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• Luis Leodan Vera Alva

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UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

RECORDANDO LAS DERIVADAS E INTEGRALES Derivar: Integrar: 1.- f ( x) = ( x + 3)( x + 5 x − 1) 2

11.-

∫ (4 x

12.-

∫

13.-

∫ x + 2 dx

14.-

x2 ∫ x3 + 1dx

15.-

∫ x( x − 2)( x + 3)dx

2.- f ( x) = 3 x + x + x 3.- f ( x) =

senx x−3

4.- f ( x) = e

cos x

+ sen( x + 3 x + 7) 2

5.- f ( x) = sen 2 (4 x − 2) 6.- f ( x) = ln( senx) − e5 x + 8 7.- f ( x) =

senx − cos x cos x + senx

8.- f ( x) =

e x + tan x x2 − 1

− 5 x + 2 − 3 x )dx

dx 3 − 2x x

2x − 1

16.- ∫ xsen2 xdx 2 17.- ∫ (5 x + 1) cos xdx

9.- f ( x) = (ln x + e x )( x −2 + x + 5 x )

[

2

]

10.- f ( x) = ln sec(cos( t 3 + 2t − 1)) + 3 x − 1

18.-

dx 2

x2 − 9

3x 2 + 5 x dx 19.- ∫ ( x − 1)( x + 1) 2 20.-

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

∫x

∫

dx 4 − x2

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

Sesión Nº 1: INTEGRAL DEFINIDA SUMATORIAS: Supongamos que m, n ∈ Z son tales que m ≤ n , además f está definida para cada i ∈ Z ;

m ≤ i ≤ n , entonces:

n

∑ f (i) = f (m) + f (m + 1) + f (m + 2) + ... + f (n)

i =m

Donde: m : límite sup erior n : límite inf erior

∑

: ( sigma) sumatoria

i : índice o var iable Ejemplo: 1. f (i ) =

10 i 3 4 5 10 ⇒ ∑ f (i ) = + + + ... + i+3 6 7 8 13 i =3 n

2. f (i ) = tan ix

⇒ ∑ f (i ) = tan x + tan 2 x + tan 3 x + tan 4 x + ... + tan nx i =1

Observación: n

1.

La expresión

∑ f (i) tiene (n − m + 1) sumandos y éstos son:

i =m

f ( m). f (m + 1), f (m + 2),.... . f (m + (n − m)n) 2.

Si m = 1 , tenemos: n

∑ f (i) = f (1) + f (2) + f (3) + ... + f (n) i =1

PROPIEDADES: 1.

n

n

i =m

i =1

∑ C = (n − m + 1)C ; en particular ∑ C = nC ; n

2.

∑ i =1

C f (i ) = C

n

∑ f (i) i =1

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

C: constante

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n

n

n

i =1

i =1

i =1

∑ ( f (i) ± g (i)) = ∑ f (i) ± ∑ g (i) b

4.

∑ b

∑

b +c

∑ f (i − c)

f (i ) =

i =a

5.

T-03-09-2007

i =a +c b −c

f (i ) =

i =a

∑ f (i + c )

i = a −c

n

6.

∑ ( f (i) − f (i − 1)) = f (n) − f (0) ;

Propiedad telescópica

i =1 n

7.

∑ ( f (i) − f (i − 1)) = f (n) − f (k − 1) i =k n

8.

∑ ( f (i + 1) − f (i − 1)) = f (n + 1) + f (n) − f (1) − f (0) i =1 n

9.

∑ ( f (i + 1) − f (i − 1)) = f (n + 1) + f (n) − f (k − 1) − f (k ) i =k

Ejemplo:

∑( 100

1.

Determinar

2i + 1 − 2i − 1

i =1

)

Solución: Sea f (i ) = 2i + 1 y f (i − 1) = 2i − 1 Aplicando la propiedad telescópica tenemos:

∑( 100

)

2i + 1 − 2i − 1 = f (100) − f (0) = 201 − 1

i =1

∑ ((i + 1) 2 − (i − 1) 2 ) n

2.

Determinar

i =1

Solución: Sea f (i + 1) = (i + 1) 2 y f (i − 1) = (i − 1) 2 Aplicando la propiedad telescópica tenemos:

∑ ((i + 1) 2 − (i − 1) 2 ) = f (n + 1) + f (n) − f (1) − f (0) n

i =1

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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∑ ((i + 1) 2 − (i − 1) 2 ) = (n + 1) 2 + n 2 − 1 = 2n 2 + 2n n

i =1

n

3.

Determinar

∑i = i =1

n(n + 1) 2

Solución: n

∑ i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + n i =1 n

∑ i = n + (n − 1) + (n − .2) + ... + 1 i =1

n

2

∑ i = (n + 1)(n + 1)(n + 1)...(n + 1) = n(n + 1) i =1

∴

n

∑i = i =1

n(n + 1) 2

DETERMINACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA USANDO SUMATORIAS Partición de un Intervalo Cerrado.- Sea [ a, b] un intervalo cerrado, llamaremos partición del intervalo [ a, b] a todo conjunto de puntos x0 , x1 , x 2 , ..., x n tal que a = x0 < x1 < x 2 < ... < x n = b

x 0x1x 2

a

Observación: 1.

2.

Toda partición P de [ a, b] divide al intervalo en n sub intervalos. [ x0 , x1 ], [ x1 , x2 ], [ x2 , x3 ],..., [ xi −1 , xi ],...., [ xn−1 , xn ] ⊂ [ a, b] La longitud del intervalo [ xi −1 , xi ], i = 1,2,3,..., n se denota con ∆ i x = xi − xi −1 ;

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

x n −1x n

b

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n

es decir:

∑ ∆i x = b − a . i =1

3.

Llamaremos norma o diámetro de la partición P el número p , en donde: p = máx{ ∆ i x / i = 1,2,3,..., n}

4.

Cuando el intervalo [ a, b] es dividido en n subintervalos de longitud igual, entonces la longitud de cada subintervalo es: ∆x =

b−a , en donde cada extremo del subintervalo es n

x0 = a, x1 = a + ∆x, x 2 = a + 2∆x, ..... , xi = a + i∆x

i = 1,2,3,..., n

APROXIMACIÓN DEL ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA POR ÁREAS RECTANGULARES El concepto de integral definida nace a menudo de la consideración del área encerrada por la curva y = f (x) , el eje x y las ordenadas levantadas en x = a y x = b ; pero podemos dar la definición de integral definida sin apelar a la geometría: y f (x )

x a= x0 x1 x2 x3

xn =b

Subdividimos el intervalo a ≤ x ≤ b en n sub-intervalos mediante los puntos a = x 0 , x1 , x 2 ,...., x n = b elegidos arbitrariamente, escojamos en cada uno de los nuevos intervalos ] x0 , x1 [ , ] x1 , x 2 [ , ] x 2 , x3 [ , ..., ] x n −1 , x n [ , los puntos ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n arbitrariamente y formemos la suma: f (ξ1 )( x1 − x 0 ) + f (ξ 2 )( x 2 − x1 ) + f (ξ 3 )( x3 − x 2 ) + ... + f (ξ n )( x n −1 − x n ) Denotemos: x k − x k −1 = ∆x k , luego: n

n

k =1

k =1

S n = ∑ f (ξ k )( x k − x k −1 ) = ∑ f (ξ k )∆x k Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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T-03-09-2007

Geométricamente esta suma representa el área total de los rectángulos de nuestra figura. Si hacemos crecer el número de subdivisiones n de tal modo que ∆x k → 0 , tenemos: n

S n = lim ∑ f (ξ k )∆x k S = lim n →∞ n →∞ k =1

existe y su valor es independiente de la forma de subdividir el intervalo a ≤ x ≤ b Definición.- Consideremos una función f continua en [ a, b] . Entonces la integral definida de f de a hasta b lo denotaremos por

∫

b

a

∫

b

a

f ( x)dx y es definido por:

n

f ( x)dx = lim ∑ f (ξ k )∆x k n →∞

k =1

Si existe el límite. Donde: ∆xk = xk − xk −1 ,

xk = a +

Observación: En la integral definida

∫

b

a

k (b − a ) n

f ( x)dx , tenemos:

- f (x ) : se llama integrando. - a se llama límite inferior. - b se llama límite superior. TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO “Si f (x) es continua en el intervalo cerrado a ≤ x ≤ b y F (x) es la primitiva o integral indefinida de f (x) , se verifica:

∫

b

a

b

f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a ) ”

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA Consideremos dos funciones f y g integrables en [ a, b] y k una constante arbitraria. Entonces: 1.2.3.-

∫

b

∫

b

∫

b

a

a

a

dx = b − a b

kf ( x )dx = k ∫ f ( x) a

b

b

a

a

[ f ( x) ± g ( x)]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil b

4.-

∫

5.-

∫

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a

f ( x )dx = − ∫ f ( x )dx

a

b

a

f ( x)dx = 0

a

6.- Si f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ a, b] , entonces

∫

a

a

f ( x)dx ≥ 0

7.- Si f (x ) es continua en [ a, b] , ∀c tal que a ≤ c ≤ b , se cumple:

