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ECUACIONES DIFERENCIALES UNIDAD DOS ECUACIONES DIFERENCIALES MÉTODO POR SERIES DE POTENCIA Y TRANSFORMADA DE LAPLACE Presentado a: Jairo Antônio García

Tutor (a)

Entregado por: Giovanny Perdomo Código: 94325872 Arlinton Ignacio Sanabria Código: 1.114.830.532 Jhon Fredy Zambrano Mejia Código: 1.113.646.492 XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx XxxxxxxXxxxxXxxxxx Código: xxxxx

Grupo: 100412A_124

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, INGENIERÍAS Y TECNOLOGÍAS CURSO DE ECUACIONES DIFERENCIALES FECHA 27 noviembre 2019

INTRODUCCIÓN

OBJETIVOS

PASO 2 ELECCIÓN DE EJERCICIOS A DESARROLLAR PARTE INDIVIDUAL

Tabla de elección de ejercicios:

Nombre del estudiante Giovanny Perdomo

Rol a desarrollar evaluador

Arlinton Sanabria

Compilador

Gigliola Morales Ramos

Entregas

Jhon Fredy Zambrano Mejia

Alertas

Grupo de ejercicios a desarrollar paso 1. El estudiante desarrolla el ejercicio a en todos los 3Tipo de ejercicios. El estudiante desarrolla el ejercicio b en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio c en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio d en todos los 3Tipo de ejercicios El estudiante desarrolla el ejercicio e en todos los 3Tipo de ejercicios

DESARROLLO DE LA ACTIVIDAD COLABORATIVA PASO 3 EJERCICIOS INDIVIDUALES A continuación, se definen los 3 Tipos de ejercicios para presentar en el Paso 3.

TIPO DE EJERCICIOS 1 – MÉTODO DE SERIES DE POTENCIAS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES El método de series de potencias para resolver ecuaciones diferenciales es simple y natural, se empieza describiendo el procedimiento práctico y se ilustra con ecuaciones simples cuyas soluciones ya se conocen, con el fin de ver lo que está ocurriendo.

Para una ecuación dada:

𝑦 ,, + 𝑝(𝑥)𝑦 , + 𝑞(𝑥)𝑦 = 0

se representa primero 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) por series de potencias en potencias de 𝑥 (o de (𝑥 − 𝑥0 ) si se desea obtener soluciones de potencias de 𝑥 − 𝑥0 ). En muchas ocasiones 𝑝(𝑥)y 𝑞(𝑥) son polinomios y entonces no es necesario hacer nada en primer paso. Después se supone una solución en la forma de una serie de potencias con coeficientes desconocidos.

∞

y = ∑ 𝑎𝑚 𝑥 𝑚 = 𝑎0 + 𝑎1 𝑥 + 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎3 𝑥 3 + ⋯ 𝑚=0

Y esta serie y la obtenida al derivar terminó a término:

∞

y , = ∑ 𝑚𝑎𝑚 𝑥 𝑚−1 = 𝑎1 + 2𝑎2 𝑥 + 3𝑎3 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

∞ ,,

y = ∑ 𝑚(𝑚 − 1)𝑎𝑚 𝑥 𝑚−2 = 2𝑎2 + 3 ∗ 2𝑎3 𝑥 + 4 ∗ 3𝑎4 𝑥 2 + ⋯ 𝑚=1

Se introduce en la ecuación. A continuación se agrupan las potencias semejantes de 𝑥 y la suma de los coeficientes de cada potencia de 𝑥 que se presente se iguala a cero, empezando con los términos constantes, los términos que incluyen a 𝑥, los términos que incluyen a 𝑥 2 etc. Se obtienen así relaciones a partir de las cuales es posible determinar de manera sucesiva los coeficientes desconocidos en 𝑦.

De acuerdo a lo anterior, resuelva por el método de series de potencias:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. 𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA 𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 𝑋 2 + 𝐶3 𝑋 3 + ⋯ + 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 ∞

𝑦 = ∑ 𝐶𝑛 𝑋 𝑛 0 ∞

𝑦′ = ∑(𝑛 + 1)𝐶𝑛+1 𝑋 𝑛 0 ∞

𝑦′′ = ∑(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 𝑋 𝑛 0

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Suponemos la solución

∞

∑[(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 + 2(𝑛 + 1)𝐶𝑛+1 + 𝐶𝑛 ] 𝑋 𝑛 = 0

