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• Victor Hugo

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Aprendizajes esperados

Los polinomios ortogonales son funciones especiales matemáticas que encuentran cada vez mayores aplicaciones tanto en ciencias puras como aplicadas. Así, se usan por ejemplo en la teoría de la aproximación que busca atajos para atacar funciones matemáticas complejas ahorrando tiempo de cálculo, en la teoría de ecuaciones diferenciales e integrales, y en general en la física, la ingeniería y la informática. En la medicina es usado el experimento sicológico de Stenberg, sobre recuperación de información y la inteligencia.

Polinomios en 

Reduce expresiones algebraicas utilizando la teoría de exponentes

Analiza polinomios y determina el grado absoluto y relativo para sus variables.

Identifica las características de un polinomio.

Reconoce expresiones algebraicas.

Conoce y aplica algoritmos de cálculo al resolver ejercicios sobre operaciones con polinomios.

Resolución de problemas

1. 2.

Comunicación Matemática

2.

1.

Razonamiento y demostración

4

Unidad

Presentan sus tareas y trabajos en la fecha establecida.

presentan dificultades académicas.

3. Apoya a sus compañeros que

sobre el uso de artículos que no dañan nuestro medio ambiente

2. Promueve y participa de campañas

1.

Actitudes ante el Área

Cooperación

Responsabilidad

Valores

Educación para la gestión de riesgos y la conciencia ambiental.

Tema Transversal

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

A continuación se tiene una serie de problemas curiosos, te invitamos alumno a que pongas tu ingenio y des respuesta a cada una de ellas.

PROBLEMA DE LA MOSCA Y LA ARAÑA La (figura a) representa un salón de clases, de piso rectangular, que tiene 20 metros de largo, 10 metros de ancho y 10 metros de alto. Una mosca se encuentra en un punto M, en el eje vertical de la pared del frente, a un metro de distancia del techo; una araña se encuentra en un punto A, en el eje vertical de la pared del fondo, a un metro de distancia del piso. ¿Cuál es el camino más corto que deberá seguir la araña para atrapar la mosca? (Se sobreentiende que la trayectoria debe realizarse sobre paredes, piso o techo).

B

Partes de un término algebraico:

La solución que primeramente se le ocurrirá a la generalidad de las personas, es la línea quebrada AOPM trazada siguiendo los ejes de las paredes del fondo y del frente, también el del piso, la medida de esta trayectoria resulta de 1 + 20 + 9 = 30 metros. Esa no es la respuesta correcta. 10

Techo M A

20

Q R

T P

S

A

4 a3 b2 c1

A) 3; 2 y 1 son ... de las variables B) a, b y c son la ... C) 4 es la parte constante o ... Polinomio ... es aquel polinomio en el cual todos sus términos tienen el mismo grado.

C (G.R.) grado ...

Al multiplicar el binomio (a+b) por un trinomio de la forma (a2-ab+b2 ) se obtiene como resultado la ... (a3 + b3 )

(G.A.) grado ...

Los ... son ciertos cocientes que se escriben por simple inspección, sujetándose a reglas fijas y sin realizar la división.

... :Este método se emplea para calcular el residuo en forma directa sin necesidad de efectuar la división. Se emplea cuando el divisor es de la forma ax±b o transformable a ella.

El ... de un polinomio es el valor que éste toma al reemplazar la variable (o variables) por valores particulares y efectuar las operaciones indicadas.

100

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

A

B

Dado el polinomio: 2 + bxy + cy 2 P(x;y) = ax A) tanto x como y es una ... B) a, b o c es una ...

2x 3, - 8x 3 , 5x 3, 3 x3 son ..., pues 4 tienen la misma parte variable afectado Dos polinomios reducidos por los mismos exponentes. son ... si los coeficientes de sus términos semejanSi el grado del siguiente monomio es tes son iguales. igual a 14. P(x;y) = 12 x 3n+2y6 , ¿cuál es el valor de n?

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

Ser lider es en promover buenas relaciones De manera grupal trabaja clase loslas siguientes ejercicios sobre polinomios, valorando el trabajo en equipo. entre los demas” 1 Coloca verdadero (V) o falso (F) si es una expresión algebraica. 2

(V)

a) P(x; y) = 3x y+ 5 x + 4y 2

b) P(x) = 1 +x + x + x c) P(x) = 4 + x d) P(x)

3

x

3 x2 + 5 x + 6

2 Para los términos algebraicos, indica su coeficiente , su parte variable y sus exponentes: Término Algebraico

Coeficiente

Parte variable

Exponente

2 4

(V)

P(x;y) = -9x y

-9

x,y

2;4

(F)

Q(a;b) = 3/4a4b7

3

4

a,b

4;7

3

x,y

1;8

x,y

1;8

R(x;y) =

(V) (F)

e) P(x) = x + 2x + 3x+ 4x + …

PARA LA CLASE

R(x;y) =

3 Reduce la expresión:

3 xy 8

- 5 8 xy 4

-

5

4

4 Reduce la expresión:

4x – 2x + 3x – 8x – x

5(x – 4) – 2(x + 2) – (1 – x)

4x + 3x – 2x – 8x – x 7x – 11x –4x

5x – 20 – 2x – 4 – 1 + x 5x – 2x + x – 20 – 4 – 1 4x – 25

Rpta.

Rpta. -4x 5 Simplifica la expresión:

6 Simplifica la expresión: n

n

n

n

1 2 1 3 1 x y + x2 y - x2 y + x2 y 2 4 4 8

4x + 6x – 10x – 8x – x

1 + 1 - 3 + 1 x2 y 2 4 4 8m

4xn + 6xn – 19xn 10xn – 19xn –9xn

c

1

4x - 25

2 8x y

Rpta.

2 2

1/8 x y

n

Rpta.

-9x

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

n

101

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

6 Reduce la expresión:

7 Reduce la expresión:

7(3x + 2y)-4(3y - x) + 2(4x - 5y)

5a – 8b + 3b + 9a - 7b + 9a - 8b + 4a - b

21x + 14y – 12y + 4x + 8x – 10y 21x + 4x + 8x + 14y – 12y – 10y 33x – 8y

5a + 9a + 9a + 4a – 8b + 3b – 7b – 8b – b 27a – 21b

33x - 8y

Rpta.

8 Simplifica la expresión: 2 3

2

Rpta. 27a - 21b

9 Reduce la expresión:

2 3

2

2 3

2

8(a - b) -3(a + b) - 2(b -a) + 4(a - b)

5x y + 4xy - 3x y + 8xy - x y + 5xy

5x2y3 – 3x2y3 – x2y3 + 4xy2 + 8xy2 + 5xy2 x2y3 + 17xy2

2 3

8a – 8b – 3a – 3b – 2b + 2a + 4a – 4b 8a – 3a + 2a + 4a – 8b – 3b – 2b – 4b 11a – 17b

2

10 Simplifica la expresión:

11 Reduce la expresión:

5(2x + y - z) - 3(4x - y + 5z) + (2x - y + z)

n+1

3(x

-x

n+2

n+1

- 2) - 2(x

+x

n+2

n+1

+ 4) - 2x

10x + 5y – 5z – 12x + 3y – 15z + 2x – y + z

3xn+1 – 3xn+2 – 6 – 2xn+1 – 2xn+2 – 8 – 2xn+1

7y – 19z

–xn+1 – 5xn+2 – 14

Rpta.

102

11a - 17b

Rpta.

Rpta. x y + 17xy

7y - 19z

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta. -x

n+1

– 5x

n+2

- 14

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas” 1 Analiza y coloca verdadero (V) o falso (F) si es una expresión algebraica. a) 9x + 2y + 7 -2

5

b) x + 3x a

(V)

0

+ 5x - 4

b

a+b

c) 3x + 4x - 12x

(V)

- 7

(F)

5 1 x + 3 x + 5 x 2

d)

2

3

(V)

PARA LA CASA

2 Para los términos algebraicos, indica su coeficiente , su parte variable y sus exponentes:

Término Algebraico

Coeficiente Parte variable Exponente

2 5

P(x,y,z) = -4x y z

-4

x, y, z

2;5;–1

Q(a;b) = a-9b4

1

a,b

–9;4

5

x,y

n;n–4

7

a, b, c

4;3;12

R(x;y) =

5 xn yn - 4 4

3 12

R(x;y) = - 7 a b c

4

e) x + 2x + 3x + ...

-

(F)

4 Simplifica la expresión:

3 Reduce la expresión:

7(y + 5) -3(1 - y) + 4(y - 3) - (4 - 3y)

8ab – 3ab – 7ab + 4ab – 9ab

8ab + 4ab – 3ab – 7ab – 9ab 12ab – 19ab –7ab

7y + 35 – 3 + 3y + 4y – 12 – 4 + 3y 17y + 16

Rpta.

-7ab

5 Reduce la expresión:

Rpta.

17y + 16

6 Simplifica la expresión:

1 3 1 1 1 1 x+ y- x+ y+ x- y 2 4 4 2 8 3 c

ACTIVIDADES

4(a + b - 2c) - 3(2a + b + c) - (6 - 3b + 2c)

1 - 1 + 1 x+ 3 + 1 - 1 y c 2 4 8m 4 2 3m

4a + 4b – 8c – 6a – 3b – 3c – 6 + 3b – 2c

3 x + 11 y 8 12

–2a + 4b – 13c – 6

Rpta.

3 11 x+ y 8 12

Rpta.

-2a + 4b - 13c - 6

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

103

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resuelve los siguientes ejercicios de manera grupal, mostrando responsabilidad en tu trabajo. 1 Analiza y escribe Sí o No según corresponda. Expresión algebraica

2

¿Es un polinomio?

2

Sí ) ( _____

P(x; y)=4x -5xy+y +4 -3

4

PARA LA CLASE

2 Sabiendo que a = 2 ; b = -3 ; c = 4 calcula el valor numérico de la expresión: 4a + 3c - 6b

( _____ No )

P(x; y) = 5x +3y +9x P(x;y;z)=7x yz + 4z - 1 + y x 4 3 3 2 4 5 Q(x;y)=2 x y - 3 x y 2

-1 -2 4

ACTIVIDADES

5

4(2) + 3(4) – 6(–3) 8 + 12 + 18 38

( _____ No ) ( _____ Sí ) No ) ( _____

-1 7

R(x;y)=2 x y + 2 x y

Rpta. 1 ; 3 Sabiendo que: a = 2 ; b = -3 ; c = 4 ; x = -1 ; y = 3 Determina el valor numérico de las expresiones siguientes:

z=

3 4

b) 3yz + c- 1 + y m + 2(a - b) 12

2

a) 9y + 12z - 3(a - b) 2 9 c 1 m + 12 ` 3 j – 3(2– –3) 4 3 1 9 × c m + 12 ` 3 j – 3(5) 9 4 1+9 – 15 = –5

3 c 1 m` 3 j + c- 1 + 1 m + 2 (2––3) 3 4 12 3 3 + 1 + 2(5) 4 4 1 + 10 = 11 Rpta.

Rpta. -5

11

d) 12(y + z) + 3(a - b + c)

x c) 3(a + b) + c + ym + 12z 3

12 c 1 + 3 m + 3(2– –3 + 4) 3 4 12 c 13 m + 3(9) 12 13 + 27 = 40

3(2 +–3) + c- 1 + 1 m +12 ` 3 j 3 3 4 –3 + 9 = 6

Rpta. -1

2(2 + –3 – 4) + 3 c- 1 - 1 + 4 m 3 3 0 2(–5) + 3 c m 3 –10 + 0 = –10 Rpta.

Rpta.

6

40

f) a + c + 1 - x = 2 + 4 + 1 - - 1 a-b 1+ 1 2+3 1+ 1 3 3

e) 2(a + b - c) + 3(x - y + z )

104

38

6 + 2 = 6 + 6 = 27 10 4 5 5 4 3 -10

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

27/10

POLINOMIOS EN IR

4 Calcule el valor numérico de las siguientes expresiones, aplicando en cada caso los valores asignados: 2

b) Si : P(x) =4x2- 5(x + 2)2 - 3 Calcular: P(-2)

a) Si : P(x) = 2x - 5x - 6 Calcular: P(4) P(4) = 2(4)2 –5(4) –6 P(4) = 6

P(–2) = 4(–2)2 –5(–2+2)2 – 3 P(–2) = 13

Rpta.

Rpta.

6

13

d) Si : Q(x;y) = 5x2 - 3y2 + 4x - 3y + 1 Calcular: Q(-1;2)

1 1 c) Sí : R(x) = x 2 - x + 3 3 4 Calcular: R(12). R(12) = 1 · 122 – 1 ·12 + 3 3 4 P(12) = 48

Q(–1;2) = 5(–1)2 –3(2)2 + 4(–1) – 3(2) + 1 Q(–1;2) = –16

Rpta. 48 e) Si : F(x;y) = (x2 + y2)(x2 - x + y2) Calcula: F(1; -1)

-16

Rpta.

11

Rpta.

12

f) Si : P(x-1) = 2x + 1 Calcula: P(4)

F(1;–1) =^12 + ^- 1h2h^^1h2 - 1 + ^- 1h2h

P(x–1) = P(4) x–1=4 x=5 2(5) + 1 = 11

F(1;–1) = (2)(1) = 2

Rpta.

Rpta.

2 h) Si : P(x) = 2x2 – 3x – 2 Calcular: P([P(0)]

g) Si : G(x+1) = 3x – 2 Calcular: G(-2)

P(0) = 2(0)2–3(0) – 2 = – 2 P(–2) = 2(–2)2 – 3 (–2) –2 = 12

G(x+1) = G(–2) x + 1 = –2 x = –3 3(–3) – 2 = –11

Rpta. -11

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

105

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

5 Analiza cada polinomio, elija una variable y ordene en forma decreciente de acuerdo al grado de esa variable: 2 5 3 3 6 2 –x6y2 + x5 + x3y3 + x2y + 4xy a) P(x;y) = x y + x + x y - x y + 4xy ⇒ ................................................................................ 2

5 4

2 3

6

4 2

6

6

5 4

2 3

2

x + x y – 3x y + x y + 4xy b) P(x;y) = x y + x y - 3x y + 4xy + x ⇒ ........................................................................................ 6

2 4

4 2

2 4

b + 7a b + 8a b + a + 4x c) R(a;b) = 4x - 5a b + 7a b + 8a b + a ⇒ –5a .................................................................................... 3 4 2

7 5 5

9 3

d) Q(x,y,z) = 5x y z - 8x y z + xy z 6 Analiza y halla

3 4 2

7 5 5

I) El grado relativo de cada polinomio, respecto a la variable “x”. II) El grado absoluto de cada polinomio.

Polinomio 5

7 5 5

–8x y z + 5x y z – 8x y x ⇒ ..................................................................................

G.R(x)

7

G.A.

Polinomio 2

4

2 3

G.A.

G.R(x)

P(x) = 4x + 2x - x + 1

7

7

P(x;y) = -9ax y+10axy -x y

5

2

4 7 5 Q(x) = 3x - 2x + 2x + 3x

7

7

R(x;y;z) = 8x4y2z5-22x3y4z2-33x4yz3

11

4

n+6

n+6

10

4

17

5

n+2

R(x) = 4x

n+6

n

+ 5x

3 5

+ x -1

4 7

P(x;y) = 4x y - 3x y + 8xy

4

11

4 5 4 3 7 5 2 x y -3 x y + 5 xy

Q(x;y) =

5 5 4 8

4 3 5 3

2 2 3 7

R(x;y;z) = 3 x y z -2 x y z -5 x y z

7 Analiza y halla el grado de cada una de las siguientes operaciones algebraicas: Polinomio 4

2

Grado

5

Polinomio 3

4

Grado

3

5

e) P(x) = (x +x)(x -x )

7

2 3 5 9 b) P(x;y;z;w) = (x +y +z )w

14

f) P(x) = (x3 + x4)3(x - x2 + x5)2

22

3 5 c) (x +x+2)

15

a) P(x) = x + x - x

4

d) P(x;y) = (xy+x3+xy4)6

30

g) P(x) =

2

_x 2 + 1i _x + x 3i

h) P(x;y;z) =

12

2

x -x+2 x3 y5

5

z2 y

8 Reconoce signos de agrupación y términos semejantes y reduce en cada caso. a) -7y +4(2 - 2y) -3(4 - 3y)-(y + 5)

b) 4x + 3y +[-5x-(x - 2y)]+ 3(2x - y)+ x

–7y + 8 – 8y – 12 + 9y – y – 5 –7y – 9

4x + 3y – 5x – x + 2y + 6x – 3y + x Rpta.

-7y –9

c) 12m - 3{4m - (m + 2) - [2m - (m + 4)} 12 – 3{4m – m – 2 – 2m + m + 4} 12 – 3{2m + 2} Rpta. –6m + 6 12 – 6m – 6 = –6m + 6 e) 4m + 2n - 8m + 4n - ^m + 4h + ^5 - 2nh 4m + 2n – 8m + 4n – m – 4 – 5 + 2n –5m + 8n – 9 Rpta. -5m + 8n - 9

106

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

5x + 2y

Rpta.

5x + 2y

d) 8(x - y) - 2{3(x + y) -2(y + x) - (x - y) 8x – 8y – 2{3x+3y – 2y –2x – x + y} 8x – 8y – 2{2y} Rpta. 8x - 12y 8x – 12y f) 8a- {-5(a - 1) + 3(1 - a)} - 3a - 2 8a – {–5a + 5 + 3 – 3a – 3a + 2} 19a – 10 Rpta.

19a - 10

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas”

PARA LA CASA

1 Analiza y escribe Sí o No según corresponda. Término Algebraico

¿Es un polinomio?

P(x; y)= 4x 2 + 2 x 2 y + 5 2

3

P(x) =x + x + x + x P(a)=

4

1 12 1 10 1 3 a + a + a 2 3 4

Término Algebraico 2

4

( _____ Sí )

P(x) = x+x +x +x +…

No ) ( _____

( _____ Sí )

P(x) =4x

0,5 2

( _____ No )

( _____ Sí )

Q(a; b) =

y + 2xy

4a 4 b 5 2 3 5 - 3a b + a b 4 c

1 ; 2 Sabiendo que: a = 2 ; b = -3 ; c = 4 ; x = -1 ; y = 3 Determine el valor numérico de las expresiones siguientes: a) 4az + 2by +

3

¿Es un polinomio?

z=

( _____ Sí )

3 4

b) 2(a - c) + 3(b - x) + 2(3y - 4z)

c x2

2(2 – 4) + 3(–3––1) + 2 c3 $ 1 - 4 $ 3 m 3 4 2(–2) + 3(–2) + 2 (1 – 3) –4 + –6 + –4 = –14

4(2) ` 3 j + 2(–3) c 1 m + 4 2 4 3 ^- 1h 6–2+4=8 Rpta. c) (z - y) + 6y + 2(b + 2) 1 3 1 f 4 - 3 p + 6 # 3 + 2 a- 3 + 2 k 3 1 f 4 - 3 + 2 +- 2 p = 5 12 Rpta.

Rpta.

8

5/12

- 14

1 +z 1+3 c b 4 3 + +2 d) + = + 2 4 c - a -x +y 4-2 -- 1 + 1 3 5 1 + 4 = 1 + 15 = 23 16 2 4 2 16 3 Rpta. 23/16

3 Calcule el valor numérico de las expresiones, aplicando los valores asignados en cada caso. 2

2

2

a) M(y) = 4y + 3y - 5

b) N(x;y) = 3x y + 4xy





Calcula:

M(-2)

M(–2) = 4(–2)2 + 3(–2) –5 M(–2) = 5

Calcula: N(3;4) N(3;4) = 3(3)2(4) + 4(3)(4)2 N(3;4) = 300

Rpta.

Rpta.

5 2

c) P(x – 2) = 4x – 6

d) P(x) = 2x – 3x – 2





Calcular: P(–2) x – 2 = –2 4(0) –6 = –6

300

Calcular: P [P(0)] P(0) = 2(0)2 – 3(0) –2 = –2 P(–2) = 2(–2)2 – 3(–2) –2 = 12

x=0 Rpta.

-6

Rpta. 12

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

107

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas no relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, tienes que detenerteentre hastalos lograr tu cometido." demas”

Razonamiento y demostración 1 El monomio 5x

2 a -b +3 3 b +1

y es de G.R.(x) = 6 G.R.(y) = 16, entonces “b” vale: A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

3b-1 11 2 Si los términos 9xy ; 5xy son semejantes, calcula el

valor de “b”. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

3 Halla el valor de “n” para que el grado del siguiente 3n+2 6

monomio sea igual a 14. P(x;y) = 12x

y

A) 2

E) 5

B) 3

C) 4

D) 1

4 Al efectuar (x5ya)(x4y3), resulta un monomio de grado absoluto igual a 17. Calcula el valor de “a”. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

6- m 9+n

A) 6

y

x2 - m

, sabiendo que su grado absoluto es 21.

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

6 Sea: P(x;y) = 3xa-8y6 + 4xa-11y5 + 7xa-13y20 cuyo G.R.(x) = 5, halla el grado absoluto. A) 18

B) 20

C) 22

D) 14 :^x2h $ x 4D x3

7 Al reducir la expresión: monomio de grado.... A) 4

B) 2

E) 16 2

3

3

; resulta un

:^x2h $ x5D D) 4 E) 5 4

C) 3

8 Calcula el valor de “n”, si el siguiente polinomio es m+2 n+3

homogéneo: P(x;y) = 6x A) 3

B) 4

C) 5

y

m+1 2n-1

+ 4x

y

D) 6

E) 7

P^- 1h + P^0h 9 Sea: P(x-5) = 5x + 5. Halla: R = P^1h + P^- 2h A) 0

B) 1 B) 15

D) 17

B) 1

C) -1

D) 2

E) 18 E) -2

valor de “a”.

B) 7

C) 8

D) 9

E) 10

13 Si: Q(x;y) = xa+3yb–1 – xa–2yb tiene G.R. (x) = 8 ∧ G.R.(y) = 4, calcula “a + b”. A) 8

108

B) 9

C) 10

D) 11

7 3

D) 14

E)13

b

15 Si: P(x;y) = 3x y – x y + xy es un polinomio homogéneo, calcula “a + b”. A) 7

B) 16

C) 8

D) 15

E) 9

2

16 El polinomio: P(x) = 4x + bx – 3 – ax2 +2x+3c es idénticamente nulo. Calcula “a + b + c”. A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

2a b+3 6 5 b+1 4 17 El polinomio: P(x; y) = x y + x y + x y es

homogéneo, calcula el valor de “a · b”. A) 12

B) 9

C) 4

D) 8

E) 6

de “n” para que el grado absoluto del 18 Halla el valor n+4 2 5 monomio: (5x

y ) sea 40.

B) 2

C) 3 m+2

D) 4

3m+n

E) 5

y ∧ B = 3nx semejantes. Calcula: “A - B”

y4m-8 términos

A) 36x16y48

B) 10x16 · y48

C) 28x16y48

D) 18x16y48

E) 10x8y25

19 Siendo: A = 2mx

3n-2

b 5 5 20 Si se cumple que: 9x + 4ax = 17x , calcula el valor de: 2a + b

A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

21 El grado del siguiente monomio es igual a 16. P(x;y) = (5a-1 · xa+2 ya)2, halla el coeficiente del monomio. A) 25

B) 125

C) 625

D) 325

E) 475

22 Halla el valor de “n” para el cual la expresión: 3

P(x) = A) 2 A) 11

2

(xn-4) . (xn-4) 4 (xn-2) . x6n B) 3

es de cuarto grado. C) 8

4

D) 5

E) 6

B) 15

2

C) 30

D) 28

E) 4

H(x) = P3(x) + Q2(x) A) 18

12 Si el grado de: P(x) = xa+2 – 2xa+3 + xa+6 es 14, calcula el A) 4

C) 15

a 4

24 Sea: P(x) de grado 7 ; Q(x) de grado 9. Halla el grado de

11 Sea: P(x+1) = x2. Calcula: P[P(P(2))] A) 0

B) 16

5 23 Sea Q(x) = 5x + x + x + 3x + 6. Halla el grado de [Q(x)]

C) -2 D) -1 E) -2 C) 16

A) 17

6

10 Sea: P(x) = 2x + 3. Calcula: P [P(2)] A) 14

14 Si P(3x – 1) = x + 6, calcula: P(5) + P(–4).

A) 1

5 Calcula el valor de “n” del monomio R(x;y) = x

APRENDIZAJES

E) 7

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

B) 39

C) 24

D) 5

E) 16

25 Sea: F(3x - 1) = 2x+3 ; P(x) = 4x - 1. Calcula: P [F(2)] A) 18

B) 19

C) 20

D) 21

E) 22

16. A 17. E 18. B 19. B 20. B

21. C 22. C 23. C 24. B 25. B

Clave de Respuestas 1. C 2. B 3. A 4. C 5. C

6. B 7. B 8. C 9. B 10. D

11. B 12. C 13. B 14. E 15. D

POLINOMIOS EN IR

Razonamiento y demostración

Resolución 8

5x2a–b+3 y 3b+1 GR(y) = 16 3b + 1 = 16



b=5



;

∙ ∙ ∙ ∙

5 xy11

3b – 1 = 11 b=4

Rpta. B

Resolución 3



P(x ; y) = 12 x3n+2 y6 GA = 14 3n + 2 + 6= 14

Rpta. A



Resolución 4

Rpta. C



x6 - m y9 + n x2 - m 4 9+n R (x ; y) = x y GA = 21 4 + 9 + n = 21 R (x ; y) =



n=8

Rpta. C

R=1

3

x2 El grado es 2

Rpta. B

P ( x ) = 2x + 3 ∙ P(2) = 2(2) + 3 ∙ P( 7 ) = 2(7) + 3

P(2) = 7 P[P(2)] = 17

Rpta. D

P (x + 1) = x2 ∙ P( 2 ) = 12 P(2) = 1 ∙ P( 1 ) = 02 P( P(2) ) = 0 2 ∙ P( 0 ) = (–1) P[P(P(2))] = 1

Rpta. B

P (x ) = xa+2 – 2xa+3 + xa+6 GA = 14 a + 6 = 14 a=8



Rpta. C

Resolución 13



Q ( x ; y ) = xa + 3 yb – 1 – xa – 2 yb GR (x) = 8 / GR (y) = 4 a+3=8 b=4 a=5 a+b=9

Rpta. B

Resolución 14

2

;` x j $ x5 E 2 4





Resolución 7



P (- 1) + P (0) = 25 + 30 35 + 20 P (1) + P (- 2)



P (x ; y) = 3xa – 8 y6 + 4 xa – 11 y5 +7xa – 13 y 20 GR (x) = 5 a–8=5 a = 13 GA = a – 13 + 20 GA = 20 Rpta. B

3

`R=

Resolución 12

Resolución 6

;` x5j $ x 4 E $ x3

P(–1) = 25 P( 0 ) = 30 P( 1 ) = 35 P(–2) = 20

Resolución 11

a=5

Resolución 5

P (x – 5) = 5x + 5 P(–1) = 5(4) + 5 P( 0 ) = 5(5) + 5 P( 1 ) = 5(6) + 5 P(–2) = 5(3) + 5

Resolución 10

n=2

(x5 ya) (x4 y3) x9 · ya+3 GA = 17 9 + a + 3 = 17

Rpta. C

Resolución 9

Rpta. C

Resolución 2 9 xy3b – 1

P(x ; y) = 6xm+2 yn+3 + 4xm+1 y2m – 1 m + 2 + n + 3 = m + 1 + 2n – 1 n=5



Resolución 1

38

$x = x 39 x



3



P ( 3x – 1 ) = x + 6 P(5)=2+6 P (–4) = –1 + 6

Rpta. B



P (5) = 8 P (–4) = 5

P (5) + P (–4) = 13 Rpta. E

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

109

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 15



Resolución 22

P ( x ; y ) = 3xa y4 – x7 y3 + xyb a + 4 = 10 = 1 + b a=6 / b=9 a + b = 15

(xn - 4) 3 $ (x 4n) 2 (xn - 2) 4 $ x6n 11n - 12 P (x) = x 10n - 8 = xn - 4 x P (x) =

Rpta. D





Resolución 16 P (x) = 4x2 + bx – 3 – ax2 + 2x + 3c P (x) = (4 – a)x2 + (b + 2)x + (3c – 3) Nulo 4 – a = 0 / b + 2 = 0 / 3c – 3 = 0 a = 4 b = –2 c=1 a+b+c=3 Rpta. A



Resolución 17









2a

b+3

6

5

b+1

4

P (x) = x y +x y +x y 2a + b + 3 = 11 = b + 5 b=6 / a=1 a·b=6



Rpta. E



Rpta. B



A – B = 10 x16 y48

6A = 30 Rpta. C H (x) = P3 (x) + Q2 (x) GA (H) = 3 · 7 + 2 · 9



GA (H) = 39 Rpta. B





Rpta. B

2a + b = 3



Rpta. B

Resolución 21

110



F (x) = ax + b ∙ F (2) = 2a + b = 5

9xb + 4ax5 = 17x5 b = 5 / 9 + 4a = 17 a=2



Q (x) = 5x6 + x4 +x2 +3x + 6 GA [Q(x)]5 = 5 · 6





Resolución 20



Resolución 23

3m+n

A = 2m x y Semejantes B = 3n x3n–2 y4m – 8 m + 2 = 3n – 2 / 3m + n = 4m – 8 8 + n + 4 = 3n 8+n=m n=6 m = 14 16 48 A – B = 28 x y – 18x16 y48

Rpta. C

Resolución 25

Resolución 19 m+2

n– 4 = 4 n=8



2 5

(5x y) (n + 4 + 2)5 = 40 n=2



GA = 4

Resolución 24

Resolución 18 n+4

;

P (x ; y) = (5a – 1 · xa + 2 ya)2 (a + 2+ a)2 = 16 a=3 Coeficiente = 52(a – 1) Coef. = 625

Rpta. C

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

∙ F (1) = a + b = 4 F (x) = x + 3



F (7) = 10

a=1 b=3

Rpta. B

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Comunicación Matemática 1 El grado relativo a “y” sumado con el grado relativo a “z” en: Q(x;y;z) = 8x4yz6 da por resultado: A) 5

B) 10

C) 7

D) 6

E) 8

B) 3a E) 5a

A) 13

C) 2a - 6a2

I. 2x3 +

B) y - x C) x E) 2x - y

C) 13

B) 24

C) 27

D) 14 E) 15

D) 29 E) 32

6 Si: a = 2; b = -3 y c = 4, el valor numérico de la expresión: E = (aa + ca - ba)a es: A) 110

B) 144 C) 121 D) 125 E) 81 5

4 3

2 6

7 Dado el polinomio: P(x;y) = x – x y + x y calcula G.R. (x) + G.R.(y). A) 11

B) 10

C) 9

E) 18

C) 7

D) 8

E) 9

3 x - 5 ; es un polinomio ( ) 4

II. x + x2 - x3 +x4 + ... ; es un polinomio

( )

III. 5x1/2 + 3x1/2 - 4 ; no es un polinomio

( )

B) VVF E) FFV

C) VFV

4 5 10 13 En el monomio: 2 3 x y z .

5 Si: x= 3; y = -1, el valor numérico de la expresión: x-y · (-2y)x es: A) 21

B) 6

A) VVV D) VFF

P(x;y;z) = 6x3y2z5 - 9x2y6z4 + 13xy7z5 B) 12

D) 16

12 Analiza cada expresión y escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponde, respecto a polinomios.

4 Halla el grado absoluto del polinomio:

A) 11

C) 15

11 Sea: R(x) = 4x + 3 ; N(x) = 2x - 5. Calcula: R[N(3)]

3 Simplifica: E = - x - (-x - y) - (-y + x) - y A) x - y D) y

- 27x88+ 3x2 - 4x. Calcula: P(3)

B) 14

A) 5

2 Reduce la expresión: -5a(a + 2) - 6a(a - 3) + 3a(a -2) + 8a2 A) 2a D) 2a-a2

90

10 Sea: P(x) = 3x

D) 12 E) 13



Calcula: E = [GA - GR(z)]GR(y) - GR(x) A) 1

B) 2

C) 5

D) 9

E) 12

14 Analiza cada afirmación e identifica aquella que es verdadera. A) Un polinomio homogeneo tiene sus variables siempre con el mismo exponente. B) Todo polinomio ordenado es completo. C) Un polinomio nulo tiene coeficientes igual a cero. D) Un binomio es un polinomio de 3 términos. E) En un polinomio los exponentes de las variables son números reales.

8 Simplifica la expresión: [(2p - 3) - (3p+4q)] - [2q - (3p+q) - p] A) 5p D) 3p

B) -5q + 3p - 3 C) 5q E) -5q+p

9 Reduce la expresión: R = 3x - y+2x - x - (3y+2x) - (x+y) A) x+3y D) 2x+2y

B) 3x+y C) 3x+3y E) 3x - 3y

Clave de Respuestas

1. C

6. C

11. C

2. A

7. A

12. C

3. B

8. B

13. D

4. C

9. C

14. C

5. B

10. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

111

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Comunicación Matemática

Resolución 9

Resolución 1 Q (x ; y ; z) = 8x4 y z6 6R (y) = 1 + 7 6R (z) = 6

Rpta. C 2

–5a(a + 2) – 6a(a – 3) + 3a(a – 2) + 8a –5a2 – 10a – 6a2 + 18a +3a2 – 6a +8a2 2a Rpta. A

Resolución 3

E = – x – ( – x – y) – (– y + x) – y E = – x + x +y + y – x – y



E=y–x Resolución 4 P(x ; y ; z) = 6x3 y2 z5 – 9x2 y6 z4 + 13xy7z5 GA = 10 GA = 12 GA=13 6A = 13



Rpta. C Resolución 5

x–4 · (–2 y)x ; 3

x=3

y = –1

/

3

· (–2(–1)) = 3 · 8 =

24

Rpta. B

Resolución 6

E = (aa + ca – ba)a ; a = 2 , b = –3 / c = 4 2 E = (22 + 42 – (–3)2) E = 121



Rpta. C Resolución 7



P (x ; y) = x5 – x4 y3 + x2 y6 GR (x) + GR (y) 5 + 6 = 11



Rpta. A Resolución 8 [(2p – 3) – (3p + 4q)] – [2q – (3p + q) – p] – 3 – p – 4q – q + 4p 3p – 5q – 3



112



R = 3x + 3y Rpta. C



P(x) = 3x90 – 27x88 + 3x2 – 4x P(3) = 3 · 390 – 27 · 388 + 3 · 32 – 4 · 3 P(3) = 391 – 33 · 388 + 3 · 32 – 4 · 3 P(3) = 391 – 391 + 27 – 12



P (3) = 15 Rpta. C

Resolución 11 Rpta. B

–(–1)

R = 3x – y + 2x - x - (3y + 2x) - (x + y) R = 3x – y – 2x – (x – 3y – 2x – x – y) R = x – y + 2x + 4y

Resolución 10

Resolución 2





Rpta. B

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche



N(3) = 2(3) – 5 = 1 R(1) = 4(1) + 3 = 7 Rpta. C

Resolución 12 VFV

Rpta. C

Resolución 13

E = [19 – 10]5–4 = [9]1 = [9] E=9

Resolución 14 Rpta. C

Rpta. D

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Resolución de problemas

13 Sea: F(x) un polinomio lineal donde: F(2) = 5; F(1) = 4. Halla F(7)

m m-1 m-2 1 Sea: Q(x) = 3mx + 6mx + 11mx . Un polinomio

de sexto grado. Halla el valor del coeficiente de mayor valor. A) 18

B) 36

C) 42 3

2 Sabiendo que: M = a x

D) 66

a+8

2

y ∧ N=b x términos semejantes, calcula “a×b” A) 15

B) 18

C) 21

3 Si el grado de Q(x;y) =

D) 24

B) 4

-a+5

y

C) 5

E) 32

D) 6

A) 6

C) 45

E) 7

D) 49

E) 56

2 5 El polinomio: P(x) = (a – 4) x + (b – 2) x + c – 5 es

idénticamente nulo. Calcula “a · b · c”. A) 40

B) 50

C) 36

D) 72

A) 2

M(x;y) = 10x3a+b ya+3b tiene: G.A. = 20 y G.R.(x) = 11 B) 5

C) 6

7 Si el grado de R =

2a - 3

de P = 3x2ay3a-1. A) 26

B) 23

D) 7 3a

x $ y es 3, calcula el grado

C) 24

D) 27

22. P(x) =



4

x3m $ 3

x

A) 6

B) m = 16

D) m = 24

E) m = 28

sabiendo que su grado absoluto es 7 y el grado relativo a “x” es 5. A) 5

B) 6

C) 7

D) 8

E) 9

A) 40

A) 18

B) 24

C) 36

11 Sea A(x) = 3(n - 1) · su coeficiente. A) 16

B) 17 a+5

6

D) 48 2n

x $ C) 18 a+6

E) 52

x de tercer grado. Señale D) 20

E) 21

a+8

17. Señale la suma de sus coeficientes. B) 60

C) 70

D) 5

m-1

E) 6

m-2

B) 5

C) 20

D) 30

E) 35

B) 28

C) 36

D) 34

E) 32

homogéneo: P(x;y) = 8x2n+6 - 3x2n+3yn+2 + 5y9-n A) 10

B) 8

C) 9

D) 7

E) 4

n

19 Calcula el valor de m , en el polinomio homogéneo: Q(x;y) = xn2+1 + 6xn+2 yn-1 - 13y7-m A) 2

B) 4

C) 6

D) 8

E) 12

20 Si el polinomio P(x;y) es idénticamente nulo, halla 2

^m n - 2 h . P(x;y) = (6-n)x3y + mx2y3 + 5x3y - 4x2y3 A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

E) 6

21 El siguiente es un polinomio ordenado y completo de grado 3: P(x) = x A) 3

B) 4

a+b

a

b

2

2

+ 4x - 7x + 5. Halla: a + b C) 5

D) 6

E) 7

22 Halla “A + B + C”, en la identidad:

2Ax2 + Bx2 - Cx + B ≡ 8x2 + 5x - 4

A) -4 B) -3 C) -5 D) -6 E) -8

23 Sabiendo que: A(x) =

x+1 y B(x) = x2 + x - 1. 2

Halla el valor de A[B(2)] A) 1

B) 3

C) 5

D) 7

E) 8

16. D 17. D 18. B 19. B 20. B

21. C 22. B 23. B

8

12 Sea: P(x) = 3ax +5ax + 2ax , un polinomio de grado A) 50

C) 4

18 Indique el grado relativo a “y ” en el polinomio

10 Si el grado relativo de “y” es 24 en:

Q(x;y) = 15x4y3n - x4ny6+8(x3y2)6n; dar el grado relativo de “x”.

B) 3

17 En el polinomio:

C) m = 20

x3 + m y7 - n 9 Calcula “2m + n”, del monomio: M(x;y) = 3 - n 6 - m x y

E) 16

P(x;y) = x5m+2n+3 y2m+1+x4m+2n+1y3m+2+7x3m+2n y4m+5, la suma entre los grados relativos a “x” e “y” es 43, además el menor exponente de “y” es 7. Halla su grado absoluto.

2m

A) m = 12

D) 12

+ 6mx un polinomio de quinto grado. Señale el coeficiente de su término cúbico.

E) 29

8 Halla el valor de “m” para que la expresión sea de grado

C) 10

16 Sea: Q(x) = 2mx + 4mx

E) 8

6

B) 8

m

E) 84

6 Calcula “a+b”, si el monomio: A) 4

E) 30

15 Calcula “m/n” si el polinomio:

semejantes, halla “a · b”. B) 40

D) 25

P(x,y) = 3xm+1yn-3+ 7xm+3yn-4 - xm+4y2n es de grado absoluto 16; G.R.(x) = 10

a+4 8 9 b–1 4 Si A(x;y) = 4x y ∧ B(x;y) = –2x y son términos

A) 36

C) 20

14 Sea R(x) un polinomio lineal donde R(-3) = 8; R(-2) = 6.

son

x3a $ y6 es 9, calcula el

a- 2

valor de “a” A) 3

b+5

B) 10

Halla: R(-4)

E) 81

b-4

A) 5

D) 80

E) 90

Clave de Respuestas 1. D 2. B 3. B 4. C 5. A

6. B 7. C 8. D 9. D 10. C

11. C 12. E 13. B 14. C 15. A

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

113

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución de problemas

Resolución 6

Resolución 1 Q(x) = 3m xm + 6m xm – 1 + 11m xm – 2 GA = 6 Semejantes m=6 Coef. mayor = 11 m

a+b=5

Coef. mayor = 66

Rpta. D



a+8

R=

b–4

M=a x y N = b2 xb + 5 y –a + 5 a+ 8 = b + 5 a – b = –3 ... (I) Sumanos I y II: 2a = 6 a=3

/

b – 4 = –a + 5 a + b = 9 ... (II)



b=6

/



a × b = 18 Resolución 3 Q (x ; y) =



x 3a $ y 6 1/a - 2

Q (x ; y) = `a3a $ y6j 3a + 6 = 9 a-2 3a + 6 = 9a – 18 a=4



A (x ; y) = 4xa+4 y8 B (x ; y) = –2x9 yb – 1 a+4=9 / a = 5

Rpta. C

Resolución 5

P = 3x2a y3a – 1 GA = 5a – 1 GA = 24 Rpta. C

P (x) =

4

x3m $ 3 x2m

P(x) = x3m/4 · x2m/12 3 m + 2 m = 22 4 12 11m = 22 · 12 m = 24 Rpta. D x3 + m y7 - n x3 - n y 6 - m



M (x ; y) = xm + n · y1 – n + m GA = 7 GR(x) = 5 / 2m + 1 = 7 m+n=5 m = 3 n=2 2m + n = 8



Rpta. D

Resolución 10 6n

Q (x ;y) = 15x4 y3n – x4n y6 +8(x3 y2) Q (x ; y) = 15x4 y3n – x4n y6 + 8x18n y12n GR (y) = 24 12n = 24 n=2 GR (x) = 18n

P(x) = (a – 4)x2 + (b – 2)x + c – 5 Nulo a – 4= 0 / b – 2= 0 / c – 5= 0 a=4 b=2 c=5 / / Rpta. A



114

3a + 6 = 6a – 9 a=5

M (x ; y) =

a · b · c = 40

GR = 3



b–1=8 b=9

a · b = 45

;

Resolución 9

Rpta. B Resolución 4

x3a $ y6 3a + 6 3 2a - 3 =

2a - 3

Resolución 8

Rpta. B

a- 2

Rpta. B Resolución 7

Resolución 2 3

M(x ; y ) = 10 x3a + b ya +3b GR(x) = 11 GA = 20 / 3a + b = 11 4a + 4b = 20 a = 3 b=5–a b=2

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

GR (x) = 36 Rpta. C

POLINOMIOS EN IR

Resolución 11

Resolución 17 P(x;y) = x5m+2n+3 y2m+1 + x4m+2n+1 y3m+2 + 7x3m+2n y4m+5

A (x) = 3(n – 1) · 6 x2n $ x8 GA = 3 n+2 = 3 3 3 n=7



Coef. = 3(n – 1)



Coef. = 18



Resolución 18 Rpta. C

P(x ; y) = 8x2n+6 – 3x2n+3 yn+2 + 5y9–n 2n + 6 = 3n + 5 = 9 – n n=1 GR(y) = 9 – n GR(y) = 8

Resolución 12 P(x) = 3a xa + 5 + 5a xa + 6 + 2a xa+8 GA = 17 a + 8 = 17 a=9 3a + 5a + 2a = 10a = 90

2

Q(x ;y) = xn + 1 + 6xn + 2 yn – 1 – 13y7 – m n2+1 = 2n +1 = 7 – m n=2 m=2 / n m =4

Resolución 13

Rpta. B

R(x) = ax + b ∙ R(–3) = –3a + b = 8 ∙ R(–2) = –2a + b = 6 R(x) = –2a +2 R(–4) = 10

P(x;y) = (6 – n)x3 y + mx2 y3 + 5x3 y – 4x2 y3 P(x;y) = (11 – n)x3 y + (m – 4)x2 y3 Nulo 11 – n = 0 m–4=0 / n = 11 m=4 2

`m n - 2 j = 3

Resolución 21



P(x ; y) = 3xm + 1 yn – 3 + 7xm + 3 yn – 4 – xm + 4 y2n GR(x) = 10 GA = 16 / m + 4 = 10 2n + 10 = 16 m = 6 n=3 m n =2 Rpta. C

Resolución 16 Q(x) = 2mxm + 4mxm – 1 + 6mxm – 2 GA = 5 m=5 Coef. = 6m



Rpta. B

Resolución 22 2Ax2 + Bx2 – Cx + B = 8x2 + 5x – 4 B = –4 ; C = –5 ; A = 6 A+B+C=–3 Resolución 23 B(x) = x2 +x – 1 B(2) = 22 + 2 – 1 B(2) = 5

Coef. = 30 Rpta. D

Rpta. B

P(x) = xa + b + 4x – 7xb + 5 b=1 a=2 / 2 2 a +b =5

Rpta. C

Resolución 15

Rpta. B

Resolución 20

Resolución 14



Rpta. B

Resolución 19 Rpta. E

F(x) = ax + b F(2) ™ 2a + b = 5 F(1) ™ a + b = 4 Þ a=1 / b=3

2m + 1 = 7 / GR(x) + GR(y) = 43 m=3 5m + 2n + 3 + 4m + 5 = 43 n=4 GA = 7m + 2n + 5 GA = 34 Rpta. D

A[B(2)] = 3

/

Rpta. B

A(x) = x + 1 2 A(5) = 5 + 1 2

Rpta.

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

115

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES

De manera grupal sume y reste polinomios, valorando el trabajo cooperativo.

PARA LA CLASE

1 Considerando los polinomios, calcula en cada caso: 3

5

4

2

4

P(x) = 3x + 4x - 2x + 3x - 2 + x ; 2

3

5

5

4

R(x) = x + 3x + 2x - 6 + 4x - 5x ;

2

5

4

3

b) Q(x) - R(x)

P(x) = 4x5 – 2x4 + 3x3 + 3x2 + x – 2 S(x) = –5x5 + 8x4 – 8x3 – 4x2 – 3x + 5

Q(x) = –3x5 + 2x4 – 6x3 – 3x2 – x + 4 –R(x) = –4x5 + 5x4 – 3x3 – x2 – 2x + 6

P(x) + S(x) = –x5 + 6x4 – 5x3 – x2 – 2x + 3

c) 2P(x) + 3Q(x)

Q(x) – R(x) = –7x5 + 7x4 – 9x3 – 4x2 – 3x + 10

d) 5R(x) - 3P(x)

2P(x) = 8x5 – 4x4 + 6x3 + 6x2 + 2x – 4 3Q(x) = –9x5 + 6x4 – 18x3 – 9x2 – 3x + 12 2P(x) + 3Q(x) = –x5 + 2x4 – 12x3 – 3x2 – x + 8

5R(x) = 20x5 – 25x4 + 15x3 + 5x2 + 10x – 30 –3P(x) = –12x5 + 6x4 – 9x3 – 9x2 – 3x + 6 5R(x) – 3P(x) = 8x5 – 19x4 + 6x3 – 4x2 + 7x – 24 f) 2[R(x) - Q(x)] - S(x)

e) 2[P(x) - R(x)] + Q(x) 2P(x) = 8x5 – 4x4 + 6x3 + 6x2 + 2x – 4 –2R(x) = –8x5 + 10x4 – 6x3 – 2x2 – 4x – 12 Q(x) = –3x5 + 2x4 – 6x3 – 3x2 – x + 4 2P(x)–2P(x)+Q(x) = –3x5 + 2x4 – 6x3 + x2 – 3x + 12

2R(x) = 8x5 – 10x4 + 6x3 + 2x2 + 2x – 12 –2Q(x) = 6x5 – 4x4 + 12x3 + 6x2 – 4x – 8 –S(x) = 5x5 – 8x4 + 8x3 – 4x2 – 3x – 5 2R(x)–2Q(x)–S(x) = 19x5– 22x4+ 26x3+ 4x2– 5x – 25

Considere los siguientes polinomios: Q(a) =

2 2 1 a + a-6 3 4

;

R(a) =

1 2 2 a + a+4 2 3

a) Calcule: Q(a) - T(a) Q(a) = 2 a2 + 1 a - 6 3 4 1 2 –T(a) = - a - 1 a + 3 6 2 Q(a) – T(a) = 1 a2 - 1 a - 3 2 4

116

3

S(x) = -4x + 5 - 3x - 5x + 8x - 8x

a) P(x) + S(x)

2

2

Q(x) = 2x - 3x - x + 4 - 3x - 6x

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

;

T(a) =

1 2 1 a + a-3 6 2

b) Calcule: Q(a) + T(a) - R(a) Q(a) = 2 a2 + 1 a - 6 3 4 1 1 2 T(a) = a + a - 3 6 2 1 2 –R(a) = - a - 2 a - 4 2 3 Q(a) + T(a) – R(a) = 1 a2 + 1 a - 13 3 12

POLINOMIOS EN IR

3

Considere los polinomios y realice las adiciones que se indican. 2

2

P(x,y) = 3x - 4xy + 2y

;

2

2

Q(x,y) = 3y + 2xy + 2x

a) Q(x,y) + R(x,y)

2

b) R(x,y) - Q(x,y)

2

2

2

2

–4x2 – xy + y2 –2x2 – 2xy – 3y2

2x + 2xy + 3y –4x2 – xy + y2

–6x2 – 3xy – 2y2

–2x + xy + 4y

c) [R(x,y) - P(x,y)] + Q(x,y)

3

2

R(x,y) = y - xy - 4x

;

d) [Q(x,y) + P(x,y)] - 2R(x,y)

–4x2 – xy + y2 –3x2 + 4xy – 2y2

–7x2 + 3xy – y2 2x2 + 2xy + 3y2

–7x2 + 3xy – y2

–5x2 + 5xy + 2y2

2x2 + 2xy + 3y2 3x2 – 4xy + 2y2

5x2 – 2xy + 5y2 8x2 + 2xy – 2y2

5x2 – 2xy + 5y2

13x2 + 3y2

Efectua las siguientes sustracciones: 2

a) De (5x + 4) restar (4x + 4)

2

b) De (5x + 4x - 3) restar (4 - x + 8x) 5x2 + 4x – 3 – (4 – x2 + 8x) 5x2 + 4x – 3 – 4 + x2 – 8x 6x2 – 4x – 7

5x + 4 – (4x + 4) 5x + 4 – 4x – 4 x

c) De c 4 a2 + 3 a - 2 m resta c- 7 a2 + 1 a + 1 m 3 3 4 5 2 10

2

2

d) Resta (8a - 5a + 4) de (4a + 2a - 8) 4a2 + 2a – 8 – 8a2 + 5a – 4 –4a2 + 7a – 12

4 a2 + 3 a - 2 + 7 a2 - 1 a - 1 3 4 5 3 2 10 11 a2 + 1 a - 1 3 4 2 n

n-1

e) Resta (4x - 5x

n

n-1

+ 1) de (3x - 2x

3xn – 2xn–1 – 2 – 4xn + 5xn–1 – 1 –xn + 3xn–1 – 3

- 2)

f) Resta c- 34 x2 + 12 y2 + 16 z2m de c 12 x2 - 14 y2 + 12 z2m 1 x2 2 3 x2 4 5 x2 4

1 y2 + 1 z2 4 2 1 y2 - 1 z2 2 6 3 y2 + 1 z2 4 3

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

117

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Considerando los polinomios: 3

2

2

P(x) = 4x - 5x + 4x + 5 2

2 Considerando los polinomios:

3

R(x) = -2x + 3 - 8x + 4x a) Calcula: P(x) - R(x)

2

3

S(x) = -2 + x - x + x a) Calcula: 5 S(x) - 2 Q(x)

–5x3 + 4x2 + 4x + 5 –4x3 + 2x2 + 8x – 3

–5x3 + 5x2 + 5x – 10 –8x3 + 4x2 + 16x – 6

–9x3 + 6x2 + 12x + 2

–13x3 + 9x2 + 21x – 16

2 P(x) - 3 Q(x)

b) Calcula:

3 Q(x) + 2 S(x)

b) Calcula:

–10x3 + 8x2 + 8x + 10 –12x3 + 6x2 + 24x – 9

12x3 – 6x2 – 24x + 9 –2x3 + 2x2 + 2x – 4

–22x3 + 14x2 + 32x + 1

–10x3 – 4x2 – 22x + 5

3 Considerando los polinomios: M(x) =

1 2 1 2 3 1 x + x - 6 ; N(x) = x + x - 3 4 6 2 3

a) Calcula:

M(x) - N(x)

2 x3 + 1 x - 6 - 1 x 2 - 1 x + 3 4 6 2 3 2 x3 - 1 x 2 - 1 x - 3 3 6 4

4 Efectua las sustracciones: 3

2

a) De x - 2x + 4x - 2 2 3 resta 5x + 2x + x + 4 x 3 - 2 x 2 + 4x - 2 - x 3 - 2 x 2 - 5 x - 4 - 4x 2 - x - 6

3

b) Calcula:

6 N(x) - 12 M(x)

x2 + 3x - 18 - 8x3 - 3x + 72 - 8x3 + x2 + 54

118

3

Q(x) = 3 - 2x + 4x - 8x

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

b) Resta (3x – 2x + 5x– 2) 3 2 de (2x + 4x – 4x +1) 2x 3 + 4x 2 - 4x + 1 - 3x 3 + 2 x 2 - 5x + 2 - x 3 + 6x 2 - 9x + 3

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas no relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, tienes que detenerteentre hastalos lograr tu cometido." demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 2 2 1 Sabiendo que: A = x + 3x – 4 ; B = 2x – 4x + 1 2 ∧ C = –2x – x – 3. Calcula “B + C - A”

A) 9x + 2 D) –9x + 2

B) 9x – 2 E) 2x2 + 9x – 2

7 ¿En cuánto excede el perímetro del

C) 2x2 – 9x 3x + 2

(2x+1)

3 3 2 2 Sabiendo que: A = 4x – 2x + 1 ; B = x – 3x + 6 2 3 ∧ C = x – 3x + 4. Calcula “A – B + C”. A) 6x2 – 3x + 2 B) 3x2 + 2x + 1 2 C) 4x – 2x – 1 D) 4x3 – 6x2 + x + 3 E) 2x3 + 3x2 – x

A) en 2 D) en 8

B) en 4 E) en 10

C) en6

8 ¿En cuánto excede el perímetro del pentágono regular al perímetro del rectángulo?

3 Calcula la suma de perímetros del cuadrado y del rectángulo.

(4x – 1) (7x + 4)

(4x+3)

4x – 1 3x + 2

A) 7x + 4 D) 30x + 10

5x + 2

B) 6x + 8 E) 15x + 5

C) 14x + 8

4 Calcula la suma de los perímetros del cuadrado y del triángulo isósceles. (10x – 3)

(7x + 1)

A) 56x - 2 D) 55x - 1

B) en 14 E) en 20

C) 55x + 6

2 5 ¿Qué expresión hay que sumarle a (5x - 3x +6) 2 para que sea igual a (8x + 5x - 3)?

A) 3x2 – 8x + 9 B) 3x2 + 8x + 9 C) 3x2+8x – 9 D) 3x2 + 8x + 18 E) 3x2 + 8x + 3 3 2 6 ¿Qué expresión hay que restarle a (16x – 4x – 9) 3 para que sea igual a (12x + 6x - 8)?

A) 4x3 + 6x2 – x + 3 B) 4x3 – 3x2 – 6x C) 4x3 – 2x2 + 6x + 1 D) 4x3 – 4x2 – 6x + 1 E) 4x3 – 4x2 – 6x – 1

C) en 10

9 Reduce la expresión: R = -3x2 - {5y + [-3x2 + {y - (6 + x2)} -(-x2 + y)]} A) 6x2 - 5y + 6 B) 6 - 5y D) 6x2 + 2y - 6 E) 7y + 6

C) 5y - 6

10 Reduce: E = x - 3x + 2(-x + 1) + 2 A) -2x D) -2x - 4

(7x + 1)

B) 33x + 8 E) 61x + 5

A) en 7 D) en 5

C) -2x + 4

B) 4 E) -4

11 Efectua: P = x + {(–2x + y)– - x + y - z + x} – z B) 2x + y E) 2x–z

A) x–2z D) x + y

C) x

2 2 12 Si a la suma de Ax + 5x + 8 con 3x +Bx – 6 se 2 obtiene 5x + 7x + 2, calcula “A + B”

A) 2

B) 3

C) 5

D) 4

E) 8

3 2 3 2 13 Al restar 6x + Nx + 5x + 3 de Mx + 5x + 2x + 4 3 2 se obtiene: 2x + 3x r 3x + 1. Calcula “M – N”.

A) 4

B) 6

C) 8

D) 10

E) 12

2 14 ¿Qué polinomio hay que sumar a: P(x) = 2x – 3x 2 + 5, para obtener 7x + x – 4?

A) 2x2 – 3x + 6 D) 3x2 – 2x+5

B) 5x2 + 2x – 1 C) –x2+4x– 7 E) 5x2 + 4x – 9

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

119

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

2 2 2 2 15 Al restar (4x y –3xy +2xy) de (–4xy + x y + 5xy ) se obtiene:

A) 8xy2 – 6xy – 3x2y C) 4xy2+5xy–2x2y E) 4xy2–3xy

B) 6xy2 – 3xy +x2y D) –4xy2+2xy–5x2y

A) 8

4

3

17 Al restar los polinomios: A = 5x – 3x + 5x + 1 ∧ B = 7x4 + 2x2 – 6, la suma de los coeficientes de los términos de mayor y menor grado es: B) 4

C) 5

D) 6

3

E) 2

3

2

18 Si de 4x + 3x – 6 se resta 5x – 2x + 4x – 4, ¿qué expresión hay que sumar a la diferencia para obtener 2x2 + x – 2? A) x + 2 D) x3 + 2

B) x(x2 + 2) E) x3 – 2

C) x(x + 2)

19 De la figura mostrada: A

P

AB = 4x + 1 BC = 6x + 4 PM = 3x + 2

Q

D

M

N

B

C

Calcula el perímetro de la figura. A) 26x + 18 D) 24x + 16

B) 23x + 16 E) 14x + 26

C) 26x + 14

20 Reduce la expresión: R = – [– (–x)] – [+ (–x)] + {– (–y + z) – [+ (–z)]} A) 0

B) –y

C) 2x + y

D) y

E) 2z + y

21 Simplifica: Q = –[–3x + (– x – {2y–3})] + {– (2x+y) + (–x – 3) + 2 – (x + y)} A) 3x + 4 D) – 4

B) 2x + y – 4 E) 0

C) 3x + 2y + 4

2 2 2 2 22 Si a la suma de Ax – xy + y con 2x + Bxy – 3y 2 2 2 2 se le resta 3x – xy – cy se obtiene 3x +2xy+y , calcula “A + B + C”.

