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INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA MATERIA: VIBRACIONES MECÁNICAS UNIDAD 5 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD NOMBRE DEL ALUMNO: ELIZALDE BELTRÁN SERGIO NO. CONTROL 16010871 PROFESOR: REYES RODRÍGUEZ JOSÉ LUIS HORA: 2:00-3:00

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Índice 5.1 VIBRACIÓN DE MODO NORMAL PARA SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD.................................................................................................................3 Sistemas de grados de libertad..........................................................................3 Modo normal de vibración...................................................................................3 5.2 ACOPLAMIENTO DE COORDENADAS.............................................................9 Noción intuitiva....................................................................................................9 Noción formal....................................................................................................10 Oscilaciones acopladas....................................................................................10 5.3 PROPIEDADES ORTOGONALES....................................................................12 5.4 MATRIZ MODAL................................................................................................15 5.5 VIBRACIÓN LIBRE............................................................................................19 Definición...........................................................................................................19 Vibración libre no amortiguada.........................................................................19 Vibración libre con amortiguamiento viscoso...................................................22 Sistema subamortiguado..................................................................................23 5.6 VIBRACIONES FORZADAS Y ABSORCIÓN DE VIBRACIONES...................25 Vibración amortiguada forzada.........................................................................25

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5.1 VIBRACIÓN DE MODO NORMAL PARA SISTEMAS DE DOS GRADOS DE LIBERTAD Sistemas de grados de libertad Se dice que un sistema tiene dos grados de libertad cuando se requiere dos coordenadas para describir su movimiento. Tal sistema ofrece una introducción simple al estudio del comportamiento de sistemas con varios grados de libertad. Un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Cuando la vibración libre tiene lugar a una de estas frecuencias naturales, existe una relación definida entre las amplitudes de las dos coordenadas y, la configuración correspondiente es un modo normal. Los dos grados de libertad del sistema tendrán entonces dos modos normales de vibración, correspondientes a las dos frecuencias naturales. La vibración libre iniciada bajo cualquier condición será en general la superposición de los dos modos normales de vibración. Sin embargo, la vibración armónica forzada ocurrirá a la frecuencia de excitación y la amplitud de las dos coordenadas tendera a un máximo, a las dos frecuencias naturales.

Modo normal de vibración Consideremos el sistema no amortiguado de la Fig. 1. Usando coordenadas x 1y x 2, medidas de una referencia inercial, las ecuaciones diferenciales de movimiento para el sistema son: m x¨1=−k ( x 1−x 2) −k x 1 2 m x¨2=k ( x 1−x 2 )−k x2 (1)

Figura1. Definimos ahora un modo normal de oscilación como uno en el cual cada masa experimenta un movimiento armónico de la misma frecuencia, pasando 3

simultáneamente por la posición de equilibrio. Para tal movimiento podemos escribir. x 1= A1 eiωt x 2= A2 e iωt (2) Sustituyendo en las ecuaciones diferenciales tenemos

( 2 k −ω2 m ) A 1−kA 2=0 −kA 1 + ( 2 k −2ω 2 m ) A2=0(3) Que satisfacen para cualquier A1 y A2 si el determinante siguiente, es cero

( 2 k −ω 2 m )

|

−k

|

−k =0(4 ) ( 2k −2 ω2 m )

Haciendo ω 2=λ , el determinante de arriba conduce a la ecuación característica. k 3 k 2 λ+ =0 (5 ) m 2 m

( ) ( )

λ 2− 3

Las raíces de esta ecuación son

( 32 − 12 √ 3 ) mk =0.634 mk

λ 1=

Y

( 32 + 12 √3) mk =2.366 mk

λ 2=

Y las frecuencias naturales del sistema son 1 2

√ √

ω 1=λ1 = 0.634 1 2

ω 2=λ2 = 2.366

k m k (6) m

Sustitución de estas frecuencias naturales en la ecuación 3 nos permite k 2 hallar la razón de las amplitudes. Para ω 1 =0.634 , obtenemos m A1 A2

(1 )

( )

=

k 1 = =0.731 ( 7 ) 2 2−0.634 2k −ω 1 m 4

Que es la razón de amplitudes o la forma modal correspondiente al primer modo normal. 2 Análogamente, usando ω 2 =2.366

A1 A2

(1 )

( )