∫

b

a

c

b

a

c

f ( x )dx = ∫ f ( x )dx + ∫ f ( x)dx

Ejemplos explicativos: Hallar: 1.-

∫

5

2.-

∫

64

1

1

6.-

∫

1 3   + x dx  x− x  

7.-

∫

8.-

∫

9.-

∫

1

3.- ∫ (3x + 2)dx −2

4.5.-

3

∫ (4 x

3

1

∫

3

3

x 2 dx

− 3 x 2 + 1)dx

10dx

−1

0

1

−1

2x dx 1+ x

(2 x 2 − x 3 )dx

1   1 − 3 dx  2 −3 x x   −1

−6

−10

∫

10.-

x

0

dx x+2 sentdt

Ejemplos para el aula: Resolver las siguientes integrales: 1.-

∫

5

1

dx

4

2.- ∫ ( x 2 + x − 6)dx 0

3π 4 π 2

3.- ∫ senxdx

4.-

1

∫

0

x3 + 1 dx x +1

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

5.-

10

∫

2

dx x

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil HOJA DE PRÁCTICA 1 I.- Resolver las siguientes integrales: 1.-

∫

dx x

4

1

3

2.- ∫ ( x 2 − 1) 2 dx −1

3.-

∫

5

4.-

∫

a

5.-

∫

4

−1

0

( x 3 + 3x 2 − 2 x − 6)dx ( a − x ) 2 dx

1+ y y2

1

6.- ∫

x2

senx

dy

(cos t + t 2 )dx

x2 dx x2 +1

1

7.- ∫

0

1

x + 3 x 2 − 1)dx 2

8.-

∫ (e

9.-

∫ 3 − x dx

0

2

x

−

2x

0

1 2 1 4

10.- ∫ ( x − 1)( x + 3)dx

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

T-03-09-2007

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T-03-09-2007

Sesión Nº 2: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I.- INTEGRACIÓN POR CAMBIO DE VARIABLE. Sea φ = φ (u ) una función diferenciable, se cumple:

∫ f [φ (u )]φ ' (u )du = ∫ f (φ )dφ

Para resolver integrales definidas por cambio de variable podemos trabajarlo de dos formas: 1º Resolver la integral como si se tratase de una integral indefinida y en el resultado final remplazar los limites de integración, ó 2º Como los límites de integración son para la variable original, en nuestro caso x , al momento de hacer el cambio de variable también se debe hacer el cambio de los limites de integración para la nueva variable Ejemplos explicativos: Resolver:

∫

π

2)

∫

5

3)

∫x

1)

dx dx 3x + 1

7)

∫

4 x 2 + 1dx

8)

∫

senxe cos x dx

9)

1

0

2π

4)

∫π

5)

x ∫−2 1 + x 2 dx

−

∫ π 3x

6)

0

0

0

cos( 5 x )dx

3

−

senx 3 dx

2

3

x 3 x 4 + 5dx

2

1

x 2 ( x 3 − 5)125 dx

−1

π 2 −π

∫

2

−

sen3 x dx cos 3 x − 2 cos 3 x + 1 2

ln π

10)

∫

6)

π 4 0

0

e 2 x sec 2 (3e 2 x )dx

Ejemplos para el aula: Resolver: 1)

2)

∫

0

∫

π

e 3 x −1 dx

−2

0

sec(

2x )dx 3

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

7)

∫

sec 2 θ tan θ dθ

0

2 3 1 x 5 − x 2 dx 5 5

∫

−5

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3)

4)

5)

5x 2 ∫−1 4 − 3x 3 dx 1

1

∫

0

∫

5

1

T-03-09-2007

8)

∫ (x 4

3

2

∫

( z 2 + x ln z − 2)dx

9)

dx 4x + 1

10)

)

1

+ 2 2 x 2 dx x +1

3

x + 2x − 4 2

2

0

∫π −

dx

senx + cos x dx cos x

II. INTEGRAL POR PARTES Sea u = f (x) y v = g (x) , dos funciones diferenciables:

( f ( x).g ( x) ) ' =

f ( x).g ' ( x) + f ' ( x ).g ( x)

Luego u.v = f ( x).g ( x ) es una antiderivada de f ( x).g ' ( x) + f ' ( x).g ( x) , es decir:

Entonces:

∫ ( f ( x).g ' ( x) + f ' ( x).g ( x)) dx =

f ( x).g ( x ) + C

∫ f ( x).g ' ( x)dx + ∫ f ' ( x).g ( x)dx =

f ( x).g ( x) + C

∫ udv + ∫ vdu = u.v + C ∫ udv = uv − ∫ vdu + C ……. Fórmula de Integración por Partes Importante Para desarrollar por partes una integral definida, debemos trabajarla como si se tratara de una integral indefinida y al resultado final remplazar los límites de integración Observaciones: -

Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica, se elige a u como el polinomio y al resto se le considera dv . Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función exponencial, se elige a u como el polinomio y al resto se le considera dv . Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función logarítmica, se elige a u como la función logarítmica y al resto se le considera dv . Si el integrando se compone del producto de un polinomio por una función trigonométrica inversa, se elige a u como la función trigonométrica inversa y al resto se le considera dv .

