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• Javier Corralejo

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UNIDAD 1: ESFUERZOS Y DEFORMACIONES

TIPOS DE CARGAS

Prensa para el ensayo de materiales a compresión

• Compresión axial • Tracción axial • Flexión • Torsión

ESFUERZO Concepto de Esfuerzo El Esfuerzo Normal Promedio en un elemento se obtiene mediante la fórmula:

Cabe recalcar que el esfuerzo en un punto Q es diferente al promedio por una variación muy pequeña, por lo que se puede suponer una distribución uniforme de esfuerzos. Para esto es necesario que la línea de acción de las cargas P y P´ pasen por el centroide.

FUERZAS TRANSVERSALES. ESFUERZO CORTANTE Cuando dos fuerzas se aplican de igual magnitud y con dirección hacia el elemento, hablamos de un esfuerzo cortante ‫ז‬. Esta no puede considerarse uniforme, pero de igual manera se puede obtener un promedio.

Estos esfuerzos cortantes se encuentran en pernos, pasadores o remaches que conectan elementos.

ESFUERZOS PRINCIPALES Siempre es importante obtener los valores máximos de los esfuerzos tanto los normales como los de corte para compararlos con los valores admisibles del material que se está evaluando.

El esfuerzo normal máximo se deduce derivando σx' con respecto al ángulo ð: dσx' /dð = 0 = - (σx - σy) (sen 2ð) +

2 ðxy (cos 2ð)

tan 2ð = 2 ðxy / (σx - σy) La solución de esta ecuación son dos ángulos que valen: ð y ð + 90 Al evaluar usando estos valores para el ángulo ð se obtienen los esfuerzos normales máximo (σ1) y mínimo (σ2). Es importante destacar que si se iguala ðx'y' = 0 se obtiene la misma expresión que la derivada, esto implica que cuando el elemento se rota para encontrar los esfuerzos principales (σ1 y σ2) se produce que el esfuerzo cortante vale cero. En definitiva: σ1, σ2 = (σx + σy) / 2 + / El esfuerzo cortante máximo se obtiene de forma similar, derivando la expresión correspondiente con respecto al ángulo ð. dtx'y' / dð = 0 = -2 ðxy (sen 2ð) - (σx - σy) (cos 2ð) tan 2ð = - (σx - σy) / 2 ðxy Esta expresión nos entrega el ángulo para el cual se producen los esfuerzos cortantes máximos, queda, en definitiva:

ð1 y ð2 = + / -

ESFUERZOS CORTANTES MAXIMOS El esfuerzo cortante máximo difiere del esfuerzo cortante mínimo solo en signo, como muestran las formulas explicadas el tema Esfuerzo s Principales. Además, puesto que las dos raíces de la ecuación tan 2ð = - (σx - σy) / 2 ðxy sitúan el plano a 90°, este resultado significa también que son iguales los valores numéricos de los esfuerzos cortantes en planos mutuamente perpendiculares. En esta deducción, las diferencias de signo de los dos esfuerzos cortantes surgen de la convención para localizar los planos en que actúan estos esfuerzos. Desde el punto de vista físico dichos signos carecen de significado, por esta razón al mayor esfuerzo cortante, independientemente de su signo, se llama esfuerzo cortante máximo.

El sentido definido del esfuerzo cortante siempre se puede determinar por la sustitución directa de la raíz particular de ð en la ecuación ðx'y' = ðxy (cos 2ð) - (σx - σy) /2 (sen 2ð) un esfuerzo cortante positivo indica que este actúa en el sentido supuesto y viceversa. La determinación del esfuerzo cortante máximo es de mayor importancia para materiales de baja resistencia al corte. A diferencia de los esfuerzos principales cuyos planos no ocurren esfuerzos cortantes, los esfuerzos cortantes máximos actúan en planos que usualmente no están libres de esfuerzos normales. La situación de ð de la ecuación tan 2ð = - (σx - σy) / 2 ðxy en la σx' = (σx + σy) /2 + (σx - σy) /2 (cos 2ð) + ðxy (sen 2ð) muestra que los esfuerzos normales que actúan en los planos de los esfuerzos cortantes máximos son σ* = (σx + σy) /2 por consiguiente, el esfuerzo normal actúa simultáneamente con el esfuerzo cortante máximo a menos que se anule σx + σy. Si σx y σy de la ecuación ð1 y ð2 = + / son esfuerzos principales, ðxy es cero y la ecuación se simplifica en ðmax = (σx - σy) /2

