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• Franco Emmanuel

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Unidad 4. Esfuerzos combinados. Ing. Ana Isabel Rosado Gruintal, M.I.

Contenido • Competencia • Combinación de esfuerzos. Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. Estado de esfuerzos y deformaciones en una partícula. • Trasformación del estado de esfuerzo plano. Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. Círculo de Mohr. • Bibliografía

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Competencia • Establece la distribución de los esfuerzos en un elemento sometido a combinaciones de cargas.

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Combinación de esfuerzos. • En esta unidad se analiza el procedimiento para cambiar las componentes del estado de esfuerzo en un conjunto de ejes coordenados, a otro conjunto de ejes girados. • El análisis se confina a problemas en el plano (dos dimensiones). • La posibilidad de transformar un estado de esfuerzo que implique esfuerzos normales y cortantes a cualquier otro conjunto de ejes coordenados girados, permite examinar el efecto de tales esfuerzos sobre un material. De esta manera pueden hacerse hipótesis relativas a los criterios de fluencia o de fractura. 4

Combinación de esfuerzos. • En las unidades anteriores se consideraron los esfuerzos causados por acciones separadas que dan lugar a esfuerzos normales y/o cortantes. • La combinación de esfuerzo normal σ con el esfuerzo cortante τ requiere un tratamiento especial. Se requiere una combinación de esfuerzos sobre un plano inclinado. Como un plano inclinado puede escogerse arbitrariamente, el estado de esfuerzo en un punto puede describirse en un numero infinito de maneras que son todas equivalentes.

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Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. • Se han estudiado los diferentes tipos de esfuerzos que se producen en las estructuras bajo la aplicación de diferentes tipos de carga. • El esfuerzo normal producido por carga axial.

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Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. • El esfuerzo cortante producido por fuerzas torsionantes.

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Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. • Adicionalmente, existen otras cargas cortante y flexión que también generan esfuerzos, estos se analizaran en los siguientes cursos. • En estructuras bajo cargas flexionantes se produce esfuerzo normal.

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Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. • En estructuras bajo cargas cortantes se produce esfuerzo cortante.

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Fuerzas cortantes y momentos flexionantes en vigas. • La combinación de los esfuerzos normales (causados por carga axial o flexión) y los esfuerzos cortantes (causados por carga torsionante o cortante) es la combinación de carga que se analizará en esta unidad.

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Estado de esfuerzos en una partícula.

• El estado general de esfuerzos en una partícula se caracteriza mediante seis componentes independientes de esfuerzo normal y esfuerzo cortante, que actúan sobre las caras de un elemento ubicado en ese punto. • Sin embargo, este estado de esfuerzo no se encuentra con frecuencia en la práctica de la ingeniería. En su lugar, se hacen simplificaciones de las cargas con el fin de que el esfuerzo pueda analizarse en un solo plano. En este caso se dice que el material está sometido a esfuerzo plano.

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Estado de esfuerzos en una partícula. • El estado general de esfuerzo plano en una partícula se representa mediante una combinación de dos componentes de esfuerzo normal, σx y σy, y una componente de esfuerzo cortante, τxy , que actúan en las cuatro caras del elemento.

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Estado de esfuerzos en una partícula. • Si este estado de esfuerzo se define sobre un elemento que tiene una orientación diferente, entonces estará sometido a tres componentes de esfuerzo diferentes. • El estado de esfuerzo plano en el punto está representado únicamente por dos componentes de esfuerzo normal y una componentes de esfuerzo cortante que actúan sobre un elemento que tiene una orientación específica en el punto.

=

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Estado de esfuerzos en una partícula. • Las transformaciones de la fuerza solo debe tener en cuenta la magnitud y dirección de la componente de fuerza. • Sin embargo, la transformación de los componentes de esfuerzo es más difícil ya que debe tener en cuenta la magnitud y la dirección de cada componente de esfuerzo, y la orientación del área sobre la que actúa cada componente. • Estas entidades matemáticas son tensores y son de un orden superior a los vectores. Sin embargo las componentes del esfuerzo sobre las misma área son vectores.

