𝑓

)𝑛

𝑛

[𝑛

(𝑛

[ 𝑛

]

𝑛 𝑛

)

𝑓 (𝑛

)( ) 𝑛 (𝑛

(

𝑛 )

𝑓 (𝑛 )

𝑛

(

)( ) 𝑛 (𝑛

) 𝑛

)

)

+

)]

𝑛

𝑆𝑛

𝑛

𝑆𝑛

𝑛

⇛ lim 𝑆𝑛 𝑛

lim (

𝑛

𝑛

)

0

⇛

∫( 𝑥

)𝑑𝑥

Ejemplo 4.2: (evaluación de una integral definida). Encontrar el área de la región en el primer cuadrante limitada por ( )

y las rectas

0e

0. Esto es ∫ (

Solución:

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Página 5

)

.

Integral Definida

UAP

Matemática III

Ejemplo 4.3: (Integración de una función sobre un intervalo). Integrar ( )

Esto es ∫ (

0y

entre

)

.

Solución:

EJERCICIOS DE APLICACION Aplicar el método de exhaución. Halle el área inscrita a la curva dada por la función ( )

( ) y limitada por el intervalo [0 ] y para un ( )

( )

( ) ( ) y limitada por el intervalo [0 ] y para un

Halle el área circunscrita a la curva dada por la función ( )

Halle el área inscrita a la curva dada por la función ( )

( )

( ) y limitada por el intervalo [0 ] y para un

(

)

(

)

(

dado (Grafique). 0

dado (Grafique). ( )

( ) y limitada por el intervalo [0 ] y para un ( )

En los problemas 13 y 14 (a) simplifique

0

( )

( )

Halle el área circunscrita la curva dada por la función 0

dado (Grafique).

dado (Grafique). ( )

y (b) encuentre )

*( )

En los problemas 15 al 20 evalúe la integral definida dada tomando el límite de

(

)

(

) +

. Esboce la gráfica, en el intervalo dado, de la función por

integrar. ∫

∫(

)

∫

∫(

)

∫

0 ∫(

)

En los problemas del 21 al 23 use el programa MAPLE, para estimar el área de la región del primer cuadrante limitada por las curvas dadas. Redondee las respuestas a un decimal. ( ) ( )

0 0

( )

√

0

0

En los problemas del 24 al 27 use el programa MAPLE, para estimar el valor de la integral definida. Redondee su respuesta a un decimal. ∫

∫ (

∫

∫ ln

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)

Página 6

Integral Definida 2.5.

UAP

Matemática III

El teorema fundamental del cálculo integral Si ( ) es una función continúa en [

], y ( ) una primitiva de ( ), es decir, ( )

∫ ( )

( )

( ) para cualquier

〈

〉, entonces:

( )

Ejemplo 5.1: (aplicando el teorema fundamental) encontrar ∫(

)

Solución: Una antiderivada de ( )

es ( ) ∫(

, entonces: )

(

)|

[(

0

)

(0

0)]

0

Ejemplo 5.3: (aplicando el teorema fundamental) encontrar ∫(

)

Solución:

Ejemplo 5.4: (aplicando el teorema fundamental) encontrar ∫

√

Solución:

Ejemplo 5.5: (aplicando el teorema fundamental) encontrar ∫[

⁄

(

) ]

Solución:

Ejemplo 5.6: (aplicando el teorema fundamental) encontrar ∫ Solución:

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Página 7

Integral Definida

UAP

Matemática III

Propiedades de la integral definida 1.

Para ∫

( )

hemos supuesto que a < b. ahora se definen los casos en que a > b o a = b:

 a > b, entonces ∫

( )

∫

( )

Ejemplo: ∫(

)

)

∫(

)|

(

*(

0

)

(

0

0

)+

(

)

0

 si los límites de integración son iguales, tenemos: ∫ ( ) 2.

0

Si k es una constante entonces: ∫

( )

∫ ( )

3. ∫[ ( ) 4.

( )]

∫ ( )

∫ ( )

La variable de integración es una variable muda, en el sentido de que cualquier otra variable produce el mismo resultado, esto es el mismo número ∫ ( )

5.

