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• GM Gabriela Monserrat

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Distribución de probabilidad / V. A. Discretas y continuas

1.- De cada una de las siguientes funciones de densidad de probabilidad obtenga: a) Verifique si es una función de distribución de probabilidad y trace su gráfica. b) La función de densidad de probabilidad acumulada y trace su gráfica. c) Calcular el valor esperado y la desviación estándar. Interpretar. d) Calcular el coeficiente de asimetría y la curtosis. Interpretar.

I.

18 ( y 1) fY ( y )   0

II.

g  f G ( g )  2  g 0 

III.

1  fY ( y)   y[ln 3] 0 

IV.

V.

2 y4 dom

Calcule P(2.5  y  3.5)

0  g 1 1 g  2 dom

Calcule P (0.5  g  0.9)

1 y  3

Calcule P( 2  y  2.7)

dom

x  f X ( x)   2 0

dom

2x3 f X ( x)   0

x 1 dom

0 x2

Calcule P (1  x  1.5)

Calcule P (4  x  6)

Distribución normal 18. En una distribución normal con una desviación estándar de 5.0, la probabilidad de que una observación elegida al azar exceda 21 es de 0.14. a) Encuentre la media de la distribución b) Encuentre el valor por debajo del cual se halla el 4% de los valores de la distribución. 19. La directora de una pequeña subestación postal está tratando de cuantificar la variación en la demanda semanal de cilindros postales. Ha decidido suponer que esta demanda está distribuida normalmente. Ella sabe que en promedio se adquieren 100 cilindros semanalmente y que 90% de las veces, la demanda semanal está por debajo del115. a) ¿Cuál es la desviación estándar de esta distribución?

Ejercicios Unidad III.Profesor: Felipe de Jesús Díaz Serrano / Departamento de estadística.

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Distribución de probabilidad / V. A. Discretas y continuas b) La directora desea tener en existencia el número suficiente de cilindros postales

cada semana, de modo que la probabilidad de quedarse sin cilindros no sea mayor de 0.05. ¿Cuál es el más bajo nivel de existencias que debe tener? 20. Glenn Howell, vicepresidente de personal de la Standard Insurance, ha desarrollado un nuevo programa de entrenamiento completamente adaptable al ritmo de los usuarios. Los nuevos empleados trabajan en varias etapas a su propio ritmo de trabajo; el término del entrenamiento se da cuando el material es aprendido. El programa de Howell ha resultado especialmente efectivo en acelerar el proceso de entrenamiento, ya que el salario de un empleado durante el entrenamiento es de sólo 67% del que ganaría al completar el programa. En los últimos años, el promedio de término del programa ha sido de 44 días, con una desviación estándar de 12 días. a) Encuentre la probabilidad de que un empleado termine el programa entre 33 y 42 días. b) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el programa en menos de 30 días. c) ¿De terminarlo en menos de 25 o más de 60 días? 21. Maurine Lewis, editora de una importante casa editorial, calcula que se requieren once meses en promedio para completar el proceso de publicación de un libro, empezando con el manuscrito y hasta tenerlo terminado, con una desviación estándar de 2.4 meses. Piensa que la distribución normal describe bien la distribución de los tiempos de publicación. De 19 libros que trabajará el presente año, ¿aproximadamente cuántos completarán el proceso de publicación en menos de un año? 22. El tiempo promedio que emplea un suscriptor de El Hidrocálido en leer esa publicación es de 49 minutos. Suponga que las desviación estándar es de 16 minutos, y que el tiempo de lectura tiene distribución normal. a) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tarde cuando menos 1 hora en leer la publicación? b) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor no tarde más de 30 minutos en leerla? c) ¿Cuál es la probabilidad de que un suscriptor tarde entre 40 y 50 minutos en leerla? d) Considerando el 10% de los suscriptores que tardan menos en leer la publicación, ¿Cuál es el tiempo que más tardaron en leer la publicación? e) Considerando el 10% de los suscriptores que tardan más en leer la publicación, ¿Cuál es el tiempo que tardaron menos en leer la publicación? f) Considerando el 60% de los suscriptores, ¿Cuáles son los dos valores del tiempo en que tardaron en leer la publicación (simétricos alrededor de la media). 23. Supóngase que durante periodos de meditación, la reducción del consumo de oxigeno de una persona es una variable aleatoria con distribución normal con media 37.6 cc por minuto y desviación estándar de 4.6 cc por minuto. Determine la probabilidad de que durante un período de meditación el consumo de oxigeno de una persona se reduzca a: a) Cuando menos en 44.5 cc por minuto. b) Cuando mucho en 35.0cc por minuto. c) Considerando el 5% con la menor reducción del consumo de oxigeno, ¿Cuál es el consumo de oxigeno con la menor reducción? d) Considerando el 5% con la mayor reducción del consumo de oxigeno, ¿Cuál es el consumo de oxigeno con la menor reducción? e) Considerando el 70% de las personas, ¿Cuáles son los dos valores de la reducción de consumo de oxigeno (simétricos alrededor de la media)? Distribución exponencial, gamma, weibull