=

k obtenemos m

k 1 = =−2.73 ( 8 ) 2 2−2.366 2k −ω 2 m

Para la forma modal correspondiente al segundo modo normal. Podemos presentar los dos modos normales gráficamente como en la fig. 2. En el primer modo normal, las dos masas se mueven en fase; en el segundo modo normal las masas se mueven en oposición o. fuera de fase. Para la función de forma del modo normal, encontramos útil la siguiente notación en los últimos capítulos: ϕ 1=

−2.73 ϕ ={ {0.731 1.00 } 1.00 } 2

Figura 2. Modos normales del sistema mostrado en la figura 1. En sistemas con N grados de libertad, a cada modo natural de vibración (vector propio) tendrá una frecuencia natural (valor propio) asociada que será la del movimiento armónico resultante al desplazar los nudos del sistema respecto de su posición de equilibrio estático en la forma del modo natural correspondiente. Cada frecuencia natural será el cociente entre la rigidez modal y la inercia modal correspondiente. En cualquier caso, la o las frecuencias naturales constituyen un parámetro modal intrínseco al sistema y sólo dependerán de la rigidez (k) e inercia (m) del sistema (y de su distribución por el sistema en el caso del N grados de libertad), pero no del tiempo ni de las condiciones iniciales. Sean cuales sean estas condiciones iniciales, el sistema siempre tendrá la misma o misma frecuencia. De igual manera un sistema con dos grados de libertad tendrá dos frecuencias naturales. Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados 5

frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único. Un modo normal de un sistema oscilatorio es la frecuencia a la cual la estructura deformable oscilará al ser perturbada. Los modos normales son también llamados frecuencias naturales o frecuencias resonantes. Para cada estructura existe un conjunto de estas frecuencias que es único. Es usual utilizar un sistema formado por una masa y un resorte para ilustrar el comportamiento de una estructura deformable. Cuando este tipo de sistema es excitado en una de sus frecuencias naturales, todas las masas se mueven con la misma frecuencia. Las fases de las masas son exactamente las mismas o exactamente las contrarias. El significado práctico puede ser ilustrado mediante un modelo de masa y resorte de un edificio. Si un terremoto excita al sistema con una frecuencia próxima a una de las frecuencias naturales el desplazamiento de un piso (nivel) respecto de otro será máximo. El Modo normal incluye 2 efectos: 1- Frecuencia de resonancia: (la fuente sonora puede generar alguna de las frecuencias naturales o de resonancia del aire encerrado dentro de la sala) 2- Onda estacionaria cuando el aire entra en resonancia la presión sonora dentro del recinto presentará máximos (antinodos) y mínimos (nodos)de presión sonora).

Modos normales Supongamos, que el sistema vibra en un modo de frecuencia w. Cada partícula describirá un M.A.S. de la misma frecuencia w y fase j , pero cuya amplitud Ai vamos a calcular. yi=Ai·cos(w t+j ) Introduciendo esta expresión en la ecuación diferencial que describe el movimiento de cada partícula, obtenemos, la relación entre las amplitudes de los M.A.S. de las partículas i+1, i, e i-1.

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Vamos a buscar una solución a esta ecuación de la forma Ai=A·sen(k·ia) donde k es el número de onda k=2p /l . Después de algunas operaciones, se obtiene

y finalmente,

Esta ecuación que relaciona la frecuencia angular w con el número de onda k, se denomina relación de dispersión. Aplicaremos las longitudes de contorno para la solución buscada Ai=A·sen(kia) Las partículas imaginarias situadas en las posiciones extremas i=0, e i=N+1, están fijas, de aquí se obtiene los posibles valores del número de onda o de la longitud de onda. AN+1=A·sen(ka(N+1))=0, se cumple cuando ka(N+1)=np

Las fórmulas de las frecuencias angulares de los distintos modos de vibración son:

Donde K es la constante del muelle, m la masa de las partículas, que hemos tomado como unidad, N el número de partículas del sistema. En la figura, se muestra la relación de dispersión para un sistema de 3 partículas. La curva continua en color azul es la representación de la frecuencia angular w en función del número de onda k, cuyo valor máximo se obtiene para k=p /a. Los puntos en color rojo sobre la curva continua señalan las frecuencias de los tres modos de vibración. 7

Fig. 1 En el siguiente applet se van a mostrar de forma animada el movimiento de las partículas del sistema en el modo normal de vibración seleccionado. En la parte inferior del applet, se representa en el eje vertical el desplazamiento de cada una de las partículas. Como ejercicio se recomienda representar gráficamente, la frecuencia de los distintos modos en función del número de onda (o del número del modo n), tomando como modelo la figura anterior. Observar los modos de vibración de un sistema compuesto por muchas partículas y muelles, por ejemplo, 20, y compararlos con los modos de vibración de una cuerda u ondas estacionarias en una cuerda sujeta por ambos extremos.

