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• Javier Guerrero

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LA TRANSFORMADA DE LAPLACE (apuntes escritos por Dr. Manuel Pargada)

1. INTRODUCCIÓN Entre las transformaciones más usuales que operan con funciones f(x) cumpliendo condiciones adecuadas en I=[a,b], para obtener otras funciones en I, están por ejemplo : D f ( x)  f ( x)

1· La operación D de derivación :

x

2· La operación I de integración : 3· La transformación Mg definida por : siendo g(x) una función concreta.

En cada caso, hay que asignar alguna

restricción

a

las

funciones f(x) a las que se aplica dada.

una Así,

transformación en

el

primer

ejemplo, f(x) debe ser derivable en un cierto intervalo, etc. Las tres transformaciones citadas son lineales, es decir, que verifican :

c1 , c2   Una clase importante dentro de las transforma ciones

lineales, T c1 f1 ( x )  c2 f 2 son las ( x )  c1T f 1( x )  llamadas transform c2T  f 2 ( x )  

I f ( x ) a f ( t )d t

Mg f (x)  g( x) f ( x) acion finito o infinito a  x  b y se es escoge una función fija K(s,x)

integ de la variable x y el parámetro rales. s. Entonces la correspondiente Se transformada integral está dada consi por : deran b las Tf funci ( x )  s, ones xa)K( f ( x )d x f(x)  F( s ) defini das La función K(s,x) se llama en unnúcleo de la transformación T. Se muestra fácilmente que T es interv lineal, cualquiera que sea la alo K(s,x). 1

En la matemática aplicada se estudian varios casos especiales de transformadas integrales, adaptadas a la resolución de diversos problemas : transformada de Fourier, transformada de Fourier de seno, ídem de coseno, transformada de Hankel, de Mellin, etc.

Se trata de estudiar ahora la transformación de Laplace especialmente indicada para simplificar el proceso de resolver problemas de valor inicial, cuyas ecuaciones diferenciales sean lineales, y primordialmente cuando se incluyen funciones discontinuas. Es muy utilizada en teoría de circuitos. Antes de entrar en sus aplicaciones, se va a comenzar introduciendo esta transformada de Laplace así como sus propiedades fundamentales y más útiles.

2. DEFINICIÓN Y TRANSFORMADAS DE ALGUNAS FUNCIONES ELEMENTALES

Definición Sea f(t) definida en ( 0 ,  ). Se define la transformada de Laplace de f(t), como la función [f(t) = F(s), definida por la integral

L f ( t )    e st 0

f ( t )d t  F( s )

[1]

Deberá existir la integral impropia y dependiente del parámetro s, es decir, deberá ser convergente para ciertos valores de s. Sólo entonces podrá decirse que existe la transformada de Laplace de f(t), o que f(t) es

- transformable.

Nota El parámetro s se considerará aquí real. Es esto suficiente para las aplicaciones con ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes constantes y algunas de coeficientes variables. En otros casos es necesario trabajar en el campo complejo, considerando a s como complejo.

Ejemplo 1:

Sea f(t) = 1 , t  0







1  0 est 1d t  lim 0 est d t  lim  



est  

1  lim 

es   s

 

 

 

s 

s 0





2

1

1 s Nota

Si

fuese

, s0

complejo

pues la integral diverge para s  0 s,

es

s  s1  i s2 ,

decir,

entonces

(s i s ) t s t est  e 1 2  e 1 cos s2t  isen s2t  y la integral impropia anterior sólo converge si s1

> 0 , es decir Re (s) > 0.

Ejemplo 2: Sea f(t) = eat , t  0

eat   0 est eat dt  0 e(s a )t

dt Es el caso anterior cambiando s por s - a.