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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T-03-09-2007

Si el integrando se compone del producto de una función exponencial por la función senax ó cos bx , se puede elegir a u como la función exponencial y dv = senaxdx ó dv = cos bxdx ó viceversa.

Nota: En una sola integral se pueden aplicar varias veces integración por partes Ejemplos explicativos: Integrar: 1.-

2.-

1

∫

0

e 3 x ( x 2 + 1) dx

π 2 −π

∫

xsen4 xdx

e

3.- ∫ x ln x dx 1

4.-

5.-

π 2 0

e x sen3xdx

1

x arctgx

0

1+ x

∫ ∫

2

dx

π 2 0

6.-

∫

7.-

∫

8.-

∫ arctgxdx

( x 2 + x − 1) sen3 xdx

0

−π 2

( x − 5) cos xdx

1

0

3π 2 π

∫

9.-

xsenx cos x dx

1

∫ arctg

10.-

0

x dx

Ejemplos para el aula: Resolver las siguientes integrales: 1.-

∫

2e

0

∫ xe

7.-

∫

2

8.-

∫

3

( x 2 + 3x − 8) sen4 xdx

9.-

∫ xarctgx dx

e x cos 3 xdx

10.-

3e

2.- ∫ ln xdx e

1

3.- ∫ ( x 2 + 5 x − 1)e 2 x dx 0

π 8 0

4.-

∫

5.-

∫

0

−π 2

1

6.-

( x 2 + 4) ln(3 x)dx

0

−x

dx

xe 3 x dx

0

ln(1 + x) dx x2

1

1

0

π 2 0

∫

x 2 cos x dx

HOJA DE PRÁCTICA 2 Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

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T-03-09-2007

I.- Resolver las siguientes integrales: 1

1.- ∫ ( x 3 + 2) 2 3 x 2 dx

15.-

−1

2.-

π 4 0

∫

∫

x sen dx 2

17.-

x2 ∫−1 1 − 2 x 3 dx

4.-

∫

3

5.-

∫

π

∫

2

∫

ln π

∫

−1

6.-

7.-

8.-

9.-

0

19.-

∫

20.-

8x 2 ∫−1 ( x 3 + 2) 3 dx

1 2

( x + 2) x dx 3

1 2 0

∫

12.-

π 2 0

cos(3 x) dx

2

e x cos( e x ) dx x2

−2 4

11.-

2

18.-

π ln 2

10.-

e − x dx

0

(e x + 1) 3 e x dx

π 2

0

ln 2

2

2

16.-

∫

1

4

x ctg ( x 2 ) dx

3π

3.-

x dx x −1

∫

( x 3 + 2)

dx

3 x 1 − 2 x dx

∫ ∫

3

x+3

−2

−1

( x 2 + 6 x)

2

dx

(1 − t 3 ) 2 t 2 dt

2π

∫π

1 3

e x + senx e x − cos x

dx

x3 13.- ∫ dx 0 1+ x4 2

x+4 dx x + 13 2 e ln x dx 29.- ∫1 x −2

14.- ∫−5

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

3x 2 sen(4 − x 3 )dx

0

π 2 0

21.-

∫

22.-

∫

sen3θ cos 3θ sen 2 3θ − 4dθ 3t

2

−1 3

t2 + 3

1

3

0

2 5 − 3x e

24.-

∫

0

25.-

∫

e

26.-

∫

5

27.-

∫

3

28.-

∫

3

40.-

sen 2 x cos x dx

3π 2 0

23.- ∫

2

0

∫

−3π 2

1

1

1

0 1

dx

1 + senx dx x − cos x

3 + ln x dx x 1   1 x 2 − 2 dx 2 x − b2  x −a 3x + 1 5x 2 + 1

dx

x 4 + x 2 dx x

∫ a + bx 0

dt

2

dx

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30.-

31.-

32.-

33.-

x ln(1 + x 2 ) dx 1+ x2

∫

2

∫

−1

∫

ln 2

1

x x +1

−2

0

π 2 0

∫

2

dx

ex dx 4 + ex

(2 x − 1) senxdx

2

34.- ∫ ( x + 5)e dx 3

2x

0

36.-

37.-

∫πe − 2

1

∫

0

x

cos 5 x dx

1 2 0

∫

∫

42.-

∫ 6x e

43.-

∫

2

44.-

∫

0

46.-

x 3 arctgxdx

47.-

48.-

arcsenx dx

π 2 0

41.-

45.-

0

35.-

T-03-09-2007

cos( senx + 2 x). (cos x + 2)dx

1

0

π

49.-

0

3π

39.- ∫ 2 x 3 senx dx

50.-

0

dx

sen(ln x) dx x

1

x 2 cos 3 xdx

−π 2

4 5 1 5

∫ (3x − 2) ln 5 xdx ∫

e2

∫

2

1

x 2 ln x dx

2

x e

0

2 2

∫

0

38.- ∫ 2 e 3 x cos 5 xdx

− x2

∫

2e

1

dx

x arccos xdx

1− x  x ln dx 1+ x 

∫

2

0

−x 3

x 2 ln xdx

Sesión Nº 3: MÉTODOS DE INTEGRACIÓN I.- INTEGRACIÓN POR SUSTITUCION TRIGONOMETRICA. A pesar de no existir un método para hacer el cambio de variable adecuado, muchas integrales que contienen expresiones de la forma:

