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TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL I. OBJETIVOS: 1.1.) Encontrar como están relacionadas la distancia vertical y la distancia horizontal en un movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente desde la mesa. 1.2.) Determinar la velocidad inicial de un proyectil lanzado horizontalmente. II) EQUIPO NECESARIO: 2.1.) Un lanzador de proyectiles 2.2.) Una bola plástica. 2.3.) Una cinta métrica o regla graduada en milímetros. 2.4.) Hojas de papel blanco, papel carbón y papel milimetrado. 2.5.) Panel registrador de impactos. III) MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL: El alcance es la distancia horizontal, x, entre la boca del lanzador de proyectiles y el lugar donde el proyectil golpea el piso, está dado por: x  vo t (1) donde: vo, es la velocidad inicial del proyectil y t, es el tiempo de vuelo. Si el proyectil es lanzado horizontalmente, el tiempo de vuelo del proyectil será: x t v0 (2) La distancia vertical, y, que el proyectil desciende en un tiempo t está dado por: 1 y  gt 2 2

(3)

donde: g, es la aceleración de la gravedad. Reemplazando el valor de t, de la ecuación (2), en la ecuación (3), resulta:  g   x2 y  2 2  v0 

(4)

La Ecuación (4) no es más que la ecuación de la trayectoria del proyectil, trayectoria que tiene la forma de una parábola. Una gráfica de y en función de x2 dará una línea recta con una pendiente igual a:  g     2 2  v0  IV) METODOLOGÍA: 4.1.) Instale el lanzador de proyectiles firmemente a la mesa cerca al borde de la misma con el lanzador apuntando afuera de la mesa.

4.2.) Ajuste el ángulo del lanzador de proyectiles a cero grados de tal forma que los lanzamientos sean horizontales. 4.3.) Dispare un lanzamiento en el “rango medio” para determinar la posición inicial del panel registrador. Lugar del blanco donde la bola golpeará cerca de su base. Ver Fig. 1.

Fig. 1. Instalación del equipo. 4.4.) Cubra el panel registrador con un papel blanco. Pegue con cinta un papel carbón sobre el papel blanco. 4.5.) Mida la altura vertical desde el piso hasta la boca del lanzador de proyectiles y registre su medida en la tabla I. Marque esta altura en el panel registrador. 4.6.) Mida la distancia horizontal desde la boca del lanzador de proyectiles hasta el panel registrador y registre su distancia en la tabla I. 4.7.) Dispare la bola. 4.8.) Desplace el panel registrador hasta una posición de 10cm acercándose al lanzador de proyectiles y dispare cinco veces la bola. Se visualizará cinco marcas dispersas a, b, c, y e como se muestra en la figura 1. Mida las cinco distancias verticales yi a partir del punto O y anótelas en la tabla I. 4.9.) Repita los pasos (4.6.) a (4.8.) cambiando la posición del pie del panel registrador a 20, 30, 40, 50 y 60cm del punto O’. Tabla I. Datos y cálculos para la experiencia de laboratorio. Altura de la boca del disparador. Nº -

Distancia Horizontal x (m)

1

2,30

2

2,20

3

2,10

4

2,00

5

1,90

Distancia vertical y1 (m) 0,09 5 0,19 0 0,26 5 0,37 1 0,40 0

0,105

0,115 0,145 0,160

0,105 0,195 0,247 0,248 0,271 0,283 0,299 0,307 0,368 0,351 0,355 0,375 0,44 0,448 0,463 0,471

y (m)

x2 (m2)

