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INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO:

UNIDAD 8: INTERPRETEMOS LA VARIABILIDAD DE LA INFORMACION

ESTADIGRAFOS DE DISPERSION Empecemos con la ilustración siguiente: Para probar la capacidad de los estudiantes, se decide efectuar dos exámenes, uno de estadística y otro de matemática. Los alumnos que obtengan las tres mejores calificaciones, en cada una de las materias, recibirán un premio. Diez estudiantes se sometieron al examen de estadística y también diez se someten al de matemática. Obteniendo las notas siguientes: Estadística: 2, 3, 6, 7, 8, 8, 8, 9, 9, 10 Matemática: 6, 6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 10, 10, En ambos grupos la nota media es siete. Sin embargo en estadística, quien obtuvo 7 no recibirá premio; porque hay seis estudiantes mejores que el. No así en matemática, en donde la nota 7 si es merecedora de premio, por existir solamente dos estudiantes con mejor nota que esta. Podemos ver en la ilustración anterior que la media, por si sola, no ayuda a interpretar cabalmente los datos. Es necesario también tener una medida que permita apreciar cuan dispersos están estos datos alrededor de la medida de tendencia central. DEFINICION:

Al grado con que los datos numéricos tienden a extenderse alrededor de un valor medio, se le llama variación o dispersión de los datos.

Los estadígrafos de dispersión se conocen también con el nombre de medidas de dispersión o de variabilidad. Y sabemos ya que los principales son: rango, desviación media, desviación típica y coeficiente de variación. RANGO O RECORIDO: R Como ya vimos al estudiar la tabla de distribución de frecuencias para una variable continua, el rango o recorrido es la diferencia que existe entre el mayor y el menor de los datos. Esta medida de la dispersión de los datos es la más fácil de obtener; pero no se utiliza mucho, debido a que basta dos valores excesivamente extremos para que conduzca a apreciaciones erróneas. Se utiliza más que todo para construir una tabla de distribución de frecuencia en la cual los datos se separan por medio de intervalos. Ejemplo 1: Encontrar el recorrido de los números: 13, 9, 10, 4, 16 y 15 Solución: Recorrido = 20 – 4 = 16 DEFINICIÓN:

Si x es un numero cualquiera, entonces se llama valor absoluto del numero x, al valor positivo de x, independientemente que x sea positivo o negativo.

Se acostumbra designar al valor absoluto de x por medio de І x l. De acuerdo con esta definición: І5 І= 5, І-5І = 5, І0І = 0, І-11І = 11, etc.

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: DESVIACION MEDIA: Dm Para los datos x1, x2, x3,…….., xn la desviación media se obtiene de la manera siguiente:

Dm =

𝒙𝟏 𝒙

𝒙𝟐 𝒙

𝒙𝟑 𝒙 𝒏

⋯

𝒙𝒏 𝒙

De acuerdo con esto,” la desviación media es la media aritmética de los valores absolutos de la desviación de los datos con respecto a la media”. La desviación media es una buena medida de dispersión. Sin embargo se utiliza muy poco, debido a que, algebraicamente el valor absoluto es un concepto algo difícil de manejar. Ejemplo 2: Obtener la desviación media de los números: 13, 15, 5, 12, 18, 9, 10, 11, 20, y 17. Solución: ̅ Dm = Dm =

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: VARIANZA DEFINICION Se llama Varianza a la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones de los datos respecto a su media.

La varianza de los datos x1, x2, x3,…….., xn que se denota por σ2, es entonces: σ2 =

(

∑

σ2 =

̅)

(

(

̅)

(

̅)

̅)

⋯ (

̅)

La varianza muestral se denota por: s2 o por σ2n-1 La varianza poblacional se denota por: σ2 o por σ2n Ejemplo 3: Encontrar la varianza de 16, 14, 27, 3 y 20 Solución: Encontramos primero la media ̅ S2 = S2 =

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

= 62

Como la varianza es grande, en relación con los datos, podemos concluir que existe bastante variabilidad. O lo que es lo mismo, que hay datos que están bastante alejados de la media. OTRA FORMULA PARA CALCULAR LA VARIANZA