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5.2 ACOPLAMIENTO DE COORDENADAS Un acoplamiento de coordenadas es una serie de acoplamientos donde las coordenadas concuerdan formando una cadena cerrada, o una serie de cadenas cerradas. Es similar a un acoplamiento mecánico que tiene uno o más ligas, y éstas tienen diferentes grados de libertad que le permiten tener movilidad entre los ligamentos. Un acoplamiento es llamado mecanismo si dos o más ligas se pueden mover con respecto a un ligamento fijo. Los acoplamientos mecánicos son usualmente designados en tener una entrada, y producir una salida, alterando el movimiento, velocidad, aceleración, y aplicando una ventaja mecánica. Se denominan informalmente coordenadas generalizadas (acoplamiento de coordenadas) a un conjunto cualquiera de parámetros numéricos que sirven para determinar de manera unívoca la configuración de un mecanismo o sistema mecánico con un número finito de grados de libertad. Más formalmente, las coordenadas generalizadas se definen como un sistema de coordenadas curvilíneas sobre la variedad de configuración de un sistema físico como por ejemplo el espacio de configuración o el espacio de fases de la mecánica clásica. El número mínimo de coordenadas generalizadas para definir el estado del sistema se conoce como: coordenadas independientes. En este contexto, las coordenadas pueden ser absolutas (referidas a un sólido inmóvil, respecto del cual el mecanismo "se mueve"); o bien pueden ser relativas a otro miembro del mecanismo.

Noción intuitiva La mecánica newtoniana usa sistemas de referencia con ejes cartesianos en que la posición de una partícula puntual en un instante dado viene dada por un vector del espacio euclídeo. Las ecuaciones de movimiento son ecuaciones diferenciales que relacionan las derivadas de la posición con la posición de las otras partículas. Sin embargo, matemáticamente podemos usar un conjunto de coordenadas curvilíneas cualesquiera tales que el vector posición pueda ser expresado en términos de esas coordenadas y viceversa. Esto implica que en un sistema de P partículas (y 2Ngrados de libertad) existirán funciones invertibles de la otra tales que:

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Noción formal Formalmente, en mecánica lagrangiana el estado físico de un sistema mecánico, también llamado estado de movimiento, viene representado por un punto del espacio de configuración "ampliado". Este espacio se designa por TQ y matemáticamente es el fibrado tangente del espacio de configuración Q de posibles posiciones. Por construcción el espacio de configuración ampliado tiene una estructura de variedad diferenciable de dimensión 2N, siendo N el número de grados de libertad del sistema. Naturalmente los 2N números anteriores tienen que ver con las coordenadas curvilíneas en términos de los cuales representamos la posición ordinaria de una partícula. De la discusión anterior se sigue que un conjunto adecuado de coordenadas generalizadas para un sistema lagrangiano no puede venir dado por un conjunto cualquiera de m números reales, sino que debe existir un conjunto abierto U del fibrado tangente TQ y una función de clase Ck, con k > 1, tal que:

Un sistema como el anterior se llama sistema natural. Sin embargo, algunos sistemas admiten coordenadas generalizadas más complicadas que dependen además del tiempo, como se discutió al principio y esos sistemas requieren ser descritos mediante una variedad de dimensión 2N+1 siendo los detalles similares.

