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• Luis Mario Carvajal

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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 1: FUNCIONES Y SUCESIONES.

Funciones y sucesiones

Presentado por: Estudiante # 1 Jairo Andrés Navas Gómez Codigo:74.374.185 Estudiante # 5 Myriam Yolanda Morales 1052386846

Grupo: 100410_720 Tutor: Wulliam Favian Chaparro

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA.-UNADCalculo Diferencial 27de septiembre - 2019.

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INTRODUCCION

El presente taller se realiza para adquirir nuevos conocimientos de todos los temas que abarca. Tipos de funciones Rango y dominio de una función Ecuación de la recta, funciones lineales, pendiente, paralelismo y perpendicularidad Funciones racionales, asíntotas y puntos de intersección. Progresiones aritméticas y geométricas. Adquiriendo habilidades en el desarrollo del cálculo para la vida laboral y personal. El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo, donde los resultados son reflejados en graficas exactas.

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EJERCICIOS 1. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella, identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay: (no proponer funciones lineales, validar función, no exponencial, no logarítmica) a.

𝑓(𝑥) =

3𝑥−4

b. 𝑓(𝑥) =

𝑥−3

Estudiante 1

𝑓(𝑥) =

3𝑥 − 4 𝑥−3

R = f(x) dominio =? R = f(x) rango =? Intersección =? Condiciones: Numerador ≥ 0 Denominador ≠ 0 𝑥−3 ≠0

8𝑥−5 3𝑥−2

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Denominador dominio= 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 Numerador rango= 3𝑥 − 4 = 0 𝑥 = 4/3 Intercepto = Y= f(x) para x = 0 𝑦 = 𝑓(𝑥) =

3𝑥 − 4 𝑥−3

3(0) − 4 𝑦 = 𝑓(0) = 0−3 −4 𝑦 = 𝑓(0) = = 1,333 −3 Rango 𝑙𝑖𝑚 =

3𝑥 − 4 𝑥−3

X →∞ 3𝑥/𝑥 − 4/𝑥 3 − 4/𝑥 𝑙𝑖𝑚 = = =3 𝑥/𝑥 − 3/𝑥 1 − 3/𝑥 Donde x tiende a 0 donde el limite = 3 pero nunca lo toca 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑙𝑅, 𝑥 ≠ 3} (−∞, 3)𝑢 (3, ∞)

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R = f(x) dominio =? R = f(x) rango =? Intersección =? Condiciones: Numerador ≥ 0 Denominador ≠ 0 𝑏)

𝑓(𝑥) =

8𝑥 − 5 3𝑥 − 2

𝐷 = 𝑓(𝑥){𝑥: 3𝑥 − 2 ≥ 0 𝑦 8𝑥 − 5 ≠ 0} 2 = [ , 2.66)𝑢(2.66, ∞) 3 𝑅 = 𝑓(𝑥) = 8𝑥 − 5 = 𝑥 = 5/8 lim = 𝑥→∞

8𝑥 − 5 3𝑥 − 2

8𝑥/𝑥 − 5/𝑥 8 − 5/𝑥 8 = = = 2,666 𝑥→∞ 3𝑥/𝑥 − 2/𝑥 3 − 2/𝑥 3 Donde x tiende a 0 donde el limite = 2,666 pero nunca lo toca 𝑟𝑎𝑛𝑔𝑜 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑙𝑅, 𝑥 ≠ 2,66} lim =

(−∞, 2,66)𝑢 (2,66, ∞)

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2. Proponga y resuelva una situación similar aplicable a su área de conocimiento, en la que se indique la relación de dos variables (dependiente e independiente).

Ejemplo: En una empresa de producción de cloros, El coste de fabricación de una botella de cloros es de$800 por unidad y se venden por 1500$ pesos. Calcular: a. Identificar variable dependiente e independiente. Costo 𝐶(𝑥) = 800𝑥 Valor 𝑉(𝑥) = 1500𝑥 Variable independiente # de botellas de cloros Variable dependiente el valor de las botellas b. Definir la función que relaciona las variables identificadas. 𝑈(𝑥) = 1500𝑥 − 800𝑥 𝑈(𝑥) = 700𝑥

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c. Tabular y graficar (en Excel) los 5 primeros valores de la función definida. Presentar la tabla e imagen de la gráfica obtenida.