A) 7

120

B) 6

C) –3

D) 7

E) 14

E = -5(x + y) - 2x - y + 2(-x + y - 3 - x - y - 1) + 2x A) –x – 8y + 4 D) 2x + 2y – 4

C) 9

D) 4

E) -2

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

B) 2x – 7y + 6 E) – x – 8y – 4

C) –x + 2y + 4

2 25 Dados los polinomios: A = ax + bx + c ; 2 2 B = 6x – 3x + 5 ∧ C = 9x + 2x + 7. Si A + B = C , calcula “a + b + c”

A) 8

B) 9

C) 10 D) 11

E) 12

3 3 26 Si 2x – x – 9 se resta de 4x – 11x + 2, ¿cuánto se debe sumar a la diferencia para obtener 2x3 + x – 5?

A) x + 16 D) 11x – 6

B) 11x – 16 E) x + 6

C) x – 16

27 Al sumar los siguientes polinomios: P = 3x2 + 5y2 + 8xy ; Q = 2y2 + 5x2 + xy ∧ R = x2 - y2 + xy la suma de los coeficientes del resultado es: A) 6



B) –4

24 Reduce la expresión:

3 2 16 Al sumar los polinomios: P = 3x + 4x + 2 2 ∧ Q = 21x + 4x + 1. La diferencia de los coeficientes de términos de mayor y menor grado es: A) 2 B) 20 C) 0 D) 19 E) 1

A) 3

2 2 23 De la suma de 6x + 11x – 35 con 3x – 6x, resta 2 9x +3x–29, si obtenemos mx + n, calcula el valor de “m + n”.

B) 25

C) 7

D) 10

E) 13

28 Al sumar los siguientes polinomios: A = 6x2y + 3xy2 - 12xy ; B = 2xy2 + 16xy - 4x2y ∧ C = 4xy - 5xy2 + x2y, la suma de los coeficientes del resultado es: A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 15

Clave de Respuestas 1. D

11. C

21. D

2. C

12. D

22. C

3. D

13. B

23. B

4. D

14. E

24. A

5. C

15. A

25. C

6. E

16. C

26. B

7. E

17. C

27. B

8. D

18. B

28. B

9. B

19. C

10. E

20. D

POLINOMIOS EN IR

Razonamiento y demostración

Resolución 7

Resolución 1 A = x2 + 3x – 4 B = 2x2 – 4x + 1 C = –2x – x2 + 3 B + C – A = –9x + 8



Rpta. D

Resolución 2

2p – n = 2p 6(2x + 1) – n = 4(3x – 1) n = 10

Rpta. E

Resolución 8

A = 4x3 – 2x + 1 B = x3 – 3x2 + 6 C = x2 – 3x3 + 4 A – B + C = 3x3 + 3x2 – 2x – 5 + x2 – 3x3 + 4

(4x – 1)

2



A – B + C = 4x – 2x – 1

(4x+3)

Rpta. C

Resolución 3

4x – 1

2p = 4(3x + 2) 2p = 12x + 8

/

2p = 2(5x + 2) + 2(4x – 1) 2p = 18x + 2

2p + 2p = 30x + 10 Rpta. D

(10x – 3)

2p = 4(7x + 1) 2p = 28x + 4

Resolución 10

2p = 2(10x – 3) + 7x + 1 2p = 27x – 5

2p + 2p = 55x – 1

Rpta. D

5x2 – 3x + 6 + n = 8x2 + 5x – 3 n = 3x2 + 8x – 9

Rpta. C

Resolución 6 3

E = x – 3 x + 2 (- x + 1 ) + 2 E = x – 3x + 2x – 2 – 2 E = –4

Rpta. E

P = x + {(–2x + y) – - x + y - z + x} – z P = x + { –2x + y + x – y + z + x} – z R=x

Rpta. C

Resolución 12

Resolución 5



Rpta. D

Resolución 11

(7x + 1)

/

2p – n = 2p 5(4x + 3)–n = 2(7x + 4) + 2(3x + 1) n=5

R = –3x2 –{5y + [–3x2 + {y –(6 + x2)} – (–x2 + y)]} R = –3x2 –{5y + [–3x2 – 6]} R = –5y + 6 Rpta. B

Resolución 4

(7x + 1)

(7x + 4)

Resolución 9

5x + 2

3x + 2



Ax2 + 5x + 8 +3x2 + Bx – 6 = 5x2 +7x + 2 (A + 3)x2 + (5 + B)x + 2 = 5x2 + 7x + 2 A+3+5+B=5+7 A+B=4 Rpta. D

Resolución 13 2

3

16x – 4x – 9 – n = 12x + 6x – 8

3x + 2

(2x+1)

n = 4x3 – 4x2 – 6x – 1

Rpta. E

Mx3+5x2+2x+4 –(6x3+Nx2+5x+3) = 2x3+3x2–3x+1 (M – 6)x3+(5–N)x2–3x+1 = 2x3+3x2–3x+1 M–6+5–N=2+3 M–N=6 Rpta. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

121

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 14

Resolución 22

2

2

2x – 3x + 5 + n = 7x + x – 4 n = 5x2 + 4x – 9



Rpta. E

Resolución 15 –4xy + x2y + 5xy2 – (4x2y – 3xy2 + 2xy) –3x2y + 8xy2 – 6xy Rpta. A



Resolución 16 P = 3x3 + 4x2 + 2 Q = 21x2 + 4x + 1 P + Q = 3x3 + 25x2 +4x + 3 coef. de mayor grado – coef. de menor grado 3–3=0 Rpta. C Resolución 17 4



3

A = 5x – 3x + 5x + 1 B = 7x4 + 2x2 – 6 A – B = –2x4 – 3x3 – 2x2 + 5x + 7 coef. de mayor grado + coef. de menor grado –2 + 7 = 5 Rpta. C



Resolución 18 4x3 + 3x – 6 – (5x3 – 2x2 + 4x – 4)+Q = 2x2 + x – 2 –x3 + 2x2 – x – 2 + Q = 2x2 + x – 2 Q = x3 + 2x Q = x(x2 + 2) Rpta. B Resolución 19 A

P

Q

D

N

B

AB = 4x + 1 = CD PM = 3x + 2 = QN

C

2p = AB + AP + MN + QD + PM + QN + CD + BC 2p = 4x + 1+6x + 4+3x + 2+3x + 2+4x + 1+6x + 4



2p = 26x + 14

Rpta. C

Resolución 20 R = –[–(– x)] – [+(– x)] + { –(–y + z) – [ + (– z)]} R = –x + x + { y – z + z } R=y Rpta. D Resolución 21 Q = –[–3x+(–x–{2y–3})]+{–(2x+y)+(–x–3)+2–(x + y)} Q = – [–4x – 2y + 3] + { –4y – 2y – 1}



122



Q=–4



Rpta. C

Resolución 23 (6x2 + 11x – 35 + 3x2 – 6x) – (9x2 + 3x – 29) = mx + n 2x – 6 = mx + n m+n=2–6 m + n = –4

Rpta. C

Resolución 24 E = –5(x+y)– 2x - y + 2 (- x + y - 3 - x - y - 1) + 2x E = –5x – 5y – 2x + y + 2x – 2y + 6 +2x – 2y – 2 +2x

E = – x – 8y + 4

Rpta. A

Resolución 25 A = ax2 + bx + c B = 6x2 – 3x + 5 C = 9x2 + 2x + 7 A+B=C (6 + a)x2 +(b – 3)x + (c + 5) = 9x2 + 2x + 7 6+a+b–3+c+5=9+2+7 a + b + c = 10 Rpta. C Resolución 26

BC = 6x + 4 = AP + MN + QD M

(Ax2–xy+y2+2x2+Bxy–3y2)–(3x2–xy–c2)=3x2+2xy+ (A–1)x2+Bxy+(c–2)y2=3x2+2xy+y2 A – 1 = 3 / B = 2 / C – 2= 1 A=4 C=3 A+B+C=9

Rpta. D

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

(4x3 – 11x + 2 – (2x3 – x – 9)) + Q = 2x3 + x – 5 2x3 – 10x + 11 + Q = 2x3 + x – 5 Q = 11x – 16 Rpta. C Resolución 27 P = 3x2 + 5y2 + 8xy Q = 2y2 + 5x2 + xy R = x2 – y2 + xy P + Q + R = 9x2 + 6y2 + 10xy Suma coef. = 25

Rpta. A

Resolución 28 A = 6x2y + 3xy2 – 12xy B = 2xy2 + 16xy – 4x2y C = 4xy – 5xy2 + x2y A + B + C = 3x2y + 8xy Suma coef. = 11

Rpta. A

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Comunicación matemática 1 Dados los polinomios: P(x ; y) = 3x + y + 6 ∧ Q(x ; y) = -3y + x - 9. Calcula: 3P(x ; y) + Q(x ; y) A) 10x – 9 D) 10x + 6y

B) 16x – 11 E) 10x + 6y – 3

C) 10x + 9

2 Dados los polinomios: P(x ; y) = 5x + 3y – 3 ∧ Q(x ; y) = 2y – 2x + 5. Calcula: 2P(x ; y) + 5Q(x ; y) A) 13y – 8 D) 14y – 19

B) 16y – 9 E) 8y + 19

C) 16y + 19

2 3 Dados los polinomios: P(x) = 5x – 3x + 1 ∧ 2 Q(x) = x – 3 ; entonces: P(x) – Q(x) = ?

10 Dados los polinomios: P(x) = 4x3 + 2x2 + x + 3 ∧ Q(x) = 5x2 - 4x - 4 Determine: P(x) - Q(x) A) 4x3 - 3x2 - 1 C) 4x3 - 3x2 - 7 E) 3x2 - x2 - 5x - 7

B) 4x3 - 3x2 + 5x + 7 D) 2x3 - 2x2 - 5x

3 2 11 Luego de sumar P y Q: P = 5x + 2x - x + 6 2 Q = -2x + x + 3, el polinomio resultante tiene:

A) 7 términos B) 4 términos C) 2 términos D) 6 como término independiente E) 3 como término independiente

A) 4x2 – 3x B) 6x2 – 3x + 2 C) 4x2 – 3x + 1 2 D) 4x + 3x – 4 E) 4x2 – 3x + 4

12 Luego de restar “A” y “B”, A = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x – 8 B = 5x3 + x + 2x2 + 8, el polinomio resultante tiene:

4 Luego de sumar P y Q, el polinomio resultante tiene: P = 4x3 + 2x2 – x + 5 ∧ Q = –3x2 + 2x + 3

A) 5 términos B) 4 términos C) 2 términos D) 4 como término independiente E) 0 como término independiente

A) 7 términos B) 4 términos C) 5 términos D) 6 como término independiente E) 15 como término independiente 5 Luego de restar A y B, el polinomio resultante tiene: A = 5x2 + 6x – 2 ∧ B = –2x2 + 6x + 1 A) 6 términos B) 3 términos C) 2 términos D) 3 como término E) -1 como término independiente 2 2 6 Dados los polinomios: P = x + x – 3 ; Q = 2x – 2x + 1 2 ∧ R = 3x – 4x + 5. Halla “(P + Q) – R”

A) 2x + 7 D) 3x + 9

B) 3x – 7 E) 5x – 4

C) 3x + 7

2 2 7 Dados los polinomios: A = 5x –x + 4; B = 3x – 4x + 1 2 ∧ C = 2x + 5x + 3. Halla “(A – C) – B”

A) 2x

B) –2x

C) 3x

D) –3x

E) –x

2 2 8 Dados los polinomios: P(x ; y) = 2x - 2x + 3y - 3 2 2 ∧ Q(x ; y) = 4x - 4x - 3y + 6. Calcula: 2P(x ; y) + Q(x;y)

A) 2y2 B) -3y2 C) 3y2 D) -y2

E) 8y2

2 2 9 Dados los polinomios: A(x ; y) = 8xy +6x y - 3xy+8 B(x ; y) = 4xy2+2x2y+xy+5. Calcula A(x;y) - 2B(x;y)

A) 2x2y - 5xy + 2 C) 2xy2-5xy-2 E) 3x2+5xy+4

B) 2x2y-5xy-2 D) x2y+7xy+2

4 2 13 Dados los polinomios: P = x + 3x + 5x 3 4 2 Q = x – 13x + 2 ∧ R = 2x + x + x3 – 3x + 2 Hallar “(2P – R) + Q”.

A) 5x3 B) 4x2

C) 5x2

D) 3x4 E) 3x3+4x2

14 Suma los siguientes polinomios: A = x3y3 + 3x3 + y3 - x2y2 B = 2x2y2 - 2x3y3 - y3 + x3 C = 4x3 + x3y3 - x2y2 A) x3

B) x2y2 C) y3

D) 8x3 E) x3y3

15 Sean las expresiones algebraicas: A = -4x3y2 - 7x2y3 + 2x2y2 B = 2x2y3 - 5y2x3 - 6x2y2 C = -5x2y2 - 5x2y3 - 9x3y2 Calcula A + B - C A) x2y2 B) x3y

Clave de Respuestas

C) 2x4y D) xy

E) 2xy

1. C

6. B

11. C

2. C

7. B

12. C

3. E

8. C

13. C

4. B

9. B

14. D

5. C

10. B

15. D

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

123

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Comunicación matemática

Resolución 8 P(x ; y) = 2x2 – 2x + 3y2 – 3 Q(x ; y) = 4x – 4x2 – 3y2 + 6 2P(x ; y) + Q(x ; y) 4x2 – 4x + 6x2y – 6 + 4x – 4x2 – 3y2 + 6

Resolución 1 P(x ; y) = 3x + y + 6 Q(x ; y) = –3x + x – 9 3P(x ; y) + Q(x ; y) 9x + 3y + 18 + x – 3y – 9 10x + 9

Resolución 9 Rpta. C

Resolución 2 P(x ; y) = 5x + 3y – 3 Q(x ; y) = 2y – 2x + 5 2P(x ; y) + 5Q(x ; y) 10x + 6y – 6 + 10y – 10x + 25 16y + 19 P(x) = 5x2 – 3x + 1 Q(x) = x2 – 3 P(x) – Q(x) = 4x2 – 3x + 4 Resolución 4 P = 4x3 + 2x2 – x + 5 Q = –3x2 + 2x + 3 P + Q = 4x3 – x2 + x + 8 Tiene 4 términos

Rpta. E

P(x) – Q(x) = 4x3 – 3x2 + 5x + 7

P = 5x3 + 2x2 – x + 6 Q = –2x2 + x + 3 P + Q = 5x3 + 9 Tiene 2 términos

Rpta. C

Rpta. C

Resolución 12

Rpta. B

A = 6x4 + 5x3 + 2x2 + x – 8 B = 5x3 + x + 2x2 + 8 A – B = 6x4 – 16 Tiene 2 términos



Rpta. C

Resolución 13

Rpta. B

Resolución 6 P = x2 + x – 3 Q = 2x2 – 2x + 1 R = 3x2 – 4x + 5 (P + Q) – R = 3x2 – x – 2 – 3x2 + 4x – 5 (P + Q) – R = 3x – 7 Rpta. C Resolución 7 A = 5x2 – x + 4 B = 3x2 – 4x + 1 C = 2x2 + 5x + 3 (A – C) – B = 3x2 – 6x + 1 – 3x2 + 4x – 1 (A – C) – B = –2x Rpta. B

P = x4 + 3x2 + 5x Q = x3 – 13x + 2 R = 2x4 + x2 + x3 – 3x + 2 (2P – R) + Q 2x4 + 6x4 + 10x – 2x4 – x2 – x3 + 3x – 2 + x3 – 13x + 2

Resolución 14

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

5x2

P = x4 y3 + 3x3 + y3 – x2y2 Q = 2x2 y2 – 2x3 y3 – y3 + x3 R = 4x3 + x3y3 – x2y2 A + B + C = 8x3

Resolución 15

Rpta. C

Rpta. D

A = –4x3y2 – 7x2y3 + 2x2y2 B = 2x2y3 – 5y2x3 – 6x2y2 C = –5x2y2 – 5x2y3 – 9x3y2 A+B-C - 5x2 y3 - 9x3 y2 - 4x2 y2 + 5x2 y2 + 5x2 y3 + 9x3 y2



124

Rpta. B

P(x) = 4x3 + 2x2 – x + 3 Q(x) = 5x2 – 4x – 4



Resolución 5 A = 5x2 + 6x – 2 B = –2x2 + 6x + 1 A – B = 7x2 – 3 Tiene 2 términos

2x2y – 5xy – 2

Resolución 11

Resolución 3

Rpta. C

A(x ; y) = 8xy2 + 6x2y – 3xy + 8 B(x ; y) = 4x2y + 2x2y + xy + 5 A(x ; y) – 2B(x ; y) 8xy2 + 6x2y – 3xy + 8 – 8xy2 – 4x2y – 2xy – 10

Resolución 10 Rpta. C

3y2

xy

Rpta. D

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Resolución de problemas

5 En la figura mostrada ABCD, es un rectángulo, calcula el perímetro de la región coloreada.

1 Matías tiene un terreno el cual se indica en la figura, cuyas dimensiones están dadas en metros. x2 + 2

M

x2 + 1

x2 + 3x

B) 3x2+6x+4 E) 4x2+6x+5

2 D) 60x y 2 E) 90x y

A) 4x

B) 8x

A) 2x + 2y B) x + 20 C) x + y + 10 D) 2(y + 10) E) 3(x + y)

C) 24x

C

E

B

F

G

y

X

D

A

10

8 De la figura, calcula el perímetro de la región coloreada.

C

A) 2x + 2y + 15 B) 2x + 2y + 30 C) 2x + 15 D) 2y + 15 E) 2y + 30

D

C) 10x D) 12x E) 6x

3x2y

7 Se tiene un rectángulo ABCD, en ella se construye una piscina cuadrada BEFG. Calcula el perímetro del terreno que no está construido.



A

7x2y

2 C) 50x y

4 En la figura mostrada ABCD, es un cuadrado, cuyo perímetro es igual a “16x”, halla el perímetro de la región coloreada. B

5x2y

2 B) 45x y

D

B) 32x E) falta datos

C) 3(8 + x)

A) 30x y

C

A) 16x D) 30x

B) 6(x + 2) E) 3(4x + 1)

2

3 Si el perímetro del rectángulo ABCD es igual a “32x”, calcula el perímetro de la región coloreada.

A

D

6 La figura muestra un prisma. Calcula la suma de las longitudes de sus arístas.

C) x2+2x+8

B) S/. (5x2 + 3x + 17) D) S/. (x2 – 2x + 20)

B

3X E

N (4X + 3)

A) 6(4x + 1) D) 6(2x + 1)

2 Joselyn compró 4 cuadernos a S/. (2x+3) cada uno, y 5 libros a S/. (x2–x+1), cada uno. ¿Cuánto gastó? A) S/. (4x2 – 2x + 13) C) S/. (3x2 + 4x + 10) E) S/. (4x2 + 5x + 14)

G

A

Para cercarlo con una vuelta ¿qué longitud en metros de alambre necesita? A) 4x2 + 7x+5 D) 2x2+5x+7

C

F

2 x + 4x + 2



H

B

Clave de Respuestas

x

2y 3 12

1. A

4. C

7. D

2. B

5. D

8. E

3. B

6. D

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

125

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución de problemas

Resolución 5 H

B

Resolución 1

C

· BH + FE = AD

S M

2

x +2

G F

x2 + 1

x2 + 3x

A

2 x + 4x + 2

2

2

2

2

2P = x + 1 + x + 2 + x + 3x + x + 4x + 2 2P = 4x2 + 7x + 5

Rpta. A

N (4X + 3)

3X

· MG + ND = AD

E

· BM = HG

D

· FN = ED

2Ps = BM +BH + HG + MG + FE + ED + FN + ND 2Ps = 2HG + AD + AD + 2FN 2Ps = 2x + 2(4x + 3) + 2x 2Ps = 6(2x + 1) Rpta. D Resolución 6

Resolución 2

∑ Artistas = ? ∑ Artistas = 4(5x2y) + 4(7x2y) + 4(3x2y) ∑ Artistas = 20x2y) + 28x2y) + 12x2y)

Gastó = 4(2x + 3) + 5(x2 – x + 1) Gastó = S/. (5x2 + 3x + 17)



Rpta. B

Resolución 3 B

C

AD = BG + FE AB = GF + DE A

D

2Ps = AB + BG + FE + GF + ED + AD 2Ps = AB + AD + AB + AD 2Ps = 32x Resolución 4 4x B C x

Rpta. E

x x

S

x

A



126

2Ps = x + x +4x + 4x 2Ps = 10x

D

Rpta. C

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

∑ Artistas = 60x2y Resolución 7 2Ps CDAGFE = ? 2P = y + 10 + y – x + x + x + 10 – x 2P = 2y + 20 2P = 2(y + 10) Resolución 8 2P = 2x + 2y + 2(3) + 2(12 – x) 2P = 2x + 2y + 6 + 24 – 2x 2P = 2y + 30

Rpta. D

Rpta. D

Rpta. E

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y Demostración 1 Sabiendo que:

2 Sabiendo que:

2

P(x) = 2x - 3x + 6

P(x) = x





Calcula el valor de la expresión:

E =

E=

2n+5

+ 3x

2n+3

- 12x

2n-1

Además: GR(x) = 17. Calcula el valor de

P(-2) + P(1) P(-1) - P(0)

4n + 1 .

P (- 2) + P (1) = 20 + 5 = 25 = 5 P (- 1) - P (0) 11 - 6 5

P(–2) = 2(–2)2 –3(–2) + 6 = 8 + 6 + 6 = 20

i. GR(x) = 17 2n + 5 = 17 2n = 12 n=6

P(1) = 2(1)2 – 3(1)+6 = 2 – 3 + 6= 5 P(–1) = 2(–1)2 –3(1)+6 = 2 + 3 + 6 = 11 P(0) = 2(0)2 – 3(0) + 6 = 0 – 0 + 6 = 6

ii)

4 (n) + 1 =

4 (6) + 1 =

125 = 5

` E=5

` E=5

a+3

b+1

+ c - 4, es 3 Si: P(x) = (a - 3)x + (b-1)x un polinomio identicamente nulo, evalúa el polinomio: G(x) = ax

a+3

+ bx

b+1

4 ¿En cuánto excede el perímetro del cuadrado al perímetro del triángulo?

+ c ; para: x = 2.

2x

a=0,b=0,c=0 x=2 0(2)0+3 + 0(2)0+1 + 0 23 + 21 8+2

Rpta 10

(3x+1)

5x-2

3x+1

a) 2p = 4(3x + 1) = 12x + 4 b) 2p = 2x + 3x + 1 + 5x – 2= 10x – 1 c) 12x + 4 – (10x – 1) 12x + 4 – 10x + 1

` Rpta 2x + 5

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

127

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación Matemática 1 Analiza cada expresión y escribe en el paréntesis “E.A.” si es una expresión algebraica o “No E.A” si no es expresión algebraica. 2 3 -2 3 -3 5 b) x + 5 x + 4 x 2 3 4 c) x + 2x + 3x + ... 2

a) 2 x + 5x -

8

d) 12x + 20x a

e) 9x +

0,5

- 16x

( E.A ) ( No E.A ) ( No E.A )

0,75

( E.A )

3 1 b x + x 2

( No E.A )

2 Del polinomio: P(x) = 2x

15

+x

19

-x+4

Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda. a) Su grado es 35

(F)

b) El término independiente es 4

(V)

c) El polinomio está odenado

(F)

d) La suma de coeficentes es 10



e) Es un polinomio completo

3 Completa la tabla:

(F) (F)

4 Luego de sumar P y Q, ¿cuántos términos tiene el polinomio resultante?. Si además: 3

2

P = 4x + 2x - x + 5 Término algebraico

Coeficiente

2 2

P(x;y) = 5 x y 2 Q(x;y) = 3 x y 2

3

5 5 R(x;y) = 1 x y 4

1

2

2 4

x;y

2;2

x;y

2;1

x;y

5;5

6 4

3a

x;y

6;4

3

–b2

x;y

1;3

M(x;y) = 3ax y N(x;y) = -b xy

128

5

Parte Exponente Variable

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

Q = -3x + 2x + 3

4x3 + 2x2 – x + 5 – 3x2 + 2x + 3 4x3 – x2 + x + 8

` El polinomio resultante tiene 4 términos

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución de Problemas 1 El polinomio es completo y ordenado en forma descendente. P(x;y) = ( m - 1)x

p-5

+ (n - 2)x

m-4

+ px

n+3

2 Manolito tiene un terreno rectangular que quiere cercarlo con dos vueltas de alambre ¿Qué longitud de alambre necesita?

Calcula la suma de coeficientes.

i) n + 3 = 0 ii) m – 4 = 1 iii) p – 5 = 2

(x + y + 1)

n = –3 m=5 p=7

2x + 3y + 5

2(2x + 3y + 5) + 2(x + y + 1) 4x + 6y + 10 + 2x + 2y + 2 6x + 8y + 12

m–1+n–2+p 5 – 1+ –3 – 2 + 7 Rpta. 6

` Necesito 6x + 8y + 12 de longitud del alambre

3 Si: P(x) = ax + b

Además: P(4) = 22 ∧ P(3) = 17



Calcula: P(5).

4 Se tiene el rectángulo ABCD y el cuadrado DEFG, calcula el perímetro de la región coloreada. B

P(4) = 22 a(4) + b = 22 4a + b = 22

b = 22 – 4a 22 – 4a = 17 – 3a 5=a

P(3) = 17 a(3) + b = 17 3a + b = 17

/

b = 17 – 3a

b=2

x

x G

x

E

15 – x

C

x y

F

y–x A

15

D

2p = y – x + x + x + 15 – x + y + 15 2p = 2y + 30

P(5) = a × 5 + b = 5 × 5 + 2 = 27 P(5) = 27

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

129

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

De manera individual calcula los productos en cada caso, mostrando responsabilidad en su trabajo. 1

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

Calcula los productos en cada caso: 4

a) x8 · x9 = x17

b) (4x)(3x ) = 12x5

x

Rpta.

17

-7

3

-4 7

c) (-5x )(2x ) = –10x–4

5

Rpta.

12x

Rpta.

2xy

Rpta.

9a b c

Rpta.

-24x

5 -3

d) (0,2x y )(10x y ) 2xy4

Rpta.

-4

-10x

! e) a0, 6x 4 y- 7kb 9 x- 5 y8l 4 6 4 -7 9 -5 8 e x y ob x y l 9 4 3 x- 1 $ y 2

f) c 21 a 4 b- 2 c8mc 12 a- 5 b 4 c- 6m 4 7

9a–1 b2 c2 -1

3/2x y

Rpta.

-1

-2

Rpta. )(-8x

-5

–24x–8

x4n+6

n+4

-1 2 2

h) (-3x )(-2x )(-4x )

g) xn· xn+1· xn+2· xn+3

i) (-3x

4

x

4n + 6

2n-3

3n+1 4n+2

)

j) (5x

y

24x3n+1

-8

6n-2 3n+4

)(3x

y

)

15x9n–1 · y7n+6 3n+1

Rpta. 15x9n–1 · y7n+6

Rpta. 24x

a+1

l) (4x

k) b 3 x5 - 4n $ y7 - 2nlc 8 x3 + 5n y- 4 + 2nm 4 9

a-1

)(5x

)(-3x

a-2

)

–60x3a – 2 2 x 8 + n $ y3 3 Rpta.

130

8+n 3

2/3x

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

y

Rpta.