TENSION CORTANTE

P = τ⋅ As

τ = APs

As Área total sometida a esfuerzo cortante τ Tensión específica cortante media

La tensión cortante media no es nunca tan simple como se ha supuesto. La expresión anterior corresponde a una aproximación grosera de las tensiones reales que existen en el material, y se estudiarán posteriormente.

ELASTICIDAD. DEFORMACION. LEY DE HOOKE

δ ε= l δ Alargamiento / ε Deformación o alargamiento unitario

LEY DE HOOKE

δ = E1 ⋅ PA⋅l = AP⋅⋅El

Como

σ=P A

y

ε=δ l

σ = E⋅ε

La tensión es proporcional a la deformación

E= kg/cm2

Unidades de E

Por definición, el módulo de elasticidad E representa la tensión que produciría una deformación igual a la unidad (ε = 1), o sea, la tensión de trabajo bajo la que una barra sería extendida hasta el doble de su longitud inicial.

DIAGRAMAS TENSION-DEFORMACION

σ σA

A

α εA

0

ε

σ = E⋅ε

tanα =

=E

RELACION DE POISSON

µ= Contracción Alargamiento lateral axial unitario unitaria µ es constante para un material dado dentro de su margen de comportamiento elástico. µ isótropos : 0.25

µ acero (redondos) : 0.15

µ acero (perfiles) : 0.30

µ hormigón : 0.20

Conocidos E y µ de un material dado, se puede calcular la variación de dimensiones y de volumen de una barra prismática sometida a tracción. Antes de la deformación: V = A ⋅ l Después de la deformación: l1 = l⋅ (1+ ε) A1 = A ⋅(1−µ⋅ε)2 V1 = A1 ⋅l1 = A ⋅l⋅ (1+ ε) (⋅ 1− µ ⋅ ε)2

(

V1 = A ⋅l⋅ 1− 2⋅µ⋅ε + µ2 ⋅ε2 + ε − 2⋅µ⋅ε2 + µ2 ⋅ε3

)

Como ε es una cantidad pequeña: V1 ≈ A ⋅l⋅ (1+ ε − 2⋅µ⋅ε)

Variación de volumen:

∆V = V1 − V = A ⋅l⋅ε⋅ (1− 2⋅µ)

Variación unitaria de volumen: ∆V = ε⋅ (1− 2⋅µ) V

DIAGRAMA TENSION DEFORMACION DE ACEROS EMPLEADOS EN CONSTRUCCION

OA

Ley de Hooke

σP

Límite de

proporcionalidad σe

Límite de elasticidad CD Fluencia del material

σR

Tensión de rotura

Estricción en la probeta de ensayo

DIAGRAMA TENSION DEFORMACION DE ACEROS EMPLEADOS EN CONSTRUCCION

Diagrama simplificado tensión-deformación

Diagrama tensión-deformación de un redondo de acero ordinario

DIAGRAMA TENSION DEFORMACION DE ACEROS EMPLEADOS EN CONSTRUCCION

Diagrama tensión-deformación de barras corrugadas de acero de dureza natural.

Diagrama tensión-deformación de una barra corrugada de acero estirado en frío.

DIAGRAMA TENSION DEFORMACION DE MATERIALES FRAGILES

Diagrama noval tensión-deformación del hormigón

En el hormigón se definen tres módulos de elasticidad: • Módulo de elasticidad inicial Pendiente de la recta en el origen • Módulo de elasticidad tangencial Pendiente de la recta en el punto de estudio • Módulo de elasticidad secante Pendiente de la recta determinada por el punto de estudio y el origen

ESFUERZOS DE UNA SECCION OBLICUA

En la cara ab existen tensiones repartidas uniformemente, cuya resultante ha de ser igual a F. Su valor será:

F= A'

AF = F⋅cosA ϕ cosϕ

A: Superficie de la sección transversal normal ac A’: Superficie de la sección inclinada ab

A = A'⋅cosϕ → A'= cosA ϕ

El esfuerzo total se puede descomponer:

N ==FF⋅⋅cossenϕϕ Q

Por tanto, se tendrán tensiones σ normales a la sección inclinada y tensiones τ cortantes en la sección inclinada.