Luego:

eat   s  a 1

, sa

Ejemplo 3: Sea f(t) = ta , a  R , t  0

t a   0 est t a d t

x Cambio: st = x . Entonces: t =

,

y

1

t   s 0 e x xa d x a

s

dx dt s

a 1

Luego: (a  1) a t  sa1

 

si s  0 a 1

En particular :

tn  nn!1

t  

s  0 n N

s

2

1 

s0

s

Ejemplo 4: Sea f(t) = cos at ó f(t) = sin at

cos at  0 est cos at dt cos at 

1

s

=

,s0

1 s

t 0

Integrando dos veces por partes  Análogamente :

L s i n at 

a

,s  0

,s0

s 2 a

2

s 2  a2 3

Podría obtenerse mejor así : Trabajando como en los ejemplos 1 y 2, sustituyendo a por ai (a

), resulta:

ei at 

Por tanto:  

Luego

 





1 , para Re (s - ai) > 0 , es decir s > 0 si s es real. sai sai , s> 0 i at e  s2  a 2

 

cosat   sen at  

Re (ei at ) Re Im (ei at )  Im



s

s2  a i2

s 2 s

2

,s0

s 2  a i2



2

,s0

a

a

s a

2a

 s a

Ejemplo 5: Sea la función escalón unidad u (t - a) o función de Heaviside.  0 , ta

u (t - a) = 



1





st

0 e

ta

,

u(t  a)

Es

=

u(t  a) d t  a

En particular:

(a  0)



st



e

st

e

dt







 s  a 1 u(t )  1  s , s  0

e as s

,s0

3. EXISTENCIA DE LA TRANSFORMADA En los ejemplos anteriores se ha visto por cálculo directo que la integral 1 existe realmente para las funciones consideradas, en algún intervalo de valores de s. Pero eso no ocurre así

siempre. Por ejemplo, la integral impropia de 1 no converge para ningún valor de s si f(t) = 1 t 2 + ó f(t) = e , por crecer estas funciones demasiado rápido cuando t  0 o t  t respectivamente. Afortunadamente existe la transformada para la mayor parte de las funciones que aparecen en aplicaciones donde intervienen ecuaciones diferenciales lineales.

Se trata ahora de establecer un conjunto razonable de condiciones que garanticen la

existencia de transformada para las funciones que las cumplen. 4

a) Definición: “Se dice que f(t) es seccionalmente continua ( o continua a trozos) en [ ,  = I , si f(t) es continua en todos los puntos de I, excepto quizá en un nº finito de ellos, en los que f(t) deberá tener límites laterales finitos” “Se dice que f(t) es seccionalmente continua en [0 ,  , si lo es en [ 0, T ,  T > 0” f(t)

Si f(t) es seccionalmente continua en [ , , es integrable en [ , 





t

b ) Definición

“Se dice que f(t) es de positivas M, T tales que:

orden exponencial  cuando t  , si existen constantes t

f (t)  M e

t  T ”

Es decir que f(t) no crece más rápido que t

una función de la forma M e . Son por ejemplo de orden exponencial las funciones 1, eat, tn, sen bt, cos bt, tneat, eat cos bt,... . t

No lo es et 2 , pues crece más rápidamente que e , cualquiera que sea  ya que : lim

t

e at

t  e

2

t (t a)

 lim e



t 

c ) Notación Se designará con el símbolo A, al conjunto de funciones f(t), tales que: 1· Son seccionalmente continuas en [0,) 2· Son de orden exponencial cuando t 

5

d ) Teorema de existencia “ Si f(t)  A, entonces existe

[f,  s mayor que un cierto  “

Es decir que f(t)  A es condición suficiente para que exista L [f(t) y además, al menos para todo s > . Demostración f(t) de orden exponencial  M , T > 0 y  R  f(t)  < M e T

0

e

st

t

t>T

f (t) d t converge  s pues e-st f(t) es seccionalmente continua en

[0 , T. Es  e-st f(t)  < M e-(s-)t

t>T

y 

T

Me

Luego

( s) t

T

 st

e



d t  0 M e

( s ) t

M

lim

s 

f (t ) d t

Por tanto, existe [f(t) =

d t 



e   M (s  )t



0

si s 

s 

converge absolutamente si s > .