Si f es continua sobre un intervalo I, y a, b y c están en I, entonces ∫ ( )

2.6.

∫ ( )

∫ ( )

∫ ( )

Determinación e interpretación de una integral definida Ejemplo 6.1: Analicemos la siguiente integral. Evaluar: ∫ Solución:

La razón por la que el resultado es negativo es clara si observamos la gráfica de

Para

en el intervalo [

0, f (x) es negativa. Como una integral definida es el límite de una suma de la forma ∑ ( )

].

se deduce que ∫

es sólo un número negativo, sino también el negativo del área de la región en el tercer cuadrante limitada por [ ∫

0]. Por otra parte,

es el área de la región en el primer cuadrante limitada por [0 ], ya que f (x) es positiva en dicho intervalo. La integral definida en

el intervalo entero [

] es la suma algebraica de estos números, ya que, por propiedad 5, ∫

Así, ∫

no

∫

∫

no representa el área entre la curva y el eje X. Sin embargo, si se desea el área, ésta puede darse como el valor de |∫

|

∫

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Integral Definida

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Matemática III

EJERCICIOS DE APLICACIÓN En los problemas evalúe la integral definida. ∫(

)

∫

∫ ( √

∫

⁄

⁄

∫

)

√

∫

∫ (

)

0 ∫(

)

∫(

)

∫

∫(

∫

∫

∫ (

∫

∫(

∫

)(

(

)

2.7.

)

(

∫

∫√

⁄

)

0 ∫

)

⁄

∫

√

)

AREA DE UNA REGIOM PLANA: Los resultados anteriores que se refieren a la evaluación del área por integración, se conoce como teorema fundamental del Cálculo Integral y puede resumirse en forma más rigurosa como sigue: Sea

( ) continua y positiva en el intervalo de

a

. Divídase este intervalo en n sub-intervalos de amplitudes

y en cada subintervalo se elige un punto con abscisa

, respectivamente. Entonces:

La importancia de este teorema radica en el hecho de que permite la evaluación del límite de una suma de términos mediante a la integración, y por la interpretación de este límite como el área bajo una curva. Específicamente, la integral definida ∫ interpretarse como el área limitada por la función continua positiva

( ), por el eje X y por las rectas

( )

a

.

Ejemplo 7.1: obtener el área limitada por la curva

, por el eje X, y por las rectas

y

.

Solución:

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Página 9

puede

, en donde

Integral Definida

UAP

Ejemplo 7.2: obtener el área limitada por la curva

Matemática III

, por el eje X, y por las rectas

y

Solución:

Ejemplo 7.3: una curva que requiere dos integrales definidas. Obtener el área limitada por la curva rectas

y

, por el eje X, y por las

.

Solución:

EJERCICIOS DE APLICACIÓN En los problemas use la integral definida para encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje X y las líneas dadas. En cada caso primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con las áreas de regiones situadas debajo del eje x. 0

0

√ √ 0

0

| |

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Integral Definida

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Matemática III √ ,e

Ejemplo 7.4: determinación de un área entre dos curvas. Encontrar el área limitada por las curvas

.

Solución: se muestra un esbozo de la región. Para determinar donde se intersecan las curvas, resolvemos el sistema formado por las √ ,y

ecuaciones

. Eliminando por sustitución, obtenemos

𝑦

√𝑥

𝑦

Si

0

0. Si

por las curvas

𝑥

. Por lo que las curvas se intersecan en (0; 0) y (1; 1). Considere el área de la región limitada arriba y abajo √

0 y

, respectivamente y lateralmente por las líneas

. Lo que escribiremos como

–

.

Entonces el área está dada por: ∫ √

+|

*

0

(

(0

)

0)

Nota: otra forma de determinar el área es a través de los elementos verticales. Consiste en determinar los límites en el eje Y; determinando las curvas superior e inferior, así como los nuevos límites de integración. Es decir: √ 0

0 0

El área estará dada por: ∫ (

)

+|

*

0

(

Ejemplo 2.5: Encontrar el área limitada por las curvas ,e Solución: en la siguiente gráfica se muestra un esbozo de la región

Si 0 0. Si por las curvas

(0

)

0)

.