Sustituimos en la ecuación diferencial

0

(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 + 2(𝑛 + 1)𝐶𝑛+1 + 𝐶𝑛 = 0

Planteamos las relaciones

(𝑛 + 2)(𝑛 + 1)𝐶𝑛+2 = −2(𝑛 + 1)𝐶𝑛+1 − 𝐶𝑛 𝐶𝑛+2 = −

2(𝑛 + 1)𝐶𝑛+1 + 𝐶𝑛 (𝑛 + 2)(𝑛 + 1)

𝑛 = 0, 𝐶2 = − 𝑛 = 1, 𝐶3 = − 𝑛 = 2, 𝐶4 = −

2𝐶1 + 𝐶0 2

4𝐶2 + 𝐶1 3𝐶1 + 2𝐶0 = 6 6

6𝐶3 + 𝐶2 4𝐶1 + 3𝐶0 =− 12 24

2𝐶1 + 𝐶0 2 3𝐶1 + 2𝐶0 3 4𝐶1 + 3𝐶0 4 𝑋 + 𝑋 − 𝑋 2 6 24 +⋯

𝑦 = 𝐶0 + 𝐶1 𝑋 −

1 1 1 𝑦 = 𝐶0 (1 − 𝑋 2 + 𝑋 3 − 𝑋 4 + ⋯ ) 2 3 8 1 1 + 𝐶1 (𝑋 − 𝑋 2 + 𝑋 3 − 𝑋 4 + ⋯ ) 2 6 ∞

∞

𝑛=0

𝑛=0

(−1)𝑛 𝑛+1 (−1)𝑛 𝑛 𝑦 = 𝐶0 ∑ 𝑋 + 𝐶1 ∑ 𝑋 𝑛! 𝑛! 𝑦 = 𝐶0 𝑥𝑒 −𝑥 + 𝐶1 𝑒 −𝑥

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINTON IGNACIO SANABRIA

b. 𝑦´´ − 𝑥^2 + 𝑦´ = 0

Formula general de la solución

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑎𝑦′′ + 𝑏𝑦′ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥)

Una ecuación lineal, no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma:

𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 2

Se reescribe como una EDO lineal, no homogénea de segundo orden.

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

La solución general para 𝑎(𝑥)𝑦´´ + 𝑏(𝑥)𝑦´ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) se puede escribir:

𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒 −𝑥 𝑦=

Se halla yh resolviendo 𝑦′′ + 𝑦′ = 0 Encontrando yp que satisfaga: 𝑦′′ + 𝑦′ = 𝑥 2

𝑥3 − 𝑥 2 + 2𝑥 3

𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑒

−𝑥

𝑥3 + − 𝑥 2 + 2𝑥 3

La solución general:

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jhon Fredy Zambrano M

d. 𝑦′ − 9𝑥𝑦 = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∝

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Se toma la formula inicial y se deriva

𝒚 = ∑ 𝒄𝒏 𝒙𝒏 𝒏=𝟎 ∝

𝒚′ = ∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 𝒏=𝟏

∝

∝

∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 − 𝟗𝒙 ∑ 𝟗𝒄𝒏 𝒙𝒏+𝟏 = 𝟎 𝒏=𝟏

Agrupamos lo obtenido y organizamos la ecuación inicial según el caso.

𝒏=𝟎

∝

Empezamos a reemplazar x

∑ 𝒏𝒄𝒏 𝒙𝒏−𝟏 𝒏=𝟏

∝

− 𝟗𝒙 ∑ 𝟗(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏 𝒙𝒏+𝟏 𝒏=𝟎

=𝟎 ∝

∑ (𝒏𝒄𝒏 − 𝟗(𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 )𝒙𝒏 = 𝟎 𝒏=𝟎

→ 𝒏𝒄𝒏 𝟗 − (𝒏 + 𝟏)𝒄𝒏+𝟏 = 𝟎

Solucionamos

−𝒏𝑪𝒏 𝟗(𝒏 + 𝟏) 𝒏 = 𝑪 𝟗(𝒏 + 𝟏) 𝒏

𝑪𝒏+𝟏 = 𝑪𝒏+𝟏

𝒏=𝟎 𝑪𝟎+𝟏 =

Damos una solución inicial a lo obtenido

Hallamos C1, dándole el valor de 0 a n

𝟎 𝟎𝑪 𝟗(𝒏 + 𝟏) 𝟎

𝑪𝟏 = 𝟎 𝒏=𝟏 𝑪𝟐 =

Hallamos C2, dándole el valor de 1 a n

𝟏 𝟏 = 𝑪 𝟗(𝟏 + 𝟏) 𝟏𝟖 𝟏 𝑪𝟏 = 𝟎

𝑪𝒏 = ∝

𝒚=∑ 𝒏=𝟎

𝒏 𝑪 𝟗(𝒏 + 𝟏) 𝟎 𝒏 𝑪𝟎 𝑿𝒏 𝟗(𝒏 + 𝟏)

