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Compendio de Ciencias III-D CAPÍTULO

Trigonometría

07 OBJETIVOS – Resolver un triángulo rectángulo cualquiera. – Aplicar los caos respectivos en forma analítica.

FRANCOIS VIÉTE (1540 – 1603)

El llamado “Matemático francés” mas importante del siglo XVI fue también abogado miembro del parlamento y consejo particular del Rey Enrique IV de Francia, pero dedicaba sus horas libres a la matemática. Se cuenta que descifró un dódigo secreto español que contenía centenales de símbolos y que durante varios años Francia se aprovecho de ello en su Guerra contra España, pero la contribución más importante de Viete fue probablemente los «Párametro» por primera vez en la historia de la matemática.

DEFINICIÓN: Resolver un triángulo rectángulo, significa encontrar la medida de todos sus elementos básicos; es decir, los 3 lados y sus dos ángulos agudos (el ángulo recto es un



Teorema 1 Dado el triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide "a" y uno de sus ángulos agudos es "", entonces sus catetos medirán:

dato constante). Esto permite afirmar que para resolver triángulos rectángulos se nos pueden presentar dos casos:

a

x

I. Los dos datos conocidos son: dos lados.



II. Los dos datos conocidos son: un lado y un ángulo.

y

Se tiene que: Entonces, para primer caso, se puede utilizar el Teorema de Pitágoras para calcular el tercer lado.

sen   x  a

x = a  sen 

y  a

y  a  cos 

Para el segundo caso, vamos a analizar 3 Teoremas: cos 

SISTEMA HELICOIDAL

79

Compendio de Ciencias III-D 

Trigonometría

Teorema 2

Resolución:

Dado el triángulo rectángulo donde un cateto mide "a" y su ángulo adyacente mide "", entonces la hipotenusa y el otro cateto medirán:

Aplicando la regla práctica Lado que se quiere  R.T.  Lado que se tiene



cateto opuesto h

x

R.T. tangente

x a

tg   x 3

cateto adyacente

 a

 a, b y 

Se tiene que: tg  x  a s ec   h  a 

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CUALQUIERA: Dado un triángulo cualquiera donde dos de sus lados son conocidos;así como el ángulo comprendido entre ellos, entonces su área será igual al semiproducto de estos lados multiplicados por el seno del ángulo comprendido.

x = a  tg

h= a  sec

B

Teorema 3 Dado un triángulo rectángulo rectángulo donde un cateto mide "a" y su ángulo opuesto mide "", entonces el cateto adyacente y la hipotenusa medirán:

a

h

 C

b

A

Elementos conocidos: a, b y  h

a

Área = b  h  2

 x

b : base h : altura

Se tiene que: ctg   x  a csc   h  a

x = a  tg

 h= asen (Teorema# 1)

 Área=

h  a  sec

b.asen  2

 Área= b.a sen  2

Para calcular la longitud de un lado del tirángulo, se puede aplicar la siguiente regla práctica: Lado que se quiere  R. T.  Lado que se tiene



Para un triángulo cualquiera dados los lados a y b, su área máxima será cuando el ángulo comprendio entre dichos lados mida 90°. Entonces:

Ejemplo: Calcular x en la figura

A x

máx



 ab sen  2



   90  sen 90   1 máx

ab Por lo tanto: Amáx  2  a

80

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

Pregunta desarrollada

Pregunta por desarrollar

1. Calcular x en la figura. Si sen   1 / 2

2. Calcular el valor de y en términos de a y  B

x

6

y 



A

H

C

a

Resolución: De la regla práctica: hipotenusa x   cosecante    6 cateto opuesto

 x  csc  6  x 2 6

1.

 x= 12

Calcule (x+y) en términos de m y 

3.

Calcule x del gráfico; en términos de a,  y 

m

a

x 

 x

 y

Rpta.: ................................................................. Rpta.: ................................................................. 4. 2.