a2 + b2 x2 , a2 − b2 x2 , x2 − b2a2 , a2 + b2 x2 , Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

a2 − b2 x2 ,

x2 − b2a2

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T-03-09-2007

Se pueden evaluar haciendo adecuadas sustituciones trigonométricas.

1)

Para integrales que contiene expresiones de la forma: a2 − b2 x2 Hacer el cambio x =

ó

a2 − b2 x2

a sent , a > 0 , entonces, tendríamos que b

a2 a − b x = a − b 2 sen 2 t = a cos 2 t = a cos t b 2

2)

2

2

2

2

Para integrales que contienen expresiones de la forma: a2 + b2 x2 , Hacer el cambio x =

3)

a2 + b2 x2

a tan t , a > 0 b

Para integrales que contienen expresiones de la forma: b2 x2 − a2 , Hacer el cambio x =

a sec t , a > 0 b

Ejemplos explicativos: Resolver: 1

dx

−1

x2 4 + x2

6)

∫

7)

∫

3

1

8)

∫

9)

∫

dx

2

(4 − x 2 ) 2 7 2

1

dx x

x2 − 7

2

dx

5

−2

x − 2x − 8 2

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

b2 x2 − a2

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

1

x

∫ 1+ x

10)

0

2

T-03-09-2007

dx

Ejemplos para el aula: Resolver:

∫

2)

∫

3)

4)

5)

9 − 4x 2 dx x

1

1)

−1

dx

1

7)

4 − x2

0

dx

∫

3

∫

5

dx 25 + x 2

∫

4

dx

0

9+ x

1

0

( x − 2 x + 5) 2

3 2

2

8)

1

dx

−1

x 9 + 4x 2

∫

6)

∫

25 − x 2 dx x

2

1

x2

1

∫

−1

2x − x 2 dx

1

9) ∫

0

10)

dx

(x + 2) 2

1 4 0

∫

3 2

dx x

3

x2 − 9

II.INTEGRACION DE FUNCIONES RACIONALES DECOMPOSICION EN FRACCIONES PARCIALES

POR

Observaciones: -

f ( x) , donde f (x) y g (x) , son polinomios, recibe el g ( x) nombre de fracción racional. Si el grado de f (x) es menor que el grado de g (x) , F (x) recibe el nombre de función propia, de lo contrario, F (x) se denomina impropia. Toda fracción racional impropia se puede expresar como la suma de un polinomio y de una fracción propia. Una función F ( x) =

Ejemplo: Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

x3 x = x− 2 2 x +1 x +1 -

-

Toda fracción racional propia se puede expresar como suma de fracciones simples cuyos denominadores sean de la forma (ax + b) n y (ax 2 + bx + c) n , siendo n un número entero positivo. De acuerdo a la naturaleza de los denominadores se pueden considerar los siguientes casos:

CASO I: FACTORES LINEALES DISTINTOS A cada factor lineal, ax + b , del denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma: A , ax + b

A constante a determinar

CASO II: FACTORES LINEALES IGUALES A cada factor lineal, ax + b , que figure n veces en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones: A3 An A1 A2 + + + ... + , 2 3 ax + b (ax + b) (ax + b) (ax + b) n A1 , A2 ,..., An constantes a determinar CASO III: FACTORES CUADRATICOS DISTINTOS A cada factor cuadrático irreducible, ax 2 + bx + c , que figura en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una fracción de la forma: Ax + B , ax + bx + c 2

A, B constantes a determinar

CASO IV: FACTORES CUADRATICOS IGUALES A cada factor cuadrático irreducible, ax 2 + bx + c , que se repita n veces en el denominador en el denominador de una fracción racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma: An x + Bn A1 x + B1 A2 x + B2 + + ... + , 2 2 2 ax + bx + c (ax + bx + c) (ax 2 + bx + c) n donde A1 , A2 ,... An , B1 , B2 ,..., Bn son constantes a determinar Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

Ejemplos explicativos: Integrar: 1.-

2.-

∫

5

∫

2

4

0

0

3.- ∫−2 4.-

5.-

∫

7

∫

3

3

1

dx x −9 2

dx x + 7x + 6 2

3x + 5 dx x − x2 − x +1 3

x 4 − x3 − x −1 dx x3 − x2 x3 + x2 + x + 2 dx ( x 2 + 1)( x 2 + 2)