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Trasformación del estado de esfuerzo plano. • Hay dos métodos o procedimientos para la determinación de la posición y valor que toma el esfuerzo máximo. Uno es analítico y el otro es grafico, basado en el circulo de Mohr. Se estudiará primero el método analítico, para demostrar posteriormente la construcción y validez del circulo de Mohr. • Los métodos utilizados no implican las propiedades del material. Por lo tanto si los esfuerzos iniciales son dados, las relaciones obtenidas serán aplicables si el material se comporta elástica o plásticamente. Sin embargo los plano sobre los que los esfuerzos normales o cortantes alcanzan su máxima intensidad tienen un efecto importante sobre los materiales. 15

Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Consideremos un sólido que se encuentra bajo la acción de un sistema de fuerzas en equilibrio. Por un punto de él pasemos dos secciones de análisis a-a’ y b-b’, de tal forma que la primera de ellas sea perpendicular a la resultante de las fuerzas F2 y F3.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Interesa determinar la naturaleza del los esfuerzos en el punto de intersección de las secciones a-a’ y b-b’. • En la figura se presentan los diagramas de cuerpo libre de las porciones a la derecha de las secciones de estudio a-a’ y b-b’. Como puede observarse, dependiendo de la sección de análisis que se seleccione, en un mismo punto del cuerpo se tienen diferentes estados de esfuerzo.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Esto significa que para un mismo punto, el estado de esfuerzos cambia con la orientación del plano en el que se estudia. • Todos los esfuerzos calculados en las unidades anteriores se definen como esfuerzo medio y son el resultado de dividir la fuerza entre el área. Un esfuerzo medio uniforme es aquel que es constante en la superficie en la que actúa, por ejemplo, el esfuerzo por carga axial. • Si el esfuerzo medio no es uniforme, el esfuerzo en un punto se determina dividiendo la fuerza entre un área diferencial cuya magnitud tiende a cero. 18

Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • En el caso general, en un elemento de volumen diferencial en el interior de un sólido se presentarían diez y ocho componentes de esfuerzo (tres por cada una de las seis caras del elemento) y sería necesario el uso de dos subíndices para identificar adecuadamente cada componente. • En la figura se presentan las componentes de esfuerzo en un volumen diferencial.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Para el caso de estructuras planas, las componentes de esfuerzo se reducen a ocho, tal como se muestra:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Supóngase que se conoce el estado de esfuerzo plano en un punto de un sólido, es decir, que se conocen las magnitudes y los signos de los esfuerzos correspondientes: σxx, σyy y τxy. • Se requiere determinar la variación de los esfuerzos originales cuando el elemento cambia la orientación de sus caras. Para determinar estas variaciones, considérese un elemento en estado de esfuerzo plano como el de la figura (a), y seccionemos mediante un plano una porción del mismo, como se muestra en la figura (b).

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Es obvio que en el plano de corte deberán aparecer esfuerzos que equilibren a las partes seccionadas. Sea A la dimensión del área del plano inclinado. Aplicando las ecuaciones de equilibrio para la porción a la izquierda del plano de corte se tiene:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Dividiendo entre A y recordando que los esfuerzos cortantes en planos perpendiculares tienen la misma magnitud:

• Considerando las siguientes igualdades trigonométricas:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Sustituyéndolas en las ecuaciones anteriores y simplificando:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Los planos en los que aparecen los esfuerzos normales máximo y mínimo se obtienen igualando a 0 la derivada de σ respecto de θ:

• Esta ecuación proporciona dos valores de 2θ que difieren entre si 180°, por lo que los planos de esfuerzo normal máximo y mínimo son perpendiculares entre si. Los esfuerzos cortantes en los planos principales de esfuerzo son nulos”.