3a - 2

- 60x

POLINOMIOS EN IR

2 Calcula el área del rectángulo.

3 Calcula el área del cuadrado.

3x 5

2 3 3a b

3x 5

6ab A = 6ab × 3a2b3

A = 3x$ 3x 5 5

A = 18a3b4

A = 9 x2 25

4 Calcula el área del triángulo.

5 Calcula el área del triángulo.

6 mn2

6xy

2 m2n 3

8x4y2

A =

2 m2 n # 6mn2 3 3 A = 3 = 4m n 2 2

8x 4 y2 # 6xy 2

A = 24x5y3

A = 2m3n3

6 Calcula en cuánto excede el área del cuadrado al área del rectángulo.

3xy 5x2y

3 10x y

(5x2y)2 – 10x3y · 3xy 25x4y2 – 30x4y2 4 2

–5x y

7 Calcula en cuánto excede el área del rectángulo al doble del área del triángulo.

4x4y2

5

2x y

3x4y

6x3y2 4 4 2 6x3y2(2x5y) – 2 # 3x y # 4x y 2

12x8y3 – 12x8y3 0

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

131

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula el producto de: 4 2

2 Calcula el producto de: (-8/3a b )(-15/2a b ) 120 a–2 b4 = 20 a–2 b4 6

12x9y9

3 Calcula el producto de: -1 4 -3

4 Calcula el producto de:

4 -2 5

(-2x

(-4x y z )(-3x y z )

n+1 n+2

y

)(-3x

6x

12x3y2z2

5 Calcula el producto de: -3 4

-4 -1

2 5

5 7

(-3x y )(-4x y )

2n+3

n+2 n+3

y

)

2n+5

y

6 Calcula el producto de: 4-3n 2n+1

5 -7

(32/25x

(-8x y )(-3x y )

y

4 32

24x2y–3

25

7 Calcula el área del rectángulo.

3n-4 4-2n

)(125/8x

#

5 125

8

y

)

x0y5 = 20y5

8 Calcula el área del cuadrado.

2x2y 5xy2

1 x2y 3

A = 5xy2 × 2x2y = 10x3y3 A = 1 x2 y # 1 x2 y = 1 x 4 y2 3 3 9 9 Calcula el área del triángulo.

10 Calcula el área del romboide. 4xy

3x2y

7x3y2 7x3 y2 # 4xy A = = 14x 4 y3 2

132

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

10xy A

= 10xy × 3x2y

A

= 30x3y2

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

De manera grupal realiza las potencias en cada caso, teniendo en cuenta las leyes de exponentes.

PARA LA CLASE

1 Calcular las siguientes potencias: 2 ! 8) `0, 6 m2 n 4j = 4 m 4 n8 9

1) (x5)7 = x35 2) (a3b5)8 = a24b40

16) (4x3y2)n = 4n · x3n · y2n

9) (–3x-1y-4z5)4 = 81x–4y–16z20

3) (2a2b4c-1)7 = 128·a14b28·c–7

17) (a3n+1bn–1)–4 = a–12m–4 b–4n+4

10) (–2xn-2y2n+3)5 = –32x5n–10y10n+15

2

3

4) e 1 x- 1 y3 z- 2 o = 1 x- 3 $ y9 $ z- 6 3 27 2 3 2

15) (–3xnyn+1zn+2)4 = 81x4ny4n+4z4n+8

-4 2 -1 3

11) (0,1a b c ) = 0,001a

bc

5) (-4xy z ) = 16x y z

-2

6) (3xn+5 yn+2)4 = 81x4n+20y4n+8

2 4 5 3

20) e 2 a- 2 b6 o 5

6 12 15

13) (–5x y z ) = –125x y z

7) (0,2a4b-1c-3)3 = 0,008a12b–3c–9

2

2 19) b 3 x 4 y5 l = 9 x8 y10 7 49

3 ! 12) b0, 6 x- 5 y- 3 z 4 l = 8 x- 15 y- 9 z12 27

2 4 6

2

18) (x2ny3nzn)n = x2n · y3n · zn

–12 6 –3

= 25 a 4 b- 12 4

14) (–2x3n+1y4n+2)6 = 64x18n+6·y24n+12

2 Hallar el resultado de: 1) (x4)7 · (x3)4 = x28 · x12 = x40

11) (3a2)2 (2a4)4 = (9a4)·(16a16) = 144a20

2) (x-2)3 · (x-4)5 = x–6 · x–20 = x–26 4 3

5 2

12

3) (2a ) · (3a ) = 8a 2 4 3

10

· 9a

5 3 5

12) (4m2n3)2(m–1n–5) = (16m4n6)(m–1n–5) = 16m3n

22

= 72a

6 12

4) (-2a b ) (-a b ) = –8a b

· (–a25 · b15)

= 8a31 · b27



-1

5) (-3x4y-2)3 (2x5y3)2 = –27x12y–6 ·4· x10 · y6 = –108x22y0 = –108x22

4 5 2

3 4 3

8 10

13) (xa+2 )3(2xa-1)4 = (x3a+6)(16x4a–4) = 16x7a+2

9 12

14) (2ab)3 e 1 ab o 2

2

2 15) b 3 x2 y l e 2 xy2 o = e 9 x 4 y2 oe 4 x2 y 4 o = 1 x6 y6 4 9 16 81 36

6) (0,2x y ) (5x y ) = (0,4x y )·(125x y )

= 50x17y22

7) (-b2n4)3 · (-b4n-1)6 = –b6n12 · b24 · n–6

= –b30 · n6

8) (2xn+2)3 (4xn+3)2 = 8x3n+6 · 16x2n+6

= 128x5n+12

9) (xa+1 · y2a+3)4 (xa-1y3a-2)5 x4a+4 · y8a+12 · x5a–5 · y15a–10 = x9a–1 · y23a+2 10) (xn-1 · yn+2)5(x2-n· y3-n)5 x5n–5 · y5n+10 · x10–5n · y15–5n = x5 · y25

= (8a3b3)(2a–1b–1) = 16a2b2

3

4 16) e 1 a 4 b3 o `2a- 1 b3j = e 1 a12 b9 o`16a- 4 b12j = 2a8 b21 2 8 2 -1 17) b 2 m- 4 n5 l b 2 m 4 n l = b 7 m 4 n- 5 le 4 m8 n2 o 7 7 2 49 2 12 - 3 = m n 7 2

3 18) e 3 p- 4 q o b 5 pq3 l = e 9 p- 8 q2 oe 125 p3 q9 o = 5 p- 5 q11 5 3 25 27 3 3

4 19) e 1 a2 x o `3a- 1 x2j = e 1 a6 x3 o`81a- 4 x8j = 3a2 x11 3 27

20) (–4x2y2)2(–xy4)3 = (16x4y4)(–x3y12) = –16x7y16

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

133

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula las siguientes potencias: 20

4 3

a) (a

)

3 4

12

= a

b) (2x ) = 16x

c) (-m4n5p–1)

12

=

m80n100p–20

4n+1 3n-2 4

d) (-3b

)

c

=

e)

(

81b16n+4c12n–8

g) (- 2x

-3 -5 4 6

y

z

)

=

)

2 -3 4 2 3 x y z = 3

7

(a2 b3)

f)

a14b21

8 x–9 y12 z6 27 32

h) (-5xy

64x–18 y–30 z24

)

=

5

(4x2n+3 yn-5)

i)

25x2 y6

4

= 1 m12 n- 16 4

2 Halla el resultado de: 32

7

4

) . (a5)

3

b) (-2mn) . (-2mn)

16m4n4 · –8m3n3 a6 × a35 = a41

3

44

c) (a b) . (ab 5

) (a2b3)

a15 b3 · a4 b16 · a2 b3 a21 · b22

134

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

=

1024x10n+15 y5n–25

4 m12 n- 16 j) e 22 m3 n- 4 o = 16

a) (a

=

–128m7n7

d)

(

)(

)

2 2 3 2 5 -3 3 m n m n 5 2 4 m 4 n6 $ 125 m- 9 n3 25 8 5 m- 5 n9 2

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

De manera grupal calcule el producto en cada caso, valorando el trabajo cooperativo.

PARA LA CLASE

1 Calcula los siguientes productos: 2

2 4

3 4

a) 3xy(4x y + 5x y )

5

12x3 y2 + 15x3 y5

2 3

3 3

b) -4x y (2x y - 5x y ) –8x8 y5 + 20x6 y7

2

n+1

c) 3x (x - 2x + 3x - 8)

d) 8x

2-n

+x

(2x

3x5 – 6x4 + 9x3 – 24x2

4

3

)

16x3 + 8x2n

4-n 3 3n - 2 2 2n + 4 1 n - 4 - x + x e x o

e) 12x

n-1

2

f)

25 x 4 y5 z8 24 x- 1 y- 3 z- 4 e 5 o 8

9x2n+2 – 8xn+8 + 6

15x3 y2 z4

5n+1 4n+2

g) c 9 3 - 1 x 4 y- 1 z8 me 8 3 4 x- 2 y7 z- 2 o 3 4

h) 8x

y

2-n

(2x

4-3n

- 3y

+ 1)

16x4n+3 y4n+2 – 24x5n+1 yn+6 + 8x5n+1 y4n+2 - 6 3 4 x 2 y6 z 6

2

3

4

7

i) (0,1x + 0,2x + 0,3x + 0,4x )(10x )

x8 + 2x9 + 3x10 + 4x11

j)

(-2

5a

-1 4 -2

b c

)(3

4 -3 7

5a b

c

)

–30a3 bc5

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

135

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

2 Calcula el área de las siguientes figura: a)

b) 3xy

3xy 5x

2x + 3y

3x

A1

2x

A2 4x + 10

A

= (2x + 3y) (3xy)

A

= 6x2y + 9xy2

A1 + A2 = 3x(3xy) + 2x(4x+10) A1 + A2 = 9x2y + 8x2 + 20x

c)

d) 2b

C

5b + 6 A A

8C – 2

2 = (5b + 6) (2b) = 10b + 12b

2

2

2

A A

= 5b + 6b

e) Calcula el área sombreado.

2 = (8C - 2) C = 8C - 2C

2

= 4C – C

f) Calcula el área sombreada.

2x

–A

= (3x + 5)2x –

2

3x 7x + 2

3x + 5 =A

x

3x

2x

A

2

2

x

2x

2x $ 2x 2

2

A

=A

–A

A

= 6x + 10x – 2x

A

= (7x + 2) 4x – x2 = 28x2 +8x – x2

A

= 4x2 + 10x

A

= 27x2 + 8x

g)

¿En cuánto excede el área del rectángulo al área del triángulo?

h) ¿En cuánto excede el área del cuadrado al área del rectángulo?

4x

6x (8x+10)

136

2x

2x 3x

(2x+5) (2x + 5) 2 ( 4 x) 2

A

– A = (8x – 10)6x –

A A

– A = 48x2 – 60x – 4x2 – 10x – A =44x2 – 70x

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

A –A A –A A –A

3x+6 = (3x)2 – (3x + 6)2x = 9x2 – 6x2 – 12x =3x2 – 12x

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula los siguientes productos: 8

2

3

! b) 15 x 4 y- 2 c0, 13x5 y 4 m

4

a) 2x (x + x + x + x )

2

= 15 x 4 y- 2 $ e 12 x5 y 4 o 2 90

2x9 + 2x10 + 2x11 + 2x12

= x9 y2

c) -3x2y4 (2x4y-1 + 3x-2y5 - 2x5y2)

d) 5 a2 x e 2 a2 x + 3ax - 8 o 4 5

–6x6y3 – 9y9 + 6x7y6

e) 5b4 c2n+1(3b-2 c4-2n + 2b-3c5-2n)

1 a 4 x2 + 15 a3 x2 - 10a2 x 2 4

f) c 2 x 4 y2 z5 mc 2 x5 y3 z 4 m

15b2c5 + 10bc6

2x9 y5 z9

2 Calcula el área de las siguientes figuras:

3ab

2xy 5a - 2b

5x+2y

A = (5x + 2y)(2xy) = 10x2 y + 4xy2

A A

2 2 = (5a - 2b) (3ab) = 15a b - 6ab

2

2

2

2

= 7,5a b – 3ab

x

4x+1 4mn

6x 7n–3m 2

A

=

(7n - 3m) 4 mn = 14mn2 - 6m2 n 2

A1 5x

x

A2 x

A3

8x + 2 A1 = (4x+1)x = 4x2 + x A2= x2

A3 = (8x+2)5x = 40x2 + 10x A1 + A2 + A3 = 45x2 + 11x

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

137

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

En cada caso calcula el producto, demostrando responsabilidad en tu trabajo. 1

–12x2 + 23x – 10

2

x + 6x - 16

Rpta. 2

24x2 – 26x – 8

2

x - 10x + 25

(7x - 2y)(4x + 3y)

6 Calcula:

28x2 + 21xy – 8xy – 6y2

2

2

28x + 13xy - 6y

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

n

(x + x

2

Rpta.

24x - 26x - 8

n-1

n+1

+ 1)(x

+ 1)

x2n+1 + x2n + xn+1 + xn + xn–1 + 1

28x2 + 13xy – 6y2

138

(-8x - 2)(-3x + 4)

24x2 – 32x + 6x – 8

x2 – 10x + 25

Rpta.

2

-12x + 23x - 10

Rpta. 4 Calcula:

(x - 5)

Rpta.

(-3x + 2)(4x - 5)

–12x2 + 15x + 8x – 10

x2 + 6x – 16

5 Calcula:

PARA LA CLASE

2 Calcula:

Calcula: (x + 8)(x - 2)

3 Calcula :

ACTIVIDADES

Rpta.

x

2n+1

+x

2n

+x

n+1

n

+x +x

n-1

+1

POLINOMIOS EN IR

7 Calcula :

8 Calcula :

2

2

2

(x - y)(x + xy + y )

(4a + 3a - 2)(2a + 5)

x3 – y3

8a3 + 26a3 + 11a – 10

3

3

x -y

Rpta. 9 Calcula :

10 Calcula: 2

(

2

(2m - n)(3m + 7mn - n )

3

)(

)

1 x3 - 1 x5 8 18

2

2

6m + 11m n - 9mn + n

Rpta.

3

11 Calcula : 2

2

1 2 1 2 1 3 1 x + x x- x 6 2 3 4

6m3 + 11m2n – 9mn2 + n3

Rpta.

3

8a + 26a + 11a - 10

Rpta.

1 3 1 5 x x 8 18

12 Calcula : 2

2

(x + x - 1)(x - x + 1)

(3x - 2)(9x + 6x + 4)

x4 – x2 + 2x – 1

Rpta.

27x3 – 8

4

2

x - x + 2x - 1

Rpta.

3

27x - 8

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

139

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula:

2 Calcula : 2

(4y - 3)(3y + 5)

(y + 4)

12y2 + 20y – 9y – 15

y2 + 8y + 16

12y2 + 11y – 15

2

2

Rpta. -y + 8y + 16

Rpta. 12y + 11y - 15 3 Calcula:

4 Calcula: 2

(5x + 2y)(4x + 3y)

2

(x + y)(x - xy + y )

20x2 + 15xy + 8xy + 6y2

x3 + y3

20x2 + 23xy + 6y2

2

3

2

5 Calcula: 3

6 Calcula: 2

(x - 3)(x + 2)(x - 4)

(2x - 3x + 5x - 2)(x - 1)

2x4 – 5x3 + 8x2 – 7x + 2

4

3

x3 – 5x2 – 2x + 24

2

Rpta. 2x - 5x + 8x - 7x + 2

140

3

Rpta. x + y

Rpta. 20x + 23xy + 6y

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

3

2

Rpta. x - 5x - 2x + 24

POLINOMIOS EN IR

Por simple inspección calcula los siguientes productos en forma individual o en grupos, mostrando responsabilidad en su trabajo.

1 Calcula :

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcula:

2

2

(2a + b)

(3a - 2b) 4a2 + 4ab + b2

9a2 – 12ab + 4b2

2

2

2

3 Calcula :

4 Calcula :

2

2

2

(a + b) + (a - b)

2

(3x + 2) - (3x - 2)

2(a2 + b2) 2

4(3x) (2)

2

2a + 2b

24x

2

2

Rpta. 24x

Rpta. 2a + 2b 5 Calcula:

2

Rpta. 9a - 12ab + 4b

Rpta. 4a + 4ab + b

6 Calcula :

2

(0,1x - 2)

e

0,01x2 – 0,4x + 4

x + y

y 2 o x

x +2+ y y x

2

Rpta. x/y + 2 + y/x

Rpta. 0,01x - 0,4x + 4 7 Calcula:

8 Calcula: 2

1 3 e 2 x + 4 yo

1 x2 + 3 xy + 9 y2 4 2 4

2

2

` 3 + 1j - ` 3 - 1j 4` 3 j`1 j 4 3

Rpta.

1 2 3 9 2 x + xy + y 4 2 4

Rpta. 4 3

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

141

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

9 Calcula :

10 Calculav

2

` a+ b + a- bj

:

2

` 3+ 2 - 3- 2j

2a + 2 a2 - b

6-2 7

2

Rpta.

Rpta. 2a + 2 a - b 11 Calcula :

12 Calcula :

2

` 2 a + 3 bj

2

`3 3 - 2 2 j

35 - 12 6

2a2 + 2 6 ab + 3b2

2

2

Rpta. 35 - 12 6

Rpta. 2a + 2 6 ab + 3b 13 Calcula :

14 Calcula :

2

`4 5 + 3 2 j

2

`a2 + b2j - `2abj

2

2

` 4 5 j + 2` 4 5 j`3 2 j + `3 2 j

98 + 24 10

a 4 - 2a 2 b 2 + b 4 2

`a2 - b2j = a2 - b2

15 Calcula :

Rpta. 16 Calcula :

` x - yj + 4xy x2 + 2xy + y2

2

2

2 e x2 + 12 o x 2 2x + 22 x

2

` x + yj = x + y

Rpta.

2

2

a -b

1 1 ex + x o + ex - x o

2

142

2

a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 - 4a 2 b 2

Rpta. 98 + 24 10

x2 - 2xy + y2 + 4xy =

6-2 7

x+y

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2 2 Rpta. 2x + 2 x

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas”

1 Calcula :

PARA LA CASA

2 Calcula :

2

2

(x + 5)

2

(a + b) - (a - b) x2 + 10x + 25

4ab

2

Rpta.

Rpta. x + 10x + 25 3 Calcula : cx +

4 Calcula :

(

7 2 xm

2

2+ 3

x2 + 14 + 492 x

)(

4ab

2

2- 3

)

`2 + 3 j`2 - 3 j

4-3 1

Rpta.

2

x + 14 +

49 2 x

5 Calcula :

Rpta.

1

6 Calcula : 2

2

` 2 + 1j + ` 2 - 1j r

e

2+2 2 +1+2- 2 2 +1 6

Rpta.

x y

y 2 o x x -2+ y y x

6

Rpta.

x y -2+ y x

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

143

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Por simple inspección, calcula los productos para cada ejercicio demostrando responsabilidad en su trabajo. 1 Calcula :

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcular : n

(x - 5) (x + 5)

n

(x + 5) (x - 5) x2 – 25

x2n – 25

2

Rpta. x - 25 3 Calcula :

Rpta.

2n

x

- 25

4 Calcular :

` x + y j` x - y j

` 11 + 5 j` 11 - 5 j

2

2

` 11 j - ` 5 j

x–y

11 - 5 6

Rpta. x - y 5 Calcula : (x

n+6

Rpta. 6 Calcula :

` x3n + 2j` x3n - 2j

n+6

+8) (x

-8)

x2n+12 – 64

x6n – 4

2n+12

Rpta. x

- 64

7 Calcula :

6n

-4

Rpta.

x

Rpta.

x - 1/x

8 Calcula : 1 x 2 2 e x + 2 oc x - 2 m x x

1 1 e x + x oe x - x o x2 – 12 x

x4 – 14 x

2

2

Rpta. x - 1/x

144

6

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

4

4

POLINOMIOS EN IR

9 Calcula :

10 Calcula :

` 5 + 3 + 5 - 3 j` 5 + 3 - 5 - 3 j

1 m 1 n 1 m 1 n e 4 x - 2 y oe 4 x + 2 y o 1 x2m - 1 y2n 16 4

2

2

` 3+ 3j -` 5- 3j

5+ 3 -5+ 3 2 3

Rpta.

1 2m 1 2n x - y 4 16

11 Calcula :

Rpta.

2 3

12 Calcula :

` 3 + 2 + 3 - 2 j` 3 + 2 - 3 - 2 j

2

` 3+ 2j -` 3-

3+ 2-3+ 2 2 2

` 3 5 x + 2 5 x j` 3 5 x - 2 5 x j

2

2

2j

3 5x - 2 5x 3 5x-2 5x 5x

2

13 Calcula :

5x

Rpta.

Rpta. 2 2 14 Calcula :

e 5 x + 3 y oe 5 x - 3 y o 4 2 4 2

(a + c - b)(a - b - c)

(a – b + c) (a – b – c) (a – b)2 – c2

5 x2 - 3 y2 16 4

Rpta.

a2 – 2ab+ b2 – c2

5 2 3 2 x - y 4 16

Rpta.

2

2

2

a - 2ab + b - c

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

145

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

15 En cada ejercicio siguiente escriba los dos factores, cuyo producto es el que se indica: (a + b) (a - b) = a2 - b2 2

e

(x + 9) (x – 9) = x – 81

(a + b) (a - b) = a2 - b2

(a + b) (a - b) = a2 - b2

3 x + 9 3 x - 9 = 9 x2 - 81 oe o 4 2 4 2 16 4

(x + 9) (x – 9) = x2 – 81

2

ex +

(a + 4) (a – 4) = a – 64

1 x - 1 = x2 - 1 oe o 8 8 64

(y + 12) (y – 12) = y2 – 144

8 12

2

(x30 + yn) (x30 – yn) = x6n – y2n

(9x4y6+1) (9x4y6–1) = 81x y –1

(3 + z) (3 – z) = 9 – z

2 2

(d4 + 1) (d4 – 1) = d – 1

(x2n+3+yn+4) (x2n+3–yn+4) = x4n+6 – y2n+8

8

(4ab + 3) (4ab – 3) = 16a b – 9 (a2 + b2) (a2 – b2) = a – b

e

1 + 1 1 1 = 1 - 1 oe o x2 12 x2 12 x 4 144

(a4n b3n+1) (a4n b3n–1) = a8n b6n–1

2

e

10 + 6 10 - 6 = 100 - 36 oe o b 4 x2 b 4 x2 b8 x4

(x + 7) (x – 7) = x2 – 7

4

4

(0,2+11) (0,2–11) = 0,04x – 121 16 Calcula :

17 Calcula :

`3 5 + 2 3 j`3 5 - 2 3 j = 2

` 5 + 2 + 5 - 2 j` 5 + 2 - 5 - 2 j =

2

`3 5 j - `2 3 j

2

` 5+ 2j -` 5-

45 - 12 33

5+ 2 -5+ 2 2 2

Rpta. 33 18 Calcula :

2

2j

Rpta. 2 2 19 Calcula :

`5 + 2 j`5 - 2 j + 2 =

25 - 2 + 2 =

5+ 3 5- 3

5- 3= 5+ 3

2

2

` 5 + 3j - ` 5 - 3j

25 = 5

` 5 - 3 j` 5 + 3 j

= 4 5 $ 3 = 2 15 5-3 Rpta. 5 20 Calcula :

21 Calcula : 2

2

2

` 5 + 3j +` 5 - 3j = = = =

2 2

2 b` 3 + 2 j + ` 3 - 2 jl 2

2`3 + 2 + 3 - 2 j 2`6j

Rpta. 16

146

2

` 3 + 2 + 3 - 2 j +` 3 + 2 - 3 - 2 j =

2` 5 + 3 j 2`5 + 3j 16 2

Rpta. 2 15

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

12

Rpta. 12

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas” 1 Calcula :

ACTIVIDADES PARA LA CASA

2 Calcula :

` 3 + 1j` 3 - 1j

(2x + 3y)(2x - 3y)

4x2 – 9y2

2

` 3 j - `1 j

2

3–1 2

Rpta.

2

2

3 Calcula :

2

Rpta.

4x - 9y

4 Calcula :

` 11 + 5 j` 11 - 5 j

n

n

(a + 6)(a - 6) 2

(an) – 62 2

a2n – 36

2

` 11 j - ` 5 j

11 – 5 6

Rpta.

6

5 Calcula :

Rpta.

2n

- 36

2

2

a

6 Calcula :

` 3 + 1j` 3 - 1j + ` 2 + 1j` 2 - 1j

` 3 x + 2 yj` 3 x - 2 yj

2

2

` 3x j - ` 2y j

3–1+2–1

3x2 – 2y2

3

Rpta.

3

Rpta. 3x - 2y

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

147

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Analiza cada ejercicio y calcula por simple inspección los productos siguientes demostrando responsabilidad en su trabajo.

1 Calcula :

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcula :

(x + 3) (x + 4)

(x - 3)(x - 5)

x2 + 7x + 12

x2 – 8x + 15

2

2

Rpta. x - 8x + 15

Rpta. x + 7x + 12 3 Calcula :

4 Calcula: 3

(m + 7)(m – 9)

3

(8 + x )(x - 9)

m2 – 2m – 63

(x3 + 8) (x3 – 9) x6 – x3 – 72

6

2

5 Calcula :

3

Rpta. x - x - 72

Rpta. m - 2m - 63 6 Calcula : 3

(3x - 7)(3x - 9)

3

(8 + y )(y - 5)

9x2 – 48x + 63

(y3 + 8) (y3 – 5) y6 + 3y3 – 40

6

2

7 Calcula :

8 Calcula :

` x2 + 3 2 j` x2 + 5 2 j

(4ab + 5)(4ab - 3)

16a2 b2 + 8ab – 15

2 2

Rpta. 16a b + 8ab - 15

148

3

Rpta. y + 3y - 40

Rpta. 9x - 48x + 63

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

x 4 + 8 2 x2 + 30

4

2

Rpta. x + 8 2 x + 30

POLINOMIOS EN IR

9 Calcula: 2

10 Calcula:

` 11 + 6j` 11 + 8j

2

(7x + 3)(7x - 8)

2

4

` 11 j + 14 11 + 48

2

49x – 35x – 24

11 + 14 11 + 48 59 + 14 11

4

2

Rpta. 49x - 35x - 24 11 Calcula:

Rpta. 59 + 14 11 12 Calcula:

2 4

2 4

3

(0,5x y +10xy)(0,5x y - 6xy)

2

0,25x4y8 + 2x3y5 – 60x2y2

4 8

3 5

3

2

(8m - 4m )(8m + 3m )

64m6 – 8m5 – 12m4

6

2 2

13 Calcula :

5

4

4 3

2 2

Rpta. 64m - 8m - 12m

Rpta. 0,25x y + 2x y - 60x y

14 Calcula:

`2 7 + 4j`2 7 - 8j

3 2

3 2

(4x y + 3xy)(4x y + 2xy)

2

`2 7 j - 4`2 7 j - 32

16x6y4 + 20x4y3 + 6x2y2

28 - 8 7 - 32 -4 - 8 7

6 4

Rpta. 16x y + 20x y + 6x y

Rpta. -4 - 8 7 15 Calcula:

16 Calcula:

` 10 + 4j` 10 + 5j

3

3

(3z + 2)(3z - 4)

2

` 10 j + 9 10 + 20

10 + 9 10 + 20 30 + 9 10

Rpta. 30 + 9 10

9z6 – 6z3 – 8

6

3

Rpta. 9z - 6z - 8

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

149

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula:

2 Calcula:

(x - 4)(x+6)

(2m + 4) (2m + 5) x2 + 2x – 24

4m2 + 18m + 20

2

2

Rpta. 4m + 18m + 20

Rpta. x + 2x - 24 3 Calcula:

4 Calcula: 5

(3 + 4x)(3 - 8x)

5

(3x + 2)(3x - 8)

9 – 12x – 32x2

9x10 – 18x5 – 16

10

2

Rpta. 9 - 12x - 32x 5 Calcula:

Rpta. 9x

5

- 18x - 16

6 Calcula:

` 7 + 4j` 7 + 6j

4

4

(x +3x)(x +5x)

2

` 7 j + 10 7 + 24

7 + 10 7 + 24 31 + 10 7

x8 + 8x5 + 15x2

8

7 Calcula: 2

2

8 Calcula: 2

(8a + 5)(8a - 10)

(3x + 4)(2 + 3x ) (3x2 + 4) (3x2 + 2)

64a2 – 40a – 50

9x4 + 18x2 + 8

4

2

Rpta. 9x + 18x + 8

150

5

Rpta. x + 8x + 15x

Rpta. 31 + 10 7

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

Rpta. 64a - 40a - 50

POLINOMIOS EN IR

Aplicando reglas de productos notables por simple inspección, calcula el producto en cada ejercicio. 1 Calcula:

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcula: 3

3

(2x + 3)

(y - 3)

(2x)3 + 3(2x)2 (3) + 3(2x)(3)2 + (3)3

y3 – 3(y)2 (3) + 3(y)(3)2 – (3)3

8x3 + 36x2 + 54x + 27

y3 – 9y2 + 27y + 27

3 Calcula: 2

4 Calcula:

43

n

3

3

(x + 3)

(t – 3t )

3

2

3

2

(t2) – 3(t2) (3t4) + 3(t2)(3t4) – (3t4)

x3n + 3(xn) (3) + 3(xn)(3)4 + (3)3

t3 – 9t8 + 27t10 – 27t12

x3n + 9x2n + 27xn + 27

5 Calcula: n

6 Calcula:

3

3

` 3 - 1j

(x – x) 3

2

3

(xn) – 3(xn) (x) + 3(xn)(x)2 – (x)