0

T st

e

 st

f (t ) d t  T e

f (t ) d t si s 

Notas  Puede demostrarse además que el dominio de definición de F(s) es de la forma

(so , )

ó [so , ). 1· No se cumple en general el recíproco del teorema, es decir que la condición no es Así dad infinita en t = 0 y por necesaria. tanto no es en [0, T . Pero por ejemplo, f(t) = t-1/2 seccionalmente continua  A , pues tiene tiene transformada, pues : discontinui [t-1/2 =

(

1 2 1

s2

)





, s>0

s 6

4. PROPIEDAD DE LINEALIDAD Para hablar de transformación lineal, deben establecerse previamente los espacios vectoriales.

1· A es evidentemente un espacio vectorial real con las definiciones usuales de suma de funciones y producto por escalar. 2· Sea

el conjunto de funciones reales definidas en intervalos (s o,) ó [so,). También es

espacio vectorial real, si dadas dos funciones F, G 

, se define F+G en la forma usual,

en la intersección de los dominios de F y G. Se considerarán además como iguales dos funciones en 3· Entonces

si coinciden en un intervalo de la forma ( , ).

es aplicación del espacio vectorial A en el

Con estas consideraciones, se verifica : Teorema

es un operador lineal, es decir : Si f, g tiene transformada inversa de Laplace para s > , y a , b , entonces af+bg tiene transformada para s >  y af(t)+bg(t) = a

f(t) + b

g(t)

En efecto :

afbg(s)0estaf(t)bg(t)dta0estf(t) dtb0estg(t) dt =a

Ejemplo 6: Calcular

Es

f t b g t aF(s)bG(s) ,s>c.q.d.

sen2 at 

2 sen at    1 cos 2at   1 2 2    1 1 s    2 2  







cos 2at

1 

2a 2



2

 =

, s0 2

s> 

2 s

7

4  s a 

s( s

 4a

)

Ch at 

Ejemplo 7: Calcular

Ch at 

at

at

 e e  

2

Sh at

y



1  1 1 s       2 2, s  a  2  sa sa s a

Sh at 

Análogamente

a 2

s a

2

, sa

5. PROPIEDADES DE TRASLACIÓN Y CAMBIO DE ESCALA

a) Primera propiedad de traslación: Si f  A y [f(t) = F(s), s > , entonces  ( sa) t

En efecto :

[e atf(t) = 0 e

Ejemplo 8: Calcular

f (t) d t  F(s  a)



s

2

2

sb

e

3t 4

t

s a



sa

s  a

2

2

,

sa

b

e3tt4

 t s3  4

s-a>

eat cosbt 

e at cosbt  cosbt s a

Ejemplo 9: Calcular

[e atf(t) = F(s-a), s - a > 

4! 5

(s  3) , s 3

b) Segunda propiedad de traslación

Nota previa: La función u(t-a)·f(t-a) =

 0 

,t  a

es la obtenida por traslado de

 f(t  a)

,ta f(t) a unidades a la derecha, tomando además el valor 0, para t < a

8

Si f  A y

[f(t) = F(s), s > .>.0, entonces para a > 0 :

[f(t-a)·u(t-a) (s)= e-asF(s),

En efecto :

f

s>

t a u(t  a)  0 e

 st

(Cambio x  t  a)

 st

f (t  a) u(t  a) d t  a e

 s( x a)

 0 e

f ( x) d x  e

as

F(s)

f (t  a) d t = c.q.d.