Calcule x en términos de m,  y 

Calcule el área del triángulo en términos de a y .  a

m 



x

Rpta.: .................................................................

Rpta.: .................................................................

SISTEMA HELICOIDAL

81

Compendio de Ciencias III-D 5.

Trigonometría

Calcule x en términos de a, y 

9.

Calcule x en términos de a, y 



x 

x

a

a  

Rpta.: .................................................................

6.

Rpta.: .................................................................

10. Calcule x en términos de a y Si ABCD es un rombo.

Calcule x en términos de y r

B



x

C x

a 

D

A

r

Rpta.: .................................................................

Rpta.:..................................................................

7.

11. Calcule x en términos de my 

Calcule x en términos de H, y . m  x

H 

 x

Rpta.: .................................................................

Rpta.: ................................................................. 12. Calcule x. 8.

Calcule x en términos de d, y .



4 x

d

37º

53º

x

Rpta.: .................................................................

82

Rpta.: .................................................................

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

13. Calcule “tg ” 17. Calcule x en términos de a,  y 



a

1





x

3

2

Rpta.: .................................................................

Rpta.: .................................................................

18. Calcule x en términos de a y 

14. Calcule x en términos dea y 

 a

x 



x

a

Rpta.: .................................................................

Rpta.: .................................................................

19. Calcule “ctg + tg”

15. Calcule cos

 2

5





10



3

Rpta.: ................................................................. Rpta.: ................................................................. 20. Calcule x del rombo en términos de L y  L

16. Calcule w = tg– ctg





x



Rpta.: ................................................................. Rpta.: .................................................................

SISTEMA HELICOIDAL

83

Compendio de Ciencias III-D

1.

Trigonometría

Calcule “AB” del gráfico en términos de :

4.

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

B

C

4 A



A) 5 sen  D) 5 ctg  2.

C

5

B) 5 tg  E) 5 sec 



B

C) 5 cos

A

A) 4  sen   cos   B) 4  tg   ctg  

Calcule x del triángulo.

C) 4 1  sen   cos   D) 4 1  sec   csc   E) 4 1  csc  

x

5.

Calcule “Tg ” en el gráfico en términos de 

70º 14

A) 14 tg70 D) 14 ctg 70 3.

B

B) 14 sen 70 E) 14 sec70

C) 14 cos70



Calcule x del gráfico en términos de n y 

45º x

A) n  sen   1  C) n  tg   1  E) n  sec   1 

84

A

 2

A)

2 tg  5

B)

2 ctg  5

C)

2 tg  3

D)

2 ctg  3

E)

3 tg  5

 n

D

3

C

B) n  cos   1  D) n  ctg   1 

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D CAPÍTULO

Trigonometría

08 OBJETIVOS – Determinar las coordenadas de un punto en el Plano Cartesiano – Aplicar correctamente las relaciones matemáticas estudiadas. – Analizar y aplicar estos conceptos en situaciones de la vida real.

