• Author / Uploaded
• Otorthen Manziz

• Categories
• Elasticidad (Física)
• Mecánica
• Física y matemáticas
• Física
• Física aplicada e interdisciplinaria

Citation preview

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA Facultad de Ingeniería Geológica, Minera y Metalúrgica

B

NT

C IE

VERSI UN IV DA D S

LA

E IA E NI ER INGOR

ET

IA

DE

CIONAL NA

18 7 6

DISTRIBUCION DE ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION

Ing. David Córdova Rojas

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION Cuando se hace una excavación subterránea en un macizo rocoso, rocoso los esfuerzos pre-existentes son disturbados, lo cual induce nuevos esfuerzos en la roca, en las vecindades inmediatas de la abertura. Un método de representar este nuevo campo de esfuerzos es por medio de las “trayectorias trayectorias de los esfuerzos principales”, estas son líneas imaginarias en un cuerpo elástico esforzado a lo largo del cual actúan los esfuerzos principales. En figura se pueden observar en las líneas discontinuas las trayectorias de los esfuerzos principales mayores. En puntos arbitrariamente seleccionados a lo largo de estas trayectorias, se muestran los esfuerzos principales sobre elementos imaginarios, puesto que el material está dividido en elementos. En cada caso, la dirección y magnitud del esfuerzos principal es mostrado por una flecha, las longitudes de las flechas dan la magnitud del esfuerzo principal a alguna escala especificada.

Figura 1: Trayectorias de los esfuerzos mayor y menor en el material que rodea un hueco circular, circular construido en una placa elástica uniaxialmente esforzada.

ESFUERZOS ALREDEDOR DE UNA EXCAVACION CIRCULAR Con los conceptos previos, se analizará en primer lugar los esfuerzos alrededor de una excavación circular. A fin de calcular los esfuerzos, deformaciones y desplazamientos inducidos alrededor de excavaciones en materiales elásticos, será á necesarios i remontarnos t a la l teoría t í matemática t áti de d la l elasticidad. l ti id d En primer lugar y a modo introductorio estudiaremos del caso de los túneles circulares estudiando el desarrollo y distribución de tensiones en terrenos elásticos para tensiones debidas a la gravedad. σx = σz Caso 1: Datos

σx = σz , a

σz

σr

p parámetro r ¿ σt , σr ?

σ r = σ x − σ x a 2 r 2 ⎫⎪ 2 2 ⎬ σ t = σ x + σ x a r ⎪⎭

σt

a …. Ecuación 1

r

σx

Análisis de las ecuaciones:

σ σx

σr 2

σt

⎧ r = a , σ t /σ x = 2 σt ⎨ ⎩ r = ∞ , σ t /σ x → 1

1

σr 0

2a

3a

⎧ r = a , σ r /σ x = 0 ⎨ ⎩ r = ∞ , σ r /σ x → 1

4a

r

Es más importante el análisis de σt la cual se duplica cuando r = a, a de las ecuaciones (1) se deduce que σt en la pared del túnel “no varía” con el tamaño del túnel, para σx = σz siempre σt = 2σx en toda la superficie.

Caso 2: Datos

σx = σz , a , Pi (contrapresión, caso típico revestimiento) parámetro r ¿ σr , σt ?

σt

σ r = σ x + (Pi − σ x ) a 2 r 2 ⎫⎪ 2 2 ⎬ σ t = σ x − (Pi − σ x ) a r ⎪⎭

B ….. Ecuación 2 θ

a σ σx 2

σt

σr

⎧ r = a , σ r / σ x = Pi / σ x ⎨ ⎩r = ∞ , σ r / σ x → 1

σt

⎧ r = a , σ t / σ x = 2 − Pi / σ x ⎨ ⎩r = ∞ , σ t / σ x → 1

1

0

σr 2a

3a

4a

A

Pi

Análisis de las ecuaciones:

Pi σx

σr

r

Caso 3: Datos

σx ≠ σz (tensiones residuales) P á t Parámetros θ y r

, aplicamos

σx 1 =K= σz 4

(

)

(

(

)

(

)

1 (σ x + σ z ) 1 − a 2 / r 2 + 1 (σ x − σ z ) 1 − 4 a 2 / r 2 + 3a 4 / r 4 Cos 2θ 2 2 1 1 σ t = (σ x + σ z ) 1 + a 2 / r 2 − (σ x − σ z ) 1 + 3a 4 / r 4 Cos 2θ 2 2

σr =

)

