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• Estefania Munoz

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3.6 ESTABILIDAD. DEFINICION DE ESTABILIDAD. ECUACION CARACTERISTICA: Un sistema dinámico es estable si para cualquier entrada acotada se obtiene una salida acotada independientemente de cual fuese su estado inicial. La inestabilidad de los sistemas es la mayor limitación a la hora de realizar la sintonía de controlador.

Análisis de estabilidad La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los polos (raíces de la ecuación característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentra en el semiplano el sistema es inestable.

Para comprobar la estabilidad de un sistema se tiene analizar la función de transferencia. G(s) = N(s)/D(s) Nos quedarán dos ecuaciones, una en el numerador y otra en el denominador. La ecuación del denominador se llamará ecuación característica y para estudiar la estabilidad del sistema tendremos que averiguar las raíces de la ecuación característica.

Estabilidad de sistemas dinámicos

La respuesta de bucle cerrado para un sistema de control generalizado es:

𝑮𝒄 𝑮𝒑 𝑮𝒇

y= 𝟏+𝑮

𝒄 𝑮𝒑 𝑮 𝒇 𝑮𝒎

𝒚𝒔𝒑 + 𝟏+𝑮

𝑮𝒅 𝒄 𝑮𝒑 𝑮𝒇 𝑮𝒎

𝐝

◦

La estabilidad o inestabilidad de un sistema es intrínseca al mismo tiempo, independientemente de la entrada.

◦

Para estudiar la estabilidad de la respuesta es necesario realizar la transformada inversa de Laplace para obtener la respuesta en tiempo real. Para ello es necesario descomponer y(s) en fracciones simples.

◦

Para realizar la descomposición se deben encontrar las raíces de la ecuación característica (1+GCGpGfGm=0).

◦

La ecuación característica es el denominador de las funciones de transferencias tanto del problema de la regulación o de la carga como del servocontrol, es decir, es uno más el producto de las funciones de transferencia del lazo de retroalimentación (GOL).

◦

Las raíces de la ecuación característica son αi, i=1…., n. una vez realizado la descomposición en fracciones simples: y(s)=

◦

𝑦0 𝑠

𝑦1

𝑦2

𝑦𝑛

+ 𝑠−𝛼1 + 𝑠−𝛼2 + ⋯ + 𝑠−𝛼𝑛

Al realizar la transformada inversa de Laplace se obtiene la función en tiempo real: Y(t)= 𝑦0 + 𝑦1𝑒 𝛼1𝑡 + 𝑦2𝑒 𝛼2𝑡 + 𝑦𝑛𝑒 𝛼𝑛𝑡

◦

El valor de γ no influye en la salida del sistema, ya que tanto el seno como el coseno son funciones acotadas, solo cambia la frecuencia de la respuesta.

Representación de los sistemas de control Mediante una función matemática, denominada función de transferencia. La función de transferencia nos dará las variaciones de salida en función de las variables de entrada. La ecuación matemática obtenida tendrá normalmente como variable el tiempo y será en función compleja y difícil de resolver. Para su resolución se cambiará la variable tiempo por una variable S a través de la transformada de Laplace.

Mediante diagrama de bloques: Se representarán las operaciones del sistema mediante bloque de operaciones simples y a partir de ahí se simplificará el sistema.

3.7 SINTONIZACIÓN DE CONTROLADORES. Sintonizar un sistema de control realimentado significa regular Parámetros en el controlador para lograr implementar un control robusto en el proceso. Quizá la regla más importante para sintonizar un controlador es conocer el proceso el proceso antes de intentar regular la sintonía del controlador. Los procesos self-regulating y runaway tienen diferentes Necesidades de control. Los parámetros de Sintonía PID que pueden Trabajar bien para controlar un proceso de self-regulating, por ejemplo, no trabajará bien para Controlar un proceso integrativo o runaway (inestable) a pesar de alguna característica similar De estos procesos.

3.7.1 MÉTODOS Y ESTRATEGIAS. Método de lazo abierto El controlador cuando está instalado operará manualmente. Produciendo un cambio escalón a la salida del controlador se obtiene la curva de reacción del proceso, a partir de la cual se identifica un modelo para el mismo, usualmente de primer orden más tiempo muerto. Este modelo es la base para la determinación de los parámetros del controlador.

Método de lazo cerrado El controlador opera automáticamente produciendo un cambio en el valor deseado se obtiene información del comportamiento dinámico del sistema para identificar un modelo de orden reducido para el proceso, o de las características de la oscilación sostenida del mismo, para utilizarla en el cálculo de los parámetros del controlador.

Métodos de sintonización de lazo abierto MODELOS Los procedimientos de sintonización de lazo abierto utilizan un modelo de la planta que se obtiene, generalmente, a partir de la curva de reacción del proceso, son: PRIMER ORDEN MÁS TIEMPO MUERTO

POLO DOBLE MÁS TIEMPO MUERTO

SEGUNDO ORDEN MÁS TIEMPO MUERTO

 MÉTODO DE KAYA Y SHEIB Este método consiste en ecuaciones que están basados en criterios integrales, para ello define una función de costo de la forma: ∞

∅ = ∫ 𝐹[𝑒(𝑡), 𝑡]𝑑𝑡 0

donde F es una función del error y del tiempo, se obtiene un valor que caracteriza la respuesta del sistema.  MÉTODO DE ZIEGLER Y NICHOLS El primer procedimiento sistematizado para el cálculo de los parámetros de un controlador PID fue desarrollado por Ziegler y Nichols. El criterio de desempeño que seleccionaron fue el de un decaimiento de 1/4, o sea que el error decae en la cuarta parte de un periodo de oscilación. Las ecuaciones fueron determinadas de forma empírica a partir de pruebas realizadas en el laboratorio con diferentes procesos, y están basadas en un modelo de primer orden más tiempo muerto identificado por el método de la tangente, para un funcionamiento del lazo de control como regulador con un controlador PID-Ideal. Autores indican que este método es para la sintonización de controladores ideales, otros, entre los que destaca Corripio, afirman que este método es para los controladores que interactúan. Las ecuaciones de sintonización de este método son

 MÉTODO DE COHEN Y COON

En el desarrollo de su método de sintonización Ziegler y Nichols no consideraron que el proceso fuera auto regulado. Cohen y Coon introdujeron, entonces, un índice de auto regulación definido como µ = t m/τ y plantearon nuevas ecuaciones de sintonización. Estas se basan en el mejor modelo de primer orden más tiempo muerto que se pueda obtener para lazos de control que funcionan como regulador, con el criterio de desempeño de decaimiento de 1/4 con sobrepaso mínimo, y con mínima área bajo la curva de respuesta, y un controlador PID-Ideal. Las ecuaciones son:



MÉTODO DE LÓPEZ, MILLER, SMITH Y MURRIL

El primer método basado en criterios integrales que presentó ecuaciones para el cálculo de los parámetros del controlador fue desarrollado por López et al. y es conocido como el método de López. Donde F es una función del error y del tiempo, se obtiene un valor que caracteriza la respuesta del sistema. Entre menor sea el valor de Φ, mejor será el desempeño del sistema de control, por ello, un desempeño óptimo se obtiene cuando Φ es mínimo. LAS ECUACIONES DE SINTONIZACIÓN SON