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3. De acuerdo con la imagen, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas. Estudiante 1

X2 y2 A = (10 ,2) X1 y1 B = (-4, -6) C = (-2 , 4) X1 y1

A = (10,2)

B = (-4,-6)

C = (-2,4)

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𝑚=

∆𝑦 𝑦2 − 𝑦1 2 − (−6) = = ∆𝑥 𝑥2 − 𝑥1 10 − (−4) 𝑚=

8 4 = 14 7

4 =y 7 =x 𝑚. 𝑚1 = −1 −1 1 𝑚1 = − = 𝑚1 = 4 𝑚 7 𝑚1 = −7/4 Pendiente 𝑚1 =

𝑦 − 𝑦1 𝑥 − 𝑥1

7 𝑦−4 − = 4 𝑥 − (−2) 4(𝑦 − 4) = −7(𝑥 + 2 4𝑦 − 16 = −7𝑥 − 14 7𝑥 + 14 = 2

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4. Dadas las siguientes progresiones (𝑎𝑛 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión. Estudiante 1

𝑎1 = 6

𝑎2 = 1

a. Progresión aritmética 𝑎𝑛 = {6, 1, −4, −9, −14. . . 𝑢𝑛 }

𝑎3 = −4

𝑎4 = −9

b. Progresión geométrica 6 18 54

𝑎𝑛 = {2, 5, 25, 125.... 𝑢𝑛 }

𝑎5 = −14

𝑎∞ = 𝑢𝑛

𝑑 = −5 d= diferencia 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1) d 𝑠𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )n 2 𝑎𝑛 = 6 + (n − 1)(−5) = 6 − 5n + 5 𝑎𝑛 = −5n + 11

Progresiones 𝑎1 = −5(1) + 11 = 6 𝑎2 = −5(2) + 11 = 1 𝑎3 = −5(3) + 11 = −4 𝑎4 = −5(4) + 11 = −9 𝑎5 = −5(5) + 11 = −14 𝑎6 = −5(6) + 11 = −19 𝑎7 = −5(7) + 11 = −24

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𝑎8 = −5(8) + 11 = −29 𝑎9 = −5(9) + 11 = −34 𝑎10 = −5(10) + 11 = −39 𝑎∞ = −5(∞) + 11 = −5∞ + 11

𝑠𝑛 =

(6 + −5n + 11 )n 6𝑛−5𝑛2 + 11𝑛 = 𝑠𝑛 = 2 2

𝑠𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )n 2

𝑠10 =

(6 − 39)10 −330 = = −165 2 2

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a. Progresión geométrica 6 18 54

𝑎𝑛 = {2, 5, 25, 125.... 𝑢𝑛 } 6

𝑎1 = 2

𝑎2 = 5 3

Razón 𝑟 = 5 𝑎𝑛 = 𝑎1 . 𝑟 𝑛−1 31−1 𝑎1 = 2. =2 5 𝑎2 = 2.

32−1 6 = 5 5

33−1 18 𝑎3 = 2. = 5 25 𝑎4 = 2.

34−1 54 = 5 125

35−1 162 𝑎5 = 2. = 5 625 𝑎6 = 2.

36−1 486 = 5 3125

37−1 1458 𝑎7 = 2. = 5 15625 𝑎8 = 2.

38−1 4374 = 5 78125

18

𝑎3 = 25

54

𝑎4 = 125

𝑎∞ = 𝑢𝑛

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39−1 13122 𝑎9 = 2. = 5 390625 𝑎10

310−1 39366 = 2. = 5 1953125

𝑠𝑛 =

𝑎𝑛 . 𝑟 − 𝑎1 r−1

𝑠10

39366 3 . −2 1953125 5 = 3 −1 5

𝑠10

118098 −2 = 9765625 3 −1 5

𝑠10 =

−24561685 −4912337

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Gráficas. 2. Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene. Estudiante 1

Función asignada. 5𝑥 − 2, 𝑠𝑖 − 5 ≤ 𝑥 < −2 𝑓(𝑥) = { −2𝑥 2 + 5𝑥 + 6, 𝑠𝑖 − 2 ≤ 𝑥 < 8

Primera función:= 𝑓(𝑥) = 5𝑥 − 2 𝑦 𝐹(𝑥) = −2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 [−5, −2) 𝑢 [−2, 8) lim 𝑓(−5) = 5(−5) − 2 = −27

𝑦→∞

𝑓(𝑥) = 𝑓(−2) = 5(−2) − 2 = −12 Rango inferior = [-27,-12)

Segunda función: 𝑓(𝑥) = −2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 [−2, 8)

lim 𝑓(−2) = −2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = −2(−2)2 + 5(−2) + 6 = −12

𝑦→∞

𝑓(𝑥) = 𝑓(8) = −2(8)2 + 5(8) + 6 = −82

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Limete superior [-12,-82) 5 5 5 50 25 25 25 𝑓 ( ) = −2( )2 + 5 ( ) + 6 = − + +6 =− + + 6 = 9,125 4 4 4 16 4 8 4 Limite máximo de la segunda función = 9,125

𝑓(𝑥𝑖) = −2𝑥 2 + 5𝑥 + 6 a=-2 b=5 c=6 −𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 𝑥𝑖 = 2𝑎 𝑥𝑖 =

−5 ± √52 − 4(−2)(6) 2(−2) 𝑥𝑖 =

−5 ± 5√48 −4

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Video No Grupo 720

Enlace video explicativo http://somup.com/cqQunleHym

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CONCLUCIONES

De acuerdo a la metodología de autoaprendizaje, es gratificante adquirir nuevos conocimientos y aplicarlos según la metodología de cada ejercicio según su función. El aplicatibo de geogebra es fundamental y una herramienta que nos ayuda a la verificacion delas funciones deacuerdo a cada ecuaciones.

BIBLIOGRAFIA

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García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Dominio y Rango de una función. Pág. 30-34. Tipos de Funciones. Pág 35-41. Funciones Invertibles. 49-50. Paridad y Periocidad. Pág. 61 México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Rivera, F. A. (2014). Cálculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas históricas. Pág 157-164. Suseciones Monótonas, acotadas y límite de una sucesión. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.3227460 &lang=es&site=eds-live Cabrera, J. (2018). OVA –Funciones en geogebra. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/18813

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Ejercicios estudiante 5

5. La siguiente gráfica representa una función en los reales, de acuerdo con ella, identifique el dominio y rango de la función, además de los puntos de intersección con los ejes sí los hay: (no proponer funciones lineales, validar función, no exponencial, no logarítmica) a. 𝑓(𝑥) = 3𝑐𝑜𝑠 (𝑥) a. b.

Estudiante 5

Dominio: es el rango de valores de x para los que existen en f(x), es decir cuando hay un resultado f(x). dominio: todos los reales del eje x rango: valores de y (-3 a 3)

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𝑓(𝑥) = 𝑥 2 +

27 3

𝑥+

27 3

Dominio: es el rango de valores de x para los que existen en f(x), es decir cuando hay un resultado f(x). Rango: {-11, ∞} Dominio: todos los reales

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2. A partir del siguiente ejemplo y teniendo en cuenta su contexto profesional, proponga y resuelva una situación similar aplicable a su área de conocimiento, en la que se indique la relación de dos variables (dependiente e independiente). En una empresa de desayunos sorpresa venden diariamente detalles a $30000, si tienen un gasto de $10000 por cada arreglo ¿Cuánto ganan al vender 120 detalles? Variable independiente y dependiente Costo 𝑐(𝑥) = 30000𝑥 Valor # de detalles 𝑉𝑛(𝑥) = 10000𝑥 𝑓(𝑥) = 30000𝑥 − 10000x 𝑓(𝑥) = 30000(120) − 10000(120) 𝑓(120) = 2400000 La ganancia es de 2.400.000 por la venta de 120 detalles

3. De acuerdo con la imagen, hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas

Estudiante 5

A = (6,2)

B = (-3,-5)

C = (-2,4)

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Y=mx+b

A=(6,2) B= (-3,5) C= (-2,4) 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 Ecuación de la recta

Para hallar pendiente (m): 𝑚=

𝑦2−𝑦1 𝑥2−𝑥1

(5−2)

3

= (−3−6) = −9

Para hallar punto de corte: 𝑦=

−3 9

x+b

Sustituimos el punto ( -3,5)

m=

−3 9

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B= 4 𝑦=

−3 𝑥+4 9

Graficando los puntos A B y C se obtiene para la siguiente grafica:

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4. Dadas las siguientes progresiones (𝑎𝑛 ), calcular el enésimo término y calcular la suma de los 10 primeros términos en cada progresión Estudiante 5

𝑎𝑛 = {13, 10, 7, 4, 1. . . . 𝑢𝑛 }

𝑎1 = 13,

𝑎2 = 10,

𝑎3 = 7,

𝑎𝑛 = {2, -6, 18, -54 .... 𝑢𝑛 }

𝑎4 = 4, 𝑎5 = 1 𝑎∞ = 𝑢𝑛

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𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 𝑑 = 10 − 13 = −3 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1) d 𝑠𝑛 =

(𝑎1 + 𝑎𝑛 )n 2

𝑎𝑛 = 13 + (n − 1)(−3) = 13 + (−3n + 3) =16-3n Progresiones 𝑎1 = 16 − 3(1) = 13 𝑎2 = 16 − 3(2) = 9 𝑎3 = 16 − 3(3) = 5 𝑎4 = 16 − 3(4) = 4 𝑎5 = 16 − 3(5) = 1 𝑎6 = 16 − 3(6) = −3 𝑎7 = 16 − 3(7) = −5 𝑎8 = 16 − 3(8) = −8 𝑎9 = 16 − 3(9) = −11 𝑎10 = 16 − 3(10) = −14 𝑎∞ = 16 − 3(∞)

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Ejercicio 2 𝑎𝑛 = {2, -6, 18, -54 .... 𝑢𝑛 } 𝑎1 = 2,

𝑎2 = −6,

𝑎3 = 18,

𝑎4 = −54, 𝑎∞ = 𝑢𝑛

𝑑 = 𝑎𝑛+1 − 𝑎𝑛 𝑑 = −6 − 2 = −8 𝑎𝑛 = 𝑎1 + (n − 1) d 𝑎𝑛 = 2 + (n − 1)(−8 ) = 2 + (−8n) − 8 = −6 − 8n 𝑎1 = −6 − 8(1) = −14 𝑎2 = −6 − 8(2) = −22 𝑎3 = −6 − 8(3) = −30 𝑎4 = −6 − 8(4) = −38 𝑎5 = −6 − 8(5) = −46 𝑎6 = −6 − 8(6) = −54 𝑎7 = −6 − 8(7) = −62 𝑎8 = −6 − 8(8) = −70 𝑎9 = −6 − 8(9) = −78 𝑎10 = −6 − 8(10) = −86 𝑎∞ = −6 − 8(∞)

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5.Graficar en GeoGebra la siguiente función a trozos, identificando su rango y dominio y puntos de intersección con los ejes si los tiene.

Estudiante 5

𝑓(𝑥) = {

2𝑥 + 2, 𝑥 2 + 6𝑥 − 3,

𝑠𝑖 − 3 ≤ 𝑥 < 2 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 10

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grafica de la función a trozos dominio: todos los números comprendidos entre -3 y 10 rango: {-4,6} y {13,157} no hay puntos de intersección