Esfuerzos principales (σmax y σ min)

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Los planos a los que se asocian los esfuerzos cortantes máximo y mínimo se localizan derivando la ecuación τ respecto de θ e igualándola a cero:

• El inverso tangente de la ecuación, da como resultado dos valores de 2θ separados 180°, por tanto, los planos esfuerzo cortante máximo y mínimo son perpendiculares entre sí. Los planos de esfuerzos cortantes máximo y mínimo están inclinados 45° respecto de los planos de los esfuerzos principales”.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Expresando 2θ en función de catetos:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Las funciones para el ángulo 2θ:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Expresando 2θ en función de catetos:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Las funciones para el ángulo 2θ:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Sustituyendo estas expresiones en:

• Obtenemos la magnitud de los esfuerzos principales:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Sustituyendo estas expresiones en:

• Obtenemos la magnitud de los esfuerzos cortantes máximos y mínimos:

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Ejemplo 1. El estado de esfuerzo en un punto de un cuerpo se muestra en la figura. Determine los esfuerzos principales y los esfuerzos cortantes máximo y mínimo. Muestre los resultados gráficamente.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Ejemplo 2. El estado de esfuerzo plano en un punto de falla sobre el eje, se muestra sobre el elemento de la figura. Represente este estado de esfuerzo en termino de los esfuerzos principales.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Ejemplo 3. El estado de esfuerzo plano en un punto sobre un cuerpo esta representado sobre el elemento que se muestra en la figura. Represente este estado de esfuerzo en términos del esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal asociado.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Tarea 4.1. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto orientado a 45° en sentido horario con respecto al elemento mostrado en la figura.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Tarea 4.2. Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto que representa a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, así como el esfuerzo normal asociado. Grafique los resultados sobre cada elemento.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Tarea 4.3. Un punto sobre una placa delgada se somete a los dos estados sucesivos de esfuerzo que se muestran en la figura. Determine el estado resultante de esfuerzo representado sobre el elemento que se orienta en la forma indicada a la derecha.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Ejemplo 4. Cuando se aplica la carga de torsión T a la barra mostrada en la figura, esta produce un estado de esfuerzo cortante puro en el material. Determine a) el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal asociado, así como b) los esfuerzos principales.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos.

Falla dúctil debida al esfuerzo cortante.

Falla frágil debida al esfuerzo normal. 40

Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Ejemplo 5. Cuando se aplica la carga axial P a la barra de la figura, se produce un esfuerzo de tensión en el material. Determine a) los esfuerzos principales y b) el esfuerzo cortante máximo en el plano, así como el esfuerzo normal asociado.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos.

Falla frágil debida al esfuerzo normal.

Falla dúctil debida al esfuerzo cortante. 42

Círculo de Mohr. • Existe un procedimiento alternativo para la determinación de los planos principales y los esfuerzos asociados a ellos, así como de los planos de cortante máximo y mínimo y los esfuerzos correspondientes. • Este método se conoce como el Círculo de Mohr para esfuerzo plano y es un procedimiento gráfico muy ilustrativo. Su desarrollo se atribuye al ingeniero alemán Otto Mohr (1882).

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Círculo de Mohr. • Las ecuaciones σθ y τθ son las ecuaciones paramétricas de un círculo. Esto significa que si en un sistema de ejes rectangulares se grafica un punto A de coordenadas ( σx, τxy) para cualquier valor del parámetro θ, todos los puntos graficados de esta forma quedarán localizados sobre un círculo (Círculo de Mohr).

• Para obtener las ecuaciones del método, se debe eliminar θ de las ecuaciones anteriores.

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Círculo de Mohr. • Esto se logra mediante el siguiente procedimiento reescribiendo la ecuación de la siguiente manera:

• Para un problema especifico, σx, σy y τxy son constantes conocidas. Por consiguiente, la ecuación anterior se puede escribir en una forma mas compacta como:

• Donde: 45

Círculo de Mohr. • Si se establecen los ejes de coordenadas, σ positivo a la derecha y τ positivo hacia arriba, y después se grafica la ecuación anterior, se vera que esta ecuación representa a un circulo con radio R y centro sobre el eje σ en el punto C (σprom,0). Este circulo se denomina circulo de Mohr.

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Círculo de Mohr. • Cada punto en el circulo de Mohr representa las dos componentes σx y τxy, que actúan sobre el lado del elemento definido por el eje x, cuando el eje esta en una dirección especifica θ.

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos principales, dado un estado inicial de esfuerzos:

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos principales, dado un estado inicial de esfuerzos:

𝐴 = 𝜎𝑚𝑎𝑥 , 0 = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 +𝑅, 0) 𝐵 = 𝜎𝑚𝑖𝑛 , 0 = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 −𝑅, 0)

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos en un plano en específico, dado un estado inicial de esfuerzos:

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos en un plano en específico, dado un estado inicial de esfuerzos:

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos cortantes máximo y mínimo, dado un estado inicial de esfuerzos:

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Círculo de Mohr. • Para establecer los esfuerzos cortantes máximo y mínimo, dado un estado inicial de esfuerzos:

𝐷 = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , 𝜏𝑚𝑎𝑥 ) = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , 𝑅) 𝐸 = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , 𝜏𝑚𝑖𝑛 ) = (𝜎𝑝𝑟𝑜𝑚 , −𝑅)

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Círculo de Mohr. • La construcción del círculo de Mohr para esfuerzo plano se simplifica enormemente si se considera por separado cada cara del elemento para definir los componentes de los esfuerzos. • Cuando el esfuerzo cortante ejercido sobre una cara tiende a girar en sentido horario, el punto en el círculo de Mohr correspondiente a la cara esta situado por encima del eje σ (+τ). • Cuando el esfuerzo cortante en una cara dada tiende a girar el elemento a en sentido antihorario, el punto correspondiente a la cara se encuentra por debajo del eje σ (-τ).

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Círculo de Mohr. • En cuanto a los esfuerzos normales se utilizará la convención habitual, es decir, un esfuerzo de tensión se considera como positivo y se representa a la derecha, mientras que un esfuerzo de compresión se considera como negativo y se representa a la izquierda.

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Círculo de Mohr.

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Círculo de Mohr. • Ejemplo 6. Utilizando el círculo de Mohr, compruebe los resultados del ejemplo 1.

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Círculo de Mohr. • Ejemplo 7. Debido a la carga aplicada, el elemento en el punto A sobre el eje solido de la figura, se somete al estado de esfuerzo mostrado en la figura. Determine los esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y sus respectivos esfuerzos normales que actúan en este punto .

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Círculo de Mohr. • Ejemplo 8. Determine los esfuerzos principales, esfuerzos cortantes máximos y sus respectivos esfuerzos normales que actúan en este punto .

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Círculo de Mohr. • Ejemplo 9. El estado de esfuerzo plano en un punto se muestra en la siguiente figura. Represente este estado de esfuerzo orientado a 30° en sentido antihorario desde la posición mostrada.

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Círculo de Mohr. • Tarea 4.4. Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano y el esfuerzo normal promedio. Especifique la orientación del elemento en cada caso.

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Círculo de Mohr. • Tarea 4.5. Determine el estado equivalente de esfuerzo para un elemento orientado a 30° en sentido horario desde el elemento mostrado. Represente el resultado sobre el elemento.

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Cálculo analítico del estado esfuerzos planos. • Tarea 4.6. Un punto sobre una placa delgada se somete a los dos estados sucesivos de esfuerzo que se muestran en la figura. Determine el estado resultante de esfuerzo representado sobre el elemento que se orienta en la forma indicada a la derecha. Resolver con circulo de Mohr

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Bibliografía • Beer, F. E., Johnston, J. y De Wolf, D. M. (2013).Mecánica de Materiales. México: Mc Graw Hill. • Fitzgerald (2010).Mecánica de Materiales. México: Alfaomega. • Popov, E. P. (2000).Mecánica de Sólidos (2ª ed.). México: Pearson Educación. • Pytel, A. y Singer, F. (1994).Resistencia de Materiales. México: Alfaomega.

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