⎫ ⎪⎪ ⎬ …… Ecuación 3 ⎪ ⎪⎭

Las ecuaciones (3) constituyen la solución bidimensional de la distribución de esfuerzos alrededor de una abertura en un campo elástico. Análisis de las ecuaciones:

Para el punto A:

σ

θ = 0º

2.75 σz

σt

σr

⎧ r = a , σr = 0 ⎨ ⎩r = ∞ , σ r = σ x

σt

⎧ r = a , σ t = 2.75 σ z , ( σ x = σ z / 4 ) ⎨ ⎩r = ∞ , σ t = σ z

σr

⎧r = a , σ r = 0 ⎨ ⎩r = ∞ , σ r = σ z

σz σr

σx a

3a

2a

r

4a

Para el punto B:

θ = 0º

σ

cos 180º = − 1

σz

σr σt

σx 0

0.25 σz

a

2a

3a

⎧ r = a , σ t = − 0.25 σ z , ( σ x = σ z / 4 ) σt ⎨ ⎩r = ∞ , σ t = σ x 4a

r

Para un campo de esfuerzos donde σx = σz (Casos 1 y 2), si la roca que rodea un túnel circular revestido falla, se origina una situación parecida al que se muestra en la siguiente figura :

σt σx

σz

2 Revestimiento

σx

1

a a

2a

3a

4a

r

Observando la figura siguiente, siguiente podemos expresar las ecuaciones finales de la solución bidimensional de la distribución de esfuerzos alrededor de una abertura en un cuerpo elástico usando en este caso un sistema de coordenadas polares en la cual los esfuerzos son definidos en técnicas de tracciones, tracciones actuando sobre las caras de un elemento ubicado por un radio r y un ángulo polar θ.

Figura 2: Esfuerzos alrededor de una excavación circular.

A partir ti de d estas t ecuaciones, i ampliaremos li l los conceptos t anteriormente t i t dados, d d observando hechos muy interesantes e importantes sobre los esfuerzos alrededor de aberturas:

a) Esfuerzos en los bordes de la excavación Las ecuaciones muestran que el esfuerzo radial σr y el esfuerzo de corte τrθ son ambos iguales a cero en los bordes de la excavación cuando r = a. El esfuerzo tangencial en los bordes esta dado por:

σ θ = p z ((1 + k ) − 2(1 − k ) Cos 2θ ) En el techo y en el piso de la abertura, abertura es decir cuando θ = 0º y 180º respectivamente, esta ecuación se reduce a:

σ θ = pz (3k − 1) En las paredes de la excavación, es decir cuando θ = 90º y 270º se reduce a:

σ θ = pz (3 − k )

b) Esfuerzos alejados de los límites de la excavación

Componentes de los esfuerzos en el punto (r,θ) de la figura 2.

⎧ ⎤ ⎛ a2 ⎞ ⎛ 4 a 2 3a 4 ⎞ 1 ⎡ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ( ) ( ) = + − + − − + σ P 1 k 1 1 k 1 Cos 2 θ ⎪ r ⎥ Z⎢ 2 ⎟ 2 4 ⎟ ⎜ ⎜ 2 r r r ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪ ⎣ ⎦ ⎪ ⎤ ⎛ a2 ⎞ ⎛ 1 ⎡ a4 ⎞ ⎪ ⎨ σ θ = PZ ⎢(1 + k )⎜⎜ 1 + 2 ⎟⎟ − (1 − k )⎜⎜ 1 + 3 4 ⎟⎟ Cos 2θ ⎥ 2 ⎣ r ⎠ r ⎠ ⎝ ⎝ ⎦ ⎪ ⎪ 2 4 ⎪ τ = 1 P ⎡− (1 − k )⎛⎜ 1 + 2 a − 3a ⎞⎟ Sen2θ ⎤ ⎥ 2 4 ⎟ ⎜ ⎪ rθ 2 Z ⎢⎣ r r ⎝ ⎠ ⎦ ⎩

Esfuerzos principales en el plano del papel en el punto (r,θ).

12 ⎧ 1 ⎤ ⎡1 2 2 ⎪ σ 1 = (σ r + σ θ ) + ⎢ (σ r − σ θ ) + τ rθ ⎥ 2 ⎣4 ⎦ ⎪ ⎨ 12 1 ⎡1 ⎤ ⎪ 2 2 ( ) ( ) σ = σ + σ − σ − σ + τ 3 r r r θ θ θ⎥ ⎢⎣ 4 ⎪ 2 ⎦ ⎩

I li Inclinaciones i en un punto t

T 2α = Tan

2τ rθ σθ − σ r