6

1,80

0,49 3 0,521 0,522 0,534 0,553

V) ANALISIS: 5.1.) En el panel registrador mida la distancia vertical desde el nivel de la boca del lanzador de proyectiles hacia la marca dejada por la bola y registre sus valores en la tabla I. 5.2.) Calcular el valor medio de la altura y registre sus valores en la tabla I. 5.3.) Calcular x2 para todos los datos y anótelos en la tabla I. Nº Distancia Distancia vertical y1 (m) - Horizontal x (m) 1 2,30 0,095 0,105 0,115 0,145 0,160 2 2,20 0,190 0,105 0,195 0,247 0,248 3 2,10 0,265 0,271 0,283 0,299 0,307 4 2,00 0,371 0,368 0,351 0,355 0,375 5 1,90 0,400 0,44 0,448 0,463 0,471 6 1,80 0,493 0,521 0,522 0,534 0,553

y (m) 0,7840 1,0370 1,3050 1,5640 1,8244 2,0846

x2 (m2) 5,29 4,84 4,41 4,00 3,61 3,24

5.4.) En el papel milimetrado grafique: a) y vs x y b) y vs x2 y trace la mejor línea recta o curva según corresponda. 5.5.) Calculamos la pendiente de la línea recta y registre su valor en la tabla II. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos , y tenemos la ecuación (4) Hallando la pendiente: g m 2 2v o m

9.81 2(4.96996) 2

m  0.1986 5.6.) De la pendiente de la gráfica, calcular la velocidad inicial con que la bola abandona el lanzador de proyectiles. Registre su valor en la tabla II. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos , y tenemos la ecuación (4)  g   x2 y  2 2  v0  Reemplazando un punto cualquiera en la ecuación, hallamos la “vo” con el punto (3.24; 2.0846)

2.0846   2

vo 

g (3.24) 2 2 2v o

(9.81)(3.24) 2 (2.0846)( 2)

v o  24.7005 v o  4.96996 m/s

vo 1  4.96996

A esta velocidad lo llamamos

m/s

5.7.) Usando algún dato del punto x e y, calcular el tiempo y entonces calcular la velocidad inicial usando el tiempo y x. Registre sus resultados en la tabla II. a

De la gráfica y vs x Hallamos el tiempo con la ecuación (3) 1 y  gt 2 2 Reemplazamos cualquier punto de la gráfica y vs x; Entonces tomamos el punto P (1.8; 2.0846), tenemos: 1 2.0846  (9.81)t 2 2 t 2  0.424995

t  0.6519 b

seg.

Hallamos la velocidad con la ecuación (2) : x t v0 Entonces tenemos: v0 

v0 

x t

1.8 0.6519

v 0  2.7612 m/s v 0 2  2.7612 Llamamos a esta velocidad

m/s

5.8.) Calcular la diferencia potencial entre las velocidades iniciales utilizando estos dos métodos. Registre su valor en la tabla II. Diferencia porcentual entre vo1 y vo2 v o1  vo 2  4.96996  2.7612 v o1  vo 2  2.20876 En porcentaje: Diferencia % = 0.0220876 Finalmente tenemos la tabla II. Tabla II. Datos y cálculos para encontrar la velocidad inicial del proyectil. Pendiente de la gráfica Velocidad inicial obtenida de la pendiente Tiempo de vuelo Velocidad inicial obtenida del punto x, y Diferencia porcentual

0.1986 4.96996m/s 0.6519seg. 2.7612m/s 0.0220876 %

V) CUESTIONARIO: 6.1.) ¿La línea en la gráfica x vs. y es una recta o una curva? ¿Qué diría Ud. Acerca de la relación entre x e y? Respuesta: En la gráfica x vs y, podemos observar que es una línea recta y podemos decir que cuando el alcance horizontal disminuye, se va ganando altura en el panel registrador. 6.2.) Si Ud. Gráfica y vs. x2, ¿Es la gráfica una línea recta o curva? ¿Qué diría Ud. acerca de la relación entre y y x2? Respuesta: En la gráfica x2 vs y, podemos observar que es una curva y podemos decir que cuando el alcance horizontal disminuye, se va ganando poca altura en el panel registrador. 6.3.) Explique claramente cómo podría determinar la velocidad instantánea para la gráfica y vs x. Respuesta: Se puede determinar la velocidad instantánea trazando una tangente a la gráfica x vs y, donde podemos saber podemos saber cual es la velocidad instantánea en cualquier punto . 6.4.) Explique claramente cómo determinó la velocidad inicial de la gráfica y vs. x2. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos

, y tenemos la ecuación (4)

Hallando la pendiente: g m 2 2v o m

9.81 2(4.96996) 2

m  0.1986 Reemplazando un punto cualquiera en la ecuación, hallamos la “vo” con el punto (3.24; 2.0846)

2.0846   2

vo 

g (3.24) 2 2 2v o

(9.81)(3.24) 2 (2.0846)( 2)

v o  24.7005 v o  4.96996 m/s

vo 1  4.96996

Esta velocidad se llama

m/s

6.5.) ¿Qué forma tiene la trayectoria del proyectil? Respuesta: La trayectoria que describe el proyectil es siempre una parábola. 6.6.) ¿Cuáles son sus principales fuentes de error? Respuesta · La mala medición que se realiza - Una lectura equivocada - Que el lanzador de proyectiles no estaba bien sujetado a la mesa, lo cual vibra al momento de lanzamiento, influyendo así en la velocidad inicial y su trayectoria. 6.7.) Utilice mínimos cuadrados para determinar la velocidad instantánea. ¿Qué valor tiene la pendiente así como el intercepto? Respuesta: Usando mínimo cuadrados:  y  na  b x

 x  y  a  x  b x

2

Se tiene: a

8,599  6a  12,30b

 20,899  12.30a  25,39b

8.599  12.30b 6

(1) (2)

Reaplazando (1) en (2)  8.599  12.30b  20.899  12.30   25.39b 6   20.899  17.63  25,22b 25.39b  -3,269  b  0,129

a  1,698

 Hallando la pendiente:

m

g 2 2v o

m

9.81 2(4.96996) 2

m  0.1986 VII) RECOMENDACIONES: 7.1.) Tenga cuidado que no haya alumnos interponiéndose en la trayectoria del móvil 7.2.) Tenga cuidado en hacer correctamente sus mediciones. 7.3.) Limpie la bolilla si cayó al suelo para evitar malograr el lanzador de proyectiles. VIII) BIBLIOGRAFIA: 8.1.) SERWAY, R.

“Física” Vol. I Edit. Mc Graw-Hill. México 1993 8.2.) TIPLER, P. “Física” Vol. I Edit. Reverte. España 1993 8.3.) GOLDEMBERG, J. “Física General y Experimental”, Vol. I Edit. Interamericana S.A. México 1972 8.4.) MEINERS, H., EPPENSTEIN, W. MOORE, K. “Experimentos de física” Edit. Limusa. México 1970

TRAYECTORIA DE UN PROYECTIL I. OBJETIVOS:

1.1.) Encontrar como están relacionadas la distancia vertical y la distancia horizontal en un movimiento de un proyectil lanzado horizontalmente desde la mesa. 1.2.) Determinar la velocidad inicial de un proyectil lanzado horizontalmente. II) EQUIPO NECESARIO: 2.1.) Un lanzador de proyectiles 2.2.) Una bola plástica. 2.3.) Una cinta métrica o regla graduada en milímetros. 2.4.) Hojas de papel blanco, papel carbón y papel milimetrado. 2.5.) Panel registrador de impactos. III) MARCO TEÓRICO Y CONCEPTUAL: El alcance es la distancia horizontal, x, entre la boca del lanzador de proyectiles y el lugar donde el proyectil golpea el piso, está dado por: x  vo t (1) donde: vo, es la velocidad inicial del proyectil y t, es el tiempo de vuelo. Si el proyectil es lanzado horizontalmente, el tiempo de vuelo del proyectil será: x t v0 (2) La distancia vertical, y, que el proyectil desciende en un tiempo t está dado por: 1 y  gt 2 2

(3)

donde: g, es la aceleración de la gravedad. Reemplazando el valor de t, de la ecuación (2), en la ecuación (3), resulta:  g   x2 y  2 2  v0 

(4)

La Ecuación (4) no es más que la ecuación de la trayectoria del proyectil, trayectoria que tiene la forma de una parábola. Una gráfica de y en función de x2 dará una línea recta con una pendiente igual a:  g     2 2  v0  IV) METODOLOGÍA: 4.1.) Instale el lanzador de proyectiles firmemente a la mesa cerca al borde de la misma con el lanzador apuntando afuera de la mesa. 4.2.) Ajuste el ángulo del lanzador de proyectiles a cero grados de tal forma que los lanzamientos sean horizontales.

