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MATEMÁTICA 1 UNIDAD II: LA INTEGRAL Y SUS APLICACIONES SESIÓN 6: LA INTEGRAL DEFINIDA 1. Calcule en cada caso las integrales definidas:

b. Hallar el área limitada por las curvas, de acuerdo a la grafica siguiente:

y a)

b)

c)

d)

e)



3

 

g)

h)

2 1

0 2

g(x)  x  1

(2 x 3  x 2  8) dx

x

(4 x 3  x 2  2 x ) dx

2



4 3  2  3 x  4 x  x  dx 1  



2



2 5x4

1

f)

f ( x)  3  x 2

25 dx 2





1 3  2  3 x  2 x  5 x  dx  

0

1 2

 3x2  6 x2

c. Hallar el área limitada por las curvas, de acuerdo a la gráfica siguiente

dx

y

10 x  2   3 x 2  2 x 

y

f ( x)  x

f ( x)  x

dx

1

 5 x 4  4 x3  x  dx   3 02  1

x

2. Calculo de áreas a. Calcular el área de la región limitada por curva f ( x) , de acuerdo a la grafica siguiente:

y

f ( x)  2 x 

d. Hallar el área de la región limitada por la curva

y   x 2  4 x  12 y líneas x  2 y x  4 .

las

1 x2

e. Hallar el área de la región 2 limitada por las curvas y  x ,

y  8  x 2 , x  1 y x  1

1

4

x

MATEMÁTICA 1

APLICACIONES

1. La tonelada de un mineral cuesta $ 46. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio estará cambiando a una razón de cambio dada por la siguiente fórmula:

dP dx

 0,09  0,0006 x 2 , donde P es el precio.

a) ¿Cuánto costará la tonelada de este mineral dentro de 10 semanas? b) ¿Se debe vender todo el mineral posible ahora o se debe de esperar dentro de 10 semanas?

2.

Para cierto fabricante la función de ingreso marginal es R ( x )  ( 3 x 2  60 x ) . Calcula el incremento en el ingreso, cuando la demanda aumenta de 15 a 20 unidades, si el ingreso esta en dólares.

3.

Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1  x   50  x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R2 ( x )  200  5 x dólares por año.

a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable. b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la parte a).

4. Suponga que cuando tiene x años, cierta maquina industrial genera ingresos a razón de R ( x )  5000  20 x 2 dólares por año y costos que se acumulan a razón de C ( x )  2000  10 x 2 dólares por año. a) ¿Durante cuantos años es rentable el uso de la maquinaria? b) ¿Cuales son las ganancias netas generadas por la maquina durante el periodo obtenido en la parte a)? 5. La compañía minera “Buenaventura” vende la tonelada de cobre a $ 58,5. Los estudios indican que dentro de “ x ” semanas, el precio por tonelada estará

MATEMÁTICA 1

cambiando a una razón de cambio dada por la función: donde

P

dP dx

 0,012 x 2  0,05 x ,

es el precio. a) Halle el precio de la tonelada de cobre dentro de 5 semanas. b) ¿Debe la compañía vender todo el cobre posible ahora, o esperar dentro de 5 semanas?

6. En cierta fábrica, el costo marginal es 3 q  4 

2

dólares por unidad cuando el nivel

de producción es “ q ” unidades. ¿En cuánto aumentará el costo total de fabricación si el nivel de producción aumenta de 6 a 10 unidades? 7. Suponga que dentro de x años un plan de inversión generara utilidades a razón de R1  x   40  x 2 dólares al año, mientras que un segundo plan lo hará a la razón

R2 ( x )  136  4 x dólares por año.

a) Durante cuantos años el segundo plan será más rentable. b) Calcule el exceso de la Utilidad Neta, si se invierte en el segundo plan en lugar del primero, durante el periodo obtenido en la parte a).

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS CÓDIGO UPN

AUTOR

TÍTULO

515 LARS 2011

Larson Ron

Cálculo

515 STEW/C 2012

Stewart James

Cálculo de una variable. Trascendentes tempranas.

510 HOFF 2014

Hoffman Laurence

Matemáticas aplicadas a la administración y los negocios.