A partir de la definición podemos obtener otra manera para calcular la varianza y que simplifica un poco los cálculos. Por lo que reciben el nombre de método cortó para el cálculo de la varianza. La deducción de la nueva fórmula es la siguiente. Por definición sabemos que: s2 =

(

̅)

(

̅)

(

̅)

̅)

⋯ (

Al desarrollar todos los cuadrados se tiene: ( ̅) ̅

s2 =

( ̅) ̅

̅

̅

s2 =

⋯

s2 =

⋯

̅

s2 =

⋯

̅ ̅

s2 =

⋯

( ̅)

( ̅) ̅

⋯

( ̅) ̅

⋯

( ̅)

⋯ ( ̅)

( ̅)

⋯

( ̅)

Esta ultima igualdad dice que la varianza es igual a “la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media” Ejemplo 4: Calcular la varianza de 6, 8, 9, 10, 4, 5, haciendo uso de las dos formulas Solución: Primera formula: ̅

S2 =

(

)

(

)

(

)

(

)

Segunda fórmula: método corto

(

)

(

)

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: VARIANZA PARA DATOS AGRUPADOS Sabemos ya que si un conjunto de datos se ha agrupado haciendo uso de intervalos de clase, entonces se toma como dato representativo de cada intervalo su respectiva marca de clase. Por tanto, si se tienen las siguientes marcas de clase: x1, x2, x3,…….., xn; cuyas frecuencias respectivas son: f1, f2, f3,…….., fn Entonces la varianza, para los datos agrupados se obtiene de la manera siguiente: s2 =

(

̅)

(

̅)

(

̅)

⋯ (

̅)

⋯

Ejemplo 5: A continuación se presentan los años de estudio de las personas mayores de 10, años, que durante el año de 1988, se encontraban aun estudiando, en los distintos centros educativos del área metropolitana de san salvador. Encontrar la varianza, de los años de estudio, para estas personas.

AÑOS APROBADOS 1 4 4 7 7 10 10 13 13 20 TOTAL SOLUCION:

NUMERO DE PERSONAS 23341 60593 41347 36327 20461 182069

Al cuadro anterior, que consta de dos columnas, le agregamos otras tres columnas. Una donde aparezcan las marcas de clase, xi. Otras donde aparezcan los cuadros de las desviaciones de las marcas de clase respecto a su media, la cual es 8.23 años y una tercera donde aparezcan los cuadros de las columnas anteriores, multiplicativas por la frecuencia respectiva.

El cuadro ampliado queda de la manera siguiente: AÑOS NUMERO DE APROBADOS PERSONAS 2 4 23341 5 7 60593 8 10 41347 11 13 36327 13 20 20461 TOTAL 182069 La varianza es por lo tanto: s2 =

(

̅)

(

̅)

(

̅)

Xi

(

2.5 5.5 8.5 11.5 16.5

32.8329 7.4529 0.0729 10.6929 68.3929

⋯ (

̅)

(

̅)

766352.72 451593.57 3014.20 388440.98 1399387.10 31008,788.60

̅)

⋯ ⋯

s2 = s2 =

=16.53 aprox

Como ya sabemos que la varianza también es igual “la media de los cuadrados menos el cuadrado de la media”. Se tiene que para datos agrupados la varianza se puede calcular también por medio del método corto. s2 =

(

)

(

)

(

)

⋯ (

)

( ̅)

⋯

Al hacer uso de esta fórmula, la varianza para los datos del cuadro anterior se obtiene de la siguiente forma: s2 = s2 =

(

)

(

(

s2 = 16.53 aprox

)

⋯ (

)

)

(

)

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: DESVIACION TIPICA: S Definición: .