Nota: Estos desplazamientos surgen en la práctica cuando hay tiempos de retraso en la alimentación de energía a sistemas eléctricos (la alimentación ocurre en t = a > 0) El factor e -as que aparece en la transformada, se llama factor de retardo

Ejemplo 10: Calcular

g(t ) siendo g(t)  

 0

t1

 (t 1)

3

3

t1

Es g(t) = f(t-1)·u(t-1) con f(t) = t Por tanto:

g(t)  es

t 3  ess4 3! ,

s0

c) Cambio de escala Si f  A y

En efecto:

[f(t) = F(s), (s > ), entonces

f

 st

at   0 e

f (at ) d t

[f(at) = 1 F  s   , s > a a  a (at  x) 1 a

s

 x 0 e a

f ( x) d x 

1  s F a  a

9

6. TRANSFORMADA DE DERIVADAS E INTEGRALES a) Transformada de derivadas

Sea f(t) continua en (0,) y de orden exponencial  y sea f´ seccionalmente continua en [0,). Entonces [f´(t) = s F(s) - f(0+), (s > ) S.D.

Si se cumplen las condiciones anteriores, salvo que f(t) tiene discontinuidad por salto

en t = a > 0 , entonces : [ f´(t) = s F(s) - f(0+) - e-as [f(a+)-f(a-) Análogo si existen varias discontinuidades por salto. S.D. Si f, f’ , ... , f(n-1) son continuas en (0,) y de orden exponencial  y f(n) es seccionalmente continua en [0,), entonces : [f(n) (t)] (s) = sn F(s) - sn-1 f(0+) - sn-2 f’(0+) - ··· - f(n-1) (0+) , (s > ) Así para n = 2 [f’’ (t)] = s 1Þ

[f’] - f’ (0+) = s [ s F(s) - f (0+)] - f’(0+)



[f’’ (t)] = s2 F(s) - s f (0+) - f’(0+).

En general, inducción. Aquí se intuye la utilidad de la transformada de Laplace para resolver problemas de valor inicial. Se reemplaza la “derivación respecto a t “, por “multiplicación por s”, transformándose una ecuación diferencial con coeficientes constantes, en una algebraica.

1 0

senat,usando laexpresion para f

Ejemplo 11: Calcular

f  (t) = - a2 sen at, f(0) = 0, f  (0) = a

Para f(t) = sen at es : f  (t) = a cos t,

 

Luego f  =   

2

s

L a 2 s i n ata 2 Ls i n at  2 2 Ls i n at  a Lf  sf (0)  f (0)  s

Ls i n at  s 2 Ls i n at a .

Por tanto :

a

Es decir :

Ls i n at  s

a 2

a2

b) Transformada de integrales

Si f  A, entonces  







F( s)

t

0f



a

f ( x) dx

t



(x) dx

s F(s) s

1 a  0 f ( x)dx s

Demostración para el caso particular en que f sea continua en 0,): Sea

0

t

f ( x) dx  g(t) . Entonces : g(t) 

[0,).

f (t ) , g(0) = 0 y   f (t )  F(s)

g(t ) 

Luego

g(t)

continua



 s G(s)  0

Por tanto: G(s) =



t 0



f ( x) d x 

F(s) s

c.q.d. F( s)

También:



a

t

 

f (x) d x 

0

t

 

f ( x)dx 

0

a



f ( x)dx 

s

1 s 0 f ( x)dx a

7. MULTIPLICACIÓN POR tn Y DIVISIÓN POR t a) Multiplicación por tn n

Si f  A y (s > ),

 f t   F(s)

(s > ), entonces

t n f (t ) ( 1)n

d

d sn

F(s)

en

11

Por ser f  A, puede mostrarse que es aplicable la regla de Leibniz en lo que sigue: dF

d

d s d s

T. Leibniz



0 est

d







0d s est

f (t ) d t

f (t ) d t 0 est tf (t) d t 

t f (t )

Por inducción se muestra la fórmula general para la derivada n-ésima. Calcular [t sen at y