MOTIVACIÓN: GALILEO Galileo nació en Pisa en 1564, hijo de Vincezo Galilei, con grandes estudios en música, y Giulia Ammannati. Estudió en Pisa, donde más tarde, ostentaría la cátedra de matemáticas desde 1589 hasta 1592. Cuando fue nombrado catedrático de matemáticas en la Universidad de Padua, en donde permaneció hasta 1610. Durante esos años llevó a cabo estudios y experimentos de mecánica. Además construyó un termoscopio. También diseñó y fabricó un compás para uso geométrico y militar, con su propio manual de instrucciones. En 1594 obtuvo la patente para máquinas elevadoras de agua. Inventó el microscopio y construyó un telescopio, con el que hizo observaciones celestes, siendo la más destacada, el descubrimiento de los satélites de Júpiter. En 1610 fue nominado al matemático más destacado de la Universidad de Pisa, y recibió el título Grand Duke de Tuscany en matemáticas. Estudió Saturno y observó las fases de Venus. En 1611 se mudó a Roma. Lo nombraron miembro de la Academia de Lincei, y se dedicó a la observación de las manchas solares. En 1612 empezó a encontrar seria oposición a su teoría sobre el movimiento de la Tierra desde el púlpito de Santa María Novella, juzgándolas de erróneas. Galileo se defendió en Roma de los cargos que habían hecho contra él, pero en 1616, fue amonestado por el Cardenal Bellarmino quien dijo que no debería defender la astronomía Copernicana porque iba en contra de la doctrina de la Iglesia. En 1622, Galileo escribió Saggiatore (El Ensayador), que fue aprobado y publicado el año siguiente. En Octubre del año 1630 fue llamado por el Santo Oficio a Roma. El tribunal aprobó una sentencia condenatoria y lo condenó a retractarse solemnemente de su teoría. Lo mandaron al exilio a Siena y finalmente, en diciembre de 1633, se le permitió retirarse a su casa de Acetri (el Gioiello). Su salud fue decayendo: en 1638 estaba completamente ciego, y se vio privado de su hija, la hermana Maria Celeleste, quien murió en 1634. Galileo Galilei murió en Arcetri el 8 de Enero de 1642, a la edad de 77 años.

SISTEMA HELICOIDAL

85

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA I SISTEMA

DE

COORDENADAS

2.

RECTANGULARES

COORDENADAS DEL PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO Y

Está formado por dos rectas numéricas que se intersectan en el número cero y forman un ángulo recto.

B(x 2;y 2)

Al plano que lo contiene se le llama Plano Cartesiano y está dividido en 4 regiones llamadas cuadrantes (C); a todo punto del plano le corresponde un par ordenado (X;Y) que se le denomina coordenadas.

P(x;y) A(x 1;y 1)

Y IIC

X IC

3

x  x2 x 1 2

P(3;2)

2

y  y2 y 1 2

1

X'

–3 –2 –1 0 –1

1

2

X

3

–2

IIIC

3. AREA DEL TRIÁNGULO

IVC

–3

Y Y'

C(x3;y3)

Donde:

X' X

:

Eje de abscisas

Y' Y

:

Eje de Ordenadas

O(0,0)

:

Origen de coordenadas

S

B(x 2;y 2)

A(x 1;y 1) 1.

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Y B(x 2;y 2)

X Sea S el área del triángulo ABC, se ordenan las coordenadas de la siguiente forma, y se multiplican en aspa como se observa:

d A (x 1;y 1) X

Siendo “d” la distancia entre los puntos A y B, se cumple: d  ( x1  x 2 )2  (y1  y 2 )2

86

x1

y1

x2 y1 x2

y2

x1 y 2

x3 y2 x3

y3

x2 y 3

x 1 y3 N

y1

x3 y 1 M

x1

Se suman estos valores

Luego: 

S

1 MN 2

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

1. Problema desarrollado

1. Problema por desarrollar

Demostrar que la distancia entre dos puntos

Demostrar que las coordenadas del punto medio x  x2 y  y2 del segmento, P1 P2 es x  1 ; y 1 2 2 donde: P1  x 1 ; y1  y P2  x 2 ; y 2 

P1  x1 ; y1  y P2  x 1 ; y 2  es:

d

 x1  x 2 2   y1  y 2  2

Resolución: P(x ; y ) 2 2

P(x ; y ) 1 1

2

d DV = y2 – y1

1

DH = x 2 – x 1

DH : Distancia horizontal DV : Distancia vertical Por el teorema de Pitágoras tenemos: 2

d 2   D H   D V

d

1.

x

2

2

2

 x1

  y

2

 y1



2

Del gráfico, calcule la distancia vertical (DV) y distancia horizontal (DH).

3.

Del gráfico, calcule tg : Y

Y

B(3;2)

A(–5;1)

DV

A(1;1)

 DH

X

X B(1;–1)

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 2.

Del gráfico, calcule DV y DH. Y

4.