Oscilaciones acopladas En ciertos problemas mecánicos sencillos como el problema de las vibraciones u oscilaciones acopladas aparecen sistemas de coordenadas generalizadas no relacionados con ninguna medida directa realizable sobre el sistema físico, pero útiles en la resolución matemática de los problemas. Un problema de oscilaciones acopladas puede resolverse mediante ciertos cambios de variables que llevan a las coordenadas normales o amplitudes de los 10

modos propios de vibración, que son de hecho una forma particular de coordenadas generalizadas para el problema mecánico original. El problema de oscilaciones acopladas, aparece por ejemplo en las vibraciones térmicas de un cristal, o el movimiento horizontal de un edificio en un terremoto o el movimiento de un sistema de masas unidas por muelles o resortes. Estos problemas conducen a un sistema de ecuaciones del siguiente tipo:

Que puede resolverse fácilmente definiendo unas nuevas coordenadas llamadas coordenadas normales, definidas mediante un cambio lineal:

Donde el matriz cambio de masa se calcula a partir de los modos propios del sistema. Con ese cambio el sistema se convierte en un conjunto de N ecuaciones sencillas del tipo:

Cada una de las cuales es de resolución inmediata. Es interesante notar que estos modos no son cantidades directamente medibles, sino sólo un sistema de coordenadas con dimensiones de longitud matemáticamente adecuado, pero que de no están relacionadas de manera directa o natural con ninguna medición realizable sobre el sistema.

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5.3 PROPIEDADES ORTOGONALES Una propiedad de gran importancia en el estudio de las vibraciones es la ortogonalidad de los modos. Gracias a ella, podemos desacoplar las ecuaciones del movimiento convirtiéndolas en N ecuaciones diferenciales independientes por medio del cambio de variables conocido como transformación modal que veremos más adelante. Basándonos en la ecuación (9.133), particularizada para las frecuencias naturales ωi, ωj y sus modos correspondientes A i y A j, podemos escribir K A = ω2 M A i i i

(9.136)

K A j = ω2j M A j

(9.137)

Premultiplicando la ecuación (9.136) por el vector A j transpuesto y la ecuación (9.137) por el vector Ai transpuesto, obtenemos AT K A = ω2 AT M A i i j i j

(9.138)

ATi K A j = ω2j ATi

(9.139)

MAj

Restando ambas ecuaciones término a término y teniendo en cuenta que tanto M como K son simétricas, obtenemos ( ωi2 − ω2j )A Ti M A j = 0

(9.140)

Si ωi y ωj son valores propios distintos, concluimos que A Ti M A j = 0

para i ≠ j (9.141)

T

A iMAj≠0

para i = j

Es decir, los vectores propios asociados con valores propios distintos son ortogonales respecto a la matriz de masas. Debido a que la matriz de masas es positivo definida queda garantizado que el producto ATi M Ai no es nulo excepto en el caso en que Ai sea nulo. Por ello, podemos escribir

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A Ti M A j = 0 para i ≠ j A T M A = m para i = j i j i donde mi es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a

A Ti M A j = 0 para i ≠ j A T M A = m para i = j i j i donde mi es un término escalar, positivo y constante. Los modos de vibración también son ortogonales respecto a la matriz de rigidez. La prueba es evidente a partir de la ecuaciones (9.138)-(9.139) y de la ecuación (9.142), lo que conduce a A Ti K A j = 0

para i ≠ j (9.143) A T K A = m ω2 = k para i = j i j i i i siendo ki otro término escalar, positivo o nulo y constante. Independencia lineal de los modos de vibración La propiedad de ortogonalidad recién vista se puede utilizar para probar que los modos de vibración son linealmente independientes. Como es sabido, el conjunto de vectores A1, A2,…, AN es linealmente independiente si la relación c1 A1 + c2 A 2 + …+ c N AN = 0

(9.144)

se cumple sólo cuandoT las constantes c1 ,c2 ,...,cN son nulas. Premultiplicando la ecuación (9.144) por A i M resulta ci mi = 0

(9.145)

Como mi es distinto de cero, se concluye que ci = 0

(9.146)

es decir, los vectores son linealmente independientes. Probando la ortogonalidad de los modos de vibración hemos asumido que los 13

valores propios ωi2 y ω2j eran distintos. En algunos casos particulares pueden aparecer valores propios repetidos. En un problema de valores propios general, los vectores propios asociados con valores propios repetidos pueden ser independientes o no serlo. Supongamos un valor propio, con multiplicidad s, de manera que son iguales. Si todos los demás vectores propios son independientes entre sí, el rango de la matriz K − ω2M es igual a N-s, y que se puede demostrar que el sistema de ecuaciones (K − ωr2 M )A r = 0

(9.147)

tiene s soluciones no triviales A r, A r +1, Ar + s −1 que son linealmente independientes. En el caso de que el rango de la matriz fuese superior a N-s, esta propiedad no se verificaría. Afortunadamente, se puede demostrar que, si las matrices M y K son reales y simétricas, como ocurre en el caso de los sistemas mecánicos, los vectores propios aso-ciados a valores propios repetidos son linealmente independientes.