3

2

` 3 j - 3` 3 j `1 j + 3` 3 j`1 j - 13

27 - 9 + 3 3 - 1 27 + 3 3 - 10 3 3 + 3 3 - 10 6 3 - 10

x3n – 3x2n+1 + 3xn+2 – x3

7 Calcula:

2

8 Calcula: 3

3

1 ex - x o

1 e 3 a - 6o

x - 3x + 3 - 13 x x 3

3

2

2 3 1 1 1 e a o - 3 e a o `6j + 3 e a o`6j - `6j 3 3 3

a3 - 2a2 + 36a - 216 27

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

151

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

9 Calcula: 3 4x - 1 6

10 Calcula: 1 3 2 ex + 2 o x 2

3

3 2 ` 4x j - 3 ` 4x j e 1 o + 3 ` 4x j e 1 o - e 1 o 6 6 6 1 x 3 2 64x - 8x + 3 216

11 Calcula:

12 Calcula: 3 3n-2 2

3

1 3 ex - 3 o x

2 3 ` x j - 3` x j e 13 o + 3` x3je 13 o - e 13 o x x x 1 9 3 x - 3x + 3 3 - 9 x x 3 3

3 2

13 Calcula: 3

a3 + 3a2 + 3a + 1 + a3 – 3a2 + 3a – 1 2a3 + 6a

15 Calcula:

27 n3 - 27 n2 + 18n + 8 8 2

3

(y + 3) – (y – 3)

3

y3 +3y2 ·3+3y·33 +33 – (y3 – 3y2 ·3+3y·32 –33) y3 + 9y2 + 27y +27 – y3 + 9y2 – 27y + 27 18y2 + 54

16 Calcula: 3

(a + b) – (a – b)

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – (a3 – 3a2b + 3ab2 – b3) a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 – a3 + 3a2b – 3ab2 + b3 6a2b + 2b3

152

2 3 3n 3 3 3n 2 b 2 n l - 3 b 2 l $ `2 j + 3 b 2 l $ `2 j + `2 j

14 Calcula: 3

(a + 1) + (a - 1)

3

2 3 3 2 ` x2j + 3` x2j e 12 o + 3` x2je 12 o + e 12 o x x x 6 2 3 1 x + 3x + + x2 x6

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

2

(2x - 1) + 12x + 1 4x2 – 4x + 1 + 12x2 + 1 16x2 – 4x + 2

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula:

2 Calcula:

3

(3y + 1)

3

(x + 2)

x3 + 3x2 · 2 + 3x ·22 + 23

(3y)3 + 3(3y)2 (1) + 3(3y) (1)2 + (1)3

x3 + 6x2 + 12x + 8

27y3 + 27y2 + 9y + 1

3 Calcula: 2

4 Calcula: 3

m

3

3

(x - 2)

(2x – 1)

2

2

(2x2) – 3(2x2) (1) + 3(2x2)(1)2 – (1)3

x3m – 3(xm) · 2 + 3(xm) · 22 – 23

8x6 – 12x4 + 6x2 – 1

x3m – 6x2m + 12xm – 8

5 Calcula:

6 Calcula: 3

3

1 ex - x o

2 e 3 x + 3o

x3 - 3x2 $ 1 + 3x $ 12 - 13 x x x 3 1 3 x - 3x + - 3 x x

7 Calcula: 3

3

2

2 3 2 2 2 e x o + 3 e x o `3 j + 3 e x o`3 j + `3 j 3 3 3 8 x3 + 4x2 + 18x + 27 27

8 Calcula: 3

(x + 1) - (x - 1)

3

` 2 + 1j

x3 + 3x2 + 3x + 1 – (x3 – 3x2 + 3x – 1) x3 + 3x2 + 3x + 1 – x3 + 3x2 – 3x + 1 6x2 + 2

3

2

` 2 j + 3` 2 j `1 j + 3` 2 j`1 j + `1 j 2

3

2 2 +6+3 2 +1 5 2 +7

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

153

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Por simple inspección, empleando productos notables calcula el resultado de cada ejercicio. 1 Calcula:

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcula: 2

2

(x + 2)(x - 2x + 4)

(y + 5)(y - 5y + 25)

x3 + 8

y3 + 125

3

3

Rpta. y + 125

Rpta. x + 8 3 Calcula:

4 Calcula: 2

2

2

(x + y)(x - xy + y )

(3x + 1)(9x - 3x + 1)

x3 + y3

27x3 + 1

3

3

3

Rpta. x + y 5 Calcula:

Rpta. 27x + 1 6 Calcula:

2

4

(2x + 1)(4x - 2x + 1)

3

8

7

6

(x - x )(x + x + x ) 3

3

(x4) – (x3)

(2x)3 + (1)3

x12 – x9

3

8x + 1 3

Rpta. 8x + 1 7 Calcula:

12

-x

9

8 Calcula:

`1 + 3 5 j`1 - 3 5 + 3 25 j

`3 5 x2 - x3j`3 25 x 4 + 3 5 + x6j

3

`1 j + `3 5 j 3

3

3

` 3 5 x 2 j - ` x3 j

6

5x 6 - x 9

Rpta.

154

Rpta. x

6

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

6

Rpta. 5x - x

9

POLINOMIOS EN IR

9 Calcula:

` 53

10 Calcula: 3

4 j` 25 + 3

4

20 +

3

3

16 j

2

2

4

2 2

4

(a - b )(a + a b + b )

3

`3 5 j - `3 4 j

3

3

(a2) – (b2)

5-4 1

a6 – b6

6

1

Rpta.

6

Rpta. a - b

11 Calcula:

12 Calcula:

` x6n - x2nj` x12n + x8n + x 4nj

(x

n+1

- x)(x

2n+2

+x

n+2

2

+x )

3

3

(xn+1) – x3

3

(x6n) – (x2n) x

18n

–x

x3n+3 – x3

6n

18n

Rpta. x

3n+3

6n

-x

13 Calcula:

Rpta. x

-x

3

14 Calcula:

`3 a + 3 b j`

3

a2 - 3 ab +

3

b2 j

2

4 2

3

2

(4a b + 7a)(16a b – 28a b+49a ) 3

3

(4a2b) + (7a)3

3

`3 a j + `3 b j

64a6b3 + 343a3

a+b

6 3

Rpta. a + b 15 Calcula:

3

Rpta. 64a b + 343a 16 Calcula:

1 1 x3 3 6 e x - 4 oe x + 4 + 16 o

3 5 1 3 2 1 6 4 e 2 a + 3a o e 4 a - 2 a + 9a o 3

1 3 2 3 e a o + `3a j 2 1 a9 + 27a6 8

3

` x3 j - e 1 o 4 1 9 x 64 3

9

Rpta. x -

1 64

Rpta.

6 1 9 a + 27a 8

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

155

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

1 Calcula:

2 Calcula: 2

2

(a - 4)(a + 4a + 16)

(a - 1)(a + a + 1)

a3 – 64

a3 – 1

3

3

Rpta. a - 1

Rpta. a - 64 3 Calcula: 2

4 Calcula: 4

2

2

8

(x - y)(x + x y + y )

6

16

(a - a )(a

x6 – y3

14

+a

12

+a )

a24 – a18

6

24

3

Rpta. a

Rpta. x - y 5 Calcula: 3

6 Calcula: 6

3

2

n

(3x + 2y)(9x - 6x y + 4y )

n

(x - y )(x

27x9 + 8y3

2n

n n

2n

+x y +y )

x3n – y3n

9

3

Rpta. 27x + 8y 7 Calcula:

Rpta. x

3n

3n

-y

8 Calcula:

`3 3 + 3 2 j`3 9 - 3 6 + 3 4 j 3

`3 3 + 1j`3 9 - 3 3 + 1j

3

`3 3 j + `3 2 j

3

`3 3 j + `1 j

3+2 5

3

3+1 4

Rpta.

156

18

-a

5

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

4

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas no relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, tienes que detenerteentre hastalos lograr tu cometido." demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 Halla la diferencia entre el mayor y el menor coeficiente del producto: (6x4 – 3x3 + 2x2 + 5x)(x2 + 3x – 1) A) 2

B) 7

C) 21

D) 28

B) –4

C) –3

E) 16

D) 7

E) 14

3 A la diferencia entre (3x+2)(x – 4) y (2x – 4)(x+6) sumar 8x2 + 25x – 16, si obtenemos ax2 + bx, entonces “a + b” es igual a: A) 12

B) 14

C) 16

D) 18

E) 24

4 Calcula en cuánto excede el área del cuadrado al área del rectángulo.

(3x–2) (3x+2) A) en 4 u2 D) en 12 u2

C) en 8 u2

A) en 3u2 D) en 8u2

C) en 5u2

2

2

2

B) 4

C) 2

D) 1

E) 0

2 7 Reduce: 2b + 2ab +

2

A) (a – b)2 D) a2 + b2

2

`a2 + b2j - `2abj

B) (a + b)2 E) a2 + 3b2

2

C) a2 – b2

B) 40

C) 72

D) 64

E) 90

2 11 Efectua: ` a + b $ a - b j` a - b j + b

A) a

B) a2

C) a/2

D) 1

E) 0

12 Reduce la expresión: ^n + 3h2 - ^n - 3h2 R= ; n≠0 6n B) 2

C) 3

D) –1

14 Simplifica: ^x + 1h2 + ^x - 1h2 - 2 x2 + 5 B) –1 C) 0

A) 4(x + y) D) 4y(x + 1)

6 Reduce: P = (x + 1) – (x + 2) – (x + 3) +(x + 4) A) 3

A) 32

E) 0

E) –1

;x≠0

D) –2

E) 2

2 2 15 Reduce: A = (x + y + 1) – (x + y – 1)

(2x+5) B) en 4u2 E) en 12 u2

E) –x2

2 10 Evalua: (m – 3n) – 4n(2n – m) + 8, si sabemos que m–n=8

A) 1

(4x+3) (8x+10)

D) x4

13 Reduce la expresión: ^x + 2h^x - 2h + 9 P= x2 + 5 A) 3 B) 2 C) 1 D) 0

5 Calcula en cuánto excede el área del rectángulo al doble del área del triángulo.

(x+2)

C) 1

2 E = a _a + b i _a - b i a2 - b2 _a + b i a+b A) a(a - b) B) 2 C) -b _a - b i 2 2 D) (a + b) E) a + ab

A) 1

(3x+6) B) en 6 u2 E) en 16 u2

A) 2x4 B) –x4 9 Simplifica:

2 De la suma de (2x + 7)(3x – 5) con 3x(x – 2) restar 9x2+3x – 29, si obtenemos mx + n, entonces “m+n” es igual a: A) 8

2 8 Reduce: E = (x + 1)(x – 1)(x + 1) + 1

B) x(2y + 1) E) x + y – 1

C) 4x(y + 1)

2 2 16 Reduce: R = (x –7x + 11) – (x –2)(x –3)(x –4)(x –5)

A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

2 17 ¿Qué expresión hay que agregar a (3x+2) para que sea igual a (3x + 5)(3x + 7)?

A) 24x + 31 D) 12x + 5

B) 24x – 31 E) x

C) 12x – 5

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

157

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

2 18 ¿Qué expresión hay que restarle a (6x + 5) para que sea igual a (9x + 5)(4x – 3)?

A) 67x – 20 D) 76x – 40

B) 67x + 40 E) 67x + 20

C) 65x + 30

19 De las siguientes expresiones, ¿cuál no es igual a (x + 2)(3x – 3)? A) 3(x+2)(x–1) C) –(2+x)(3 – 3x) E) 3x2 + 3x – 6

B) (2 + x)(3x – 3) D) (2+x)(3–3x)

20 Efectua: (a+b)x+(b + c)y – [(a – b)x – (b – c)y] – 2b(x+y) A) a + b + c D) xy

B) x+y E) ax+by

C) 0

M= A) 5

2`5 + 3j`52 + 32j`5 4 + 3 4j + 38

4

B) 10

C) 15

D) 20

E) 25

28 Calcula el valor de “R”. R= A) 1

3

2

` x3 + 3x2j - `3x2 + 1j - x2

B) x

C) –1

D) –x

E) 0

29 Calcula el valor de: 2

` x2 + x - 7j - ` x - 1j` x + 2j` x - 3j` x + 4j

T= Si: x =

3+ 2

A) 1

B)

3 + 2 C) 2 3 D) 3 E) 5

30 Calcula el valor de:

21 ¿Qué expresión hay que sumar al producto de: {x (x + y) – x(x – y)}[2(x2+y2) – 3(x2–y2)] para obtener 2x3y + 3xy3 ? A) 4x3y – 7xy3 D) x3y+3xy3

27 Calcula el valor de “M”:

B) 7x3y – 4xy3 E) cero

C) 2x3y – xy2

E=

12

Si: x = 3 – A) 5

5` x3 - y3j` x2 - xy + y2j` x6 + y6j + y12 2

; y=2+

2

B) 3+ 2 C) 3– 2

D) 7 E) 0

2 22 Al efectuar: R = (ax + b)(x – x + 1) se obtiene 3 2 7x – mx + nx + 4, entonces “a + b + m + n” es igual a:

A) 21

B) 23

C) 17

D) 18

E) 15

23 Calcula el valor de “T”. T = ` 4 3 + 1j` 3 + 1j` 4 3 - 1j A) 1

B) 0

C) 2

D) –1

E) 4

24 Calcula el valor de “P”: P= A) 54

B) 56

2 :` 2 - 1j + 41 D 5

C) 58

D) 60

E) 64

25 Reduce la expresión: M=

4

A) a

`a - 1j`a2 + a + 1j`a3 + 1j`a6 + 1j + 1

B) a3

C) a2

D) -a2

E) 1

26 Reduce la expresión: (x + y + z)3 - (x + y)3 - 3(x + y + z)(x + y)z A) x3

158

B) y3

C) z3

D) 2x3 E) 2y3

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Clave de Respuestas 1. D

9. E

17. A

25. B

2. B

10. C

18. B

26. C

3. C

11. B

19. D

27. E

4. E

12. B

20. C

28. C

5. C

13. C

21. A

29. E

6. B

14. E

22. C

30. C

7. B

15. A

23. C

8. D

16. C

24. C

POLINOMIOS EN IR

Razonamiento y demostración

Resolución 6 P = (x + 1)2 – (x + 2)2 – (x + 3)2 + (x + 4)2 P = x2 + 2x + 1 – x2 – 4x – 4 – x2 – 6x – 9 + x2 + 8x + 16

Resolución 1 (6x4 – 3x3 + 2x2 + 5x) (x2 + 3x – 1) 6x6 + 15x5 – 13x4 + 14x3 + 13x2 – 5x coef. mayor – coef. menor 15 – (– 13) = 28



P=4



Rpta. D

Resolución 7 2b2 + 2ab + (a2 + b2) 2 - (2ab) 2

Rpta. D

2b2 + 2ab + (a2 - b2) 2 b2 + 2ab + a2 (a + b)2

2

(2x + 7)(3x – 5) + 3x(x – 2) – (9x + 3x – 29) = mx + n 6x2 + 11x – 35 + 3x2 – 6x – 9x2 – 3x + 29 = mx + n 2x – 6 = mx + n m+n=2–6 m + n = –4 Rpta. B Resolución 3 2

2

(3x + 2)(x – 4) – (2x – 4) + (x + 6) + 8x + 25x – 16 = ax +bx 3x2 – 10x – 8 – 2x2 – 8x + 24 + 8x2 + 25x – 16 = ax2 + bx 9x2 + 7x = ax2 + bx a+b=9+7 a + b = 16

Resolución 4

Rpta. C

(3x+2)



Rpta. B

Resolución 8 E = (x + 1) (x – 1) (x2 + 1) + 1 E = (x2 – 1) (x2 + 1) + 1 E = x4



Resolución 9

(3x+6)

A –P=A (3x + 2) (3x + 2) – P = (3x + 6) (3x – 2) 9x2 + 12x + 4 – P = 9x2 + 12x – 2 P = 16u2 Rpta. E

a (a + b) 2 $ (a - b) (a2 - b2) a (a + b) 2 (a - b) E= (a + b)(a - b) E = a4 + ab

Resolución 10

Rpta. E

(m – 3n)2 – 4n(2n – m) + 8 ; m – n = 8 m2 + 9n2 – 6mn – 8n2 + 4mn + 8 m2 – 2mn + n2 + 8 (m – n)2 + 8 =



72

Resolución 11

Rpta. C

` a + b $ a - b j` a2 - b j + b

c `a + b j`a - b j m` a2 - b j + b

` a2 - b j` a2 - b j + b

Resolución 5

a2 – b + b =

Resolución 10

(4x+3)

(x+2) (8x+10) A

Rpta. D

E=



(3x–2)

a 4 + b 4 + 2a2 b2 - 4a2 b2

2b2 + 2ab +

Resolución 2

(2x+5)

– P = 2A

(x + 2) (8x + 10) – P = 2 · 1 (4x + 3) + (2x + 5)

a2

(n + 3) 2 - (n - 3) 2 6n 12 n R= R=2 6n

Rpta. B

R=



Rpta. B

2



8x2 + 26x + 20 – P = 8x2 + 26x + 15 P = 5u2 Rpta. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

159

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 13

Resolución 21 {x(x+y)–x(x–y)}[2(x2+y2)–3(x2–y2)]+P = 2x3y+3xy3 {x2+xy–x2+xy}[2x2+2y2–3x2+3y2]+P = 2x3y+3xy3 2xy(–x2 + 5y2) + P = 2x3y + 3xy3

P = (x + 2) (2x - 2) + 9 x +5

2 P = x -2 4 + 9 x +5 Resolución 14 2

P=1 Rpta. B

Resolución 22

2

(x + 1) + (x - 1) - 2 x2 2 2 (x + 1) - 2 = x2

2

A = (x + y +1)2 – (x + y – 1)2 A = (x + y + 1 + x + y – 1)(x + y + 1 – x – y + 1) A = 4(x + y) Resolución 16

R=1

Resolución 17

T=2

Resolución 24

Rpta. C

Rpta. C

2 $ ;` 2 - 1j + 41 E 5

P=

2 $ ;` 2 - 1j ` 2 - 1j + 41 E 4

P=

P = 24x + 31

P=

2 $ 829 2 - 41 + 41 B



P = 58

Resolución 18

Rpta. A

Q = 67x + 40

Resolución 19

Resolución 25

Rpta. B

A) 3(x + 2)(x – 1) = (x + 2)(3x – 3) B) (2 + x) (3x – 3) = (x + 2) (3x – 3) C) – (2 + x)(3 – 3x) = (x + 2) (3x – 3) D) (2 + x)(3 – 3x) ≠ (x + 2)(3x – 3) E) 3x2 + 3x – 6 = (x + 2)(3x – 3) Resolución 20

M=

4

M=

4

M=

4

Rpta. C

`a - 1j`a2 + a + 1j`a3 + 1j`a6 + 1j + 1

`a3 - 1j`a3 + 1j`a6 + 1j + 1

a12 - 1 + 1

M = a3



Resolución 26

Rpta. B

(x+y+z)3–(x+y)3–3(x+y+z)(x+y)z (x+y)3+z3+3(x+y)2z+3(x+y)z2–(x+y)3–3(x+y+z)(x+y)z

Rpta. D

(a + b )x + (b + c)y – [(a – b)x – (b – c)y] – 2b (x + y) ax + bx + by + cy – ax + bx + by – cy – 2bx – 2by 0

2 $ ;`17 - 12 2 j` 2 - 1j + 41 E

P=

(6x + 5)2 – Q = (9x + 5) (4x – 3) 36x2 + 60x + 25 – Q = 36x2 – 7x – 15

160

T = ` 3 - 1j` 3 + 1j

(3x + 2)2 + P = (3x + 5)(3x + 7) 9x2 + 12x + 4 + P = 9x2 + 36x + 35

Rpta. C

T = ` 4 3 + 1j` 3 + 1j` 4 3 - 1j

R = x4–14x3+71x2–154x+121–x4+14x3–71x2+154x–120



a + b + m + n = 17 Resolución 23

Rpta. A

R = (x2 – 7x + 11)2 – (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5)

Rpta. A

R = (ax + b)(x2 – x + 1) R = ax3 – (a – b)x2 + (a – b)x + b R = 7x3 – mx2 + nx + 4

Rpta. E

Resolución 15



P = 4x3y – 7xy3



Rpta. D

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

3(x+y)z (z+y+z) –3 (x+y+z)(x+y)z+z3





z3

Rpta. C

POLINOMIOS EN IR

Resolución 27 M=

4

M=

4

M=

4

M=

4

2`5 + 3j`52 + 32j`5 4 + 3 4j + 38

`5 - 3j`5 + 3j`52 + 32j`5 4 + 3 4j + 38

`5 4 - 3 4j`5 4 + 3 4j + 38

58 - 38 + 38



M = 25 Resolución 28

Rpta. E 2

` x + 3xj - `3x2 + 1j - x2 2

R=

3

R=

3

x 2 + 6x 2 + 9 x 2 - 9x 2 - 6x 2 - 1 - x 2

R= R=

3

x 2 + 6 x 2 + 9x 2 - 9x 2 - 6x 2 - 1 - x 2 -1

3



R = –1 Resolución 29 T=

Rpta. C

2

` x2 + x - 7j - ` x - 1j` x + 2j` x - 3j` x + 4j 2

T=

` x2 + x - 7j - ` x - 1j` x + 2 j` x - 3 j` x + 4 j $ Si: x2 + x = a

T=

` x2 + x - 7 j - ` x2 + x - 2 j` x2 + x - 12 j

T=

2

2

`a - 7 j - `a - 2 j`a - 12 j

a2 - 14a + 49 - `a2 - 14a + 24j 25

$

T=5



Rpta. E

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

161

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

APLICO MIS APRENDIZAJES

Comunicación matemática

13 Indica la relación falsa: 2

1 Reduce: 2(3x + 2)(2x + 3) – (3x + 4)(4x + 3) A) -2x

B) -x

2

C) 0

D) x

E) 2x

2

2 (x + x + 1)(x – x + 1) equivale a: 3

2

4

3

2

4

2

A) x + x – 1 B) x – x + x C) x + x + 4 2 4 2 1 D) x – x + 1 E) x – 2x + 1 3 Reduce:

2

B) –x

4 Efectua: A) x

C) 0

D) x 2

2

3

2

4

3

6 Si: P = (x + 6)(2x – 3) ; Q = (3x – 1)(x + 4) R = (x – 2)(x + 8), halla “P + (Q – R)”. 2

2

B) 24 3

8 Si A = (z + 1) es igual a: A) 0

C) 36

C) 4x + 2x + 12

D) 28

E) 40

∧ B = (z – 1) , entonces “B – A” 2

2

B) –3z – 1 C) –2 D) –6z – 2 E) 3z + 1 3

3

9 Reduce: (x – 1) – x + 1 B) x + 1

A) x

C) 2x

D) 3x(1 – x)

10 Reduce: 3 - (x + 3 )( 3 - x A) x

B) 3

C) 6

)

E) 0

3

6

6

D) –x

A) 48

2

B) 4 6

3- 3 2 el resultado es:

12 Al reducir:

A) 0

162

B) 1

C) 2 6 2

2

D) 24

E) 96

- 3 3 - 3 - 1, 2

C) 2

2

3

2

4

3

2

4

2

A) x + x – 1 B) x – x + x C) x + x + 1 4 2 4 2 D) x – x + 1 E) x – 2x + 1 2 2

2 3

2 2

3 2

A = 8x y + 6x y + 3x y ; B = 4y x + 5x y + 2 3 2 2x y . Halla [2A - 3B] 6 4

3 2

A) x y

B) x y

9 4

3

C) x y

2

D) x y

2

E) xy

2

18 Halla “A - B + C”, si: A = (2x – 3)(3x – 2x + 5) 2

2

3

2

B = (3x – 2)(2x + 3x – 5); C = 13x – 20x – 11x + 25 B) 2x

C) x + 10

D) 2x – 8

2

2

E) x – 4 2

2

19 Dados los polinomios: A = 3x + 5xy–2y ; B = 3y – 4xy + 5x ∧ C = xy + 5y2 + 8x2. Halla E = A(B + 1) + B(1 – A) – C 2

A) 16x

B) 2xy

2

C) 5y

2

D) –4y

E) –2xy

D) 3

E = ( 5 + 3 + 2 )( 2 + 3 - 5 ) - 2 6 A) 1

B) 0

C) 2

D) –2

E) 3

E) x

11 Halla E , si: E = ( 3 + 2 ) - ( 3 - 2 ) 2

2

20 Calcula el valor reducido de:

3

3

3

16 (x + x + 1)(x - x + 1) equivale a:

A) x

3

2

E) 1 2

4

3 2

7 Halla la suma de coeficientes del producto: 3 2 (5x + 4x + 3x)(x + 2) A) 32

D) x

17 Dadas las siguientes expresiones algebraicas:

y

2

B) 4x + 14x – 6 2 E) 8x – 4x + 6

2

2

2

A) 60x – 14x – 48x – 16 B) 30x – 12x – 72x + 12 4 3 2 4 3 2 C) 60x – 14x – 72x + 16 D) 40x + 14x – 72x – 16 4 3 2 E) 40x – 16x – 10x – 10

A) 4x – 4x + 6 2 D) 6x – 2x – 12

C) 2x

A) x + 5x – 8 B) 5x – 4x + 5x + 6x – 8 4 3 2 3 C) 5x – 5x + 10x D) –4x + 6x – 12 3 2 E) x – x + 2x + 8

E) 2x y

5 Si: A = (2x – 1)(3x + 2) ∧ B = (4x + 3)(x – 2). Halla el valor de: “(A + B) · A”. 4

3

B) 2

3

2

D) x y

2

15 Dados los polinomios: P = x - x + 2 ; Q = 3x – x – 1 2 ∧ R = 2x + 2x – 3. Halla S = P(Q + R)

2

2

C) x

2

2

E) 2x

(x+y+xy)(x – y) – x y + y (x + 1) B) xy

2

14 Efectua: P = (x + 1)(x – x + 1) – (x – 1)(x + x +1) A) x

x – (3x + 1)(3x + 2) + 2(2x + 1)

A) –2x



2

A) (a + b) = (a + b)(a + b) 3 3 2 2 B) a – b = (a – b)(a + ab + b ) 2 2 C) a + b = (a + b)(a + b) 2 2 D) a – b = (a + b)(a – b) 3 3 2 2 E) a + b = (a + b)(a – ab + b )

E) 4

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Clave de Respuestas

1. D

6. B

11. E

16. C

2. C

7. C

12. A

17. A

3. B

8. D

13. C

18. A

4. C

9. D

14. B

19. D

5. C

10. E

15. B

20. B

POLINOMIOS EN IR

Comunicación matemática

Resolución 7

Resolución 1

2(3x + 2)(2x + 3) – (3x + 4)(4x + 3) 2(6x2 + 13x + 6) – (12x2 + 25x + 12) Rpta. D

Resolución 2 (x2 + x + 1) (x2 – x + 1) x 4 – x3 + x 2 + x3 – x2 + x + x 2 – x + 1 x 4 + x2 + 1



Rpta. C

· A = (z + 1)3 A= z3 + 1 + 3z2 + 3z · B = (z – 1)3 B = z3 – 1 – 3z2 + 3z B – A = – 6z2 – 2

x2 – (3x + 1)(3x + 2) + 2(2x + 1)2 x2 – 9x2 – 9x – 2 + 8x2 + 8x + 2



(x – 1)3 – x3 + 1 x3 – 1 – 3x2 + 3x – x3 + 1 3x(1 – x)

3 - ` x3 + 3 j` 3 - x3j

Rpta. C

3 + ` x3 + 3 j` x3 - 3 j

(x + y + xy)(x – y) – x2y + y2 (x + 1) x2 – xy + xy – y2 + x2y – xy2 – x2y + xy2 + y2 x2 Rpta. C

Resolución 5

Rpta. E

Resolución 11 2

2

E = ` 3 + 2j - ` 3 - 2j E = 5+2 6-5+2 6 E= 4 6

· A = (2x – 1)(3x + 2) A= 6x2 + x – 2 · B = (4x + 3)(x – 2) B = 4x2 – 5x – 6 (A + B) · A

E2 = 96

(10x2 – 4x – 8)(6x2 + x – 2) 60x4+10x3 – 20x2 – 24x3 – 4x2 + 8x – 48x2 – 8x + 16 3

2

3 13 3 13 e o - 3= G- 1 2 2 22 - 6 13 9 - 3 13 -1 4 2 22 - 6 13 - 18 + 6 13 - 4 4

2

60x – 14x – 72x + 16

Rpta. C

· P = (x + 6)(2x – 3) P= 2x2 + 9x – 18 · Q = (3x – 1)(x + 4) Q = 3x2 + 11x – 4 · R = (x – 2)(x + 8) R = x2 + 6x – 16 P + (Q – R)

0



Rpta. A

Resolución 13

2x2 + 9x – 18 + 2x2 + 5x – 12 4x2 + 14x – 6

Rpta. E

Resolución 12

Resolución 6



3 + x6 – 3 x6







Rpta. D

Resolución 10

–x

4

Rpta. C

Resolución 9

Resolución 3

Resolución 4

Rpta. C

Resolución 8

x

(5x3 + 4x2 + 3x)(x + 2) 5x4 + 14x3 + 11x2 + 6x Suma coef. = 36

Rpta. C

A) (a + b)2 = (a + b) (a + b) ... B) a3 – b3 = (a – b) (a2 + ab + b2) ... C) a2 + b2 = (a + b)(a + b) ... D) a2 – b2 = (a + b)(a – b) ... E) a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) ...