Solución general

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓNMATEMÁTICA

TIPO DE EJERCICIOS 2. TRANSFORMADA DE LAPLACE En el modelo matemático de un sistema físico como el de la masa 𝑚 sujeta a un resorte o el de un circuito eléctrico en serie, el lado derecho de la ecuación diferencial.

𝑑2 𝑥

dx

m 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑥 = 𝑓(𝑡)

𝑑2 𝑞

dq

L 𝑑𝑡 2 + 𝛽 𝑑𝑡 + 𝑘𝑞 = 𝐸(𝑡)

Es una función que representa una fuerza externa 𝑓(𝑡) o un voltaje 𝐸(𝑡) en ecuaciones diferenciales se resuelve este problema para funciones 𝑓(𝑡) continuas. Sin embargo, no es raro encontrarse con funciones continuas a trozos por ejemplo en circuitos eléctricos son muy comunes los voltajes dientes de sierra o escalón. Es difícil, pero no imposible resolver la ecuación diferencial que describe el circuito en este caso pero la transformada de laplace es una valiosa herramienta para resolver problemas de este tipo

La transformada de Laplace es muy útil en la solución de ecuaciones integrales y sistemas de ecuaciones diferenciales así con la obtención de algunas interesantes integrales.

Suponga que la función 𝑦(𝑡) está definida para 𝑡 ≥ 0 y la integral impropia converge para 𝑠 > 𝑠0 . Entonces la transformada de Laplace 𝑦(𝑡) existe 𝑠 > 𝑠0 y está dada por: ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 𝑦(𝑡)𝑑𝑡 0

2. Con respecto a lo anterior calcule la transformada de Laplace de: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. ℒ{𝜋 + cos 3𝑡}

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA ∞

ℒ{𝑦(𝑡)} = ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 (𝜋 + cos 3𝑡)𝑑𝑡 0 𝑏

𝑏

ℒ{𝑦(𝑡)} = lim ∫ 𝜋𝑒 −𝑠𝑡 𝑑𝑡 + ∫ 𝑒 −𝑠𝑡 cos 3𝑡 𝑑𝑡 𝑏→∞ 0

0

𝜋𝑒 −𝑠𝑡 ℒ{𝑦(𝑡)} = lim (− 𝑏→∞ 𝑠 −𝑠𝑡 −𝑠𝑒 3 sin 3𝑡 ∞ + 2 (cos 3𝑡 − )| ) 0 𝑠 +9 𝑠 ℒ{𝑦(𝑡)} =

𝜋 𝑠 + 2 𝑠 𝑠 +9

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINTON SANABRIA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

Aplicando la definición transformada de Laplace

de

la

b. 𝐿{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 }

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝐿{2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 }

Se expande

2𝐿𝑡 + 𝜋𝐿𝑒 3𝑡

Se resuelve

𝐿(2𝑡 + 𝜋𝑒 3𝑡 ) 𝑎 = 𝐿, 𝑏 = 2𝑡, 𝑐 = 𝜋𝑒 3𝑡

De la siguiente forma: a(b+c) = ab+ac

= 𝐿 ∙ 2𝑡 + 𝐿𝜋𝑒 3𝑡 = 2𝐿𝑡 + 𝜋𝐿𝑒 3𝑡

Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jhon Fredy Zambrano M

d. ℒ{sinh 2𝑡}

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA 𝑡

𝑡

𝑒 2 − 𝑒 −2 ℒ{sinh 2𝑡} = ℒ ⌈ ⌉ 2 1 𝑡 𝑡 = ℒ⌈𝑒 2 − 𝑒 −2 ⌉ 2 1

= (

1

2 𝑠−2

−

1 (𝑠+2)−(𝑠−2)

= 2(

𝑠 2 −22 =

1 𝑠+2

Utilizamos la siguiente formula, para ir hallando la solución: ℒ[𝑒 𝑎𝑡 ] =

1 2(2)

2 2 = 𝑠 2 − 22 𝑠2 − 4

𝑆𝑖𝑛ℒ𝑥 =

reemplazamos

)

)=2

Formula a utilizar

𝑒𝑥 −𝑒−𝑥 2

1 𝑠−𝑎

Despejamos los paréntesis y solucionamos

𝑠 2 −22 Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

EJERCICIOS 3. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES CON TRANSFORMADA DE LAPLACE Use la transformada de Laplace para resolver el problema de valor inicial.