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Distribución de probabilidad / V. A. Discretas y continuas

24.- Las personas que tienen computadora, la usan en un promedio de 7.4 horas semanales en internet. a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona use 3 horas semanales o menos en internet? b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona use más de 10 horas semanales en internet? c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona use de 3 a 10 horas semanales en Internet? 25. Considere una tasa de falla de un componente eléctrico de una vez cada 5 horas. a) Suponiendo que se aplica la distribución gamma, ¿Cuál es el tiempo medio y la desviación estándar que tardan en fallar 2 componentes? b) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 12 horas antes de que 2 componentes fallen. c) ¿Cuál es el tiempo medio y la desviación estándar que tardan en fallar 3 componentes? d) ¿Cuál es la probabilidad de que transcurran 20 horas antes de que 3 componentes fallen. 26. En cierta ciudad, el consumo diario de energía eléctrica, en millón de kilowatt-horas, puede considerarse como una variable aleatoria que tiene una distribución gamma con  = 3 y  = 2. Si la planta de energía de la ciudad tiene una capacidad de producción diaria de 12 millones de kilowatt-horas, ¿cuál es la probabilidad de que este suministro de energía sea insuficiente en un día dado cualquiera? 26. Supóngase que la vida de servicio, en horas, de un semiconductor es una variable aleatoria que tiene una distribución de Weibull con  = 0.025 y  = 0.50. a) ¿Cuánto tiempo puede esperarse que dure este semiconductor? b) ¿Qué probabilidad hay de que este semiconductor se mantenga en condiciones de operar después de 4 000 horas de uso? 30.- Se supone que cada neumático delantero de un tipo particular de un automóvil se va a llenar a una presión de 26 lb/pulg 2. Suponga que la presión real de aire de cada neumático es una variable aleatoria, X para el neumático derecho y Y para el izquierdo, con fdpc

K ( x 2  y 2 ) f X ,Y (x, y)   0

20  x  30, 20  y  30 d.o.m.

a) ¿Cuál es el valor de K? b) ¿Cuál es la probabilidad de que ambos neumáticos tengan menos presión que la requerida? c) Son independientes X y Y? 31.- Para cada función de densidad de probabilidad conjunta obtenga lo siguiente: a) Verifique si es una fdpc. b) Obtenga la fdpc acumulada. c) Obtenga las distribuciones marginales para las dos variables aleatorias correspondientes (dar presentación). d) ¿Son independientes las dos variables aleatorias correspondientes?

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Distribución de probabilidad / V. A. Discretas y continuas

e)

Para cada variable obtenga su valor esperado(media), varianza, var(2 X  2Y ) , var( X  2Y ) .

I.

35 q(w  q) fQ,W (q, w)   0

0  q  1, 0  w  2 d.o.m.

II.

1  f X , Y ( x, y )   y 0 

0  x  y, 0  y  1 d.o.m.

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