4.3.) Dispare un lanzamiento en el “rango medio” para determinar la posición inicial del panel registrador. Lugar del blanco donde la bola golpeará cerca de su base. Ver Fig. 1.

Fig. 1. Instalación del equipo. 4.4.) Cubra el panel registrador con un papel blanco. Pegue con cinta un papel carbón sobre el papel blanco. 4.5.) Mida la altura vertical desde el piso hasta la boca del lanzador de proyectiles y registre su medida en la tabla I. Marque esta altura en el panel registrador. 4.6.) Mida la distancia horizontal desde la boca del lanzador de proyectiles hasta el panel registrador y registre su distancia en la tabla I. 4.7.) Dispare la bola. 4.8.) Desplace el panel registrador hasta una posición de 10cm acercándose al lanzador de proyectiles y dispare cinco veces la bola. Se visualizará cinco marcas dispersas a, b, c, y e como se muestra en la figura 1. Mida las cinco distancias verticales yi a partir del punto O y anótelas en la tabla I. 4.9.) Repita los pasos (4.6.) a (4.8.) cambiando la posición del pie del panel registrador a 20, 30, 40, 50 y 60cm del punto O’. Tabla I. Datos y cálculos para la experiencia de laboratorio. Altura de la boca del disparador. Nº1 2 3 4 5 6

Distancia Horizontal x (m) 2.212 2.112 2.012 1.912 1.812 1.712

Distancia vertical y1 (m) 1.035 0.955 0.883 0.785 0.703 0.638

1.036 0.961 0.869 0.772 0.698 0.629

1.036 0.965 0.855 0.779 0.695 0.621

y (m) 1.043 0.959 0.867 0.777 0.693 0.631

1.032 0.955 0.865 0.77 0.705 0.618

1.0358 0.959 0.8638 0.7766 0.6988 0.6274

x2 (m2) 4.893 4.461 4.048 3.656 3.283 2.931

V) ANALISIS: 5.1.) En el panel registrador mida la distancia vertical desde el nivel de la boca del lanzador de proyectiles hacia la marca dejada por la bola y registre sus valores en la tabla I.

5.2.) Calcular el valor medio de la altura y registre sus valores en la tabla I. 5.3.) Calcular x2 para todos los datos y anótelos en la tabla I. Nº1 2 3 4 5 6

Distancia Horizontal x (m) 2.212 2.112 2.012 1.912 1.812 1.712

Distancia vertical y1 (m) 1.035 0.955 0.883 0.785 0.703 0.638

1.036 0.961 0.869 0.772 0.698 0.629

1.036 0.965 0.855 0.779 0.695 0.621

y (m) 1.043 0.959 0.867 0.777 0.693 0.631

1.032 0.955 0.865 0.77 0.705 0.618

1.0358 0.959 0.8638 0.7766 0.6988 0.6274

x2 (m2) 4.893 4.461 4.048 3.656 3.283 2.931

5.4.) En el papel milimetrado grafique: a) y vs x y b) y vs x2 y trace la mejor línea recta o curva según corresponda. 5.5.) Calculamos la pendiente de la línea recta y registre su valor en la tabla II. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos , y tenemos la ecuación (4) Hallando la pendiente: g m 2 2v o m

9.81 2(8.195) 2

m  0.0729 5.6.) De la pendiente de la gráfica, calcular la velocidad inicial con que la bola abandona el lanzador de proyectiles. Registre su valor en la tabla II. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos , y tenemos la ecuación (4)  g   x2 y  2 2  v0  Reemplazando un punto cualquiera en la ecuación, hallamos la “vo” con el punto (3.24; 2.0846)