V V F V V Rpta. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

163

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 14

Resolución 18

2

2

· A = 3x2 + 5xy – 2y2 B = 3y2 – 4xy + 5x2 · C = xy + 5y2 + 8x2

P = (x + 1)(x – x + 1) – (x – 1)(x + x + 1) P = x3 + 1 – x3 + 1

P=2

Rpta. B

E = A(B + 1) + B(1 – A) – C E=A+B–C E = 8x2 + xy + y2 – xy – 5y2 – 8x2

Resolución 15 P = x2 – x + 2 Q = 3x2 – x – 1 R = 2x2 + 2x – 3 S = P(Q + R) S = (x2 – x + 2)(5x2 + x – 4)

E = –4y2 Resolución 20 E = ` 5 + 3 + 2 j` 2 + 3 - 5 j - 2 6

S = 5x4 – 4x3 + 5x2 + 6x – 8

E = 10 + 15 - 5 + 6 + 3 - 15 + 2 + 6 - 10 - 2 6

Rpta. B

Resolución 16 (x2 + x + 1)(x2 – x + 1) x – x + x2 + x3 – x2 + x + x 2 – x + 1 4

2

x 4 + x2 + 1

Rpta. C

Resolución 17 A = 8x3y2 + 6x2y2 + 3x2y3 B = 4y2x2 + 5x3y2 + 2x2y3 [2A – 3B]2 [16x3y2 + 12x2y2 + 6x2y3 – 12x2y2 – 15x3y2 – 6x2y3]

x6y4

Rpta. B

Resolución 18 · A = (2x2 – 3)(3x2 – 2x + 5) A = 6x4 – 4x3 + x2 + 6x – 15 · B = (3x2 – 2)(2x2 – 3x – 5) B = 6x4 + 9x3 – 19x2 – 6x + 10 · C = 13x3 – 20x2 – 11x + 25 A–B+C –13x3 + 20x2 + 12x – 25 + 13x3 – 20x2 – 11x + 25 x

164

Rpta. D

Rpta. A

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

E=0

Rpta. B

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Resolución de Problemas a2 + b2

1 Si: ab = 4 ∧ a + b = 3, calcula: A) -1

B) 1

D) -2

C) 2

A) 2 B) 3

E) 6

-1 -1 2 Sabiendo que: x + y = a; xy = b, entonces 2

2

x + y es equivalente a: A) a2 - 2ab 2 2

B) a2b2 – 2b

C) a2b2 – 2a

2

E) a b + 2

D) a b – 2

3 3. 3 Si: a + b = ab = 3, calcula el valor de a + b

A) 0 B) 3

C) 9

D) 27

E) 81

2

1 1 3 4 Si: en + o , hallar n + 3 n n

A) 2

5 , calcular: E = B) 1/4

C) 4

E) No se puede determinar

C) 25x2 + 27x + 4

1 - 1 x-1 x+1 D) 1/2

E) 23x2 + 25x + 8

B

R

C

(4x+3)

Q

P (3x+1)

A

D

(7x + 2)

7 En la figura mostrada ABCD es un rectángulo y BAM es un triángulo, ¿calcula el área de la región coloreada?

2

A) 6x + 12x + 14

B

C

B) 4x2 – 12x + 14 (2x+4)

C) 4x2 + 14x + 12 D) 8x2 – 12x + 14 E) 2x2 + 14x – 12

12 Si “x + y” representa el lado de un cuadrado y “x - y” el lado de otro cuadrado, calcula la suma de áreas de dichos cuadrados. A) x2 – y2 D) 4xy

B) x2 + y2 E) 2(x2 + y2)

C) 2xy

13 Si: x + y = 2 6 ... (1); x · y = 4 ... (2), calcula “x – y” A) 3 5 B)

3

C) 2

A) 3 5 B) 2 5 C)

A) 1/2

E) 5

2

D) 25x – 27x + 6

E) 6

D) 4

E)

8

5 D) 4 5 E)

5 /5

^x + yh2 - ^x - yh2 ^x + yh2 + ^x - yh2 D) 2/3 E) 1/4

2 2 15 Si se cumple: x + y = 3xy, calcula R =

un cuadrado, ¿calcula el área de la región coloreada?

B) 27x2 – 25x + 2

D) 5

x

6 En la figura mostrada ABCD es un rectángulo y PQRC es A) 27x2 + 25x + 2

C) 4

14 Si: x + 1x = 3, halla x2 - 12 ; x > 1

A) 1 B) 0 C) 2 D) 4

5 Si: x =

x3 + y3 x2 + y2

11 Si: x + y = 2,... (1) ; x·y = 3 ... (2), calcula R =

B) 1/3

C) 2/5

4 6 16 Si: x + y = 4, halla el valor de:

A) 1

B) 2

C) 3

^x2 - y2h2 + ^x2 + y3h ^ x2 + x- 2 h + ^ x 2 - x- 2 h

D) 4

E) 1/2

17 Si: x + 2x - 1 , halla el valor de: R = (x–3)(x+2)(x–4)(x+3) A) 102

B) 121

A) 2

E) 212

5

B) 56

-1 19 Si: x + x =

D) 211

2 ;` 2 - 1j + 41 E

18 Reduce: P = A) 54

C) 112

C) 58

D) 60

E) 64

4 -4 2 + 2 2 , halla el valor de x + x .

B) 4

C) 6

D) 0

E) 1

2 20 Dar el valor de: M = (x + 5)(x + 4)(x – 9)(x – 2)(x – 1)

sabiendo que: x2 + 2x = 9

A

D

M (3x + 5)

A) 18

B) 27

C) –36

D) 1

E) 36

2 8 Al efectuar: E = (mx + n)(x + x + 1) se obtiene

4x3 + Ax2 + Bx + 5, entonces “A + B + m +n” es igual a: A) 18

B) 27

C) 29

D) 15

E) 31

" x - y" . 2 2 9 Si: x + y = 26; x·y = 5; (x>y), halla el valor de 2 A) 3 B) 1

C) –1

D) 4

E) 2

2 2 3 3 10 Si: x + y = 5 ∧ x + y = 11; calcula: x + y

A) 5 B) 10

C) 15

D) 20

E) 30

Clave de Respuestas

1. B

6. A

11. D

16. B

2. B

7. C

12. E

17. C

3. A

8. B

13. E

18. C

4. B

9. E

14. A

19. C

5. D

10.D

15. D

20. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

165

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución de Problemas

Resolución 6 B

R

C

Q

x+2 P 4x + 3

Resolución 1 2

2

(a + b) = 3 ; a2 + b2 + 2ab = 9

ab = 4

A

a2 + b2 = 1

Rpta. B

Resolución 2 x–1 + y–1 = 0 1 +1 = a x y

;

S

4x + 3

xy = b

D

7x + 2

As = A – A As = (4x + 3)(7x + 2) – (x + 2)2 As = 28x2 + 29x + 6 – x2 – 4x – 4 As = 27x2 + 25x + 2 Resolución 7

(y + x)2 = (ab)2 x + y2 + 2xy = a2b2

Rpta. A

2

x2 + y2 = a2b2 – 2b



S

Rpta. B

Resolución 3 (a + b)3 = 33 ; ab = 3 3 3 2 a + b + 3a + 3ab2 = 27 a3 + b3 + 3ab (a + b) = 27 a3 + b3 = 0

Resolución 4

As = A – A As = (3x + 5)(2x + 4) – (x + 2)(2x + 4) As = 6x2 + 22x + 20 – 2x2 – 8x – 8 Rpta. A

1 2 cn + n m = 3



Resolución 5 E= 1 - 1 x-1 x+1 x+1- x+1 E= x2 - 1 E= 2 & 5-1

Rpta. C

E = (mx + m)(x2 + x + 1) E = mx3 + (m + n)x2 + (m + n)x + n E = 4x3 + Ax2 + Bx + 5

n + 12 + 2 = 3 n 2 1 1 1 cn + n men + 2 o = 1 cn + n m n 1 = n+1 n3 + 13 + n + n n n 2

n3 + 13 = 0 n

As = 4x2 + 14x + 12 Resolución 8

A + B + m + n = 27 Resolución 9

Rpta. B

x2 + y2 = 25 ; 2 (x – y) + 2xy = 26 x–y=4



Rpta. B

xy = 5

x-y 2 2 =

Rpta. E

Resolución 10 E= 1 2 Rpta. C

2 2 (x + y)2 = 52 / x + y = 11 x3 + y2 + 2xy = 25 xy = 7

™ (x + y)(x2 + y2) = 5 · 11 x3 + y3 + xy(x +y) = 55

166

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

x3 + y3 = 20 Rpta. D

POLINOMIOS EN IR

Resolución 11 3

Resolución 17 · x + 2x = 1 x2 – x = –2 · R = (x – 3)(x + 2)(x – 4)(x + 3) R = ( x2 – x – 6)( x2 – x – 12) R = (– 2 – 6) (– 2 – 12)

3

(x + y) = 2 ; xy = 3 3 3 x + y + 3xy(x + y) = 8 x3 + y3 = –10 · (x + y)2 = 22 x2 + y2 = –2

R=

x3 + y3 x2 + y2

R = 112

R=5 Resolución 12

Rpta. D

2

P=

2

(x + y) + (x – y) 2(x2 + y2) Resolución 13

P= Rpta. E

2

` x + y j = `2 6 j 2

;

x–y=

P= P=

x·y=4

P=

x2 + y2 + 2xy – 4xy = 24 – 4xy (x – y)2 = 8



Resolución 18

8

Rpta. E



5

Rpta. E

Resolución 15 R=

2

2

2 ;`17 - 12 12 j` 2 - 1j + 41 E

2 829 2 - 41 + 41 B 2 829 2 B

x4 + x–4 = 6

x2 - 12 = 3 5 x 2

4

Rpta. C

2 2 1 e x + 2 o = `2 2 j x 4 x + 14 + 2 = 8 x

1m = 3 $ 5 x

2

2 ;` 2 - 1j ` 2 - 1j + 41 E

2

x - 1x =

` x + yj - ` x - yj

5

2 1 2 cx + x m = ` 2 + 2 2 j 2 1 ex + 2 + 2 = 2 + 2 2 o x

9-4 &

2 ;` 2 - 1j + 41 E

P = 58 Resolución 19

Resolución 14 2 1 2 cx + x m = 3 x2 + 12 + 2 - 4 = x 1 cx - x m = 5 ` c x + 1x mc x -

Rpta. C

;

` x + yj + ` x - yj 4xy R= & R= 2 3 2 ` x2 + y2 j Resolución 15

x2 + y2 = 3xy

Resolución 20

Rpta. C

M = (x + 5)(x + 4)(x2 – 9)(x – 2)(x – 1) M = (x + 5) (x + 4) (x + 3) (x - 3) (x - 2) (x - 1) M = (x2 + 2x – 15)(x2 + 2x – 8)(x2 + 2x – 3) Pero: x2 + 2x = 9 M = (– 6)(1)(6)

Rpta. E



M = – 36

Rpta. C

Dato: x4 + y6 = 4 R= R=

x 4 - 2 x 2 y + y + x 4 + 2x 2 y 3 + y 6 2x 2

2 ` x 4 + y6 j 2x

2

= 2 4$ 4 = 2

R=2 Rpta. B Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

167

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y Demostración 1 Sabiendo que:

2 Demuestre que el valor de la expresión: 2

(x + a)(x - 2) = x + bx + 6

`32 - 1j`33 + 1j`3 4 + 1j + 1

x2 + (a – 2) x – 2a = x2 + bx + 6



–2a = 6 a–2=b

4

Sea igual a “92”.



Calcula: “a - b”



2

2(3+1)(3 +1)(3 +1) + 1



`3 4 - 1j`3 4 + 1j + 1

a = –3 –3 – 2 = b –5=b

38 - 1 + 1 = 3 = 34 = 81 = 9 2 l.q.q.d 8

` a – b = –3 – –5 = –3 + 5

2

` a–b=2

3 Si los cuadriláteros ABCD y BEFG son cuadrados, determine la diferencia de áreas de dichos cuadrados. H

B

G

R=



C

2

F

4 Indica el valor reducido de:

5m n

R=

2

2m n A

D

A

ABCD 2 2

–A

BGFH

(5m n) – (3m2n)2 25m4n2 – 9m4n2 16m4n2

168

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

R=

[(3x+1)2 + (3x-1)2] - (–18x2+2) 2

36x

89x2 + 6x + 1 + 9x2 - 6x + 1 B + 18x2 - 2

36x2 18x2 + 2 + 18x2 - 2 36x2 2

R = 36x2 36x R= 1

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación Matemática 1 Analiza cada igualdad y escribe en cada paréntesis verdadero (V) o falso (F). 2

2

2

A. (x - y) = x - y 2

B. (x + a)(x - b) = x + (a - b)x - ab 2

2

C. (x + y)(x - y) = x + y 2

2

D. (x + y) + (x - y) = 4xy 3

3

3

E. (x - y) = x + y + 3xy (x - y)

2

A. (x + 2)

( C ) 8x

( V )

B. (x + 2)(x - 2)

( D ) x + 2x - 8

( F )

C. (x2 + 2) - (x2 - 2) ( A ) x + 4x + 4

( F )

D. (x - 2) (x + 4)

( F )

E. (x - 4)

2

E = (x + 3) + (x + 5) - 2x(x + 8)

E = x2 + 6x + 9 + x2 + 10x + 25 – 2x2 – 16x E = 34

2

( F )

3 Simplifica la expresión: 2

2 Relaciona cada producto con el resultado que se obtiene.

2

2

2

2

2

2

( E ) x - 8x + 16 2

(B) x -4

4 Calcula el valor de la expresión: 2

2

Q = ( 5 + 2 ) + ( 5 - 2 )

2 2 Q = 2` 5 + 2 j Q = 2`5 + 2j

Q = 2`7 j Q = 14

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

169

LIBRO DE ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

Segundo grado de secundaria

APRENDIZAJES

Resolución de Problemas 2

1 Si la suma de dos números es 8 y su producto es 5, calcula la suma de sus cuadrados.

2 Si se sabe que: a + 3a = 5; calcula el valor de la expresión: Q = a(a + 1)(a + 2)(a + 3)

i) a + b = 8 2

ii) ab = 5 Q = a(a + 3) (a + 1) (a + 2)

2

iii) (a + b) = a + 2ab + b2

Q = (a2 + 3a) (a2 + 3a + 3)

(8)2 = a2 +b2 + 2× 5

Q = (5) + (5 + 3)

64 = a2 + b2 +10



Q = (5) (8)

64 – 10 = a2 + b2

Q = 40

54 = a2 + b2



3 Manolito tiene un terreno de forma rectángular 2 de área 85 m . Si el largo mide (x + 6)m y su ancho (x - 6)m. Determine el valor de “x”.

2 2 4 Calcula: 4R + 9R + 12



(x + 6) (x – 6) = 85 x2 – 36 = 85

x2 = 85 + 36



x2 = 121



x = 11

R=

R=

2

2

2

2

2

2

(3x + 3y) - (2x - 3y) (3x + 3y) + (2x + 3y)

9x2 + 18xy + 9y2 - ` 4x2 - 12xy + 9y2j 9x2 + 18xy + 9y2 - ` 4x2 + 12xy + 9y2j

9x2 + 18xy + 9y2 - 4x2 + 12xy - 9y2 9x2 + 18xy + 9y2 - 4x2 + 12xy - 9y2 5x2 + 30xy R= 5x2 + 30xy R= 1 R=

` 4R2 + 9R2 + 12 4 (1) 2 + 9 (1) 2 + 12 = 13 + 12 = 25

170

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

POLINOMIOS EN IR

Calcula el cociente en cada división, demostrando responsabilidad en su trabajo.

1

Calcula el cociente: 4 6

8x8y 5 − 12x 4y 8 + 16x5y 6 4 2 x y 3

25x2y3 x2y2 – 5x5y

6x6y4 – 9x2y7 + 12x3y5

Calcula el cociente: 8 5

6 4

PARA LA CLASE

2 Calcula el cociente:

7 4

25x y − 125x y

3

ACTIVIDADES

4 Calcula el cociente: 7 9

25x y - 15x y + 35x y 5x 3 y 3

5x5y2 – 3x3y + 7x4y6

8 8 4 5 12 6 5 12 3 7 5 9 x y z − x y z + x y z 9 27 4 4 3 4 x y 3 2 x5 z5 - 1 x3 z12 + 9 x 4 yz9 3 3 16

5

Calcula el cociente:

6 Calcula el cociente:

75x2n+3 + 15x2n− 4 + 40x2n+6

0,6x9y7 − 2,4x3y 8 − 1,6x10 y 5 0,2x2y 4

5x2n−2

3x7y3 – 12xy4 – 8x8y

7

Calcula el cociente: n+3 n+ 4

x

y

n+ 4 n+7

−x

y

xn−1yn+2

15x5 + 3x–2 + 8x8

8 Calcula el cociente: n+ 5 n + 8

+x

y

x4y2 – x5y5 + x6y6

8xn+2yn−3 + 20xn+8yn−5 4xn− 4yn+1

2x6y–4 + 5x12y–6

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

171

LIBRO DE ACTIVIDADES

9 Calcula el cociente: −40x9 y11 − 72x5y10 − 88x2 y 4 −8x2 y3

5x7y8 + 14x3y7 + 11y

11 Calcula el cociente: −12x5y7 − 20x7 y 8 − 4xy5 + 28x2y −2 −4

−4x y

3x7y11 + 5x9y12 + x7y9 – 7x4y5

13 Calcula el cociente: 25xn+2yn − 20xn+ 4yn+1 + 40xn+6 yn+2 n n

5x y

Segundo grado de secundaria

10 Calcula el cociente:

−72x 4y5z7 − 60x5y7 z9 − 18xy 4 z5 −6xy 4 z3

12x3yz4 + 10x4y3z6 + 3z2

12 Calcula el cociente: 7 4 7 9 3 8 11 5 10 x y − x y − x y 4 8 6 1 4 xy 2

7 x3 y3 - 9 x2 y 4 - 11 x 4 y6 2 2 3

14 Calcula el cociente:

9 n+1 n+ 4 27 n+2 n+6 9 n n+2 − + x y x y x y 4 8 6 3 n n+1 x y 2

5x2y0 – 4x4y + 8x6y2 5x2 – 4x4y + 8x6y2

15 Calcula el cociente:

0,25x3n− 4 + 0,75x3n+8 − 0,15x3n−9 0,5x3n+2

0,5x–6 + 1,5x6 – 0,3x–11

172

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

3 xy3 - 9 x2 y5 + y 2 4

16 Calcula el cociente: xn+1yn + xn+2yn+1 − xn+3yn+2 + xn+ 4 yn+3 + xn+5yn+1 xnyn

x + x2 y – x3 y2 + x4 y3 + x5 y

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1

Calcula el cociente: 3

8x + 12x 4x

8y3

2x2 + 3x

3

Calcula el cociente: −8x 4y 5 + 12x3y7 − 10x2y 9 −2x2y 3

4x2 y2 – 6xy4 + 5y6

5

2 Calcula el cociente:

32x8y 9 − 48x9y 10 − 24y 2

2

Calcula el cociente: 28xn+ 4 − 63xn−3 − 77xn+6 7xn−2

4x6 – 9x–1 – 11x8

4x8 y6 – 6x9 y7 – 3y–1

4 Calcula el cociente:

0, 4x5y7 + 0,8x8y 9 − 0,6x7 y 10 0,2x2y 4

2x3 y3 + 4x6 y5 – 3x5 y6

6 Calcula el cociente:

−24x5n+3 + 48x5n− 4 − 72x5n+6 8x5n−2

–3x5 + 6x–2 – 14x8

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

173

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

En cada caso, calcula el cociente de cada división de menera individual o grupal mostrando responsabilidad en su trabajo. 1

Calcula el cociente: 3

2

3x + 2x – 5x – 4 –3x3 – 3x2 –x2 – 5x +x2 + x –4x – 4 +4x + 4

3

6x4 – 8x3 + 0x2 – 10x – 12 –6x4 + 12x3

x+1 2 3x – x – 4

4x3 + 0x2 +4x3 + 8x2

2

3x - x - 4

Calcula el cociente: 6

3

8x2 – 10x +8x2 + 16x +6x – 12 –6x + 12

x+1 3x + 2x2 + 4x – 3 3

3

2

Rpta. 3x + 2x + 4x + 3

4 Calcula el cociente:

2

4

(4x – 10x – 5x + 2 + 7x ) ÷ (2x – 1)

5

3

2

(9x – 7x + 5x – 13x + 2) ÷ (3x + 1)

(4x6+0x5+7x4–10x3–5x2+0x+2)÷(2x+1)

(9x5 + 0x4 – 7x3 + 5x2 – 13x + 2)÷(3x + 1)

2x5 + x4 + 4x3 – 3x2 – 4x – 2

3x4 + x3 – 2x2 + x – 4

Rpta. 5

4

(–10x – 8x – 12 + 6x ) ÷ (2x – 4)

Rpta. 3

PARA LA CLASE

2 Calcula el cociente:

2

(3x + 2x – 5x – 4) ÷ (x +1) 3

ACTIVIDADES

5

4

3

2

2x + x + 4x - 3x - 4x - 2

Calcula el cociente: 3

Rpta.

4

3

2

3x + x - 2x + x - 4

6 Calcula el cociente: 4

2

3

(2x – x + 7x – 3) ÷ (2x + 3)

(9y + 3y + y – 1) ÷ (3y – 1)

(2x4 – x3 + 0x2 + 7x – 3)÷(2x + 3)

3y2 + 2y + 1

3

2

x – 2x – 3x + 8

Rpta. 7

2

3y + 2y + 1

Calcula el cociente: 3

2

3

2

x - 2x - 3x + 8

8 Calcula el cociente: 2

4

(4x – 3x – 11x + 7) ÷ (x + x – 1)

3

2

2

(2x – 3x + 5x – 3x + 2) ÷ (x – x + 1)

2x2 – x + 2

4x – 7

Rpta.

174

Rpta.

4x - 7

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

2

2x - x + 2

POLINOMIOS EN IR

1 Calcula el cociente: 4

3

2 Calcula el cociente:

2

2

6

(12x + 2x – x – 5x – 9) ÷ (3x – x – 2)

5

4

4x2 + 2x + 3

2

4x + 2x + 3

3 Calcula el cociente: 4

2 3

4

5

2

(x + 3x y + 2x y + 4x y – 6xy – y ) ÷ (x – 2 xy + y )

(9x

+ 3x

a

3

2

a+1

(8x – 4x a+1 3x )

3

2

a+2

2

3

x + 4x y + 5xy + 5y

+x + x

–10x

a+3

+x

a+4

–11x

a+5

) ÷ (2x –

a

3

4

4x + 4x2 + x3 +2x4

5 Calcula el cociente: a+1

2

x - 3x + 8x - 15

Rpta.

x3 + 4x2y + 5xy2 + 5y3

a+2

3

4 Calcula el cociente:

3 2

Rpta.

2

x3 – 3x2 + 8x – 15

Rpta.

5

3

(x – 2x + 4x – 3x + 4x + 5x – 6) ÷ (x + x –x + 1)

2

4x + 4x + x + 2x

Rpta. 6 Calcula el cociente:

a–1

a

) ÷ (3x – x

a–1

)

9x2 + 2x + 13

Rpta.

a–1

(–5y

a

a+1

+2y +2y

a+2

+y

a–2

) ÷ (5y

a–1

+3y

a

+y )

–y + y2

2

9x + 2x + 13

Rpta.

–y + y2

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

175

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula el cociente: 2

2 Calcula el cociente:

3

4

(–6x +4x +3x – 14) ÷ (x – 2) 4x3 – 6x2 + 3x – 14 –4x3 + 8x2

4x2 + 2x + 7

2x + 3x –2x2 + 4x

12x4 + 21x3 + 0x2 + 6x – 12 –12x4 – 24x3

x–2

2

–3x3 + 0x2 +3x3 + 6x2



2

3 Calcula el cociente: 3

Rpta. 4x3–x2+2x–2 4 Calcula el cociente:

2

2

(x – 3x + 2x +6x + 5x – 6) ÷ (x – x + 1) x5 – 3x4 + 2x3 + 6x2 + 5x – 6 –x5 + x4 – x3 2x4 + x3 + 6x2 –2x4 – 2x3 – 2x2

x2 – x + 1

5

4

2

2

(2x + x + 3x + 1) ÷ (x – x + 1) x2 – x + 1 2x5 + x4 + 0x3 + 3x2 + 0x + 1 5 4 3 –2x + 2x – 2x 2x3 + 3x2 + x + 1 3x4 – 2x3 + 3x2 –3x4 + 3x3 – 3x2

x3 – 2x2 – x + 5

–x3 + 4x2 + 5x +x3 + x2 + x

x3 + 0x2 + 0x –x3 + x2 – x

5x2 + 6x – 6 –5x2 + x – 5 11x – 11

x2 – x + 1 –x2 + x – 1

3

2

5 Calcula el cociente: n+2

n+3

+ 3x

+8x

n+4

3

x + 2x – x + 5

Rpta.

(4x

4x – x2 + 2x – 2

–6x – 12 +6x + 12

4x + 2x + 7

Rpta.

4

3x + 6 3

6x2 – 6x –6x2 + 12x

7x – 14 –7x + 14

5

3

(12x + 21x + 6x – 12) ÷ (3x + 6)

2

Rpta. 2x +3x +x+1 6 Calcula el cociente:

n+5

+ 9x

4xn+2 + 3xn+3 + 8xn+4 + 6xn+5 –4xn+2 – 4xn+3 –xn+3 + 8xn+4 +xn+3 + xn+4

n

) ÷ (x + x n

x +x

n+1

)

n+1

2

4x – x3 + 9x4

9xn+4 + 9xn+5 –9xn+4 – 9xn+5

a+2

(9x

a+1

+ 3x

a

+x + x

a–1

9xa+2 + 3xa+1 + xa + xa–1 –9xa+2 + 3xa+1 6xa+1 + xa –6xa+1 + 2xa

a

) ÷ (3x – x

a–1

)

3xa – xa–1 3x2 + 2x + 1

3xa + xa–1 –3xa + xa–1 2xa–1

Rpta.

176

2

3

4

4x - x + 9x

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

2

3x + 2x + 1

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

Realiza las siguientes divisiones, empleando métodos diferentes, mostrando responsabilidad en su trabajo.