La desviación típica es igual a la raíz cuadrada (con signo positivo) de la varianza

La desviación típica es la más importante de las medidas de dispersión. Es el que mejor mide cuanto se separan los datos con respecto a su media. En las calculadoras de bolsillo la desviación típica se designa por s y también por σn. Depende de la marca de la calculadora. La varianza como medida de variabilidad, tiene el conveniente de que expresa en unidades distintas a la variable original. Si por ejemplo se está estudiando el peso, en libras, de un grupo de personas. Entonces la varianza da la variabilidad en libras al cuadrado. La desviación típica en cambio da la variabilidad en las mismas unidades que la variable original. En este caso daría la variabilidad en libras. De acuerdo con la definición, la desviación típica de los datos: x1, x2, x3,…….., xn; se obtiene por medio de la formula siguiente: ⋯

√

( ̅)

Aunque para datos dispersos lo mejor es obtenerla directamente por medio de calculadora de bolsillo Para datos agrupados si x1, x2, x3,…….., xn; son las marcas de clase y f1, f2, f3,…….., fn sus respectivas frecuencias, entonces la mejor manera de obtener la desviación típica, es por medio de la formula: ( √

)

(

)

( ) ⋯

⋯

(

)

( ̅)

En el caso de datos agrupados de la desviación típica también podemos obtener la directamente por medio de la calculadora de bolsillo. Ejemplo 6: Los pesos en libras de 7 personas son: - 180-154 –138-170-158-144- encontremos la desviación típica de los pesos. Solución: ̅

Libras √

(

) = 13.55

Ejemplo 7: Las edades en años de 25 estudiantes en años son: 16, 17, 18, 15, 16, 15, 15, 15, 16, 15, 18, 16, 16, 16, 16, 15, 16, 16, 15, 16, 15, 16, 17, 18, 15. Encontremos la desviación típica de las edades. Solución: ̅

(

)

(

(

)

(

√

)

(

)

)

(

(

)

)

= 15.96 años

(

)

(

) = 0.9583

Si a la media se le suma una desviación típica y se le resta también una desviación típica, entonces se le forma un intervalo que abarca, en algunas ocasiones, el 68% de los datos. Ejemplo 8: Los ingresos mensuales hasta 1,000 dólares que percibía una familia en el año 2003, se presentan en el cuadro.

Dólares 0 115 230 345 460 575 690

115 230 345 460 575 690 805

Hogares 313869 379667 257482 190904 122932 89161 57232

805

1000

78895

Encontremos la desviación típica de los ingresos Solución: Debemos calcular primeramente los puntos medios para cada uno de los 8 intervalos. Estos puntos medios son: 57.5, 172.5, 287.5, 402.5, 517.5, 632.5, 747.5, 902.5. El total de hogares es n=1490142 (

̅ (

√

)

)

(

(

) ⋯

)

(

⋯ (

)

= 314.33

)

(

) = 234.78

Por supuesto que estos cálculos es mas practico encontrarlos con la calculadora de bolsillo.

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: PROPIEDADES DE LA DESVIACION TIPICA Propiedad 1 La desviación típica nunca es negativa Propiedad 2 La desviación típica de un dato constante es cero No podía ser de otra manera, ya que en una constante no hay variabilidad Propiedad 3 La desviación típica del producto de una constante por una variable es igual a la constante por la desviación típica de la variable. En otras palabras: Si la desviación típica de x1, x2, x3,…….., xn; es S Entonces la desviación típica de C x1+ Cx2 +C x3,…….., Cxn; es CS

Propiedad 4 La desviación típica de la suma de una variable y una constante es igual a la desviación típica de la variable. Es decir que: Si la desviación típica de x1, x2, x3,…….., xn; es S Entonces la desviación típica de x1+ C, x2 +C,…….., C+ xn; es S Ejemplo 9: Las calificaciones obtenidas por un grupo de estudiantes poseen una desviación típica de 1.5 puntos. ¿Cuál es la nueva desviación típica de las calificaciones si cada estudiante se le aumenta: a) ¿el 10% de la nota obtenida? b) ¿Un punto? Solución: Se sabe que S = 1.5 a) Sea X = nota obtenida por un estudiante Entonces al aumentar el 10%, la nueva nota es: x + 0.10x = 1.10x Como la nueva nota se obtiene multiplicando por 1.10 la nota original. Entonces por la propiedad 3, la nueva desviación típica es: 1.10S = 1.10 (1.5) = 1.65 b) De acuerdo con la propiedad 4, en este caso la desviación típica no se modificara después de aumentar un punto a cada uno de los estudiantes y sigue siendo: S = 1.5