B(3;5)

Calcule el perímetro del triángulo ABC Si: A(2;2); B(5;2) y C(5;6)

DV

A(–2,1) DH

X

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

SISTEMA HELICOIDAL

87

Compendio de Ciencias III-D 5.

Trigonometría

Calcule el perímetro del triángulo ABC.

10. Del gráfico, calcule las coordenadas de M: Y

Si: A(3;3); B(6;3) y C(6;7) Rpta.: ............................................................

6.

Q(8; 6) P(–2; 2)

Calcule las coordenadas del punto medio del segmento AB

X

M(x ; y )

Si: A(-2;-4) B(6;8) Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 11. Del gráfico, calcule tg  7.

Calcule las coordenadas de O (centro de la

circunferencia)

Y (0;5)



(6;3)

O

O

(6;0)

X

(–2;1)

Rpta.: ............................................................

8.

Rpta.: ............................................................

12. Del gráfico, calcule tg 

Calcule la distancia MN

Y

Y

(0;6)

B(6;3)

M



A(–2;1) O

N

X

(–8;0)

O

X

6

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 9.

Del gráfico, calcule las coordenadas de M. Y

13. Calcule el área del triángulo ABC. Si: A(1;1); B(7;1); y C(4;3)

M(x ;y )

Rpta.: ............................................................

P(4;6) A(2;4) X Rpta.: ............................................................

14. Calcule el área del triángulo ABC. Si: A(1;1); B(3;3); y C(4;–1) Rpta.: ............................................................

88

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

15. Calcule el área del triángulo ABC.

18. Calcule tg .

Si: A(–1;1); B(2;3); y C(–4;6)

Si: A(-1,6) B(2;2)

Y

Rpta.: ............................................................

A 

16. Calcular DV y DH de:

B X

O

Y (4;3)

Rpta.: ............................................................

DV

A(2;1) DH

19. Calcule tg .

X

Y

A(2;6)



Rpta.: ............................................................ B

17. Calcule DV y DH de:

X 5

Y

B(3;5)

Rpta.: ............................................................

DV

A(–3;1)

20. Dado un triángulo ABC. Calcule el perímetro.

X

Si: A(3;1); B(7;1); C(7;4)

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

1.

Del gráfico, calcule DV + DH. Y

2.

Dado los puntos A(1;2) y B(21;18) que son los extremos del segmento AB . Calcule la suma de las coordenadas del punto P que pertenece al segmento

B(9;7)

DV

AB . Si: AP = PB

A(–3;2) X

DH A) 15 D) 18

B) 16 E) 19

SISTEMA HELICOIDAL

A) 18 D) 20

B) 19 E) 22

C) 21

C) 17

89

Compendio de Ciencias III-D 3.

Trigonometría

El gráfico, calcule la suma de las coordenadas de M.

5.

Calcule la longitud de la mediana relativa al lado

AB .

Y Y

(12;8)

B(3;6)

X (4;–1) M

C(9;4)

A) –12 D) –8

B) –10 E) –16

C) –14 A(–5;2) X

4.

A) 6 D) 10

Calcule el área del triángulo AOB.

B) 8 E) 12

C) 9

B(4;9)

Y

A(4;3) X

O A) 6 D) 8

90

B) 12 E) 16

C) 10

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D CAPÍTULO

Trigonometría

09 OBJETIVOS – Reconocer y dominar la ecuación de una recta. – Aplicar en el plano cartesiano la pendiente y relacionarlo con X eY, ecuación general.