. Por lo que las curvas se intersecan en (0; 0) y (3; 3). Considere el área de la región limitada arriba y abajo , respectivamente y lateralmente por las líneas 0y . Entonces el área está dada por: ∫ [(

)

(

)]

∫(

)

Ejemplo 2.6: Encontrar el área limitada por las curvas Solución:

Ejemplo 2.6: Encontrar el área limitada por las curvas Solución:

|

,e

,e

[(

0

)

(0

0)]

.

entre

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0

Página 11

Integral Definida 2.8.

UAP

Matemática III

APLICACIONES DE LA INTEGRACION DEFINIDA: La integración definida tiene diversas aplicaciones en administración, contabilidad

y en economía. En esta sección se estudiarán

aplicaciones en el contexto del excedente del consumidor, el excedente del productor, así como el análisis del ingreso frente al costo. A. Excedente(o Superavit) del consumidor: Una función de demanda representa las cantidades de un artículo que podrían comprarse a diversos precios. Si el precio en el mercado es y0 y la correspondiente cantidad demandada es x0, entonces aquellos consumidores que estuviesen dispuestos a pagar un precio mayor que el del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente y0.

Precio (0 𝑚 )

(𝑥

y =f (x) → x = g (y)

𝑦 )

𝑦

Cantidad

𝑥

Según ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del consumidor está representada por el área bajo la línea de demanda y sobre la recta y = y0 y se reconoce como excedente (o superávit) del consumidor (o de los consumidores). Se evalúa como sigue:

∫

( )

En donde la función es y = f (x); en forma alternativa, ∫

( )

En donde la función de demanda es x = g (y) y m0 es el valor de y cuando x = 0; es decir, m0 es la intercepción y de la gráfica de la función de demanda. Así pues,

∫

( )

∫

( )

Obsérvese que generalmente el excedente del consumidor se expresa en las mismas unidades que y; por ejemplo, si se expresa en pesos(o dólares, etc.), lo mismo sucederá con el excedente del consumidor.

Ejemplo 3.1: si la función de demanda es a) x0 = 3 b) y0 = 27 Solución: a)

, determinar el excedente del consumidor. Para

b)

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Página 12

Integral Definida

UAP

Matemática III

B. Excedente(o Superavit) del productor: Una función de oferta representa las cantidades de un artículo que podrían comprarse a diversos precios. Si el precio en el mercado es y0 y la correspondiente cantidad ofrecida en dicho mercado es x0, entonces aquellos productores que estuviesen dispuestos a vender el artículo a un precio inferior al del mercado, se benefician por el hecho de que el precio es solamente y0. Según ciertas hipótesis económicas, la ganancia total del productor está representada por el área sobre la línea de oferta y bajo la recta y = y 0, denominándose esta área excedente (o Superavit) del productor (o de los productores). Tal área se evalúa como sigue:

∫

( )

En donde la función de la oferta es y = f (x), o también como ∫

( )

En donde la función oferta es x = g (y) y M0 es el valor de y cuando x = 0, es decir, M0 es la intercepción y de la gráfica de la función de oferta. Precio

𝑦

𝑦

(𝑥

𝑓 (𝑥)

𝑥

𝑔 (𝑦)

𝑦 )

(0 𝑀 )

Cantidad 𝑥

Así pues,

Como en el caso del excedente del consumidor, el excedente del productor se expresa generalmente en las mismas unidades que y. Ejemplo 3.2: si la función de oferta es ya señalados. Solución:

(

) , y el precio se fija en y0 = 25, obtener el excedente del productor por los dos métodos

En alternativa,

C. Ingresos frente a costos: La integración se utiliza en Administración y Economía para determinar la utilidad total o las ganancias netas totales en varios contextos. En general, se maximiza la utilidad total o las ganancias netas totales (suponiendo libre competencia) en varios contextos cuando el ingreso marginal es igual al costo marginal. La utilidad total se determina integrando la diferencia entre el ingreso marginal y el costo marginal, desde cero hasta la cantidad para la cual es máxima la utilidad.