Ejemplos para el aula: Resolver las siguientes integrales: x +1 dx x + x 2 − 6x

x dx x − 3x − 4

6.-

∫

2x 2 − 1 dx 2.- ∫− 2 ( x + 1) 2 ( x − 3)

7.-

x2 ∫3 16 − x 4 dx

8.-

2x 2 + 3 ∫−1 ( x 2 + 1) 2 dx

1.-

∫

3

0

2

0

2

3.- ∫1

dx 3 x +x

∫

4

2

3

1

5

1

x3 + x −1 dx 9.- ∫−2 2 ( x + 1) 2

x dx 4.- ∫0 ( x − 2) 2 1

5.-

3

1

dx x(x 4 − 1)

10.-

∫

2

0

x4 dx (1 − x) 3

HOJA DE PRÁCTICA 3 I.- Resolver las siguientes integrales: Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

∫

1.-

2.-

1

2

4

dx

3

x3 x2 − 4

∫

x2

1

3.-

∫

4.-

∫

5.-

6.-

7.-

8.-

9.-

0

(9 + x 2 )

−1

∫

0

∫

2

x

5

dx

1

dx

−1

x2 9 − x2

(1 − 2 x) 4 4 x 2 − 4 x − 4

−1

x2 + 2x + 2 dx ( x + 1) 2

∫

dx

1

∫

−1

11.- ∫

3

12.- ∫

2

1

1

1 2 0

∫ ∫

2

1

0

1

1

∫ 6x 0

∫

5

∫

3

2

2

3

dx − 7 x 2 − 3x

x3 − 3x + 4 dx ( x − 1)3 ( x + 1) x 2 − 3x − 1 dx x3 + x 2 − 2x 4 x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − x + 3 dx x 3 − 2 x 2 − 3x

27.-

∫

28.-

2x 2 ∫0 ( x 2 + 1) 2 dx

29.-

2

1

1

∫

0

x3 + x 2 − 2x − 3 dx ( x + 1) 2 ( x − 2) 2

x2 + 2 dx 30.- ∫0 ( x + 1) 3 ( x − 2)

31.-

3 2

dx ( x 2 − 2 x + 5)

1− x2

4x 2 + 9x − 1 dx x3 + 2x 2 − x − 2

x 3 + 3x 2 − 2 x + 1 ∫−1 x 4 + 5 x 2 + 4 dx

dx

x2

2

dx x −4 2

1

x 2 − 4x + 13

(4 x − x 2 )

0

23.-

26.-

dx

3

∫ ∫

25.-

x2 + 9 dx x6

∫

14.-

16 + 9 x

2

1

22.-

24.-

(4 − x 2 ) 2

1

13.-

2

x2

−1

10.-

dx

1 2

dx

1

∫

21.-

x 3 (1 − x 2 ) 2 dx

1

T-03-09-2007

∫

2

0

x3 + x −1 dx ( x 2 + 2) 2

2x3 − 4 dx 32.- ∫0 2 ( x + 1)( x + 1) 2 1

3 2

dx

x 2 + 2x dx x

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

33.-

34.-

∫

2

0

1

∫

−1

x 2 + 3x − 4 dx x 2 − 2x − 8 dx x(x + 1) 2 2

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil 1

15.-

∫

16.-

∫

x3

0

2x 2 + 7

1

dx

0

(3x 2 − 1)

dx

35.-

36.-

3 2

2x 2 − 1 17.- ∫ 3 −1 x − 1 0

37.-

4x 2 + 6 ∫1 x 3 + 3x dx 4 5x − 7 dx 19.- ∫0 ( x − 3)( x 2 − x − 2) 18.-

20.-

T-03-09-2007

1

∫

0

∫

3

2

1

∫

0

2x 2 dx x 4 − 4x 2 + 3 x 3 − 2 x 2 + 3x − 4 dx ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2) x 5 − x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 8x − 4 dx ( x 2 + 2) 3

4x 2 + 9x − 1 ∫0 x 3 + 2 x 2 − x − 2 dx 5 x +1 dx 39.- ∫4 3 x − 2 x 2 + 3x

2

38.-

x 3 − 2 x 2 + 3x − 4 ∫−1 ( x − 1) 2 ( x 2 + 2 x + 2)dx 0

40.-

4

x 3 + x 2 − 5 x + 15 ∫0 ( x 2 + 5)( x 2 + 2 x + 3)dx 1

Sesión Nº 4: CALCULO DE AREAS PLANAS POR INTEGRACION Los pasos que debemos tener en cuenta para plantear la integral definida que proporciona el valor del área a calcular son: 1º Caso: Consideremos una función y = f (x) continua en un intervalo cerrado [ a, b] y además f ( x) ≥ 0 , ∀x ∈ [ a, b] . El área de la región R limitada por la curva y = f (x) , el

y

b

eje X y las rectas x = a y x = b , es dada por la siguiente expresión: A( R) =

∫ f ( x) dx a

y = f (x)