{

𝑦 , − 3𝑦 = 𝑒 2𝑡 } 𝑦(0) = 1

Aplicando la Transformada de Laplace a ambos lados de la ecuación diferencial ℒ{𝑦 , − 3𝑦} = ℒ{𝑒 2𝑡 } ℒ{𝑦 , } − 3ℒ{𝑦} =

1 𝑠−2

𝑠𝑌(𝑠) − 𝑦(0) − 3𝑌(𝑠) = 𝑠𝑌(𝑠) − 1 − 3𝑌(𝑠) = 𝑌(𝑠) =

1 𝑠−2

1 𝑠−2

𝑠−1 (𝑠 − 2)(𝑠 − 3)

𝑌(𝑠) = −

1 2 + 𝑠 − 2 (𝑠 − 3)

Ahora se aplica transformada de Laplace para hallar: 𝑦(𝑡)

1 1 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = −ℒ −1 ( ) + 2ℒ −1 ( ) 𝑠−2 𝑠−3 𝑦(𝑡) = −𝑒 2𝑡 + 𝑒 3𝑡 3. A partir de lo anterior, resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales: ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

a. 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ = 𝑒 𝑡 sin 𝑡 ; 𝑦(0) = 0, 𝑦′(0) = 0.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ{𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ } = ℒ{𝑒 𝑡 sin 𝑡}

Aplicando transformada de Laplace a la ecuación diferencial

ℒ{𝑦 ′′ } − 2ℒ{𝑦 ′ } = ℒ{𝑒 𝑡 sin 𝑡} 𝑠 2 𝑌(𝑠) − 𝑠𝑦(0) − 𝑦′(0) − 2𝑠𝑌(𝑠) − 2𝑦(0) 1 = (𝑠 − 1)2 + 1 𝑌(𝑠)[𝑠 2 − 2𝑠] = 𝑌(𝑠) =

𝑌(𝑠) =

1 (𝑠 − 1)2 + 1

1 1 ∙ (𝑠 − 1)2 + 1 𝑠 2 − 2𝑠

−1⁄ −1⁄ 1 2 4 + ⁄4 + (𝑠 − 1)2 + 1 𝑠 𝑠−2

1 1 1 ℒ −1 {𝑌(𝑠)} = − ℒ −1 { }− 2 (𝑠 − 1) + 1 2 4 1 1 1 ∙ ℒ −1 { } + ∙ ℒ −1 { } 𝑠 4 𝑠−2

Aplicando transformada inversa

1 1 1 𝑦(𝑡) = − 𝑒 𝑡 sin 𝑡 − + 𝑒 2𝑡 2 4 4

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: ARLINTON IGNACIO SANABRIA

b. 𝑦´´ + 𝑦´ + 2𝑦 = 𝑥; 𝑦(0) = 2, 𝑦´(0) = 2

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

𝑎𝑦´´ + 𝑏𝑦´ + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥)

EDO lineal, no homogénea de segundo orden tiene la siguiente forma:

𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝

La solución general se puede escribir como:

√7𝑥 √7𝑥 𝑦´´ + 𝑦´ + 2𝑦 = 0: 𝑦 = 𝑒 (𝐶1 cos ( ) + 𝐶2 sin (( )) 2 2 −

𝑥 2

𝑦´´ + 𝑦´ + 2𝑦 = 𝑥: 𝑦 =

𝑥 1 − 2 4

Se halla yh resolviendo:

Se halla yp resolviendo:

𝑥 9 3√7 𝑥 1 √7𝑥 √7𝑥 𝑦 = 𝑒 −2 ( cos ( )+ sin ( )) + − 4 2 4 2 2 4

La solución general y = yh + yp

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

c.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ: Jhon Fredy Zambrano M

d. 𝑦 ′′ − 𝑦 ′ + 𝑦 = 𝑐𝑜𝑠 (𝑡); 𝑦(0) = 1, 𝑦′(0) = 0

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

ℒ[𝑦′′] + ℒ[𝑦′] + ℒ[𝑦] = 𝐶𝑜𝑠𝑡

tomamos la ecuación inicial y agregamos L en cada función(fx)