Ejemplo 12: d

sen at 

t senat   d s d

d

a

t cos at   d s

2as

 2 2 2

d s s 2  a2 d

cos at  

[t cos at

 s a 2 2 s a

s

d s s2  a 2

, s0

s  a  2



2

2,

s0

b) División por t

f

Si f  A y

 f (t ) 

t  F( s) , entonces 





t 







s

F(u) d u

, si existe

lim f (t ) finito t 0 t

En efecto: f (t ) . Entonces: f(t) = t·g(t). t

Sea g (t) = G(s) = 

s

a

F(u) d u . Como según veremos es lim G(s)  0 , resulta : s



G(s) 

a



Es

x

e

0

x







F(u) d u  s F(u) d u  s F(u) d u

Ejemplo 13: Calcular

t1

Luego F(s) =  d G(s) , de donde ds







0

t1e

x

 d x

x



t

1  1e  1 dx    s  t  s



s

1 et d s 

c.q.d.

12

1 =

s



 

s

1 

1 

 s s

1

s

ln s  1 



1 s

ln

s 1 s

,

s>0

s



Calcular I  0 cos 6t  cos4t d t

Ejemplo 14: t





 cos 6t cos 4t  t Es I =    

0





d s 



=



s 

1

  s



s 2



 36 s

0

s 0



2



s

cos4t ds 

cos 6t

1 s  36  d s  ln 2

2  16



2 s

 16

0

1 36 1  6  ln  ln  2 16

8. COMPORTAMIENTO DE F(s) EN s = 0 Y s =  (Tan sólo enunciados)

a) Comportamiento de F(s) cuando s  Si f(t)  A, entonces: lim F( s)  0 s

b) Teorema de valor inicial o primer teorema tauberiano Si f(t)  A, entonces: lim s F( s)  lim f (t) , si existen estos límites s



t0

c) Teorema de valor final o segundo teorema tauberiano Si f(t)  A, entonces:

lim s F(s)  lim f (t ) si existen finitos estos s 0

límites

t 

2 

4 

2

 ln

2 3

13

f(t )

Ejemplo 15: Comprobar el teorema de valor inicial para la función = 3 - 2 cos t [3-2cos t = 3  2s 2 s s 1

Es F(s) =

lim s F( s)  1 , lim f (t )  1 t 0

s

9. TRANSFORMADAS DE LAPLACE DE FUNCIONES ESPECIALES a) Transformada de funciones periódicas T st

Si f  A y es periódica con periodo T, entonces:

 f (t ) 



 f (t )  0 e

f (t ) d t   nT

(t  x  nT)

s( x nT )



En efecto :

st

(n1) T

0 e

f (t ) d t sT

1 e



f (t ) d t  In

st

e

n 0

0

Es: (n 1)T

nT

In

st

e

f (t) d t

T

0 e

snT

0

f (x  nT) d x  e

T sx 0

 Ejemplo 16:

 f (t )  1  esT  e2sT  ... 0T esx Hallar

 f (t ) siendo f (t )   

f ( x) d x 

1 0t1

0

1t2

Es: T = 2

0

T st

e

1 st

f (t ) d t  0 e

2 st

f (t) d t  1 e 1 e

=

est 

s



1





0

1 e Luego:

 f (t ) 

s

0 d t 



s

s 

1

T

 e



s s

s 1 e



e

e

sx

f ( x) d x f ( x) d x

1 e

sT

y con periodo 2

c.q.d.

s(1  e

2s



) s 1 e

s

 1 4

Puede hacerse de otro modo , expresado f(t) en términos de la función escalón. Evidentemente es : f(t) = u(t) - u(t-1) + u(t-2) - u(t - 3) + ... , t > 0

e as Como u(t  a)  s

(s  0) , resulta :

1

 f (t )  s 1  e

s

e

2s

e

3s

 ...

