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• Nestor Olivas

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sep dgest Instituto Tecnológico de Culiacán Departamento de Metal-Mecánica

Ingeniería Mecánica

Tercera unidad:

Dinámica de maquinaria MC. Constantino Anaya hill

Culiacán, Sin. Abril de 2014.

Contenido 

Momento lineal de un cuerpo rígido

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Momento angular de un cuerpo rígido



Ecuaciones de movimiento



Principio de Impulso y Momento

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Impacto Excéntrico



Ejercicios

Momento lineal de un cuerpo rígido Fue el propio Newton quien introdujo el concepto de momento lineal(aunque él lo llamaba cantidad de movimiento) que combina las magnitudes características de una partícula material en movimiento: su masa (toda partícula material tiene masa) y su velocidad (magnitud que caracteriza el movimiento). La idea intuitiva tras esta definición está en que la "cantidad de movimiento" (el momento lineal o momento) dependía tanto de la masa como de la velocidad: si podemos imaginar una mosca y un camión, ambos moviéndose a 40 km/h, la experiencia cotidiana dice que la mosca se puede detener con la mano, mientras que el camión no, aunque los dos vayan a la misma velocidad. Esta intuición llevó a definir una magnitud que fuera proporcional tanto a la masa del objeto móvil como a su velocidad. Matemáticamente, el momento lineal ( ) se define como: Se define el vector fuerza, como la derivada del momento lineal respecto del tiempo

La segunda ley de Newton es un caso particular de la definición de fuerza, cuando la masa de la partícula es constante.

Despejando dp en la definición de fuerza e integrando

A la izquierda, tenemos la variación de momento lineal y a la derecha, la integral que se denomina impulso de la fuerza F en el intervalo que va de ti a tf.

Por tanto, el momento lineal ( ), es una magnitud vectorial (kg m/s), ya que resulta de multiplicar un escalar (la masa en kg) por un vector (la velocidad, en m/s). Su dirección y sentido coinciden con los del vector velocidad.

Momento angular de un cuerpo rígido

El concepto de momento angular es muy útil para describir movimientos en dos o tres dimensiones y rotaciones. Consideremos el movimiento de un punto de masa m respecto de O. Este movimiento se puede pensar como la superposición un movimiento radial con velocidad vr y un movimiento de rotación alrededor de O con velocidad vt . Desde este punto de vista la cantidad de movimiento p = mv es la suma de dos términos: p = mvr + mvt = pr + pt donde pr = rˆ(rˆ ⋅ p) es la cantidad de movimiento radial y pt la cantidad de movimiento asociada con la rotación alrededor de O

El movimiento de un punto respecto de O se puede pensar como la superposición de un movimiento radial y un movimiento de rotación alrededor de O. Una forma práctica de separar las dos partes de p es introducir la cantidad

L=r×p dado que L depende solamente de pt porque L = r × p = r × pt La magnitud L se llama momento angular y es el momento1 de la cantidad de movimiento; su valor depende de la elección de O, en efecto el momento angular respecto del punto O′ que difiere de O por un desplazamiento rOO′ es L L r p O′ = O − OO′ × (Fig. 7.2). Cuando no haya riesgo de confusión daremos por sobreentendido el punto respecto del cual se calcula L. El momento de las fuerzas que actúan sobre un sólido rígido hace cambiar el momento angular con el tiempo

El principio de conservación del momento angular afirma que si el momento de las fuerzas exteriores es cero (lo que no implica que las fuerzas exteriores sean cero, que sea un sistema aislado), el momento angular total se conserva, es decir, permanece constante.

Ecuaciones de Movimiento Se obtiene a partir de la ley de conservación del momentum (absoluto), que se deduce de la segunda ley de Newton, expresada en la forma :

Se debe tener presente que esta ley es válida sólo en un sistema de referencia inercial. Un sistema de referencia inercial podría ser un sistema con origen en el centro de gravedad del sistema solar y fijo con respecto a las estrellas. Para fines prácticos en los fluidos geofísicos, se puede tomar el centro de la Tierra como origen de un SRI absoluto. Cuando el movimiento se refiere a este sistema se habla de movimiento absoluto. Un sistema de coordenadas que está en movimiento relativo al sistema inercial, se llama sistema de coordenadas relativo, y cuando el movimiento es referido a este sistema, se habla de movimiento relativo. El

movimiento de los fluidos geofísicos es referido a un punto fijo sobre la superficie de la Tierra, por lo tanto es siempre relativo. La ecuación de movimiento es válida solo en un sistema de referencia inercial. Sin embargo, el movimiento de una parcela de fluido geofísico se mide con respecto a la superficie de la tierra que gira, que es un sistema de referencia no inercial. Sea r VPa la velocidad de un punto fijo P en el SRA, y rVr la velocidad relativa con respecto al punto P. Entonces, la velocidad absoluta rVa es:

Principio de Impulso y Momento En el lenguaje moderno la cantidad de movimiento de un objeto se define mediante la expresión p=m·v. Es decir, es una magnitud vectorial proporcional a la masa y a la velocidad del objeto. Partiendo de esta definición y aplicando la ley fundamental de la mecánica de Newton, las variaciones de cantidad de movimiento se expresan en función de la fuerza resultante y el intervalo de tiempo durante el cual se ejerce ésta:

A la cantidad Fres·dt se denomina impulso lineal y viene a representar una magnitud física que interviene en las acciones violentas o impactos, tales como choques. En este tipo de acciones conviene considerar la duración del impacto y la fuerza ejercida durante el mismo. De la expresión obtenida se deduce que el impulso lineal es igual a la variación de la cantidad de movimiento. Si la fuerza resultante es cero (es decir, si no se actúa sobre el objeto) el impulso también es cero y la cantidad de movimiento (p=m·v) permanece constante. Llamamos a esta afirmación ley de conservación del impulso lineal, aplicada a un objeto o una partícula. Para practicar la relación entre la fuerza resultante ejercida sobre un objeto y las posibles variaciones o conservación de su impulso lineal, hemos diseñado una animación interactiva Modellus. Permite aplicar fuerzas a un objeto y comprobar cómo es su movimiento y la evolución de su impulso. En cualquier instante, se puede intervenir para modificar la fuerza aplicada, o para anularla y comprobar que, entonces, se conserva el impulso y el cuerpo mantiene un movimiento rectilíneo y uniforme. Se deduce de ello que un objeto aislado (no sometido a

ninguna fuerza) mantendría su impulso o cantidad de movimiento, que podemos asociar a su capacidad potencial de influir sobre otros.

GENERALIZACIÓN DE LA LEY DE CONSERVACIÓN DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO A SISTEMAS Un sistema es un conjunto de entidades corpusculares que pueden o no interactuar entre sí. Los sistemas se pueden conformar con partículas libres (sería el caso, por ejemplo, de un gas) o con partículas ligadas (un átomo, por ejemplo). Puesto que los sistemas, a menudo, componen otros más complejos (por ejemplo, una molécula), se requiere que un proceso de extensión de los conceptos físicos a los sistemas garantice que globalmente se les pueda considerar a su vez como nuevas entidades individuales que se tienen que poder describir usando las mismas magnitudes utilizadas para estudiar a las partículas simples. Ahora veremos de qué forma se cumplen estos requisitos al extender la ley clásica de conservación de la cantidad de movimiento a sistemas de partículas. Para mostrarlo de forma muy sencilla, consideramos un sistema de sólo 2 partículas de masa m1 y m2. Las partículas interaccionan entre sí (como mínimo, se atraen gravitatoriamente) y suponemos que componen un sistema aislado, es decir, que no se ejercen fuerzas exteriores sobre ellas. En estas condiciones, la única fuerza a considerar es la que ejerce partícula sobre la otra. La fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la partícula 2 es: F12 = d(p2)/dt y la fuerza que ejerce la partícula 2 sobre la 1 es F21 = d(p1)/dt. El tercer principio de la dinámica de Newton dice que la fuerza que ejerce la partícula 1 sobre la 2 es igual y opuesta a la que ejerce la partícula 2 sobre la 1. Por tanto, cumple lo siguiente:

De tal forma que, definiendo la cantidad de movimiento del sistema como la suma de cantidades de movimiento de las partículas que lo componen (en este caso: psist = p1 + p2)se concluye de este razonamiento la: Ley de conservación de la cantidad de movimiento: La cantidad de movimiento de un sistema aislado (no sometido a fuerzas exteriores) permanece constante.

Se define el impulso que actua sobre un objeto como, (Impulso) = (Fuerza sobre un objeto)・(Intervalo de tiempo) I=F・t

!OJO! Los objetos tienen cantidad de movimiento. El impulso actua sobre un objeto. Siempre que ejerces una fuerza sobre algo, también ejerces un impulso. El impulso esta relacionado con la cantidad de movimiento por, (Variacion de la cantidad de movimiento) = (Impulso) o (Masa)・(Variacion de la velocidad)=(Fuerza)・(Intervalo de tiempo) o Δ(mv)=mΔv=Ft Esta relacion se obtiene de la 2a ley de Newton

Impacto Excéntrico El impacto excéntrico ocurre cuando la línea que conecta los centros de masa de los dos cuerpos no coincide con la línea de impacto. Este tipo de impacto suele ocurrir cuando uno o los dos cuerpos están limitados a girar alrededor de un eje fijo. Durante el impacto se ejerce una fuerza impulsora igual pero opuesta P entre los cuerpos, la cual los deforma en el punto de contacto. Después del impacto ocurre entonces un periodo de restitución durante el cual los cuerpos buscan recuperar sus formas originales. Para poder resolver problemas que impliquen algún tipo de impacto es importante considerar el coeficiente de restitución e, el cual es la relación del impulso de restitución al impulso de deformación, sin embargo este calculo todavía es muy limitado en ingeniería debido a que se ha encontrado que los valores de e son muy sensibles al material, la geometría, la geometría y la velocidad de cada uno de los cuerpos que chocan. Se ha establecido que el coeficiente de restitución es igual a la relación de la velocidad relativa de separación de los puntos de contacto , justo después del contacto a la velocidad relativa a la cual los puntos se aproximan entre sí justo antes del impacto.

Ejercicios 1 Un automóvil de 1500 kg. De masa choca contra un muro, como se ve en la figura 9.6a. La velocidad inicial V = - 15i m/seg. La velocidad final VF = - 15i m/seg. i

Si el choque dura 0,15 seg. Encuentre el impulso debido a este y la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil? m = 1500 kg. V = - 15i m/seg. V = 2,6i m/seg. i

f

Momento inicial P=mV i

i

P = 1500 * (- 15) i

P = - 22500 kg. m/seg. i

Momento final P=mV f

f

P = 1500 * (-2,6) f

P = 3900 kg. m/seg. f

Por lo tanto el impulse es: I = ΔP = P - P f

i

I = 3900 – (- 22500) I = 3900 + 22500 I = 26400 Newton * seg. la fuerza promedio ejercida sobre el automóvil es: segseg *Newton 0,1526400 tP promF=ΔΔ= F = 176000 Newton prom

2

Un pitcher dice que puede lanzar una pelota de béisbol con tanto momentum como una bala de 3 gr. moviéndose con una rapidez de 1500 m/seg. Una pelota de béisbol tiene una masa de 0,145 kg. Cual debe ser su rapidez, si la declaración del pitcher es valida? m = masa de la bala = 3 gr. = 0,003 Kg. b

V = Velocidad de la bala = 1500 m/seg. b

m = masa de la pelota de béisbol = 0,145 kg. p

V = Velocidad de la pelota de béisbol p

Cantidad movimiento de la pelota de béisbol = cantidad de movimiento de la bala

3 Un amigo dice que, mientras tenga puesto su cinturón de seguridad, puede sujetar un niño de 12 kg. En un choque de frente a 60 millas/hora. Con un muro de ladrillo en el que el compartimiento de pasajeros del auto se detiene en 0,05 seg. Demuestre que la violenta fuerza durante el choque va a arrebatar al niño de los brazos del amigo. Un niño siempre debe estar en una silla para niño asegurada con un cinturón de seguridad en el asiento trasero del vehiculo. F (Δ t) = Δ P = PF - Pi = m VF - mVi

F = - 6436 Newton 4 Una pelota de 0,15 kg. De masa se deja caer del reposo, desde una altura de 1,25 metros. Rebota del piso para alcanzar una altura de 0,96 metros. Que impulso dio el piso a la pelota. m = 0,15 kg. V = Velocidad inicial antes = o ia

V = Velocidad final antes Fa

h = altura que se deja caer la pelota. 1

V = Velocidad inicial después id

V = Velocidad final después = 0 Fd

h = altura que rebota la pelota. 2

Se halla la velocidad con la cual la pelota choca en el suelo. 2 2 (VFa) = (Via) + 2 g h 1

2

(VFa) = 0 + 2 g h

1

V = - 4,9497 m/seg Se asume (-) cuando el cuerpo se desplaza hacia abajo. Fa

Se halla la velocidad con la cual la pelota rebota en el suelo. 2

2

(V ) = (V ) + 2 g h Fd

id

2

0 = (V ) * 2 g h id

2

2

Se asume (+) cuando el cuerpo se desplaza hacia abajo. Δ P = P - P = m V - mV F

i

F

i

Δ P = (0,15 * 4,3377) - (0,15 * (- 4,9497)) Δ P = (0,6506) - (- 0,7424) Δ P = 0,6506 + 0,7424 Δ P = 1,393 kg * m/seg. 5 Un auto se detiene frente a un semáforo. Cuando la luz vuelve al verde el auto se acelera, aumentando su rapidez de cero a 5,2 m/seg. en 0,832 seg. Que impulso lineal y fuerza promedio experimenta un pasajero de 70 kg. en el auto? Impulso (I) = m * (VF – VO) (VF – VO) = 5,2 m/seg – 0 = 5,2 m/seg I = m * (VF – VO)

I = 70 * (5,2) = 364 kg * m/seg I = 364 kg * m/seg I=F*t

F = 437,5 newton 6 Una bala de 10 gr. Se dispara a un bloque de madera estacionario (m = 5 kg.). El movimiento relativo de la bala se detiene dentro del bloque. La rapidez de la combinación bala mas madera inmediatamente después del choque es de 0,6 m/seg. Cual es la rapidez original de la bala? ANTES m1 =10 gr v1 = ? m2 = 5 kg v2 =0 m/seg DESPUES

kg 2-10 gr 1000kg 1 *gr 10 1m== -2

(m + m ) = 10 gr + 5 kg = 10 kg. + 5 kg = 5,01 kg. 1

2

V = 0,6 m/seg F

(m1 * v1 ) - (m2 * v2) = (m1 + m2) * VF -2

(10 * v1) - (5 * 0) = (5,01) * 0,6 -2

(10 * v1) = (3,006) -2

(10 * v1)= 3,006