𝑆 2 ℒ[𝑦] − 𝑠 − 0 + 𝑠ℒ[𝑦] − 0 + ℒ = 𝑆 2 𝐿 − 𝑆 − 0 + 𝑆𝐿 − 0 + 𝐿 =

𝑠2

𝑠2

𝑠 + 𝐿2

𝑠 +𝑆 𝑠 2 + 𝐿2 𝑠 𝑆 2 𝐿 + 𝑆𝐿 + 𝐿 = 2 +𝑆 𝑠 + 𝐿2

𝑆 2 𝐿 − 𝑆 + 𝑆𝐿 + 𝐿 =

𝐿(𝑆 2 + 𝑆 + 1) =

𝑠2

𝑠 𝑆 + 2 +𝐿 1

(𝑆 2 + 𝐿2 )𝑆 + 𝑆 𝐿(𝑆 + 𝑆 + 1) = 𝑆 2 + 𝐿2 2

𝑆 3 + 𝑆𝐿2 + 𝑆 𝐿(𝑆 2 + 𝑆 + 1) = 𝑆 2 + 𝐿2

𝐿=

𝑆(𝑆 2 + 𝐿2 + 1) 𝑆 2 +𝐿2 𝑆2 +𝐿2 1

𝑠 + 𝐿2

Reemplazamos la ecuación inicial en la formula obtenida Solucionamos y reemplazamos utilizando las siguientes formulas: 𝑓 ′ (𝑡) = 𝑠𝑓(𝑠) − 𝑓(0) 𝑓 ′′ (𝑡) = 𝑠 2 𝑓(𝑡) − 𝑠𝑓(0) − 𝑓 ′ (0) 𝐶𝑜𝑠𝑡 =

𝑠2

𝑠 + 𝑤2

𝑙(𝑥 ′′ ) = 𝑠 2 𝑙(𝑥) − 𝑥0 𝑠 − 𝑥′0 𝑙(𝑥 ′ ) = 𝑠𝑙(𝑥) − 𝑥0 𝑙(𝑥) = 𝑙

Empezamos a despejar L

𝑆 3 + 𝑆𝐿2 + 𝑆 𝐿(𝑋) = 2 (𝑆 + 𝐿2 )(𝑆 2 + 𝑆 + 1)

Usamos la ley de la oreja y solucionamos

𝑆 3 + 𝑆𝐿2 + 𝑆 𝑋 = 𝐿[ 2 ] (𝑆 + 𝐿2 )(𝑆 2 + 𝑆 + 1)

Solución

ESTUDIANTE QUE REALIZÓ:

e.

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

RAZÓN O EXPLICACIÓN

PASO 4 EJERCICIO 4. SITUACIÓN PROBLEMA A partir de la situación problema planteada el grupo debe realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden seleccionando la respuesta correcta de las 4 alternativas. Usar el teorema de Taylor para hallar la solución en serie de 𝑥𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 𝑥𝑦 con 𝑦 (1) = 1 y en 𝑦 ′(1) = 0. A. 1 + 𝑥 + B. 1 + 𝑥 +

C. 1 +

1 2

1 2

1 2

2

𝑥 2 − 3! 𝑥 3 + 9 4

𝑥 2 + 3! 𝑥 3 + 10 2

𝑥 2 − 3! 𝑥 3 + 9 4

𝑥4 4!

𝑥4 4! 𝑥4 4!

− 44

D. 1 + 𝑥 + 𝑥 2 − 3! 𝑥 3 + 9

𝑥4 4!

− 44 − 40

𝑥5 5!

−5

− 22

𝑥5 5!

𝑥5

−5

5! 𝑥5 5!

𝑥5 5!

𝑥5 5!

…

+⋯ …

− 15

𝑥5 5!

…

PROPOSICIÓN ENUNCIADO O EXPRESIÓN MATEMÁTICA

PASO 5

RAZÓN O EXPLICACIÓN

EJERCICIO 5. ANÁLISIS Y EVALUACIÓN DE LA SOLUCIÓN DE UNA SITUACIÓN PLANTEADA. Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada:

EJERCICIO Y SOLUCIÓN PLANTEADA GUIA Solución

OBSERVACIONES, ANEXOS, MODIFICACIONES A LA SOLUCIÓN PLANTEADA

PASO 8 TABLA LINKS VIDEOS EXPLICATIVOS Nombre Estudiante Ejemplo: Adriana González

Ejercicios sustentados a de todos los tipos de ejercicios.

Enlace video explicativo https://youtu.be/l8Mfcl_VLYM

CONCLUSIONES

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS