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• EzequielFernando

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UNIDAD 2 2.1) La velocidad de una partícula que se encuentra moviendo en el plano (x,y) está identificada por un valor numérico de 11,00 m / s y un ángulo de 110° medidos respecto del eje x positivo. Determinar las componentes del referido vector velocidad.-

2.2) Un vector velocidad posee las siguientes componentes: Vx = - 21,00 unidades y Vy = 56,00 unidades. Hallar: a) el valor numérico o magnitud del tal vector. b) la dirección del mismo.-

a)

b)

2.3) Sí en una operación con dos vectores A y Ū se comprueba que la magnitud de la suma y de la diferencia son iguales, demuestre cómo resultan estar ubicados ambos vectores entre sí.Partir de la condición de que los vectores U y V sumados o restados dan un vector cuya magnitud no varía. Condición dada en el enunciado. U+V=U-V 

El vector suma de V + U puede hallarse por el Teorema del coseno.

V + U = V2 + U2 – 2 V . U . cos (alfa) (1) 

El vector resta de V – U puede hallarse por el Teorema del coseno.

V – U = V2 + U2 + 2V . U

(2)

Como V + U = V – U (por enunciado) 

Se iguala (1) a (2) y se despeja el ángulo (alfa).

V–U=V+U V2 + U2 + 2 . V . U . cos (alfa) = V2 + U2 - 2 . V . U . cos (alfa) 2 . V . U . cos (alfa) = - 2 . V . U . cos (alfa) cos (alfa) = - cos (alfa) 2. cos (alfa) = 0 cos (alfa) = 0 (alfa) = 90º Por lo tanto son vectores perpendiculares entre sí. 2.4) Dado dos vectores representados como: Ā = (3 i + 4 j – 5 k) y Ê = ( - i + j + 2 k ), encontrar: a) el vector resultante. b) el valor numérico del vector resultante. c) el vector diferencia (Ā – Ê). d) el ángulo conformado entre los vectores datos.-

a)

b)

c) d)

2.5) En el análisis de un movimiento le han proporcionado los siguientes vectores posición correspondientes al vuelo de un aeroplano: Â = (3 i – 2j) y el Ū = (- i – 4j), y le piden calcular: a) (Ā + Ū). b) (Ā – Ū). c) │ Ā + Ū │. d) │ Ā – Ū │. e) la dirección que se origina tanto en el vector (Ā + Ū) como en el vector (Ā – Ū), respecto del eje horizontal x.-

a) b) C)

d)

e)

θ 2 -6

α

�≅−71°41`+360° ≅288°

2

β 4

2.6) Cuenta con tres vectores definidos como: Ā=(6 i –8 j); B= ( - 8 i + 3 j ) y C= (26 i +19 j ), y verifica que cuando produce la siguiente operación: (a Ā + b B + C), obtiene como resultado cero. Determinar los valores de las cantidades a y b.-

2.7) Un repartidor de facturas de servicios públicos en su moto, debe desplazarse inicialmente 400,00 m en la dirección Oeste del Norte que forma un ángulo de 30°. A continuación efectúa otro desplazamiento de forma tal que el desplazamiento total llevado a cabo fue de 600,00 m en la dirección que forma un ángulo de 20° al Sur del Oeste. Encontrar el valor numérico y la dirección del segundo de los desplazamientos realizados.-

2.8) Un vector como el Ā posee única componente x ( - ) igual a 3,00 cm de longitud y única componente y (+) igual a 2,00 cm de longitud. a) Dar la expresión del vector Ā empleando la notación de vectores unitarios. b) Determine el valor numérico y la dirección del vector Ā. c) ¿Qué vector Ū cuando se lo suma al Ā nos da un vector resultante o neto sin componente en la dirección x y una componente en la dirección y (-) de 4,00 cm de longitud ?.a)

b)

  33,7 º 180º  146,3º (ángulo del segundo cuadrante)

c)

2.9) Dadas las coordenadas de dos (2) puntos tales como P1 = (4; 5; -7) y P2 = (3; 6; 12), encontrar la distancia entre dichos puntos.-

2.10) Las posiciones del movimiento de una nave espacial vienen identificados por los siguientes vectores: Ā = (3 i – 4 j + 4 k) y Ē = (2 i + 3 j – 7 k). Determinar: a) el valor numérico de los vectores definidos como: C = (Ā + Ē) y D = (2 Ā – Ē). b) Exprese los vectores C y D en función de sus componentes rectangulares.-

2.11) Dados los siguientes vectores posición: Ā = ( 3 i + 3 j ) , Ū = ( i – 4 j ) e Ī = ( - 2 i + 5 j ), aplicando el método de las componentes determinar: a) el valor numérico y la dirección de un vector definido como Ō = ( Ā + Ū + Ī ). b) ídem anterior para otro vector expresado como: V = ( - Ā – Ū + Ī ).O  A  U  I   3  1  2  i   3  4  5 j  2i  4 j  O 

2 2  4 2  4,5    arctg 2  63,4º

O  A  U  I    3  1  2  i    3  4  5 j  6i  6 j  O 

  6 2

 6 2  8,5    arctg   1  135º

2.12) Dado un vector A (oblicuo agudo con la horizontal) y otro B ( horizontal positivo) y un paralelogramo MNOP como se muestra, proceda a expresar los siguientes vectores en función de A y B: MO, NO, OP y PN.-

N

O

A M

P B

2.13) De acuerdo a lo estudiado y para los siguientes casos exprese las propiedades que poseen como tales los siguientes vectores A y B: a) A + B = A – B. b) A + B = C y | A | + | B | = | C |. c) A + B = C y A2 + B2 = C2. d) | A + B | = | A – B |.a) A+B = A-B  B = 0 b) A+B = C y |A|+|B| = |C| 

 = 0º

c) A+B = C y A2+B2 = C2   =90º

d) |A+B| = |A-B| 

 = 90º

2.14) En un triángulo como el que se muestra de lados a y b, demuestre que el área del mismo tiene un valor de: A = 1 / 2 | a x b |.a

h

α

b

2.15) Nos han dado dos vectores posición representados como: r1 = (3 i + 4 j – 5 k) y r2 = ( - i + 2 j + 6 k). Determinar: a) sus longitudes. b) su producto escalar. c) el vector suma. d) su producto vectorial.

2.16) Contamos con el siguiente sistema de ecuaciones vectoriales: (a + b) = (11 i – j + 5 k) y (a – b) = ( - 5 i + 11 j + 9 k ), y debemos calcular lo siguiente: a) el vector a y el b. b) el ángulo que se conforma entre los vectores a y (a + b).-