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Cálculo diferencial

Estudiantes

Britney Nader Yanguatin Lorena Farley Oliva Angela Chalparpued

Grupo No. 100410_293

Tutor Luis Gerardo Argoty Hidalgo

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Septiembre 28 2019

Introducción El siguiente trabajo fue realizado en grupo de 3 estudiantes, de acuerdo a la guía de actividades se eligieron 3 actividades diferentes las cuales será desarrolladas a continuación, de acuerdo a las lecturas y contenido aprendido previamente. El primer ejercicio consiste en encontrar el dominio, rango e intersección con los puntos de corte de acuerdo a la función y grafica dadas, los estudiantes para desarrollar fueron: el 1, 2 y 4to estudiante, el segundo ejercicio consiste en colocar un ejemplo teniendo en cuenta el contexto profesional que se desarrolla cada integrante, la cual debe contener dos variables para identificar, la variable dependiente e independiente, elegir la función que la relaciona y tabular en Excel para crear una gráfica con los primeros 5 valores. En el tercer ejercicio se debe hallar la intersección de la recta respecto a tres puntos dados, a partir de ello se gráfica las dos rectas el GeoGebra encontrando su intersección y ángulo que forman. En el cuarto punto se dan 2 progresiones una aritmética y una geométrica, en donde se debe calcular el enésimo termino y la suma de los 10 primeros términos de acuerdo a los estudiantes elegidos, en el último punto se debe graficar en GeoGebra una función a trozos, identificando el rango, dominio y puntos de intersección.

Ejercicio estudiante 1 Britney Nader Yanguatin Yaqueno

1. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella, identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay. El rango: 𝑋 − 1 ≠ 𝑂 = 𝑋 ≥ 1 F(x): ℝ − [1] = (−∞, 1) ∪ (1, +∞) El dominio: Rf: dividimos coeficientes del numerador y denominador ya que el exponente máximo es 1 5

Dx: 1 = 5 Dx: ℝ − (5) Puntos de corte del eje x 0=

5𝑥 + 2 = 0(𝑥 − 1) = 5𝑥 + 2 𝑥−1

0 = 5𝑥 + 2 = despejamos la x 0 − 2 = 5𝑥 = −2 = 5𝑥 −2 = 𝑋 = −0,4 5 Puntos de corte del eje y 𝑦=

5∗0+2 0−1

2

= −1= -2

El rango: 3 − 𝑥 ≠ 𝑂 = 3 ≥ 𝑥 ℝ − [3] = (−∞, 3) ∪ (3, +∞) El dominio es (7, +∞)

7 1

=7

ℝ − [7] = (−∞, 7) ∪

Punto de corte del eje x 0=

7𝑥 − 3 = 0(3 − 𝑥) = 7𝑥 − 3 3−𝑥

0 = 7𝑥 − 3 despejamos la x 0 + 3 = 7𝑥 =

3 = 𝑋 = 0,42 7

Punto de corte del eje y 𝑦=

7 ∗ 0 − 3 −3 = = −1 3−0 3

2. A partir del siguiente ejemplo y teniendo en cuenta su contexto profesional, proponga y resuelva una situación similar aplicable a su área de conocimiento, en la que se indique la relación de dos variables (dependiente e independiente). Nota: Ninguna proposición y solución podrá ser similar a la de otro compañero. Ejemplo: En una empresa de producción de bolígrafos, El coste de fabricación de un bolígrafo es de 500$ por unidad y se venden por 1800$ pesos. a. Identificar variable dependiente e independiente. b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida.

Situación John es oferente de helado Coffee Delicious produciendo la mitad más si el precio de venta aumenta, empezando con 50 helados a un precio de $1.000 pesos, el precio no puede bajar puesto que su producción tiene un costo y si esta baja no se tendrían los recursos suficientes para crear más helado. Variable dependiente es La cantidad producida depende del precio de venta, es decir, si el precio de venta aumenta la producción también lo hará aritméticamente. Variable independiente es Cada semana se producirá helado y lo mínimo que producirá es 50 helados La función que determina las variables dependiente e independiente es: Tabla e imagen obtenida

precio $1000 $1500 $2000 $2500 $3000

Producción de Helado 300 250 200 150 100 50 0 $1000

cantidad producida $1500 $2000 $2500

5 dias $3000

5 días 1 1 1 1 1

cantidad producida 50 100 150 200 250

En la gráfica podemos ver que, en la parte horizontal variable independiente se encuentra los 5 días y el precio del helado y en la parte vertical variable dependiente se encuentra la cantidad producida de helado, la cual depende del precio al que se venda, es decir entre más alto es el precio, más alta es la producción del helado, la gráfica tiene 45º, su pendiente es 𝑚 = 1 es decir, si x aumenta 1 y también lo hará, la función es creciente ya que 𝑚 > 0.