INTRODUCCIÓN: AL-KHWARIZMI A la Edad Media del mundo occidental corresponde la Edad de Oro del mundo musulmán que, del año 700 al 1200, se extendió desde la India hasta España. Durante esa época, el árabe fue la lengua internacional de las matemáticas. Los (780-850) matemáticos árabes conservaron el patrimonio matemático de los griegos, divulgaron los conocimientos matemáticos de la india, asimilaron ambas culturas e hicieron avanzar tanto el álgebra como la trigonometría. El más recordado de los matemáticos árabes de esa época es Mohammed ibn Musa Al-Khwarizmi, también llamado el “padre del álgebra”. Se sabe muy poco de su vida, solo que vivió en la primera mitad del siglo IX y que trabajó en la biblioteca del califa Al-Mahmum, en Bagdad. Escribió varios libros de geografía, astronomía y matemáticas; dos de sus libros de matemáticas dejaron una huella imborrable en la historia de esta ciencia: de uno de ellos viene la palabra “algoritmo”, de otro la palabra “algebra”. En su obra Aritmética, explicó con detalle y claridad el funcionamiento del sistema decimal de numeración y del cero que usaban en la india (de ahí viene probablemente la creencia de que nuestro sistema de numeración es de origen árabe). La nueva notación se conocía en Europa como la de AlKhwarizmi, pronunciado “algorismi”, de donde después derivaron las palabras “guarismo” para indicar las cifras de un número y “algoritmo” para hablar de un proceso matemático que se repite o de una regla de cálculo. En otro de sus libros, Al-jabr wa’l mugäbala, aparece la palabra “Aljabr” de la cual deriva la palabra “algebra”. “Al-jabr” significa “restauración” del equilibrio mediante la transposición de términos de una ecuación; “mugäbala” significa la simplificación de la expresión resultante mediante la cancelación de terminos semejantes de cada lado de la ecuación.

SISTEMA HELICOIDAL

91

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

GEOMETRÍA ANALÍTICA II En esta segunda parte seguiremos analizando la geometría analítica desde un punto de vista no vectorial.

2.

Calcula la pendiente de una recta si se sabe que su ángulo de inclinación es 37°. Resolución:

I.

PENDIENTE DE UNA RECTA

Y

Se llama pendiente de la recta L a la tangente de su ángulo de inclinación  y se le denota por m, entonces:

m  Tg 

y 2  y1 x 2  x1

37°

donde A(x1;y1) y B(x2;y2) son puntos que pertenecen a la recta L , la cual será constante para cada recta y proporciona una medida de su inclinación respecto al eje “X”.

X



Como el ángulo de inclinación  es 37º



tg 37º =

3 4



m

3 4

Y 3.

B(x 2;y 2) A(x 1;y 1) 

X

Determinar las coordenadas del punto B(x; x–2), si el otro punto de la recta es A(2;–4), además el ángulo de inclinación es 53º. Resolución: Y

L

Ejemplo:

B

1.

Dado los puntos A(3;2) y B(7;6) que pertenecen a la recta L . Calcular la pendiente y el ángulo de inclinación.

(x ;x –2)

53°

X

RESOLUCIÓN:

L

Y

A (2;–4)

L (7;6)



(3;2) X

 Sabemos que:

m



92

Tenemos:

62  m 1 7 3

Si m= tg  = 1 

  45º

4 3



m  tg 53º  m 



4 (x  2)  ( 4)  3 x2



4 x2  , resolviendo x=14 3 x 2  punto

B  (14;12)

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D

Trigonometría

L : (y  y1 )  m  x  x 1 

 Una recta puede tener diferentes posiciones y de acuerdo a ello su pendiente tendrá un signo:

Y

L

 X

Donde: A(x1;y1) punto de paso que pertenece a L B(x;y) punto cualquiera que pertenece a L Ejemplo: 1. Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1;2) y tiene un ángulo de inclinación de 37°. Resolución

• Ángulo de inclinación  0° <  < 90° • pendiente m=Tg  > 0

Si  = 37º ; pendiente m=

3 4

punto de paso P(1;2) L

Y

L : (y–2)=



L : 4y – 8 = 3x – 3

L



X

• Ángulo de inclinación  =0 • pendiente m = Tg0° = 0  recta horizontal

2.

3 (x – 1) 4



L : 4y  3x  5

Determinar la ecuación de la recta que pasa por A(1;–3) y B (5;6). RESOLUCIÓN:

Y B(5;6)

L

Y

X A(1;–3) 

X

• Ángulo de inclinación  90° <  < 180° • pendiente m = Tg < 0 II.