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Página 13

Integral Definida

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Matemática III

Ejemplo 3.3: evaluar la cantidad producida que maximice la utilidad total en dicho punto, si las funciones de ingreso marginal (IM) y de costo marginal (CM) están dadas por y Solución: 0

Hacemos

0 0 (

0 )(

)

0

La primera derivada de IM – CM es la segunda derivada de la utilidad total, y por lo tanto su signo indica si la utilidad se maximiza o se minimiza para un valor particular de x. (

)

| Así que la utilidad se maximiza con x = 2.

EJERCICIOS DE APLICACIÓN A 1.

Evaluar las siguientes integrales:

2.

Determinar el área limitada por las curvas a) b) √

3.

Si la función de demanda es

4.

La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de competencia libre, están determinados por las funciones de demanda y de oferta,

5.

y

, evalúe el excedente del consumidor si x0 = 5, mediante los dos métodos señalados anteriormente.

, respectivamente. Obtener el correspondiente excedente del productor.

Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total P máx (suponiendo competencia pura) si y

(

0

) .

EJERCICIOS DE APLICACIÓN B 1.

Evaluar las siguientes integrales:

2.

Obtener el área limitada por la curva (graficar) a)

3.

b)

La cantidad demandada y el precio de equilibrio en un mercado de libre competencia, están determinados con las funciones de demanda y de oferta,

4.

y

, respectivamente. Determinar los correspondientes excedentes del consumidor y del productor.

La función de demanda es

0

y la función de oferta es

, obtenga los excedentes del consumidor y del productor en un

mercado libre o pura. 5.

Obtenga el nivel de producción que maximice la utilidad y la correspondiente utilidad total Pmáx (suponiendo competencia pura) si y

(

) .

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0

Integral Definida

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Matemática III

PRACTICA DIRIGIDA En los problemas del 1 al 4 esboce la región del primer cuadrante limitada por las curvas dadas. Aproxime el área de la región por medio de la suma indicada. ( )

( )

0

( )

( )

0

En los problemas 5 al 8, por medio de la división del intervalo indicado en encuentre lim ( )

0 0

0

subintervalos de igual longitud, encuentre

para la función dada. No

. [0 ]

( )

( )

[0 ]

[0 ]

( )

[0 ]

En los problemas 9 al 17, esboce la región del primer cuadrante limitadas por las curvas dadas. Determine el área exacta de la región considerando el límite de

cuando

. ∫

0

∫ ( )

0

( )

∫ 0

En los problemas 18 al 31, esboce la región del primer cuadrante limitadas por las curvas dadas. Determine el área exacta de la región considerando el teorema fundamental. ∫

∫

∫

∫

(

(

0 ∫ (

∫(

∫ (

)

)

∫(

)

)

)

∫

)

∫

∫

(

)

0 ∫ √ 0

⁄

⁄

∫ √

∫

En los problemas del 32 al 41 use la integral definida para encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje X y las líneas dadas. En cada caso primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con las áreas de regiones situadas debajo del eje x. 0

0

√

0

√

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Integral Definida

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Matemática III

TRABAJO ENCARGADO  En los problemas del 1 al 4 esboce la región limitada por las curvas dadas. Aproxime el área de la región por medio de la suma indicada. (Use MAPLE) ( )

( )

0

( )

0

( )

0

 En los problemas 5 al 10. Determine las integrales usando el teorema fundamental del cálculo integral. (Use MAPLE)

∫ √

∫ (

)

∫(

∫

)

⁄

∫

∫

 En los problemas 1 y 2, esboce la región del primer cuadrante limitadas por las curvas dadas. Determine el área exacta de la región considerando el teorema fundamental. (Use MAPLE)

 En los problemas del 6 al 8 use la integral definida para encontrar el área de la región limitada por la curva, el eje X y las líneas dadas. En cada caso primero haga el bosquejo de la región. Tenga cuidado con las áreas de regiones situadas debajo del eje x.

√

0

√

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