INSTITUTO NACIONAL DR. SARBELIO NAVARRETE GUION DE CLASES GRADO: 1er AÑO DE BACHILLERATO GENERAL SECCION:”D” ASIGNATURA: MATEMATICA INICIO: Saludo y bienvenida DESARROLLO: COEFICIENTE DE VARIACION: C.V. Se utiliza para comparar la variabilidad entre dos conjuntos de datos que poseen distintas medias o entre dos conjuntos de datos cuya unidades de mediación son diferentes. Definición:

Se llama coeficiente de variación al cociente de la desviación típica entre la media.

C.V =

̅

100%

De acuerdo con la definición, el coeficiente de variación mide la variabilidad relativa de los datos respecto a su media. Entre más grande sea el coeficiente de variación mayor será la variabilidad o dispersión de los datos. Ejemplo 10: Si se sabe que en la fabrica el sueldo mensual medio es de $300.00 con una desviación típica de $60.00; mientras que en u supermercado el sueldo mensual medio es $240.00 y la desviación típica $50.00. ¿En cuál de los dos establecimientos es mayor la variabilidad de los sueldos? Solución: En la fabrica: C.V = ̅ = En el supermercado: C.V =

100% = 20% ̅

100% = 20.83%

La variabilidad es mayor en el supermercado. Es decir que las diferencias de sueldos son más marcadas en el supermercado que en la fábrica.

Si para un conjunto de datos el coeficiente de variación es menor que el 10% entonces se considera que este conjunto de datos es homogéneo, es decir que casi no existe variabilidad entre ellos y que por lo tanto la media aritmética es representativa de dichos datos. O sea que, en este caso, la media da una idea clara de dichos datos. Ejemplo 11: Encontremos el C.V para los datos del ejemplo 8 Solución C.V = ̅ =

100%=74.69%

Este C.V es altísimo, mucho mayor que el 10%. Por lo tanto podemos afirmar que el valor de la media no representa el año 2003 los ingresos medios de las familias salvadoreñas, y si nos basamos en esos datos tendremos una percepción equivocada de la realidad económica familiar. Guía de ejercicios: 1. Juan y Pedro obtuvieron en seis exámenes las notas siguientes: Juan: 4, 7, 3, 9, 5, 8 Pedro: 5, 6, 7, 5, 7, 6 El puntaje obtenido por ambos es el mismo Encuentre la desviación media para ambos alumnos y con base en estos valores diga cualk de los dos es más estable 2. Encuentre la desviación típica de los datos siguientes: 45, 62, 89, 112 y 92 ¿Cuál es la nueva desviación típica que se obtiene cuando a cada uno de los datos anteriores? a) b) c) d) 3.

Se le suma 18 Se le resta 12 Se le multiplica por 5 Se le divide entre cuatro En una farmacia trabajan 8 empleados cuyo sueldo mensual tiene una desviación típica de $350.00 a) Se efectúa un aumento general de $260.00 mensual. ¿Cuál es la nueva desviación típica de los sueldos? b) ¿Cuál es la nueva desviación típica de los sueldos si l aumento que se hace a uno de los empleados es del 12%

4. Un niño tiene en su bolsillo 7 monedas de a veinticinco centavos, otro tiene 11 monedas de a diez centavos. Si un tercer niño tiene 5 monedas de cincuenta centavos; mientras que un cuarto tiene tres monedas de a colon. ¿Cuál es la desviación típica del dinero que tienen los cuatro?

Respuestas: 1. 2 Juan y

Pedro

2. S=23.65, a) s=23.65, b) s=23.65, c)s=118.25 d)s=5.9125 3. a) $350.00 y b)$392.00 4. 0.72 aproximadamente