ECUACIÓN DE UNA RECTA Es una ecuación de primer grado con dos variables x e y que queda satisfecha solo para aquellos pares (x;y) que representan la ubicación de puntos pertenecientes a dicha recta. A.

Forma Punto–Pendiente La ecuación de una recta NO VERTICAL L queda determinada indicando su pendiente m y las coordenadas de un punto de paso, que pertenecen a dicha recta. m

y  y1 x  x1

SISTEMA HELICOIDAL

Determinamos la pendiente m



6  (3) 9 m  5 1 4 Tomamos A ó B como puntos de  paso, supongamos que sea A(1;–3) y un punto cualquiera P(x;y)  L. m

9 (x – (–3)) 4



L : (y – 1) =



L : 4y – 4 = 9x + 27



L : 4 y  9 x  31

Si hubiéramos tomado el punto B como punto de paso el resultado no varía.

93

Compendio de Ciencias III-D B.

Trigonometría

Forma Pendiente Ordenada en el Origen: Si consideramos un punto de paso (0;b), donde L intercepta al eje Y, entonces:



Pendiente m= –

1 2

 Térm ino independiente b=1, entonces un punto de paso será: (0,1).  Gráfica:

Y

Y b X

O

(0;1)  Punto de paso: (0;b) pendiente: m  L : y – b = m(x – 0)



X

L : y  mx  b

Esta forma proporciona directamente la pendiente m como el coeficiente de la variable x mientras que el término independiente b indica el punto del eje y donde L lo corta.

C. FORMA GENERAL DE LA RECTA La ecuación general de una ecuación está dada por: L : Ax  By  C  0

donde A, B y C son constantes no nulas.

Ejemplo: 1.

Dada la recta L: y=3x + 4. Determinar la pendiente de la recta y el punto de intersección de la recta con el eje Y. RESOLUCIÓN: Recuerda: y = mx + b  y = 3x + 4  m=3 y el punto de intersección será P(0;4).

2.

Calcular la ecuación de la recta si su pendiente es igual a 4/5 y el punto de intersección con el eje Y es (0;–5).

C (recta horizontal) B C • Si A  0, B  0;C  0 : x   (recta vertical) A A C • Si A  0, B  0;C  0 : y     B B A C  (recta con : m   y pasa por el punto  0 ;   B B  • Si A  0, B  0;C  0 : y  

D. RECTAS PARALELAS ( L

3.

L 2 ; con pendiente m2

4 ; además si (0;b) = (0;–5) 5

 b = –5



y

RESOLUCIÓN: Tenemos que: 2x + 4y =4, despejamos y en función de x.

94

2x 4  4 4

Serán paralelas si m 1  m 2

4 x 5 5

Dada la ecuación de recta L: 2x + 4y =4. Hallar su pendiente y un punto de paso de paso y su gráfica.

 y= 

// L 2)

Sean L 1 ; con pendiente m1

RESOLUCIÓN: Tenemos que: m=

1

 L:y= 

E.

RECTAS PERPENDICULARES Si L

1

L

2



m 1  m 2  1

Sean L 1 ; con pendiente m1

x +1 2

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D F.

Trigonometría

DISTANCIA DE UN PUNTO A LA RECTA Sea L : A x  B y  C  0 y el punto

P0 (x 0 ; y 0 )

Y d

P0  x 0 ; y 0 

d

A x 0  B y 0  C 2

2

x 0  y0

X

Problemas Desarrollado

Problemas por desarrollar

1. Demostrar que la ecuación de la recta es: según la gráfica

x y  1 a b

1. Demostrar que si L 1 con m1 y L 2 con m2 Si: L 1

L

2



m1  

1 m2

Y

Resolución:

b X

a

Resolución: Y (0 ; b )

(a ; 0) X

Calculamos m 

b 0 b  0 a a

en: y  y 0  m  x  x 0  ;

P0   0; b 

b  x  0   ay  ab  bx a b x a y ab bx  ay  ab    ab a b ab  y b  

x y  1 a b

SISTEMA HELICOIDAL

95

Compendio de Ciencias III-D

1.