1 Divide aplicando el método de HORNER: 2

4

3

2

(x – 1 + 6x + 6x – 5x ) ÷ (2x – x + 1)

2 1

6

–5 3

6 –3 –1

–1 3

–1

1

1 1 +1 3

–1

PARA LA CLASE

2 Divide aplicando el método de HORNER:

1 –1

1

q(x) = 3x – x + 1

0 –1

2 1 1

0

–3

2

3

4

2

(–4x – 3 + 2x + 11x + 6x ) ÷ (3x + x – 2)

–1

4

11 –2

3

–4 4 –3 –1

4

2

–3

4 2

6 1 9

–2 –5

–1

–8

–2

0 –4

–1

r(x) = 4x – 1

5 Divide aplicando el método de HORNER: 5

3

(31x + x - 8x + 21) ÷ (x - 7 - 2x)

1

–8 0

–8

6

2

r(x) = 9x – 5

1

–5

–6

–5 –6 –6

6 0

0 2 0

2

0 31 0 21 7 –16 –56 0 4 14 0 –18 –63 –9 –21 –4 –42

q(x) = x3 – 8x2 + 2x – 9 r(x) = –21x2 – 4x – 42

2

(5x – 2 – 8x – 4x ) ÷ (1 – 2x + 4x )

q(x) = –2x2 – x – 1

6

4 5

5

4 Divide aplicando el método de HORNER:

q(x) = 2x2 + 3x – 1

2

–1 –4

2

r(x) = 6x2 – 6x

3 Divide aplicando el método de HORNER:

1 0 +2 +7

3

q(x) = x3 – x2 + 4x – 5

r(x) = 3x – 2

2

4

+1

1

6

6

–1 –2

2

3 –1 2

2

(5x – 6 – 3x + x + 2x ) ÷ (x – x + x

–4 2 –2 –1

5

–2

1 –2 4

1 –1

6 Divide aplicando el método de HORNER: 3

2

2

(x - 10x + 14x - 9) ÷ (x - 4x + 3) 1 4 –3

1

–10 4

1

–6

14 –3 –24 –13

–9 18 +9

q(x) = x – 6 r(x) = –13x + 9

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

177

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

7 Divide aplicando el método de RUFFINI: 2

3

4

–6

3

–14

4

8 2

4 7

14 0

4

3

3

10

–4

13

–10

–3

3

–12 –2

8 4

–16 –3

12 2

–8 –11

x=–4

2

q(x) = 4x2 + 2x + 7

q(x) = 3x4 – 2x3 + 4x2 – 3x + 2

r(x) = 0

r(x) = –11

9 Divide aplicando el método de RUFFINI: 4

2

5

6 x=-2 3 6

10 Divide aplicando el método de RUFFINI: 2

(7x + 4 – 5x + x + 6x ) ÷ (3x + 2)

5

4

(–4x – 7x + 8 + 6x + 5x ) ÷ (3x – 2)

–5

0

1

7

4

–4

6

–4

2

–6

–9

6

–3

9

–2

6 x= 2 3 6

5

0

–7

–4

8

4

6

4

–2

–4

9

6

–3

–6

4

q(x) = 6x4 – 9x3 + 6x2 – 3x + 9

q(x) = 6x4 + 9x3 + 6x2 – 3x – 6

r(x) = (–2)3 = 6

r(x) = (4)3 = 12

11 Divide aplicando el método de RUFFINI: 6

4

2

2

x2 = y

2 3

x3 = y

4(x ) +5(x ) –3x2 – 8 ÷ y – 1 2

4y + 5y – 3y – 8 ÷ y – 1 4

5

–3

–8

4

4 9

9 6

6 –2

y=1

4

2

3

(3x + 5 x + 8 + 7x – 5x ) ÷ (x + 1)

2 2

3

12 Divide aplicando el método de RUFFINI: 5

(4x + 5x – 3x – 8) ÷ x –1

q(x) = 4y2 + 9y + 6 q(x) = 4x4 + 9x2 + 6 r(x) = –2

178

5

(3x + 10x – 4x + 13x – 10x – 3) ÷ (x + 4)

(–6x +4x +3x – 14) ÷ (x – 2)

x=2

8 Divide aplicando el método de RUFFINI:

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

5

3 _ x7i

3

3y

4

3 + 5_ x i 5

3

4

2

3 - 5_ x i

3 + 5y 3 -

5y

2

3

1

3 + 7_ x i

3

+8

1

3 + 7y 3 + 8

3

5

0

–5

7

8

3

–3 2

–2 –2

2 –3

3 10

–10 –2

x=–1

q(x) = 3y4 + 2y3 – 2y2 – 3y + 10 q(x) = 3x12 + 2x9 – 2x6 – 3x3 + 10 r(x) = 7

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Divide aplicando el método de HORNER: 4

3

2

2 Divide aplicando el método de HORNER:

2

(x + 8x + 6 + 4x – 3x ) ÷ (x – x + 1)

1 1

1

4 1

–3 –1 5

8

–1 1

5

1

1 0

6

–5 1 4

7

5

2

0 0

q(x) = x2 + 5x + 1

2

2

0

1

1

–10 4

14 –3 –24

4

3

–9

0 2 0

–7

2

–2

0

4

–3 –14 0 –19

21 4 25

–6 –2

–6

13

2

2

–3

–8

4

–15

2

6 3

9 1

3 7

21 6

x=3

18 9

q(x) = 2x3 + 3x2 + x + 7

q(x) = x – 6

r(x) = 6

r(x) = 13x + 9 5 Divide aplicando el método de RUFFINI: 3

4

6

0

7

–8

0

–1

–4

6

–3

2

–2

8

–12

6

–4

5

q(x) = 2x5 – x4 + 4x3 – 6x2 + 3x – 2

6

3

1

Dividendo entre 2

5

(6x – 5x – 8 + 6x ) ÷ (2x – 1)

–2

q(x) = 4x5 – 2x4 + 8x3 – 12x2 + 6x – 4

6 Divide aplicando el método de RUFFINI: 4

(–8x + 3 – x + 7x + 4x ) ÷ (2x + 1)

r(x) = 5

1

0

4 Divide aplicando el método de RUFFINI:

–3

4

–1 –6 0 0

(2x – 3x – 8x + 4x – 15) ÷ (x – 3)

(x - 10x + 14x - 9) ÷ (x - 4x + 3)

x =-1 2

3

r(x) = –19x2 + 25x – 2

3 Divide aplicando el método de HORNER:

4

2

q(x) = 2x4 + x2 – 7x + 2

r(x) = 4x + 5

1 4

–3 4 0

2

–1 5

2

3

4

(2x - 3x + 4 - x - 2x ) ÷ (x - 2x + 3)

x= 1 2 6

–5

0

3

–1

–2

–1

0 -1 -1

6 2 2

-1 25

–8 4 4

25

8

- 39 8

q(x) = 6x4 – 2x3 – x2 – x + 25 4 2 4 3 2 1 1 q(x) = 3x – x – x - x + 25 4 2 8 r(x) = - 39 8

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

179

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES

De manera individual o grupa resuelve cada ejercicio aplicando el teorema del resto, siendo responsable en tu trabajo. 1 Calcula el residuo en: 3

2 Calcula el residuo en:

2

5

(3x + 4x – 5x – 7) entre (x + 2)

3

2

(4x + 5x – 5x + 7) entre (2x + 1)

i) x = –2 3

PARA LA CLASE

i) 2x + 1 = 0 $ x = - 1 2

2

ii) 3(–2) + 4(–2) – 5(–2) –7

5 3 2 ii) 4 c - 1 m + 5 c - 1 m - 5 c - 1 m + 7 2 2 2

–5

5

-5

Rpta.

Rpta.

3 Calcula el residuo en: 3

2

4 Calcula el residuo en:

3

3

(x +2ax – 5a ) entre (x + 2a)

2

i) x = –a

3

2

3

ii) (–a)3 + 4a(–a)2 – 5a2(–a) + 4

ii) (–2a) + 2a(–2a) – 5(–2a) –5a3

8a3 + 4

3

-5a

Rpta.

Rpta.

5 Calcula el residuo en: 3

2

(x

i) x = 3a

12

+ 1) entre (x + 1)

i) x = –1 3

2

3

ii) (–1)12 + 1

ii) (3a) – 2a(3a) + 2a(3a) – 10a 27a4 + 8a3

Rpta.

180

3

8a + 4

6 Calcula el residuo en: 3

(x – 2ax + 2ax – 10a ) entre (x – 3a)

4

2

(x +4ax – 5a x + 4) entre (x + a)

i) x = –2a

4

5

2

4

3

27a + 8a

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

2

POLINOMIOS EN IR

2

7 Calcula “m” si: (x - 3x + m) es divisible entre (x - 1).

i) x = 1

8 Calcula “k” si: 3

2

(3x - 2x + 4x + k) es divisible entre (x + 1)

i) x + 1 = 0 $ x = –1

3

ii) 3(–1)3 – 2(–1)2 + 4(–1) + k = 0

ii) 1 – 3(1) + m = 0 m=2

K=9

Rpta. 3

2

2

9 Calcula “a” si (4x - 4x + 5x + a) es divisible entre (2x + 1).

3

10 Calcula “n” si la división (x - 5x + n) ÷ (x - 2) deja resto -1.

ii) 23 – 5(2) + n = –1

2

ii) 4 c - 1 2 m - 4 c - 1 2 m + 5 c - 1 2 m + a = 0 a=4

Rpta. 4

9

i) x = 2

i) 2x + 1 = 0 $ x = - 1 2 3

Rpta.



n = –1 + 2



n=1

4

3

11 Calcula “a” si la división (x + 2x + ax - 3)÷(x + 2) deja resto -5.

Rpta.

1

12 Calcula “c” si: 3

2

3x + 6x +

c+2 x es divisible entre (3x + 1) 3

i) 3x + 1 = 0 $ x = - 1 3

i) x = –2 ii) (–2)4 + 2(–2)3 + a(–2) –3 = –5 16 + –16 – 2a – 3 = –5 2a = –2 a=1

Rpta.

1

3 2 ii) 3 c - 1 m + 6 c - 1 m + c 6 + 2 m $ - 1 = 0 3 3 3 3 c 1 1 2 3$c 6 =0 27 m + c 9 m + 9 -1 - 2 = c+2 9 3 9 -7 = c +2 9 9 -7 = c +2 -9 = c Rpta.

-9

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

181

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula el residuo en: 2

2 Calcula el residuo en:

2

3

(5x - 2x + 7x - 2) entre (x + 2)

(x + 2x + 3) ÷ (2x + 1)

i) x = –2 2

i) 2x + 1 = 0 $

2

ii) 5(–2) – 2(–2) + 7(–2) – 2

3 ii) c - 1 m + 2 c - 1 m + 3 2 2 1 - 8 +- 1 + 3 2 15 8 -1 8+ =

20 – 8 – 14 – 2 20 – 24 –4

Rpta.

-4

Rpta.

15/8

4 Calcula “m” si.

3 Calcula el residuo en: 2

x = -1 2

4

2

3

2

(2x - 5x + 8x - 5m) es divisible por (x + 1)

(x - 2ax + a ) ÷ (x - a) i) x = a

i) x = –1

2

ii) (a) – 2(a)(a) + a

2

ii) 2(–1)4 – 5(–1)3 + 8(–1)2 –5m = 0

a2 – 2a2 + a2

2 + 5 + 8 – 5m = 0

0

15 = 5m 3=m

Rpta.

0

5 Calcula “m” si: 5

4

i) x = –1 4

3

2

(2x - 6x + 5x -

a ) sea divisible entre (2x – 1) 4

i) 2x –1 = 0 $ x = 1 2

2

ii) (–1) – 3(–1) + 2(–1) + 4m = 0

3 2 ii) 2 c 1 m - 6 c 1 m + 5 c 1 m - a = 0 4 2 2 2 2- 6 +5 = a 4 8 4 2 10 = a 4 8 5= a

–1 – 3 + 2 + 4m = 0 –2 = –4m 1 =m 2

Rpta.

182

3

6 Calcula “a” si:

2

(x - 3x + 2x + 4m) sea divisible entre (x + 1)

5

Rpta.

1/2

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta.

5

POLINOMIOS EN IR

Calcula el cociente en cada caso aplicando la regla de cocientes notables, demostrando responsabilidad en tu trabajo.

1

3

x2 − 100 = x – 10 x + 10

81− z 4 9 + z2

2 = 9–z

2

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

81x4 – 16 2

9x – 4

= 9x2 + 4

4

100y 2 − 144 = 10y + 12 10y − 12

25 - (x + y) 2 25 - (x + y) 2 5 (x y) 5 - x - y = 5 - (x + y) = + +

5

1 - 16x2 = 1 - 4x 1 + 4x

6

7

16 - (x + 1) 2 16 - (x + 1) 2 = 4 + (x + 1) = 4-x-1 4 - (x + 1)

` 3x + 1 j - 16 ` 3x + 1 j - 16 8 = 3x - 3 3x + 1 - 4

2

2



= 3x + 1 + 4



= 3x + 5

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

183

LIBRO DE ACTIVIDADES

9

x 2n − y 4n n

x −y

2n

=

xn + y2n

4n + 6 − y 6n+ 4 11 x = 2n + 3 3n + 2

x

13

−y

x2n+3 + y3n+2

( x + y )2 − 9y8 = (x + y) + 3y4 ( x + y ) − 3y 4

Segundo grado de secundaria

10

4x 6 y8 − 9z6 3 4

2x y − 3z

3

=

2x3y4 + 3z3

12

( 2x3 + 1) − 16y8 = ( 2x3 + 1) + 4y4

14

( x + y )8n+10 − ( x − y )6n+12 ( x + y )4n+5 + ( x − y )3n+ 6

2

(2x3 + 1) – 4y4

=

(x + y)4n+5 – (x – y)3n+6

15

( x + y )8n − ( z + 2 )4n = (x + y)4n + (z + 2)2n 4n 2n ( x + y ) − ( z + 2)

25 2n+ 6 49 4n+10 x x − 100 = 16 9 5 n+ 3 7 2n+ 5 x x + 3 10

5 xn + 3 - 7 x2n + 5 3 10

184

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

POLINOMIOS EN IR

ACTIVIDADES

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas”

Halla el cociente empleando la regla de cocientes notables.

1

3

y 2 − 64 = y −8

25y 4 − 1 2

5y + 1

2

y+8

=

PARA LA CASA

2

5y2 + 1

2

x - 9y

=

x + 3y

2

4

16 − ( x + 1) 4− x −1



5

x 4n y 6n − x8n y10n 2n 3n

x y

4n 5n

+x y

=

x2ny3n – x4n y5n

x – 3y

6

=

16 - (x + 1) 2 4 - (x + 1)

= 4 + (x + 1)

64x 6n+ 4 − 121x12n 8x

3n + 2

+ 11x

6n

=

8x3n+2 – 11x6n

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

185

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Aplique la regla de los cocientes notables y resuelva cada ejercicio según se pida, mostrando responsabilidad en tu trabajo. 1 Calcula el cociente: x3 − 125 = x−5

8

x +4

=

x2 + 5x + 25

x16 – 4x8 + 16

3z3 + y5

=

64 + y3 = 4+y

16 – 4y + y2

4 Calcula el cociente:

5 Calcula el cociente: 27z9 + y15

PARA LA CLASE

2 Calcula el cociente:

3 Calcula el cociente: x 24 + 64

ACTIVIDADES

343 − y12 7 − y4

=

49 + 7y4 + y8

6 Calcula el cociente:

9z6 – 3z8 y5 + y10

343x 6n − 729x3n+12 7x 2n − 9xn+ 4

=

49x4n + 63x3n+4 + 81x2n+8

7 Calcula el cociente:

8 Calcula el cociente:

0,125x12 + 0,064y 21 4

0,5x + 0,4y

7

=

0,25x8 – 0,2x11 + 0,16y14

186

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

8 6 1 9 x + y 125 27 = 2 2 1 3 x + y 5 3

4 x 4 2 x 2 y3 + 1 y 6 25 - 15 9

POLINOMIOS EN IR

9 Calcula el cociente: 0,027z3n − 0,125x12n n

0,3z − 0,5x

4n

10 Calcula el cociente: 27 12 1 15 x + y 8 125 = 3 4 1 5 x + y 2 5

=

0,09x2n + 0,15zn x4n + 0,25x8n

9 x8 - 3 x 4 y5 + 1 y10 4 25 10

11 Simplifica:

12 Simplifica:

x - 0, 2 x - 0, 2 = x3 - 0, 008 ` x - 0, 2 j` x2 + 0, 2x + 0, 004j 1 = 2 x + 0, 2x + 0, 04

6-x 6-x = 216 - x3 ` 6 - x j`36 + 6x + x2j 1 = 36 + 6x + x2

13 Simplifica:

14 Simplifica la fracción y reduce:

4x - 2y 4x - 2y = 16x2 - 4y2 ` 4x - 2y j`4x + 2yj = 4x 1 2y +

x2 − 16y 2 81y 2 − 16x2 + x + 4y 9y − 4x

` x + 4y j` x - 4yj `9y + 4xj` 9y - 4x j + x + 4y 9y - 4x

15 Simplifica la fracción y reduce:

` 3x - 1 j

-

= x – 4y + 9y + 4x



= 5x + 5y = 5(x + y)

16 Simplifica la fracción y reduce:

( ) − 2x2 + 3x4 ( 1− x2 )

27x3 − 1 8x3 + 1 − 3x − 1 2x + 1

` 3x - 1 j`9x2 + 3x + 1j



2 1 − x6

` 2x + 1 j`4x2 - 2x + 1j ` 2x + 1 j

9x2+3x+1 – 4x2 + 2x – 1 5x2 + 5x 5x(x + 1)

2 c 1 - x2 m`1 + x2 + x 4j c1 - x m 2

– 2x2 + 3x4

2 + 2x2 + 2x4 – 2x2 + 3x4 2 + 5x4

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

187

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

ACTIVIDADES PARA LA CASA

1 Calcula el cociente: 3

2 Calcula el cociente: 3

` 4j x12 - 1 = x - `1 j x4 - 1 x4 - 1

` 6j t18 + 216 = t + `6 j t6 + 6 t6 + 6

3

2

3

2

= (x4) + (x4) (1) + (1)2

= (t6) – 6t4 + (6)2

= x 8 + x4 + 1

= t12 – 6t6 + 36

3 Calcula el cociente:

4 Calcula el cociente: 2n 3

n 3

8x6n - 27y3n `2x j - `3y j = 2 x 2n - 3 y 4 `2x2nj - `3ynj 2

2

3

3 2n + 1 j 1 + x6n + 3 = 1 + ` x 2x + 1 2n + 1 1+x 1+x

2

= (2x2n) + 6x2n yn + (3yn)

= (1)2 – x2n+1 + (x2n+1)

= 4x4n + 6x2n yn + 9y2n

= 1 – x2n+1 + x4n+2

5 Simplifica: 1 - 2x 1 - 2x = = 1 2 1 - 4x `1 - 2x j`1 + 2xj 1 + 2x

6 Simplifica: 4+y 4+y 3 = 64 + y ` 4 + y j`16 - 4y + y2j = 16 – 4y + y2

7 Simplifica la fracción y reduce: 2

2

m -n +m+n m+n

`m + n j`m - nj +m+n m+n m- n +m+n 2m

188

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

8 Simplificar la fracción y reduce: 3 ` x2 - 9 j

` x + 3j

+ 9 - 3x

3 ` x + 3 j` x - 3j

+ 9 - 3x x+3 3x - 9 + 9 - 3x 0

POLINOMIOS EN IR

Trabaja en forma grupal y resuelve los ejercicios, mostrando responsabilidad en tu trabajo.

1 Calcula el 4° término del desarrollo de:

ACTIVIDADES PARA LA CLASE

2 Calcula el 5° término del desarrollo de: 6

6 729x6 - 1 = `3xj - 1 3x + 1 3x + 1

x12 − y 12 x−y

t4 = ±xn–k yk–1

t5 = (3x)6–5 · (1)5–1

t4= x12–4 y4–1

t5= 3x

8 3

t4= x y

8 3

3 Calcula el 5° término del desarrollo de: 3 7

7–5

t5 = 3x

4 Calcula el T24 del siguiente desarrollo: 29

x21 + 128y7 ` x j + `2yj = x 3 + 2y x 3 + 2y

t5 = (x3)

Rpta.

t4 = x y

Rpta.

29

3 2 x87 + y58 ` x j + ` y j = x3 + y 2 x3 + y 2

7

29–24

· (2y)5–1

t24 = –(x3)

t5= 16x6 y4

24–1

· (y2)

t24 = –x15 y46

Rpta.

6 4

5 Calcula el T12 del siguiente desarrollo:

t24 = –x15 y46

Rpta.

t5 = 16x y

6 Calcula el T31 del siguiente desarrollo: 50

50

3 5 x250 - y150 ` x j - ` y j = x5 + y3 x5 + y3

x23 + y 23 x+y

T31 = x50–31 · y31–1

t12 = –x23–12 · y12–1

T31 = x21 y30

t12= –x11 · y11

Rpta.

11 11

t12 = -x y

Rpta.

T31 = x21 y30

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

189

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

7 Efectua: 6

8 Efectua: 6

x - 64 = x - 2 x-2 x-2

7

6

6

5

4

2

3

3

= x5 + x4 · 2 + x3 · 22 + x2 · 23 + x · 24 + 25

=(x2) + (x2) · (y3) + (x2) · (y3) + (x2) · (y3) 2 4 1 5 6 + (x2) · (y3) + (x2) · (y3) + (y3)

= x5 + 2x4 + 4x3 + 8x2 + 16x + 32

= x12 + x10 y3 + x8 y6 + x6 y9 + x4 y12 + x2 y15 + y18

9 Efectua:

10 Efectua: 8

8

7

4 2 x32 - y16 ` x j - ` y j = x 4 + y2 x 4 + y2

7

6

5

7

5 3 x35 + y21 ` x j + ` y j = x5 + y3 x5 + y3

2

4

3

6

5

1

4

2

3

3

= (x4) – (x4) (y2) + (x4) · (y2) – (x4) · (y2) 3 4 2 5 6 7 + (x4) · (y2) – (x4) · (y2) + (x4) · (y2) – (y2)

= (x5) – (x5) · (y3) + (x5) (y3) – (x5) · (y3) 2 4 5 6 + (x5) (y3) – (x5) (y3) + (y3)

= x28 – x24 y2 + x20 y4 – x16 y6 + x12 · y18 – x8 y10 + x4 y12 – y14

= x30 – x25 y3 + x20 y6 – x15 · y9 + x10 y12 – x5 y15 + y18

11 Efectua:

12 Efectua: 4 7

5 7

10

6

5

4

2

10

4 2 x 40 - y20 ` x j - ` y j = x 4 + y2 x 4 + y2

x28 + y35 ` x j + ` y j = x 4 + y5 ` x 4 j + ` y5 j

3

3

= (x4) – (x4) (y5) + (x4) (y5) – (x4) (y5) 2 4 5 6 + (x4) (y5) – (x4) (y5) + (y5)

= x24 – x20 y5 + x16 y10 – x12 y15 + x8 y20 – x4 y25+ y30

190

7

2 3 x14 - y21 ` x j - ` y j = x 2 - y3 x 2 - y3

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

9

8

7

2

6

3

= (x4) – (x4) (y2) + (x4) (y2) – (x4) (y2) 5 4 4 5 3 6 + (x4) (y2) – (x4) (y2) + (x4) (y2) 2 7 8 9 – (x4) (y2) + (x4) (y2) – (y2)

= x36 – x32 y2 + x28 y4 – x24 y6 + x20 y8 – x16 y10 + x12 y12 – x8 y14 + x4 y16 – y18

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones entre los demas” er

1 Calcula el 3 término del desarrollo de: 7

7

ACTIVIDADES PARA LA CASA

2 Calcula el 4° término del desarrollo de: 6

x -y

64x - 1

x-y

2x + 1

T3 = x7–3 y3–1

T4 = –(2x)6–4 (1)4–1

T3 = x4 y2

T4 = –(2x)2 (1) T4 = –4x2

Rpta.

4 2

t3 = x y

3 Calcula el T12 del siguiente desarrollo: x

40 2

60

-y

3

2

t4 = –4x

Rpta. 4 Efectua: 6

6

x -y x+y

x +y

x5 – x4 y + x3 y2 – x2 y3 + xy4 – y5

T12 = –x20–12 y12–1 T12 = –x8 y11

Rpta.

t12 = –x8 y11

5 Efectua: 9

9

x +y x+y

x8 – x7y + x6y2 – x5y3 + x4y4 – x3y5 + x2y6 – xy7 + y8

6 Efectua: 8

8

3 4 x24 + y32 ` x j + ` y j = x3 - y 4 x3 + y 4 7

6

5

2

4

3

= (x3) – (x3) y4 + (x3) (y4) – (x3) (y4) 3 4 2 5 6 7 + (x3) (y4) – (x3) (y4) + (x3) (y4) – (y4) = x21 – x18 y4 + x15 y8 – x12 y12 + x9 y16 – x6 y20 + x3 y24 – y28

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

191

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

APLICO MIS

Ser lider es promover las buenas no relaciones "Recuerda tienes que ser persistente, tienes que detenerteentre hastalos lograr tu cometido." demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 Calcula la suma de coeficientes del residuo, luego 3 2 2 de dividir: (x - 3x + 2x + 4) ÷ (x + x - 2) A) 1

B) 2

C) 3

E) -2

D) 4

2 El cociente de la división: 3 2 2 (x + 3x - x - 3) ÷ (x + 2x - 3) es: A) x + 1 D) x + 2

B) x - 1 E) 2x - 1

5

4

3

2

3 Al dividir: x - 6x - 2x - x + 1 por: x - 3x + 1, el cociente y el resto son respectivamente: 2

A) x + 3x - 11 2 B) x - 3x + 11 2 C) x - 3x - 11 2 D) x + 3x + 11 2 E) -x + 3x - 11 2

2

∧ ∧ ∧ ∧ ∧

-34x - 2x + 12 2 -34x + 2x - 12 2 -34x + 2x + 12 2 -34x - 2x - 12 2 34x - 2x -12 2

2

4 Reduce : (4x +26x + 1) - x 4x + 7x + 1 A) 0 B) 1 2 D) x + 5 E) 4x + 5x + 1 3

2

C) x

2

B) x + 7 E) -5x + 14

2

2

B) (x + 2y) E) x + 5y

C) x + 2y

7 Halla el número de términos del siguiente cociente notable:

x20 - yn

A) 2

B) 3

xn + y 5 C) 4

D) 5

A) t

5

E) 6

192

C) 5

4

4

B) –t

C) 3t

3

t8 – 1 t +1 2

D) t

E) –2t

16x4 – 81 2x + 3 3

A) –6x

2

B) –12x

C) 8x

2

3

D) 4x

E) 9x

4 3 2 12 Calcula el cociente en 6x – 4x + x + 10x + 2 3x + 1

2

3

2

A) x – 3x + B) 2x – x + 2 3 2 3 2 C) 2x – 2x + x + 3 D) 3x + x – 2x + 1 3 2 E) x – 4x + x – 2

12x4 – 14x3 + 15x2 – 6x + 4 2

4x – 2x + 1 A) Q(x) = 3x – 2x + 2 ; R(x) = 2 2 B) Q(x) = 2x – 3x + 1 ; R(x) = x – 2 2 C) Q(x) = 3x – x + 3 ; R(x) = 2x – 1 2 D) Q(x) = x – 4x + 6 ; R(x) = 0 2 E) Q(x) = 3x – 2x + 4 ; R(x) = –1 4 3 2 14 ¿Cuál es el cociente en: 4x + 13x + 13x + 8x + 5 4x2 + x + 2

2

A) x + 3x + 2 2 D) x + 3x - 4

2

2

B) x + 2x + 3 2 E) x + 2x + 4

C) x + 3x + 1

15 Indique el cociente de la división:

A) x2 + 2x + 2

D) 7

3 3

E) –x y

2x 4 + 7x3 + 13x2 + 12x + 5 2x2 + 3x + 1

4x6 + 2x + a x +1 B) 4

2 3

D) x y

11 Calcula el segundo término en el desarrollo de:

8 Halla “a”, si el resto de la división es 7.

A) 3

3 2

C) x y

2

C) 2x + 1

3 2 3 6 En la división indicada: x + 3x y - 4y , halla el x-y cociente:

A) (x - 2y) D) x + 3y

2

B) –xy

13 Calcula el cociente Q(x) y el resto R(x) en:

5 Dividir (x - 6x + 5x + 10) ÷ (x - 4x + 2), de como respuesta el residuo. A) 0 D) 5x - 2

2 2

A) x y

10 Calcula el quinto término en el desarrollo de C) x - 2

3

5 5 9 Calcula el tercer término en el desarrollo de: x – y . x–y

E) 8

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

D) x + 2x - 1

B) x2 + 3x + 2 2

E) x + 3x + 1

C) x2 + 2x + 3

POLINOMIOS EN IR

16 Halla la suma de coeficientes del cociente de:

2

5x5 - x 4 + 6x3 - 7x + 3 5x2 − 6x + 2 A) 6

B) 7

17 Halla el resto en:

C) 8

A) –6x – 8x + 7 2

C) –6x + 10x – 7

D) 9

E) 10

x 4 + 2x2 + 3x + 4 x2 + x + 2

A) 4x + 1 D) 4x - 1

B) 4x + 2 E) 4x - 2 4

C) 4x + 3

B) 7x + 13 E) 5x + 11

C) 6x + 15

C) 8

D) 9

E) 10

20 Indica el término independiente del resto en la 3 2 siguiente división: 6x - x + 2x + 6 3x2 - 2x - 1 A) 4

B) 5

C) 6

D) 7

21 Halla el resto en la siguiente división: A) 4

B) 5

2

D) –7x – 6x + 7

2

26 Calcula “m+n”, conociendo que el polinomio: 3 2 P(x) = 2x + 3x – nx + m es divisible por 2 Q(x) = 2x – x – 1 B) –4

C) –3

D) 2

E) 1

27 El menor coeficiente del cociente obtenido en la 5 3 2 2 división: (4x – 10x + 22x – 1) ÷ (2x + 4x – 1) es: A) 2

2x 4 + 3x3 + 5x2 + 8x + 6 2x +1 B) 7

2

B) –6x – 9x – 7

E) –6x – 10x + 7

A) –5

19 Halla la suma de los coeficientes del cociente en:

A) 6

3

3

18 Indique el resto en: 2x + 3x + 4x + 5 x2 + x + 2 A) 7x + 15 D) 6x + 13

4

25 Halla el residuo de dividir: (2x +7) ÷ (3x +9x+15)

C) 3

E) 9

x 4 + 2x2 + 5 x2 + 1

D) 2

E) 1

B) –4

C) –8

D) –6

E) 1

28 Halla el término independiente del cociente, luego 4 3 2 de dividir: 10 x + 6x - 37x + 33x - 9 2 5x - 7x + 3 A) –1

B) 0

C) 1

D) 2

E) –3 3

el residuo que resulta de dividir x entre 29 Halla 2 x + x + 1. A) x+1

B) x – 1

C) 1

D) 0

E) x+3 4

30 Halla el residuo que resulta de dividir x entre 3 2 x – x – x – 1. 2

A) 2x + 2x + 1 2 D) 2x – 2x – 1

B) x – 1 2 E) x + 1

C) x+1

3 2 22 Dada la división exacta: 3x - 2x - 15x - 18 enx-3 2 cuentre el cociente disminuido en (3x )

A) x + D) x + 7

B) x + 4 E) 7x + 7

C) 7x + 6

3n n 4n 23 En la siguiente división: x + 3x + 2x + 12 , el n x +1 resto es:

A) 7

B) 8

C) 9

D) 10

E) 11

20 15 24 Indica el equivalente de: x + y 4 x + y3

5

4

3 2

2 3

4

5

A) x - x y + x y - x y + xy - y B) x

16 16

12 3

8 6

4 9

12

-x y +x y -x y +y 12 3

8 6

4 9

12

8 2

4 3

12

C) x +x y + x y + x y + y D) x

16 5

4

- x y + x y - x y +y 5

E) x + y

Clave de Respuestas 1. D

9. A

17. B

25. E

2. A

10. D

18. A

26. E

3. C

11. B

19. B

27. B

4. E

12. C

20. D

28. E

5. E

13. A

21. A

29. C

6. B

14. A

22. C

30. A

7. A

15. C

23. D

8. C

16. A

24. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

193

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Razonamiento y demostración

Resolución 5 (x3 – 6x2 + 5x + 10) ÷ (x2 – 4x + 2)

Resolución 1

1 4 –2

(x3 – 3x2 + 2x + 4) ÷ (x2 + x – 2) 1 –1 2

1

1

–3 –1

2 2 4 8

–4

4



suma coef. residuo = 4 Rpta. D

Resolución 2



3 –2

1

–1 3 –2 0

1

2 2 4x y + 0xy 2 2 –4x y + 4xy



1

1

–6 3

–2 0 –9

0 –1 0 –33 –11 –34

–3

–1 3 0 2

11 12 Rpta. C

= x10 – y5

2 términos

Rpta. A

4x 6 + 2x + a x+1

2

` 4x 2 + 6x + 1 j - x 2 4x 2 + 7x + 1 `4x2 + 6x + 1 + xj`4x2 + 6x + 1 - xj 4x 2 + 7x + 1



Resolución 8

Resolución 4



Teorema del resto: x + 1 = 0 x = –1 4(–1)6 + 2(–1) + a = 7 a=5

Rpta. C

Resolución 9

2



Rpta. B

2 2 c x10 + y5 m` x10 - y5j ` x10j - ` y5j = x10 + y5 c x10 + y5 m

cociente: x2 – 3x – 11 Residuo: –34x2 + 2x + 12

4x + 5x + 1

cociente: (x + 2y)2

x20 - yn 20 n & n = 5 xn + y5 n = 10

1





x–y x + 4xy + 4y2 2

Resolución 7

(x5 – 6x4 – 2x3 – x + 1) ÷ (x3 – 3x2 + 1) 1 3 0 –1

Rpta. E

4xy2 – 4y3 –4xy2 + 4y3



3 0

Resolución 3

4 14

x 3 + 3x 2 y - 4y 3 x-y

–3

Rpta. A

10

Residuo: –5x + 14

x3 + 3x2y + 0xy2 – 4y3 x3 + x2y

cociente: x + 1



–2

5 –2 –8 –5

Resolución 6

(x3 + 3x2 – x – 3) ÷ (x2 + 2x – 3) 1

–6 4

1 –8 –4



1 –2 3

1

Rpta. C

x5 - y5 x-y

; k = 3

tk = ± x

/

n=5

n–k k–1

y

2 2



194

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

t3 = x y

Rpta. A

POLINOMIOS EN IR

Resolución 10

Resolución 14

t8 - 1 t+1

; k = 5

/

n=8

4x 4 + 13x3 + 13x2 + 8x + 5 4x 2 + x + 2

tk = ± xn – k yk – 1 t5 = t3 · 14

4 –1

t5 = t3



Rpta. D

1

16x 4 - 81 2x + 3 (2x) 4 - 3 4 ; n = 4 2x + 3 t2 = –(2x)2 · (3)

/

k=2



Rpta. B

4 -3

1 3

10 3

2 3

2 -3

2 3

-1 3

–1

3

-1 3

–2

1

cociente: 2x3 – 2x2 + x + 3



2 –3

1

15 –3 –4

–1 3



7 –3



2

–2

2



Q(x): 3x2 – 2x + 2



R(x): 2

–1 1 Rpta. A

13 –1 –6 3

12

5

–2 –9 1

–3 2 Rpta. C

Resolución 16 5x 5 - x 4 + 6x 3 - 7 x + 3 5x 2 - 6x + 2 5

5

Rpta. C

–1 6

6

–14 6

–6 –2 0

Q(x): x2 + 2x + 3



12x 4 - 14x3 + 15x2 - 6x + 4 4x 2 - 2x + 1 12

2

–1

Resolución 13

4 2

2

5

Resolución 15

6x 4 - 4x3 + x2 + 10x + 2 3x + 1 ' 3 & c2x 4 - 4 x3 + 1 x2 + 10 + 2 m ' c x + 1 m 3 3 3 3 3

2

3

8

Q(x): x2 + 3x + 2



Resolución 12

-1 3

13 –2 –3

2x 4 + 7x3 + 13x2 + 12x + 5 2x 2 + 3x + 1

t2 = –12x2

2

13 –1

–2

Resolución 11



4

6 –2 6

0 –2 12

–2 1

–6

4

2

2

3

–4 12 1

–4 –1

Suma coef. Q(x) = 6

2 4 0

1

–7

Rpta. A

Resolución 17

–2 2

x 4 + 2x2 + 3x + 4 x2 + x + 2 1 –1

Rpta. A

1

0 –1

2 –2 1

–2 1



–1

R(x): 4x + 2

1

3

4

2 –1 4

–2 2 Rpta. B

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

195

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 18

Resolución 22

2x 4 + 3x 3 + 4x + 5 x2 + x + 2 1

2

3x3 - 2x2 - 15x - 18 x-3

3 –1

0 –2 1

–1 –2 2

1

4

5

–2

–15 –18

3

9 7

21 6

3

–2 5 7

–5

3

10 15



R(x) = 7x + 15

Rpta. A



Q(x) – 3x2 = 3x2 + 7x + 6 – 3x2 Q(x) – 3x2 = 7x + 6

x3n + 3xn + 2x 4n + 12 xn + 1

2x 4 + 3x 3 + 5x 2 + 8x + 6 2x + 1 4 ' 2 & c x + 3 x 3 + 5 x 2 + 4x + 3 m ' c x + 1 m 2 2 2 1 -1 2 1

3 2

5 2

4

3

-1 2

-1 2

–1

-3 2

1

2

3

3 2

Teorema del resto: xn + 1 = 0 xn = –1 Resto = (xn)3 + 3xn + 2(xn)4 + 12 = (–1)3 + 3(–1) + 2(–1)4 + 12



Resto = 10

Suma coef. Q(x) = 7

Rpta. B

x16 – x12y3 + x8y6 – x4y9 + 12



(6x3 – 5x2 – 4x + 4) ÷ (x – 1) –5

–4

4

6

6 1

1 –3

–3 1





Residuo = 1

(2x4 + 7) ÷ (3x3 + 9x + 15) 3 0 –9 –15

Rpta. A

x 4 + 2x 2 + 5 x2 + 1 Teorema del resto: x2 + 1 = 0 x2 = –1 Resto = (x2)2 + 2x2 + 5 Resto = (–1)2 + 2(–1) + 5

196



Residuo = 4

Rpta. D

Resolución 25



Rpta. A

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

2

2 3

Resolución 21



5

4 3 x20 + y15 ` x j + ` y j = x 4 + y3 x 4 + y3

Resolución 20

6

Rpta. D

Resolución 24 5

1

Rpta. C

Resolución 23

Resolución 19



18 0

0 0

0

0 –6 0

0 –10 0

7

–6

–10

7

R(x) = –6x2 – 10x + 7

0

Rpta. E

POLINOMIOS EN IR

Resolución 26

Resolución 30

3 2 P (x) = 2x + 32x - nx + m Q (x) 2x - x - 1

2 1 1

2

3 1

1

2

x3 x +x+1 2

–n 1 2 0

x4 = (x + 1)(x3 – x2 – x – 1) + 2x2 + 2x + 1

m

Q(x)

2 0

3 – n = 0 / n = 3



R(x) = 2x + 2x + 1

Rpta. A

m+2=0 m = –2

m+n=1





R(x) 2

Rpta. E

Resolución 27 (4x5 – 10x3 + 22x2 – 1) ÷ (2x2 + 4x – 1) 2

4

0 –8

–4

–10 2 16

22 –4 –16

1 2

–4

4

1

0

–1

4 –4 0

1 0

Q(x) = 2x3 –4x2 + 4x + 1



menor coef. = –4

Rpta. B

Resolución 28 10x 4 + 6x3 - 37x2 + 33x - 9 5x 2 - 7x + 3 5 7

10

6 14

2

4

3

–37 33 –6 28 –12 –21 –3 0

–9

9 0

Q(x) = 2x2 + 4x – 3



término independiente. = –3

Rpta. E

Resolución 29 x3 x +x+1 2

x3 = (x – 1)(x2 + x + 1) + 1 Q(x)



R(x) = 1

R(x) Rpta. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

197

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

APLICO MIS APRENDIZAJES

Comunicación Matemática 1 Indica el cociente que se obtiene de dividir: 4 2 (64x - 36x + 8x) ÷ (4x - 1) 3

2

x9 + x8 + x2 + x + 1 x-1

2 16x + 2

A) 4x + x - 2x - 1 3 2 C) 16x + 4x - 8x 3 E) 16x + 4x + 4 4

9 Halla el resto de dividir:

B) 4x - 8 D) 16x + 4x - 8

A) 1

2

2 Al dividir: (x - 2x - 6) por (x + 3), el residuo es: A) 69

B) 62

C) 59

D) 57

E) 54

3 Efectua la siguiente división: 3

2

(6x - 5x - 4x + 4) ÷ (x - 1) Halla el residuo de dicha división A) 1

B) 5

C) 7

4

3

D) 9

E) 11

2

4 Al dividir x - 2x + 4x - x + 1 por (x - 2), el resto es: A) 3

B) 9

C) 15

D) 51

E) 61

5 Calcule el resto de la siguiente división:

2x 4 - 8x2 + 7x - 11 x-2 A) 3

B) 16

C) 14

D) 16

E) 18

6 Halla el resto en:

(x - 3)8 + 16 x-4 A) 17

B) 12

C) 13

D) 14

E) 18

7 ¿Cuál es el resto al dividir:

B) 2

C) 3

D) 5

E) 6

10 Determine “m.n.p”, si la división es exacta. A) -30 B) -120 C) 120 D) -240 E) 240

1 1 -2 -6 m n p 3 1 -3 3 3 1 -3 1 -6 -2 6 -3 1 1 -2 0 0 0

11 Completa el cuadrado de RUFFINI e indica la suma de valores hallado. A) 0 B) 20 C) 8 D) 14 E) 12

2 3 -5 -3

6

9 -12

6

-2

12

2 -3 2

12 Calcula (m + n) , si la división es exacta. A) 9 B) 16 C) 25 D) 36 E) 49

2 6 -1 -3 3

5 0 2m -3n -3 -9 -1 1 -5

-3 5 15 0 0

x 4 + 3x3 + 2x2 + 5x + 4 ? x+2 A) -1

B) -2

C) -4

D) -6

E) -8

8 Indica el residuo de la siguiente división:

2x7 - 4 x6 + 2x + 3 x-2 A) 3

198

B) 6

C) 7

Clave de Respuestas D) 13

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

E) 5

1. C

5. A

9. D

2. D

6. A

10. D

3. A

7. D

11. C

4. C

8. C

12. B

POLINOMIOS EN IR

Comunicación Matemática

Resolución 6 8

` x - 3j + 16 x-4 Teorema del resto: x – 4 = 0 x=4 \ (4 – 3)8 + 16 = 17 Resto = 17

Resolución 1 (64x4 – 36x3 + 8x) ÷ (4x – 1) Dividimos ÷ 4 (16x4 – 9x2 + 2x) ÷ (x – 1/4) 16 1

4 16



0

–9

2

0

4

1

–2

0

4

–8

0

0

Resolución 7 x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + 5 x + 4 x+2 Teorema del resto: x + 2 = 0 x = –2 Entonces: Resto = (–2)4 + 3(–2)3 + 2(–2)2 + 5(–2) + 4



cociente = 16x3 + 4x2 – 8x



Rpta. C

Resolución 2 (x4 – 2x2 – 6) ÷ (x – 3) 1 –3 1



0

–2

0

–6

–3

9

–21

63

–3

7

–21

57

Residuo: 57



Rpta. D



Rpta. A



Rpta. C



x 9 + x8 + x2 + x + 1 x-1 Teorema del resto: x – 1 = 0 x=1 9 8 Resto = (1) + (1) + (1)2 + 1 + 1 Resto = 5

Rpta. D

Resolución 10 1 3 1 –3

Rpta. C

2

(2x – 8x + 7x – 11) ÷ (x – 2) Teorema del resto: x – 2 = 0 x=2 4 2 2(2) – 8(2) + 7(2) – 11 = 3 Resto = 3

Rpta. D

2x7 - 4x6 + 2x + 3 x-2 Teorema del resto: x – 2 = 0 x=2 Entonces: 2(2)7 – 4(2)6 + 2(2) + 3 Resto = 7

Resolución 5 4

Resto = –6

Resolución 9

Resolución 4 (x4 – 2x3 + 4x2 – x + 1) ÷ (x – 2) Teorema del resto: x – 2 = 0 x=2 4 3 2 2 – 2(2) + 4(2) – 2 + 1 Resto = 15



Resolución 8

Resolución 3 (6x3 – 5x2 – 4x + 4) ÷ (x – 1) Teorema del resto: x – 1 = 0 x=1 6(1)3 – 5(1)2 – 4(1) + 4 Resto = 1

Rpta. A

1

1

–2 3

1

–6 1 3 –2

i) p = –6 ii) n – 3 – 2 = 0 iii) m – 3 + 1 – 6 = 0

Rpta. A



m –3 +1 –6 0

n

p

–3 –2 0

6 0

n=5

m=8

mnp = 8 × 5 × –6 = –240 Rpta. D

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

199

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución 11 2 –3 2



3

–5

10

6

–6

9

–12

6

–3

4

–2

12

suma valores: –6 + 4 + 10 = 8

Rpta. C

Resolución 12 2 –1 –3

6

3

5 –3

1

0 –9 –1 –5

2m

–3n

–3 5 0

15 0

i) 2m – 3 + 5 = 0 2m + 2 = 0 m = –1 ii) –3n = 15 n = –5



200

iii)

(m + n)2 = (–1– –5)2 = (4)2



(m + n)2 = 16 Rpta. B

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

POLINOMIOS EN IR

APLICO MIS APRENDIZAJES

Resolución de Problemas 1 ¿Cuál es el valor que debe tener “k” en el polinomio 5 3 4x - 2x + kx - 2 para que sea divisible por (x - 2)? A) 5

B) 25

C) 50

D) -50

E) -55

2 ¿Qué valor debe tener “k” en el polinomio 3 2 2 6x - kx + x - 1 para que al dividirlo por x - 3, el resto sea 19x - 7? A) -1

B) 0

C) 1

D) 2

E) 3

3 ¿Qué valores deben tener “a” y “b” para que 5x 2 2 - 2x + ax - b sea divisible por x + 1? B) 5y - 2 E) -5y - 2

A) 5 y 2 D) 4 y 2 4 Simplifica A) 1

C) -5 y 2

C) 3

E) 5

y3 – 1 y 2 – 4 y 3 - 1 y 2 - 4 + - y 2 y –1 y –2 y- 1 2

A) 2y + 1 D) –3

2

B) y +2 E) –y+4

C) y –1

C) -4

D) 0

E) 8

C) -9

D) 1

E) 5

(b - 2a2)x3 + 2a2x + x5 + ax4 + (a - ab)x2 + 5 - 3a3 A) a + b

B) 1

x-a C) 2a

A) 5

D) 5

E) 7

B) 7

C) 8

D) 9

E) 11

4 3 2 11 Halla “a/b”, si la división: 2x + 3x + x + ax + b 2 es exacta. x + 2x + 3

A) 20

A) 0

B) -1

D) -2

C) 2

E) 3

x 4 + 4x3 + x2 + mx + n es exacta, x2 + 3x + 1

B) -20

D) -24

C) 24

E) 42

C) -1

B) 2

E) -2

D) 1

B) 12

E) 7a + 3b

C) 17

D) 19

E) 18

15 ¿Cuántos términos posee el cociente notable

A) 4

8 En la siguiente división: el resto es:

D) 2

x 4 + 2x3 + 5x2 + AX + B , tiene por resto (3x + 14) x2 + x - 2

originado por:

3x 4 - 2x3 + ax2 - x - 2 Calcula el valor de “a” x-2 B) -7

C) 4

10 Calcular “A + B”, si la división:

A) 20

7 Dada la división exacta:

A) -5

B) 5

14 El número de términos que tendrá el siguiente x3n+ 8 - y 2n -1 cociente notable: es: x2 - y

2x3 + nx 2 - 4x + n es (-15) 2x +n B) 3

x - y2

4 3 2 13 Al dividir: x + 3x + 2x + 3x + m se obtiene un 2 x + 3x + 1 resto nulo, calcula “m”

6 Calcula “n” si el resto en la división:

A) -5

A) 6

12 Si la división: halla “mn” D) 4

xn+1 - y 3n - 4

origina un cociente notable ?

A) 1

9a2 – 1 36 – 9a2 + 3a + 1 6 + 3a B) 2

5 Simplifica

3

9 ¿Para qué valor de “n” la división:

B) 5

Clave de Respuestas

x 4n - 5 + y 2n x3 + y 2 C) 6

? D) 7

1. E

7.B

13. D

2. D

8. D

14. D

3. A

9. A

15. B

4. E

10. D

5. C

11. A

6. A

12. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

E) 8

201

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Resolución de Problemas

Resolución 6

Resolución 1 5

2x3 + nx2 - 4x + n 2x + n



3

(4x – 2x + k – 2) ÷ (x – 2) Por teorema del resto: x–2=0 x=2 Divisible por x – 2 4(2)5 – 2(2)3 + 2k – 2 = 0



k = –55

Teorema del resto: 2x + n = 0 x = –n 2 3 2 2 c- n m + n c- n m - 4 c- n m + n = - 15 2 2 2

Rpta. E



Resolución 2



k=2

a = 5

/

b=2

Por teorema del resto: x–2=0 x=2 4 3 2 3(2) – 2(2) + a(2) – 2 – 2 = 0 Rpta. C

5

202

xn + 1 - y3n - 4 x - y2 n + 1 = 3n - 4 2 1



2n + 2 = 3n – 4 n=6

Rpta. E 2

y -1 y -4 - y 2 y-1 2 (y - 1) (y + y + 1) (y + 2)(y - 2) (y - 1) (y - 2)

(b – 2a2) · a3 + 2a2 · a + a5 + a · a4 + (a – ab)a2 + 5 – 3a3 a3b – 2a5 + 2a3 + a5 + a5 + a3 – a3b + 5 – 3a3 Resto = 5 Rpta. D

2

3



Resolución 8

Rpta. A

Resolución 5



Rpta. B

Teorema del resto: x – a = 0 x=a

9a - 1 + 36 - 9a 6 + 3a 3a + 1 (3a + 1) (3a - 1) (6 + 3a) (6 - 3a) + (3a + 1) (6 + 3a)

a = –7

Resolución 9 2





(b - 2a2) x3 + 2a2 x + x5 + ax 4 + (a - ab) x2 + 5 - 3a3 x-a

Resolución 4



3x 4 - 2x3 + ax2 - x - 2 x-2



(5x3 – 2x2 + ax – b) ÷ (x2 – 3) Teorema del resto: x2 + 1 = 0 x2 = 2 Entonces: 5(–1)x – 2(–1) + ax – b = 0 (a – 5)x + (2 – b) = 0

Rpta. A

Resolución 7

Resolución 3



n=–5



(6x3 – kx2 + x – 1) ÷ (x2 – 3) Por teorema del resto: x2 – 3 = 0 x2 = 3 Entonces: 6x2 · x – kx2 +x – 1 6 · 3 · x – 3k + x – 1 = 19x – 7 19x – (3k + 1) = 19x – 7 3k + 1 = 7

3 3 - n4 + n4 + 2n + n = - 15

y2 –1

Rpta. C

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

Rpta. A

POLINOMIOS EN IR

Resolución 10

Resolución 13

x 4 + 2x3 + 5x2 + Ax + B x2 + x - 2



1 –1

1

2 –1

5 2 –1

2 1



1

6

A – 4 = 3 A = 7



A

B

2 –6 3

12 14

/

1 –3

1

B + 12 = 14 B = 12

A + B = 12

Rpta. D

2

3 –4

1 –6 2

–3 2



–1

–3

a + 9 = 0 a = –9



a 3 6 0

/

b

9 0

4 –3

–3 –1 1





1

1 –1 –3 –3

1

m–1=0 m=1

m

0 –3 0

–1 0

Rpta. D

Resolución 14

`

b+9=0 b = –9

a/b = 1

1





0

3

19

Rpta. A

x 4 + 4x3 + x2 + mx + n x 2 + 3x + 1 1

2 –1 0

n = 10

Resolución 12

3 –3

x3n + 8 - y2n - 1 x2 - y 3 n + 8 = 2n - 1 2

2x 4 + 3x3 + x2 + ax + b x 2 + 2x + 3 1 –2

1

–1

Resolución 11

x 4 + 3x 3 + 2x 2 + 3x + m x 2 + 3x + 1



` x2j - y19 x2 - y

n° términos = 19

Rpta. D

Resolución 15 x 4n - 5 + y 2n x3 + y 2 4n - 5 = 2 n 3 2 n=5

m

n

–1 9 0

3 0

m + 8 = 0 / m = –8 m · n = 24

5

`

5

` x3 j + ` y 2 j x3 + y 2

n° términos = 5

Rpta. B

n+3=0 n = –3 Rpta. C

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

203

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Razonamiento y demostración 1 En la división: 5 3 2 8x - 4x + 3x - 6x + 1 3 2 2x + x + 3

2 Si el polinomio: 4

(x - 16) ÷ (x + 2) Indica verdadero (V) o falso (F) según corresponde:

Si: A: grado del dividendo B: grado del divisor C: grado del cociente

5 3 2

C

Calcula el valor de: (A + B) .

3

2

A)

El cociente es: x - 2x + 4x + 8

(F)

B)

El residuo es: 0

(V)

3

2

C)

El cociente es: x - 2x + 4x - 8

(V)

D)

La división es un cociente notable

(V)

E)

El cociente tiene 3 términos

(F)

(5 + 3)2 = 82

= 64

1

0

0

0

–16

1

–2 –2

4 4

–8 –8

16 0

x= –3

q(x) = x3 – 2x2 + 4x – 8 r(x) = 0 3 Divide empleando el método de Horner e indica el cociente de la división: 3



2

x + 2x - 5x - 6

1 1



2

x -x-2

1

2 1

–1 2 3

–6

4

0

6

2 1

3

q(x) = x + 3 r(x) = 4x

204

4 Calcula el cociente del siguiente cociente notable.

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

5

5

4

3

x

15 3

10

+y

2

x +y



` x3 j + ` y 2 j x3 + y 2

2

2

3

4

` x3j - ` x3j ` y2j + ` x3j ` y2j - ` x3j` y2j + ` y2j x12 - x9 y2 + x6 y 4 - x3 y6 + y8

POLINOMIOS EN IR

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Comunicación Matemática 1 En la división: 4

3

2 Escribe verdadero (V) o falso (F) según corresponda:

2

6x + 11x - 4x + 2x - 3 3

2

x + 3x + x - 2

A) En la división de polinomios, el dividendo y divisor deben completarse con respecto a una variable ( V )

Completa: I)

4 ................

Grado del dividendo:

II) Grado del divisor:

3 ................

III) Grado del cociente:

1 ................

B) El grado del cociente siempre es una unidad menos que el grado del divisor ( V ) C) En la división de polinomios, el residuo puede tener más de un término ( V )

1 IV) El máximo grado del residuo: ................

D) En un cociente notable el residuo es cero ( V ) E) El número de términos del cociente en un C.N. es igual al grado del dividendo ( V )

3 Del esquemade HORNER. 1

1

2

-2

4

2

-1

-1

0

-4

0

3

-1

1

-1

0 6

1

1

2

2

4

5

–2 b

-4 -2

–2 a

-3 4

-2

2

-3



Siendo “x” la única variable, completa:



x +3x+2 Polinomio cociente: __________________



2x – 3 Polinomio residuo: __________________ x2 – 2x + 1 Polinomio divisor: __________________



4 El gráfico muestra una división en el cuadro de HORNER: 6

3



2

2

d

–1

c

7

-4 1

2

3

9

Encuentre: “a + b + c + d”

–2 + –2 + 6 + –1 –5 + 6 1

Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

205

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

Ser lider es promover las buenas relaciones PONGO A PRUEBA MIS entre los demas”

APRENDIZAJES

Resolución de Problemas 1 Si la división: 5



3

2 Encuentre el valor de “a” para que el residuo de la división:

2

x + 2x - 13x + mx + n

3

2

x - 3x + 3



es exacta, calcula “m + n” 1 3

1

0 3

2 –3 9

–3 1

3

8

–9 24 2

m

n

2

Sea: 5a + 13



–13

2

x - ax - ax - a x-a-2

i) x = a + 2 ii) (a+2)3 – a(a+2)2 – a(a+2)–a2 = 5a + 13

–24 6 0

–6 0

a3+3a2·2+3a·23+23–a(a2+4a+4)–a2–2a–a2=5a+13 a3+6a2+24a+8–a3–4a2–4a–a2–2a–a2=5a+13 24a –4a –2a + 8 = 5a + 13 18a + 8 = 5a + 13

m = –24 + 6 = 0 $ m = –18 n – 6 = 0

13a = 5 $ a = 5 13

$ n = 6

` m + n = –18 + 6= –12

3 Indica el sexto término del desarrollo del siguiente cociente notable: 16



256x

2



2x - y

t6 = (2x )

2 2

6–1

(y) 5

t6 = (2x ) (y) t6 = 4x4 y5

5a - 8

a

8

-y

2 8–6

4 Determine el número de términos del cociente notable: x -y 2

9

x -y n

i) (x2) = xa 2n = a n

5a–8

ii) (y9) = y 9n = 5a –8 iii) Reemplazando: 9n = 5(2n) – 8 9n = 10n – 8

8=n `

206

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche

8 términos

POLINOMIOS EN IR

COEVALUACIÓN Nombre del evaluador: ……………………….............................................. Equipo: ………………................................................................................. INSTRUCCIONES:

En la primera columna escribe el nombre de cada uno de tus compañeros de equipo sin incluir el tuyo. Asígnales una puntuación de 0 a 20 en cada uno de los aspectos a evaluar y si crees necesario puedes colocar un comentario.

ASPECTOS A EVALUAR: 1. Su actitud de apoyo para la elaboración del trabajo. 2. Participó activamente en las diferentes actividades del grupo. 3. Cumplió con lo elaborado. 4. Fue tolerante ante las ideas de otros y tomaba en cuenta sus opiniones. 5. Sus aportes los realizó pensando en beneficio del equipo.

Compañeros

Aspectos a evaluar 1

2

3

4

5

Comentarios

1. 2. 3. 4. 5. 6. AUTOEVALUACIÓN Nombre del ALUMNO:…………………………........................................... Equipo:………………….............................................................................. INSTRUCCIONES:

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Luego de completar tus datos responde los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completa el recuadro realizando una reflexión sobre tu participación. Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Mostré entusiasmo en la participación de la actividad? ¿Participé de manera activa en las diferentes actividades propuestas por el equipo? ¿Realicé aportaciones que ayudaron al buen desempeño de mi equipo? ¿Fui tolerante ante las ideas de mis compañeros? ¿Cumplí puntualmente con lo acordado por el equipo?

REFLEXIONO SOBRE MI DESEMPEÑO EN EL EQUIPO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... Manuel Coveñas Naquiche | UNIDAD 4

207

LIBRO DE ACTIVIDADES

Segundo grado de secundaria

HETEROEVALUACIÓN INSTRUCCIONES:

El profesor responderá los aspectos que señalan tu desempeño en tu equipo de trabajo marcando con un aspa (X) en la columna de SI o NO y luego completará el recuadro realizando un comentario sobre tu participación.

N°

1. 2. 3. 4. 5.

Aspectos a evaluar

SI

NO

¿Identifica con facilidad expresiones algebraicas y polinomios? ¿Calcula con facilidad el grado relativo y absoluto de polinomios? ¿Resuelve operaciones con polinomios? ¿Aplica de manera correcta las leyes sobre los productos notables? ¿Aplica de manera correcta las leyes sobre los cocientes notables?

REFLEXIÓN SOBRE LA PARTICIPACIÓN DEL ALUMNO EN EL EQUIPO DE TRABAJO:

............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

METACOGNICIÓN Responde de manera personal las siguientes preguntas: 1. ¿Qué dificultades he tenido para comprender el tema? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 2. ¿Cómo he superado esta dificultad? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 3. ¿Crees que los polinomios tienen múltiples aplicaciones en la vida? ............................................................................................................................................................... ............................................................................................................................................................... 4. ¿Cómo me sentí al trabajar operaciones con polinomios? ............................................................................................................................................................... ...............................................................................................................................................................

208

MATEMATICA 2 | Manuel Coveñas Naquiche