Teniendo en cuenta que sen2ϕ = 2⋅senϕ⋅cosϕ, tenemos: τ = F ⋅sen2ϕ 2A

Para ϕ = 0°

Para ϕ = 45° (π/4) Para ϕ = 90° (π/2)

σmáx = AF

σ = 2FA

σ=0

τ=0

τmáx = 2FA

τ=0

Según esto, en una barra prismática sometida a tracción simple NO existe esfuerzo lateral normal entre las fibras longitudinales.

TRANSFORMACIÓN DE ESFUERZOS SOBRE UN PLANO El estado de esfuerzos en el plano x y y mostrado en la fig. 6.5a puede rotarse a un plano x’ y y’ fig. 6.5a un ángulo .

Figura 6.5: Estado de esfuerzo en el plano: a) ejes coordenados x y y y b) rotación a los ejes x’ y y’ Considere un plano con normal unitaria n que forma un ángulo  con el eje  , se define un vector unitario m en la dirección tangencial al plano y en el sentido indicado en la Fig. 6.6.

Figura 6.6: Estado de esfuerzo sobre un plano. Los vectores n y m están dados por: n ym Sea σ el tensor de esfuerzos en el punto con componentes en la base cartesiana:

(6.3)

Utilizando la ec. (??), el vector de tracción en el punto sobre el plano considerado es:

t

(6.4)

Se definen el esfuerzo normal σ y el esfuerzo tangencial τ , sobre el plano inclinado  (Fig. 6.6) como:

Utilizando las siguientes relaciones trigonométricas:

(6.7) las ecs. (6.5) y (6.6) se pueden reescribir como: (6.8)

(6.9)

De las ec. (6.8) y (6.13) se obtiene el estado de esfuerzos par a los ejes del plano x’ y y’ de la fig. 6. 5ª (6.10) (6.11) (6.12)

DEFORMACIÓN UNITARIA Podemos definir la deformación unitaria como el cambio de longitud por unidad de longitud (deformación unitaria normal) o como el cambio en el ángulo entre dos líneas sobre materiales que se encontraban inicialmente perpendiculares entre sí (deformación unitaria cortante).

Deformación normal. La deformación unitaria normal es una cantidad adimensional, ya que es un cociente entre longitudes, sin embargo, se acostumbra, como práctica común, emplear una relación entre unidades de longitud (micrómetro/metro, m/m), en el caso de la deformación unitaria cortante, ésta se mide en grados o radianes.

Deformación cortante. Experimentalmente se obtienen diagramas esfuerzo-deformación unitaria que son característicos del material y que además proporcionan información sobre varias de las propiedades mecánicas de dicho material.

Figura 6.7: Problema de diagonalización.

Las direcciones principales, asociadas a los ejes 0 e 0 , definidas por los ángulos  y 2 +  (Fig. fm16), determinan las inclinaciones de los dos planos sobre los cuales los esfuerzos sólo tienen componente normal , mientras que la componente tangencial  = 0. Aplicando esta condición en la ec. (6.9) se obtiene:

(6.13) (6.14)

Sean las siguientes identidades trigonométricas:

(6.15) (6.16)

sustituyendo la ec. (6.14) en las ecs. (6.15) y (6.16): (6.17)

(6.18)

Las ecs. (6.17) y (6.18) proporcionan dos soluciones (asociadas a los signos + y −) 1 y 2 = 1 +  2 , que definen las dos direcciones principales ortogonales en el plano de análisis. Los correspondientes esfuerzos principales se obtienen substituyendo el ángulo  =  en la ec. (6.8)

(6.19)

y sustituyendo las ec. (6.17) y (6.17) en la (6.19).

(6.20)

Obteniéndose los esfuerzos principales:

(6.21)