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5.4 MATRIZ MODAL La solución general de las ecuaciones [M]{q¨} + [K]{q} = {0}), debido a la linealidad de las soluciones, se puede expresar como una combinación lineal de las mismas, de la forma

Denominando aki a la componente i del vector propio {a k}, la expresión anterior se puede escribir en componentes como: donde se sobreentiende el sumatorio implícito en el índice repetido k. Definamos ahora unos coeficientes (función del tiempo)

que

denominamos

coordenadas queda

normales.

En

función

de

ellas

Esta expresión puede interpretarse como un cambio de coordenadas para obtener uk(t) a partir de las qi(t). La matriz del cambio es la definida por los coeficientes a ki, que son constantes en relación al tiempo, y que como hemos visto son precisamente las componentes de los modos normales de vibración. Las componentes aki definidos para la expresión constituyen la llamada Matriz Modal, Es inmediato comprobar que ésta está formada por los modos normales como filas,

El cambio de coordenadas establecido por está definido por la traspuesta de la matriz modal, [A]T. La expresión de la solución {q} en función de las coordenadas normales {u} es pues: 15

Es decir

Las coordenadas normales así definidas poseen una propiedad notable, ya que en función de ellas las ecuaciones del movimiento quedan desacopladas. Al realizar el cambio a las coordenadas normales, en lugar de un sistema de n ecuaciones simultáneas acopladas, se obtienen n ecuaciones independientes, cada una con una sola variable, que se pueden solucionar unaa una. En efecto, sustituyendo en [M]{q¨} + [K]{q} = {0}, y premultiplicando por la matriz modal [A],

Desarrollando en componentes los productos de matrices en esta ecuación, la componente (ij) de [A][M][A]T corresponde a:

es decir, se trata del producto interior a través de [M] del modo {ai} (fila i de [A]) y el modo {aj} (columna j de [A] T), que como se vió en son las deltas de Kronecker multiplicadas por las masas modales. Por tanto, el resultado es una matriz diagonal:

En el caso en que la normalización se haya hecho con masas modales unitarias, esta sería la matriz identidad. Análogamente, el otro producto de matrices, empleando (

), resulta otra matriz diagonal:

Por lo tanto, la ecuación [M]{q¨} + [K]{q} = {0}, queda expresada en coordenadas normales como En componentes, equivale a n ecuaciones desacopladas (independientes)

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(sin sumatorio sobre el índice repetido k). Ejemplo 1: Sea un péndulo doble, formado por dos masas iguales m unidas por varillas rígidas sin masa de longitud l, la primera de las cuales está articulada en un punto fijo (figura 2). Estudiar las pequeñas oscilaciones alrededor de la posición de equilibrio vertical calculando las frecuencias propias y modos normales de vibración.

Figura 2. Empleando las coordenadas (ϕ1, ϕ2) definidas en la figura 1. La Lagrangiana es:

Las ecuaciones de Lagrange del movimiento resultan:

Las ecuaciones se linealizan despreciando términos de segundo orden:

La expresión matricial de las ecuaciones es:

La ecuación característica resulta

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cuyas

soluciones

son

A partir de éstas podemos calcular el vector propio asociado a cada una, así como la frecuencia propia. El resultado es:

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5.5 VIBRACIÓN LIBRE Una vibración se produce cuando el sistema en cuestión es desplazado desde una posición de equilibrio estable, el sistema tiende a retornar a dicha posición, bajo la acción de fuerzas de restitución elásticas o gravitacionales, moviéndose de un lado a otro hasta alcanzar su posición de equilibrio. El intervalo de tiempo necesario para que el sistema efectúe un ciclo completo de movimiento se llama periodo de vibración, el número de ciclos por unidad de tiempo define la frecuencia y el desplazamiento máximo del sistema desde su posición de equilibrio se denomina amplitud de vibración. Existen dos clases de vibraciones, las libres y las forzadas. Cualquier sistema elástico puede tener una vibración libre a consecuencia de un impulso inicial, donde el movimiento es mantenido únicamente por las fuerzas de restitución inherentes al mismo. El sistema bajo vibración libre vibrará en una o más de sus frecuencias naturales, dependientes de la distribución de su masa y rigidez.   Cuando al sistema se le aplica fuerzas perturbadoras externas, el movimiento resultante es una vibración forzada. Cuando la excitación es oscilatoria, ya sea periódica o no, como la de un sismo, el sistema es obligado a vibrar a la frecuencia de excitación, si ésta coincide con una de las frecuencias naturales del sistema se produce resonancia, en este estado tienen lugar oscilaciones peligrosamente grandes; así la falla por resonancia de estructuras como puentes o edificios es una dramática posibilidad que debe tenerse muy en cuenta. Por este motivo el cálculo de las frecuencias naturales de vibración es de gran importancia en el diseño sísmico de estructuras.                Definición   Una estructura está en vibración libre cuando es perturbada de su posición estática de equilibrio y comienza a vibrar sin la excitación de fuerza externa alguna (p(t) = 0). Vibración libre no amortiguada

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Figura 3. Sistema libre sin amortiguamiento La ecuación que representa el movimiento de un sistema lineal SDF sin amortiguamiento y que no está sometido a la acción de una fuerza externa es:                                                          (1)                                                             (2) donde wn es la frecuencia natural en vibración libre del sistema y es igual a:                                                                         (3) El desarrollo de la ecuación diferencial 4.1 se expone en el Apéndice I, y su solución es:                                                            (4)  Las constantes A y B se hallan a partir de las condiciones iniciales: u(0) y  , el desplazamiento y la velocidad iniciales respectivamente. Obteniéndose, por lo tanto:

 

                                                     (5)

Las Figuras 1(a) y 1(b) ilustran el movimiento de la masa durante un ciclo de vibración libre del sistema para la ecuación 4.5. A partir de estas figuras se observa que el tiempo requerido de un sistema no amortiguado para completar un ciclo de vibración libre es denominado periodo natural de vibración, Tn, y es:

                                                                         (6) La frecuencia cíclica natural de vibración, fn, es definida como el número de ciclos que se repiten en 1 [s] de tiempo y su valor es: 20

                                                                         (7) Las propiedades de vibración natural, wn, Tn y fn, dependen de la masa y rigidez de la estructura, y el término “natural” es utilizado para enfatizar el hecho de que éstas son propiedades naturales del sistema cuando éste está en estado de vibración libre.   El movimiento representado por la ecuación 5 puede también ser expresado en la forma:                                                                  (8)

   Figura 4 Vibración libre, representación vectorial

 Donde u0 es la magnitud del desplazamiento máximo y es llamada amplitud de movimiento, la cual está dada por:  

                                                                (9) Y el ángulo de fase f esta dado por:

                                                                  (10)

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En la Figura 4 está representada vectorialmente la ecuación de movimiento, donde la respuesta está dada por la parte real o proyección horizontal de los dos vectores de rotación; y el ángulo de fase representa la distancia angular de retraso en la respuesta del término del coseno.  

Vibración libre con amortiguamiento viscoso   La ecuación de movimiento para un sistema lineal amortiguado en vibración libre es:   |

                                                                (11)

  dividiendo la ecuación 4.11 por la masa se obtiene:                                                                (12)

donde:                                                                                                                            

         (13)

                                                          (14) El coeficiente de amortiguamiento crítico, ccr, y la razón o relación de amortiguamiento crítico, x, son parámetros que determinan el tipo de movimiento del sistema.   Tipos de Movimiento

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 Figura 5. Vibración libre de un sistema críticamente amortiguado, sobreamortiguado y subamortiguado  

La Figura 3 ilustra el desarrollo de este punto; ésta es una gráfica del movimiento u(t) debido a un desplazamiento inicial u(0) para tres valores distintos de x :   §         Si c=ccr ó x=1         El sistema retorna a su posición inicial de equilibrio sin oscilar, por tal razón es llamado sistema críticamente amortiguado o sistema con amortiguamiento crítico.   §         Si c>ccr ó x>1 El sistema no oscila, pero retorna a su posición de equilibrio lentamente, por tal motivo es denominado sistema sobreamortiguado.   §         Si c