Trigonometría

Calcule la pendiente de la recta que pasa por (2;2) y (4;4)

7.

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

2.

Calcule la pendiente de la recta que pasa por (3;2) y (1;5)

8.

Calcule el ángulo de inclinación de la recta que pasa por (2;3) y (5;7). Rpta.: ............................................................

Determine la ecuación de la recta si pasa por el origen con pendiente 2. Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

3.

Determine la ecuación de la recta si pasa por (1;1) y su pendiente es 3.

9.

Determine la ecuación de la recta si pasa por el origen y su pendiente es –2. Rpta.: ............................................................

10. Dado: L : 3x – 2y + 2 = 0 4.

Calcule el ángulo de inclinación de la recta L.

Calcule el valor del intercepto al eje y además el valor de la pendiente.

Y Rpta.: ............................................................

(0;4)  (3;0) O

X

Rpta.: ............................................................

11. Determine la ecuación de la recta que es paralela a la recta de pendiente 2 tal que la recta que se pide pasa por (2,2). Rpta.: ............................................................

5.

Calcular la ecuación de la recta si pasa por (0;2) y su pendiente es 2.

12. Del gráfico. Determine la ecuación de L1

Rpta.: ............................................................

Y 2

B(3;3) 6.

Calcular la ecuación de la recta si pasa por (3;2) y su pendiente es 1.

A(–1;1) X

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

96

PASCUAL SACO OLIVEROS

Compendio de Ciencias III-D 13. Calcule la distancia del punto “P” a la recta L.

Trigonometría 17. Si: A(–2;3) ; B(1;6) y C(4;n) son colineales.

Si: P(1;1) y L: 3x+4y+3=0

Calcule n.

Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

14. Calcule la distancia del punto “P” a la recta L.

18. Calcule a, si: P(2 ; a) pertenece a la recta L:

L : x + 3y – 2 = 0

Si: P(5;2) y L : 12x – 5y = –2.

Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 15. Calcule k tal que la recta L1 es perpendicular a L2.

19. Determine la ecuación de una recta cuya pendiente es 4/3 y que dista 4  del origen.

L1: kx – (2k+1)y – 3 = 0 y L2: x + 3y + 5= 0 Rpta.: ............................................................ Rpta.: ............................................................ 16. Calcule la pendiente de una recta que pasa por (2;–2) y (–1;4).

20. Determine la ecuación de una recta L que pasa por el punto (4; –3) y es paralela a una recta L1 cuya ecuación es: y = 3x+5. Rpta.: ............................................................

Rpta.: ............................................................

1.

Dado la recta:

4.

Del gráfico, determine la ecuación de L1:

L1: 3–5y–3x = 0

L1

Calcule la pendiente de L1. A) 3/5 C) –3/5 E) –1

B(4;3)

B) 5/3 D) 5/3

A(–2;1) 2.

Calcule la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(4;–1) y B(–6;5). A) 3/2 C) –3/2 E) –5/2

3.

Determine la ecuación de la recta que pasa por (3;–1) y su pendiente es – A) x+2y–1 = 0 C) x–2y+5 = 0 E) 2x–y–5 = 0

SISTEMA HELICOIDAL

A) y = x+3 C) y = 4x+1 E) y = 3x–1

B) –5/3 D) 3/5

1 2

.

B) x+3y+1 = 0 D) 2x+y+5 = 0

5.

B) y = 2x–5 D) y = 3x+5

Calcular k tal que la recta L1 es perpendicular a L2. Si: L1: (k–1)x – 2ky + 12 = 0 L2: 5k + 2y – 9 = 0 A) 1/4 C) 3 E) –6

B) –4 D) 1/6

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Compendio de Ciencias III-D

98

Trigonometría

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