1



1

s 1e

s

b) Función escalón unitario Ya se definió la función escalón unitario ( o función de Heaviside) como :  0 t0

u(t )  



1

 0 ta

u(t  a)

ó



t0

También se estableció que :

u(t)  1 s

y

(a > 0)



1

ta

u(t  a)  e as s

La función escalón, junto con la segunda propiedad de traslación o desplazamiento, son muy útiles en el tratamiento de funciones seccionalmente continuas.

Ejemplo 17: Hallar

 f (t ) , siendo

 3

t2

f (t)   1







2t5 2 5t

Es f(t) = 3 u(t) - 4 u(t - 2) + 3 u(t - 5) Luego

Ejemplo 18: Hallar



1 2s 5s F( s)  s 3  4 e  3e



g(t)u(ta)

Por la propiedad segunda de traslación es:

f(ta)u(ta)eas f

(t).En el caso del ejemplo, la f(t) tal que g (t) = f (t-a) es f(t) = g(t + a).

Por tanto :

g(t ) u(t  a)  eas g(t  a)

1 5

c) Funciones impulso y función  (t) de Dirac  Se entiende por función impulso I  (t) 

1 

0  t 

la I (t)  

t   0 Puede servir de modelo para representar una fuerza 1 o excitación de magnitud constante  , ,que actúa

sobre un sistema durante un tiempo , desde t = 0 , proporcionando al sistema un impulso total 

unitario 0 I  (t) d t  1









Se verifica : 

1

 0 I  (t ) d t  0  d t  1

1





I  (t )  0 e

st



1 e st  d t  s  





1  e s  s





0

 En la función impulso anterior, haciendo disminuir el tiempo  durante el que actúa la fuerza

1 o excitación  , puede considerarse la situación que se produce cuando la fuerza imparte un

impulso unitario al sistema, en un tiempo arbitrariamente pequeño, a partir de t = 0, lo que podría designarse como impulso unitario instantáneo en t = 0 . (El impulso podría no ser unitario y en otro instante t = a) Se utiliza esta idea en sistemas mecánicos, circuitos eléctricos, etc. Por ejemplo, el golpe de un martillo, o una carga concentrada en un punto de una viga. Para estos casos de fuerzas violentas de corta duración, o sobre una pequeña sección, suele usarse la llamada función delta de Dirac (t) o función impulso unitario instantáneo en t = 0. Es una función ficticia, aproximada por I  (t ) cuando  0+. lim I  (t )

No puede hablarse de

0

 lim

0

0

(t ) d t  1 y

I

lim





I  (t )

0

pues no existe dicho limite, pero aprovechando que 

s

1e 0

medio de :  0

t 0



s e s   lim

lim

s

0

 1 , se describe (t) por

s

(t )  

; 

 t0

 (t) d t  1 ,

(t )  1 1 6

Nota: n Para establecer la (t), suele partirse de la n ( x)   enx2 , para la cual también  



(x) d x  1

Literalmente, no tiene sentido lo anterior, pues si una función es nula en todos los puntos, menos en uno, su integral en (-, ) es nula. No es por tanto (t) una función en el sentido habitual. Es un caso particular de lo que en la matemática se conoce como una función generalizada o distribución. Sin embargo la descripción de (t) que se ha hecho en el recuadro ultimo, sugiere bien la idea de la situación limite de I  (t) . Además, tras las justificaciones matemáticas mostradas por Laurent Schwartz, puede operarse con (t) en varias cuestiones sobre integrales y sobre transformadas de Laplace, de manera análoga a lo establecido para las funciones de la familia

A. También puede usarse en forma análoga la (t-a) para describir un impulso unitario instantáneo en t = a.

Es :

(t  a)  

 0 ta t  a 

;



;

 (t  a) d t  1

(t  a)  eas

Se verifica también :







Y

Nota

(t  a) f (t ) d t  f (a) si f (t) es continua en

t int ervalo que contenga a a

t

  (x  a) d x  u(t  a)

Se observa que

(t )  1

(t )  1  0 cumple que lim s

No contradice la propiedad lim F(s)  0 , pues (t)  A. s

17