R x= a

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

x=b

x

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

Observación: Si la región R es limitada por la curva x = g ( y ) y las rectas y = c , y = d , entonces el área de la región está dada por:

y d

∫

x = g (y)

A( R) = g ( y ) dy c

R

x

2º Caso: Consideremos dos funciones f , g continuas en el intervalo cerrado [ a, b] tal que f ( x) ≥ g ( x), ∀x ∈ [ a, b] , el área de la región R limitada por las curvas y = f ( x) , y = g ( x ) y las rectas x = a , x = b , es dada por la siguiente expresión:

y= c

b

A( R) =

∫ ( f ( x) − g ( x)) dx a

y

y = f (x)

R

x= a

Observación: Si la región R es limitada por la curva x = g ( y ) y x = h( y ) tal que

x=b xy == gg((xy )) y=d

g ( y ) ≥ h( y ), ∀y ∈ [ c, d ] y las rectas y = c , y = d , entonces el área de la región está

dada por:

∫ ( g ( y) − h( y))xdy = d

A( R) =

h( y )

y

c

R Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

x y=c

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

Ejemplos explicativos: Hallar el área acotada por las siguientes curvas: 1.- y = x 2 ,

y = x3

2.- y 2 − 6 y − 4 x − 7 = 0, eje" y" 3.- y = 4 x − x 2 , eje" x" 4.- y = x 2 − 7 x + 6, eje" x" 5.- y 2 = x + 1, x − y − 1 = 0 6.- y = x 2, y = x 3 , x = −1, x = 2

Ejemplos para el aula: Hallar el área acotada por las siguientes curvas: 1.- y = x 2 , eje" x" , x = 4 2 2.- y = − x + 4,

y= x

3.- x = 8 + 2 y − y 2 , eje" y" , 4.- y 2 = 4 x,

y = −1, y = 3

y = 2x − 4

5.- y = 6 x − x 2 ,

y = x 2 − 2x

6.- y = sen x ; x = 0 ; x = π / 2 7.- xy = 1 y las rectas x = a ; x = 4a . 8.- y = x 2 + 4 x, eje x y las rectas x = −2 ; x = 2 . 9.- y = x 4 ; y = 2 x − x 2 10.- y 2 = 4 x ; 4 x − 3 y = 4 VOLUMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCION Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

Los sólidos de revolución se pueden generar a partir de regiones planas que giran sobre los ejes. Los carretes de hilo son sólidos de revolución; también lo son las pesas de mano y las bolas de billar. A veces los sólidos de revolución tienen volúmenes que podemos calcular usando fórmulas geométricas, como en el caso de una bola de billar. Pero cuando queremos hallar el volumen de un dirigible o predecir el peso de una pieza que va a fabricarse en un torno, las fórmulas geométricas no son de mucha utilidad y entonces usamos el cálculo para hallar las respuestas. Método del Disco: El volumen del sólido generado al girar alrededor del eje x la región comprendido entre el eje x y la grafica de la función continua y = R( x ) , a ≤ x ≤ b , es: b

b

V = ∫ π ( radio ) dx = ∫ π [ R( x ) ] dx 2

a

2

a

Observación: Si el sólido de revolución se obtiene al rotar alrededor del eje y , luego el volumen se calcula, mediante: d

d

V = ∫ π ( radio ) dy = ∫ π [ R( y ) ] dy 2

c

2

c

Ejemplos explicativos: 1.- La región entre la curva y = x , 0 ≤ x ≤ 4 , y el eje x se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen. 2.- Calcular el volumen del sólido generado por la rotación alrededor del eje x de la región limitada por las gráficas de y = e x , x = 0 , x = 1 , y = 0. 3.- La región limitada por la elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 con 0 < b < a , gira alrededor de su eje mayor. Calcule el volumen del sólido generado. 4.- Hallar el volumen generado al girar el área alrededor de la ordenada correspondiente x = 2

limitada por la parábola y 2 = 8 x

Método del Anillo: A veces necesitamos calcular el volumen de un sólido generado al girar una región plana acotada entre dos curvas dadas. Suponga que f ( x) ≥ g ( x) ≥ 0 para x en el intervalo [ a, b] y que generamos el sólido R al girar la región entre y = f (x) e y = g (x) en torno del eje x . Entonces la sección transversal en x es un anillo acotada por dos círculos. El anillo tiene un radio interior R int = g ( x ) y un R ext = f (x) por lo que se halla el volumen mediante: Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

[

b

]

T-03-09-2007 b

[

]

V = ∫ π ( R ext ) − ( R int ) dx = ∫ π ( f ( x ) ) − ( g ( x) ) dx 2

2

a

2

2

a

Observación: De manera análoga, si f ( y ) ≥ g ( y ) ≥ 0 , para c ≤ y ≤ d , entonces el volumen del sólido obtenido al girar en torno del eje y será