0.6274  

g (2.931) 2 2 2v o

vo

2

(9.81)( 2.931) 2  (0.6274)( 2)

v o  67.16 v o  8.195 m/s

v o 1  8.195

A esta velocidad lo llamamos

m/s

5.7.) Usando algún dato del punto x e y, calcular el tiempo y entonces calcular la velocidad inicial usando el tiempo y x. Registre sus resultados en la tabla II. De la gráfica y vs x a) Hallamos el tiempo con la ecuación (3) 1 y  gt 2 2 Reemplazamos cualquier punto de la gráfica y vs x; Entonces tomamos el punto P (1.8; 2.0846), tenemos: 1 0.6274  (9.81)t 2 2 t 2  0.1279

t  0.358

seg.

b) Hallamos la velocidad con la ecuación (2) : x t v0 Entonces tenemos: v0  v0 

x t

1.712 0.358

v 0  4.782 v0 2 Llamamos a esta velocidad

m/s  4.782 m/s

5.8.) Calcular la diferencia potencial entre las velocidades iniciales utilizando estos dos métodos. Registre su valor en la tabla II. Diferencia porcentual entre vo1 y vo2

vo1  vo 2  8.195  4.782 v o1  vo 2  3.413 En porcentaje: Diferencia % = 0.03143 Finalmente tenemos la tabla II. Tabla II. Datos y cálculos para encontrar la velocidad inicial del proyectil. 0.0729 Pendiente de la gráfica

8.195 Velocidad inicial obtenida de la pendiente

m/s

0.358 Tiempo de vuelo

seg.

4.782 Velocidad inicial obtenida del punto x, y Diferencia porcentual

/s

0.03143 %

V) CUESTIONARIO: 6.1.) ¿La línea en la gráfica x vs. y es una recta o una curva? ¿Qué diría Ud. Acerca de la relación entre x e y? Respuesta: En la gráfica x vs y, podemos observar que es una línea recta y podemos decir que cuando el alcance horizontal disminuye, se va ganando altura en el panel registrador. 6.2.) Si Ud. Gráfica y vs. x2, ¿Es la gráfica una línea recta o curva? ¿Qué diría Ud. acerca de la relación entre y y x2? Respuesta: En la gráfica x2 vs y, podemos observar que es una curva y podemos decir que cuando el alcance horizontal disminuye, se va ganando poca altura en el panel registrador. 6.3.) Explique claramente cómo podría determinar la velocidad instantánea para la gráfica y vs x. . 6.4.) Explique claramente cómo determinó la velocidad inicial de la gráfica y vs. x2. De la gráfica y vs x2 y  mx 2 Si sabemos , y tenemos la ecuación (4) Hallando la pendiente:

m

g 2 2v o

m

9.81 2(8.195) 2

m  0.0729

Reemplazando un punto cualquiera en la ecuación, hallamos la “vo” con el punto (3.24; 2.0846)

0.6274   2

vo 

g (2.931) 2 2 2v o

(9.81)( 2.931) 2 (0.6274)( 2)

v o  67.16 v o  8.195 m/s

v o 1  8.195

A esta velocidad lo llamamos

m/s

6.5.) ¿Qué forma tiene la trayectoria del proyectil? .una forma horizontal pero de maneara descendente. 6.6.) ¿Cuáles son sus principales fuentes de error? La medicon que se puede obtener La vicion de cada muestra La mala interpretación de datos la cual provocaría datos erróneos. 6.7.) Utilice mínimos cuadrados para determinar la velocidad instantánea. ¿Qué valor tiene la pendiente así como el intercepto? Respuesta: Usando mínimo cuadrados:  y  na  b x

 x  y  a  x  b x Se tiene:

2

4.9614  6a  11.772b

 16.7334  11.772a  138.58b

a

4.9614  11.772b 6

Reaplazando (1) en (2)  4.9614  11.772b  16.7334  11.772   138.58b 6   b  0,00435

a  10.835  Hallando la pendiente: g m 2 2v o m

9.81 2(8.195) 2

m  0.0729

(1) (2)