3. De acuerdo con la imagen, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas. Se encuentra la pendiente que pasa por los puntos a y b. A= (−3, 2) B=(−2, − 4) C= (1, 0) Encontramos la pendiente de la recta entre a y b 𝒚 −𝒚

𝒎𝟏 = 𝒙𝟐 −𝒙𝟏 = 𝟐

𝟏

−4−2 −2+3

=

−6 1

= −6

Encontramos que la pendiente entre a y b es −6 Ahora encontramos la pendiente de c el cual es perpendicular a la recta que pasa por los puntos a y b. 𝑚2 ∗ 𝑚1 = −1 𝑚2 =

1 6

Encontrado la pendiente procedemos a remplazar los valores para encontrar la Ecuación de la recta. 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ) 𝑦−0= 𝑦=

1 (𝑥 − 1) 6

1 1 𝑥− 6 6

Podemos estimar en la gráfica el rango, el dominio y los ejes de corte, el rango va [−4, 2] el dominio [1, −∞] y la intersección es −2,57.

4. Dadas las siguientes progresiones (𝒂𝒏 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión.

Progresión aritmética 𝑎𝑛 = {3, 5, 7, 9, 11. . . 𝑢𝑛 } La suma es 2

d=2

𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 + (𝒏 − 𝟏) ∗ 𝒅 𝑎𝑛 = 3 + (𝑛 − 1) ∗ 2 encontrando el termino enésimo seria. 𝑎10 = 3 + (10 − 1) ∗ 2 = 3 + 18 = 21 La suma de los 10 primeros términos es 𝑺𝒏 =

𝒏(𝒂𝟏 + 𝒂𝒏 ) 10(3 + 21) 10 ∗ 24 240 = = = = 120 𝟐 2 2 2

Progresión Geométrica 𝑎𝑛 = {−2, −8, −32, −128, −512. . . 𝑢𝑛 La razón es 4 remplazamos en la ecuación general 𝒂𝒏 = 𝒂𝟏 ∗ 𝒓𝒏−𝟏 𝑎𝑛 = −2 ∗ 4𝑛−1

Encontramos el enésimo termino 𝑎 = −2 ∗ 410−1 = −2 ∗ 49 = −524,288 La suma de los 10 primeros números es 𝑺𝒏 = 𝑆𝑛 =

𝒂𝟏 (𝟏−𝒓𝒏 ) 𝟏−𝒓

−2(1 − (4)10 ) = −699,050 1 − (4)

5. Graficar En GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene.

𝑓(𝑥) = {

2𝑥, −2𝑥 2 ,

𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < −1 𝑠𝑖 − 1 ≤ 𝑥 < 3 En la gráfica obtenida podemos analizar EL Dominio que es [−3, −1) ∪ [−1, 3) El rango de la función que es [0 , −∞) ya que en la gráfica el vértice empieza en 0 y se dirige al infinito, y los puntos de corte del eje 𝑦 = 0 igualmente que el eje x.

Enlace del video: https://www.loom.com/share/5d214e45832a4ae4aabde3551da27031

EJERCICIO 2 Angela Gloriseth Chapalpued

1. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella, identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay. 2𝑥+8

a. 𝑓(𝑥) =

b. 𝑓(𝑥) =

𝑥

Estudiant e2

Solución: 2𝑥+8

a) 𝑓(𝑥) = 𝑥 Dominio de la Función es; 𝑥 ≠ 0; 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ − {0} Se Realiza una tabulación: x

𝑦 = 𝑓(𝑥)

Si

-0,1

-78

𝑠𝑖 𝑥 → 𝑜− , 𝑦 → −∞

0,1

82

𝑠𝑖 𝑥 → 𝑜+ , 𝑦 → +∞

Por lo tanto tendrá una asíntota a lo largo del eje X A.H.Y = 2/1= 2 Tendrá una asíntota horizontal en 2

7−4𝑥 𝑥−5

Cortes con el eje X = f(x)=0 𝑓(𝑥) =

2𝑥 + 8 =0 𝑥

𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 8 = 0

𝑓(𝑥) = 2𝑥 = −8

8 𝑓(𝑥) = 𝑥 = − = −4 2 Eje 𝑦: = 𝑥 = 0 𝑅𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑅 − {2}

b) 𝑓(𝑥) =

7−4𝑥 𝑥−5

𝑥−5 ≠0 𝑥≠ Dominio de la Función es; 𝐷𝑓: 𝑥 ∈ ℝ − {5} Se Realiza una tabulación: x

𝑦 = 𝑓(𝑥)

4,99

1,296

5,01

-1,304

Si 𝑠𝑖 𝑥 → 5− , 𝑦 → +∞ 𝑠𝑖 𝑥 → 5+ , 𝑦 → −∞

Por lo tanto tendrá una asíntota a lo largo del eje x=5 por lo tanto la función no tocara esta parte

A.H.Y = -4/1= -4 Tendrá una asíntota horizontal en -4

Cortes con el eje X = f(x)=0

𝑓(𝑥) =

7 − 4𝑥 =0 𝑥−5

𝑓(𝑥) = 7 − 4𝑥 = 0 𝑓(𝑥) = −4𝑥 = −7

𝑓(𝑥) = 𝑥 =

7 4

Eje 𝑦: = 𝑥 = 0 𝑓(𝑥) = 𝑥 = −

7 5

𝑅𝑓 = 𝑦 ∈ 𝑅 − {−4}

2. A partir del siguiente ejemplo y teniendo en cuenta su contexto profesional, proponga y resuelva una situación similar aplicable a su área de conocimiento, en la que se indique la relación de dos variables (dependiente e independiente). Nota: Ninguna proposición y solución podrá ser similar a la de otro compañero.

Ejemplo: En una empresa de producción de bolígrafos, El coste de fabricación de un bolígrafo es de 500$ por unidad y se venden por 1800$ pesos.

a. Identificar variable dependiente e independiente. b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida.

Solución: El coste de fabricación es de $500 y se venden a $1800. a) Variables dependientes e independientes. Se calcula la ganancia total: y : Variable dependiente (ganancia total) x: variable independiente ( cantidad de bolígrafos vendidos) b) La función es: como se gasta $500 por cada uno y se venden a $1800 entonces por cada uno se gana $1300 y = $1300*x c) en la imagen adjunta se observa la tabla y la gráfica para los primeros 5 valores. x = Cantidad

y= Ganacia 1

1300

2

2600

3

3900

4

5200

5

6500

Variables

11000 10000 9000 8000 7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000

Series1

1

2

3

4

5

EJEMPLO REALIZADO POR ESTUDIANTE En una empresa distribuidora de mercancía de ferretería el dueño de la empresa le pide al administrador que realice una gráfica para encontrar la ganancia total de venta de varilla corrugada de ½ la cual el dueño no sabe su ganancia ya que este es el nuevo producto de venta el valor de compra de distribuidor esta por un valor de $11500 y se la está distribuyendo a sus clientes por un valor de $13500. a. Identificar variable dependiente e independiente. b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida. Solución: Compra de Varilla de 1/2 del Distribuidor es de $11500 y se venden a $13500. a) Variables dependientes e independientes. Se calcula la ganancia total: y : Variable dependiente (ganancia total) x: variable independiente ( cantidad de varillas de 1/2)

b) la función es: como se gasta $11500 por cada uno y se venden a $13500 entonces por cada una se gana $2000 y = $2000*x c) En la imagen adjunta se observa la tabla y la gráfica para los primeros 5 valores. x= Cantidad y= de Ganacia Varillas total

Variables

1

2000

2

4000

3

6000

11000

10000 9000 8000 7000 6000

Series1

5000 4000 3000 2000

4

8000

5

10000

1000 1

2

3

4

5

3. De acuerdo con la imagen, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas. Estudiante 2

Solución:

Gráfica B = (3,-3)

A = (-2,3) C = (5,-3)

L1= Recta Conocida: A(-2,3) B(3,-3)

L2= Recta Solicitada: C(5,-3) L2 Perpendicular L1 Para esto tenemos que encontrar la pendiente de L1 𝑚1 = 𝑚1 =

Por lo tanto nos tiene que dar que:

𝑦2 − 𝑦1 𝑥2 − 𝑥1

−3 − 3 6 =− 3+2 5

m2xm1=-1

𝑚2 =

−1 𝑚1

𝑚2 =

−1 6 − 5

𝑚2 =

−1 5 = 6 6 − 5

Realizamos el modelo punto pendiente para encontrar la ecuación L2 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 5

𝑦 + 3 = 6 (𝑥 − 5) 5 25 𝑦+3= 𝑥− 6 6 5 25 𝑦− 𝑥 =− −3 6 6 5 43 − 𝑥+𝑦 =− 6 6

Grafica de datos

4. Dadas las siguientes progresiones (𝒂𝒏 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión. a. Progresión aritmética Estudiante 𝑎𝑛 = {1, 4, 7, 10, 13. . . 𝑢𝑛 } 2

b. Progresión geométrica 𝑎𝑛 = {−5, −15, −45, −135, −405. . . . 𝑢𝑛 }

Solución: a) Con la siguiente formula encontramos la sucesión aritmética. 𝑆𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )𝑛 2

𝑎1 = Primer Término. 𝑎𝑛 = Ultimo Termino. 𝑛= Número de Términos. 𝑆𝑛 = Suma. Vamos a encontrar la Progresión Aritmética de estos 10 números 𝑎𝑛 = {1, 4, 7, 10, 13,16,19,21,24,27. . . 𝑢𝑛 }

𝑆10 =

(1+27)10 2

𝑆10 =

280 2

= 140

Gráficas. 5. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene. 𝑎) 6𝑥 − 1,

𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 < 0

𝑏) 4𝑥 2 + 𝑥 − 1,

𝑠𝑖 0 ≤ 𝑥 < 2

b) Progresión Geométrica.

𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 𝑛−1 𝑎10 = −5. 310−1 𝑎10 = −98415 𝑆𝑛 =

(𝑎𝑛 ∗ 𝑟) − 𝑎1 𝑟−1

Vamos a encontrar la Progresión Geométrica de estos 10 números 𝑎𝑛 = {−5, −15, −45, −135, −405, . . . . 𝑢𝑛 } 𝑟=3 𝑎𝑛 = −98415 𝑎1 = -5 (−98415 ∗ 3) − (−5) = 3−1 −295240 = = −147620 2

𝑆10 = 𝑆10

Ejercicio 4 Lorena Farley Oliva 2. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella,

identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay: (no proponer funciones lineales, validar función, no exponencial, no logarítmica) a. 𝑓(𝑥) = √𝑥 2 − 3 Vemos donde la función está definida para ello realizamos lo siguiente 𝑥2 − 3 ≥ 0 𝑥2 ≥ 3 𝑥 ≥ ∓√3 El dominio puede tomar los siguientes valores (−∞ , −√3 ] ∪ [ √3 , ∞) El rango remplazamos el valor de ∓√3 en la función 𝑦 = √𝑥 2 − 3 = √(−√3)2 − 3 = 0 𝑦 = √𝑥 2 − 3 = √(√3)2 − 3 = 0 Por lo tanto, el rango de la función está en [ 0, ∞)

𝒃. 𝒇(𝒙) = √𝟐𝒙𝟐 + 𝟗 Vemos donde la función está definida para ello realizamos lo siguiente 2𝑥 2 + 9 > 0 Como la variable esta al cuadrado siempre será positivo el resultado por lo tanto el domino será en todos los reales (−∞, ∞)

Rango Para el rango vemos cómo se comporta en números grandes Si x es un número muy grande la función también lo será ya que la x esta al cuadrado y siempre está sumando √2𝑥 2 + 9 Y el punto mínimo de la parábola es en x = 0 𝑦 = √2𝑥 2 + 9 = √2(0)2 + 9 = √9 = 3 Por lo tanto, el rango de la función está en [ 3, ∞) 3. A partir del siguiente ejemplo y teniendo en cuenta su contexto profesional,

proponga y resuelva una situación similar aplicable a su área de conocimiento, en la que se indique la relación de dos variables (dependiente e independiente). En una empresa de producción de ladrillos, El coste de fabricación de un ladrillo es de 3 $ por unidad y se venden por 9 $ Dólares. Calcular:

a. Identificar variable dependiente e independiente. Y= Ganancia X= unidad de ladrillo b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. La función debe representar la ganancia 𝑦 = (9 − 3)𝑥

,

𝑦 = (6)𝑥

c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida.

ganancia 35 30

25 20 15 10 5 0 0

1

2

3

4

5

6

4. De acuerdo con la imagen, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y

es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas.

Gráfica

A = (3,-4)

B = (4,-2)

C = (5,6)

Debemos hallar la pendiente de la recta que cubre los puntos A y B Hallamos la pendiente 𝒎𝟏 =

𝒚𝟐 − 𝒚𝟏 −2 + 4 2 = = =2 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏 4−3 1

Como C es perpendicular a la recta A y B por lo tanto su pendiente es 𝒎𝟐 ∗ 𝒎𝟏 = −𝟏 Hallamos 𝑚2 𝑚2 =

−1 = 2

Partiendo de la ecuación de la recta y remplazando el punto C encontraremos la ecuación 𝒚 − 𝒚𝟏 = 𝒎(𝒙 − 𝒙𝟏 ) 1 𝑦 − 6 = (− ) (𝑥 − 5) 2 1 5 𝑦 − 6 = (− ) 𝑥 + 2 2 1 5 𝑦 = (− ) 𝑥 + + 6 2 2 1 17 𝑦 = (− ) 𝑥 + 2 2

5. Dadas las siguientes progresiones (𝑎𝑛 ), calcular el enésimo término y calcular la

suma de los 10 primeros términos en cada progresión. Estudiante 4

𝑎𝑛 = {12, 9, 6, 3, 0. . . 𝑢𝑛 }

Progresión Geométrica

𝑎𝑛 = {12, 9, 6, 3, 0. . . 𝑢𝑛 } Hallamos la diferencia

El termino general es de la siguiente forma 𝑈𝑛 = 𝑈1 + (𝑛 − 1) ∗ 𝑑 𝑈𝑛 = 12 + (𝑛 − 1) ∗ (−3) Si hallamos el termino 10 𝑈10 = 12 + (10 − 1) ∗ (−3) 𝑈10 = 12 + (9) ∗ (−3) = 12 − 27 = −15

Realizar la suma de los 10 primeros términos es la siguiente 𝑆𝑛 = 𝑆10 =

𝑛(𝑈1 + 𝑈𝑛 ) 2 10(12 − 15) 10(−3) (−30) = = = −15 2 2 2

Progresión Geométrica 𝑎𝑛 = {−4, −16, −64, −256, −1024. . . 𝑢𝑛 } Procedemos hallar el rango

Se puede ver que la razón es 4 Partimos de la ecuación general

𝐴𝑛 = 𝐴1 ∗ 𝑟 𝑛−1 𝐴𝑛 = −4 ∗ (4)𝑛−1 Hallamos el décimo termino 𝐴10 = −4 ∗ (4)10−1 = −4 ∗ (4)9 = −1048576 La suma de los 10 primeros términos 𝐴1 (1 − 𝑟 𝑛 ) 𝑆𝑛 = 1−𝑟 𝑆𝑛 =

−4(1 − (4)𝑛 ) −4(1 − (4)10 ) = 𝑆10 = = −1398100 1 − (4) 1 − (4)

Gráficas. 6. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y

dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene.

Estudiant e4

𝑓(𝑥) = −𝑥 − 1, { 2 4𝑥 + 𝑥 − 7,

𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 < 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 4 Dominio El dominio está comprendido desde

[−5 , 1) ∪ [1 , 4) Rango Remplazamos los valores de x en la ecuación

𝑦 = −𝑥 − 1 = −(−5) − 1 = 4 𝑦 = −𝑥 − 1 = −1 − 1 = −2

𝑦 = 4(1)2 + 1 − 7 = −2 𝑦 = 4(4)2 + 4 − 7 = 61

(−2, 4] ∪ [−2 , 4)

Hallamos los puntos de intersección 𝑦 = −𝑥 − 1 = 0 − 1 = −1

𝑥= Se corta en y= -1 0 = −𝑥 − 1 = 𝑥 = −1

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−1 ± √12 − 4(4)(−7) 𝑥= 2(4)

Se corta en x=-1 𝑦 = 4𝑥 2 + 𝑥 − 7 0 = 4𝑥 2 + 𝑥 − 7

𝑥=

−1 + √113) = 1.20 8

Corta a el eje x =1.20

Conclusiones A partir del material previamente comprendido, se realizaron los ejercicios de los estudiantes 1,2 y 4, se realizaron gráficas, operaciones, y razonamientos aplicando formulas y métodos para elaborar de manera adecuada cada ejercicio, hubo formulas diferentes para algunos ejercicios que de igual manera concluyeron a los mismos resultados como fue el ejercicio 4, cada ejercicio se realizo de forma diferente debido a que cada integrante lo comprendió y lo adapto a su propia forma de realizarlo, la utilidad de realizar los ejercicios fue además de aprender, encontrar una herramienta como es GeoGebra aprendiendo a manejarla y de gran importancia para desarrollar ejercicios, construir gráficas y funciones, entre otros, lo cual es una herramienta para facilitar y verificar que los resultados realizados estén correctamente.

Bibliografía Cabrera, J. (2018). Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/18813. Recuperado el 2019 García, G. Y. (2010). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890 &lang=es&site=eds-live. Recuperado el 2019 Rivera, F. A. (2014). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login. Recuperado el 2019 Salazar, G. (2018). Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/22463. Recuperado el 2019