[

d

]

d

[

]

V = ∫ π ( R ext ) − ( R int ) dy = ∫ π ( f ( y ) ) − ( g ( y ) ) dy 2

2

c

2

2

c

Ejemplos explicativos: 1.- La región entre la curva y = x , y y = x 3 , se gira alrededor del eje x para generar un sólido. Hallar su volumen. 2.- La región limitada por las gráficas de y = arcsen( x ) , y = 0 , x = −1 , gira alrededor del eje y. Calcular el volumen del sólido engendrado. 3.- La región limitada por las gráficas de y = x 2 , y = x , x = 2 , gira alrededor del eje x. Calcular el volumen del sólido.

Ejemplos de aula: Hallar los volúmenes de los sólidos de revolución generados por: 1.- y = x 2 ,

y = 0, alrededor del eje x

2.- y = x 2 ,

y = 4, x = 0, alrededor del eje y

3.- y = senx, x = 0, x = π , 4.- y = x 2 ,

y = 0 alrededor del eje x

y = 4 x, alrededor del eje y

5.- y = 1 − x 2 ,

y = 0, alrededor del eje x

6.- x = y 2 , x = y + 6 alrededor del eje y 7.- y = 2 x 2 ,

y = 0, x = 0, x = 5 alrededor del eje x

8.- y = x 3 , x = 0, 9.- y = 4 x 2 , x = 0,

y = 8 alrededor del eje y y = 16 alrededor del eje y

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil 10.- y = − x 2 − 3x + 6, x + y − 3 = 0 alrededor del eje x

HOJA DE PRÁCTICA 4 I.- Hallar el área de las regiones acotadas por las siguientes curvas: 1.- x = 4 − y 2 , eje " y" 2.- y = x 3 ,

y = 0,

3.- y = 4 x − x 2 , 4.- x = 1 + y 2 ,

x = 1,

y = 0,

x=3 x = 1,

x=3

y = 0,

y =1

x = 10

5.- x = 3 y 2 − 9,

x = 0,

6.- x = y 2 + 4 y,

x=0

7.- y = 9 − x 2 ,

y= x+3

8.- y = 2 − x 2 ,

y = −x

9.- y = x 2 − 4,

y = 8 − 2x 2

10.- y = x 2 ,

y=x

11.- x = y 2 ,

x 2 = −8 y

12.- y = − x 2 + 2 x, x = −1, x = 4 13.- y = x 2 − 1,

y = 4x − 4

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

T-03-09-2007

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil 14.- y = x 2 ,

T-03-09-2007

y=x+2

15.- y = x 2 + x − 2,

y = 2x

16.- y = x 2 + 1 y las rectas x = −1

, x=2 .

17. y = 2 − x 2 , x = y 18.- y = x 3 − x + 2 y las rectas x = −1

, x=2 .

19.- y = x 2 − 2 y − x + y = 4 20.- y = x 2 + 2 , y = x y las rectas x = −2

, x=2 .

21.- x = 3 − y 2 , y = x − 1 22.- y = x 3

y = 0 entre x = −3 , x = 3 .

23.- y = x 2 − 2 x , y = − x 2 24.- x = 8 y − y 2 , x = 0 25.- x = (3 − y )( y + 1) , x = 0 26.- x = y 2 − 2 y , x − y − 4 = 0 27.- y = 4 − x 2 , y = 4 − 4 x 28.- y 2 = 4 x , 2 x − y = 4 29.- y = x 2 , y = x 3 , x + y = 2 30.- y = x 2 , y = 2 x − 1 , y − 4 = 0 II.- Hallar los siguientes volúmenes: 1.- Hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y 2 = 8 x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje x 2.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = 6 − x 2 , y = 2, alrededor del eje x Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz

UNIVERSIDAD CESAR VALLEJO Escuela de Ingeniería Civil

T-03-09-2007

3.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = x 2 , y = 8 − x 2 , alrededor de x = 4 4.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = x 2 , y = 4 x − x 2 , alrededor del eje x 5.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = x 3 , x = 0, y = 8 alrededor de x = 2 6.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre x = 9 − y 2 , x − y − 7 = 0, x = 0 alrededor del eje y 7.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = x 2 − 5 x + 6, y = 0 alrededor del eje y 8.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre y = − x 2 − 3x + 6, x + y − 3 = 0 alrededor del eje x = 3 9.- Hallar el volumen generado en la rotación del área comprendida entre la parábola y = 4 x − x 2 y el eje x con respecto a la recta y = 6 10.- Hallar el volumen generado en la rotación del área del primer cuadrante limitada por la parábola y 2 = 8 x y la ordenada correspondiente a x = 2 con respecto al eje y

Docente: Lic. Carlos Javier Ramírez Muñoz