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• Erick Peña

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Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal L de V en W es una función que asigna a cada vector u en V un único vector L(u) en W tal que: (a) L(u + v) = L(u)+ L(v) cualesquiera sean u y v en V. (b) L(ku) = kL(u), para cada u en V y cada escalar k.

𝐸𝑛 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐿: 𝑉 → 𝑊 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑉 𝑒𝑛 𝑊 𝑆𝑖 𝐿 𝑎𝑢 + 𝑏𝑣 = 𝑎𝐿 𝑢 + 𝑏𝐿 𝑣 ∀𝑢, 𝑣 𝜖 𝑉, ∀𝑎, 𝑏 𝜖 𝑅 Observación: L : V → W. Dom(L)=V , Imagen(L) ={L(x)/xϵV}, Imagen(L)⊂ W Cuando V y W son iguales, en este caso la transformación lineal L : V →V también se denomina operador lineal sobre V.

𝐷 𝑠𝑒𝑛(𝑡) = cos(𝑡) 𝐷 𝑡𝑔(𝑡) = sec 2 (𝑡) 𝐷 2𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 3𝑡𝑔(𝑡) = 2 cos 𝑡 + 3 sec 2 𝑡 = 2𝐿 𝑠𝑒𝑛 𝑡 + 3𝐿 𝑡𝑔(𝑡) 𝑑 𝐷 𝑎 𝑓 𝑡 + 𝑏 𝑔(𝑡) = 𝑎 𝑓 𝑡 + 𝑏 𝑔(𝑡) = 𝑎 𝑓′ 𝑡 + 𝑏 𝑔′(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎 𝐷(𝑓 𝑡 ) + 𝑏 𝐷(𝑔 𝑡 ) 𝐷: 𝐸𝑆 𝑈𝑁𝐴 𝑡𝑅𝐴𝑁𝑆𝐹𝑂𝑅𝑀𝐴𝐶𝐼Ó𝑁 𝐿𝐼𝑁𝐸𝐴𝐿

1

𝐿 𝑎 𝑓 𝑡 + 𝑏 𝑔(𝑡) =

1

𝑎 𝑓 𝑡 + 𝑏 𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 = 𝑎 0

= 𝑎𝐿(𝑓) + 𝑏𝐿(𝑔)

1

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 + 𝑏 0

𝑔(𝑡) 𝑑𝑡 0

𝑐1 𝑤1 + 𝑐2 𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑤𝑛 𝐿 𝑤1 = 𝑤1

𝑆

𝑆

= 𝑐1 𝑤1

𝐿 𝑤2 = 𝑤2

𝑆

𝑆

+ 𝑐2 𝑤2

……

𝑆

+…+𝑐𝑛 𝑤𝑛

𝐿 𝑤𝑛 = 𝑤𝑛

𝐿 𝑐1 𝑤1 + 𝑐2 𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑤𝑛 = 𝑐1 𝑤1 + 𝑐2 𝑤2 + ⋯ + 𝑐𝑛 𝑤𝑛

𝑆

𝑆 𝑆

= 𝑐1 𝑤1 𝑆 + 𝑐2 𝑤2 𝑆 +…+𝑐𝑛 𝑤𝑛 = 𝑐1 𝐿 𝑤1 + 𝑐2 𝐿 𝑤2 +…+𝐿 𝑤𝑛

𝑆

Ejercicio Sea 𝑅 la región triangular del plano 𝑋𝑌 limitado por 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, Transformar R con la transformación lineal T(x,y)=(x+y,x-y) 𝑆𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖ó𝑛: 𝑦

𝑦 = 0 → 𝑢 = 𝑥, 𝑣 = 𝑥 → 𝑣 = 𝑢 𝑥 = 0 → 𝑢 = 𝑦, 𝑣 = −𝑦 → 𝑣 = −𝑢

𝑣 𝑥=0

𝑅

𝑥+𝑦 =1

𝑦=0

𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦 𝑇 𝑅 =𝑊 𝑥

𝑦=0 𝑣=𝑢 𝑊 = 𝑇(𝑅)

𝑢 =𝑥+𝑦 𝑣 =𝑥−𝑦

𝑇 𝑥, 𝑦 = 𝑢, 𝑣 = (𝑥 + 𝑦, 𝑥 − 𝑦)

𝑢

𝑢 = 1 (𝑥 + 𝑦 = 1)

𝑣 = −𝑢 𝑥=0

Sea 𝑅 la región triangular del plano 𝑋𝑌 limitado por 𝑥 = 0, 𝑦 = 0, 𝑥 + 𝑦 = 1, encontrar el valor de 𝑥−𝑦 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝑦

𝑥=0

𝑥+𝑦 =1

𝑦=0

𝑢 =𝑥+𝑦 𝑣 =𝑥−𝑦

𝑥

𝑥𝑢 𝐽= 𝑦 𝑢

𝑥𝑣 𝑦𝑣

𝑢𝑥 𝐽= 𝑣 𝑥

𝑢𝑦 𝑣𝑦

1 1 𝐽= 1 −1 𝐽 = −2 1 𝐽 = 2

𝑦 = 0 → 𝑢 = 𝑥, 𝑣 = 𝑥 → 𝑣 = 𝑢 𝑥 = 0 → 𝑢 = 𝑦, 𝑣 = −𝑦 → 𝑣 = −𝑢 𝑣 −1

𝑦=0 𝑣=𝑢

−1

𝑢 𝑢 = 1 (𝑥 + 𝑦 = 1)

−1

𝑣 = −𝑢 𝑥=0

𝑣

1

𝐼= 𝑢 =𝑥+𝑦 𝑣 =𝑥−𝑦

𝑣=𝑢 1

𝑢

𝑢 = 1 (𝑥 + 𝑦 = 1) 𝑣 = −𝑢 𝑥−𝑦 𝑒 𝑥+𝑦 𝑑𝑦𝑑𝑥

𝐼= 1

𝑢

𝐼= 0

−𝑢

𝑢

𝑣 𝑒𝑢

𝐽 𝑑𝑣𝑑𝑢

0

1 𝐼= 2 1 𝐼= 2

1

𝑣 𝑒𝑢

−𝑢 1 0

𝑢

1 𝑑𝑣𝑑𝑢 2

𝑣 𝑒𝑢

𝑑𝑣𝑑𝑢

−𝑢

𝑣 𝑣=𝑢 𝑢𝑒 𝑢 𝑣=−𝑢 𝑑𝑢

0

𝑒 − 𝑒 −1 𝐼= 2

1

0

1 = 2

𝑢𝑒 − 𝑢𝑒 −1 𝑑𝑢 0

𝑒 − 𝑒 −1 𝑢 2 𝑢𝑑𝑢 = 2 2

𝑒 − 𝑒 −1 1 𝐼= −0 2 2

𝑅𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎:

1

𝑒 − 𝑒 −1 𝐼= 4

𝑢=1

𝑢=0

EL NÚCLEO Y LA IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL

𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑆𝑒𝑎 𝐿 𝑢𝑛𝑎 𝑇. 𝐿. 𝑇: 𝑉 → 𝑊 𝑦 𝐵𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝐿 𝑒𝑠 𝑏𝑖𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑠𝑖: 𝑆𝑖 𝐿 𝑒𝑠 1 𝑎 1 𝐿 𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑆𝑖 𝐿 𝑒𝑠 𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑦𝑒𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 (𝑇 𝑉 = 𝑊) 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑎 𝐹𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝐼𝑛𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐿, 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑠𝑢 𝑣𝑒𝑧 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙

Sea L(x, y, z) = (x, y). Hallar el núcleo de L El núcleo(L) consta de todos los vectores x en R2 tales que L(x) = 0. En consecuencia, debemos resolver el sistema lineal x+y=0 x−y=0 La única solución es x=(x,y) =0, de modo que núcleo(L) = {(0,0,z), z pertenece a R}. El núcleo es el eje z

𝑦 = −𝑥 , 𝑤 = −𝑧 𝑥 𝑥 1 𝑦 −𝑥 −1 = =𝑥 +𝑧 𝑧 𝑧 0 𝑤 −𝑧 0

0 0 1 −1

𝑁𝑜𝑡𝑎:

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐿 = dim(𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝐿 ) 𝑁𝑢𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐿 = dim(𝐾𝑒𝑟𝑛𝑒𝑙 𝐿 )

entonces una base para núcleo(L) consta de los vectores (Ver el ejemplo 5)

La transformación lineal del ejemplo 2 no lo es.

Para determinar si L es sobre,

𝑃𝑜𝑟 𝑒𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑤 = 1 , 𝑎 = 𝑏 = 𝑐 = 1 → 𝑐 − 𝑏 − 𝑎 = 1 − 1 − 1 = −1 ≠ 0 1

𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑂. 𝐸. 𝐹. 𝑎 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝐴 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟: 1 0 1 𝐴= 1 1 2 2 1 3 1 0 𝐴= 1 1 2 1

1 𝑓2 = 𝑓2 − 𝑓1 1 0 2 ~ 0 1 𝑓3 = 𝑓3 − 2𝑓1 3 0 1

1 1 0 1 1 ~𝑓3 = 𝑓3 − 𝑓2 0 1 1 1 0 0 0

𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 1𝑟𝑎. 𝑦 2𝑑𝑎. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝐿 𝑒𝑠: 1 0 1 , 1 2 1 dim(𝑖𝑚𝑔(𝐿)) = 2

1 1 0 𝐿(𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 , 𝑎4 ) = 0 0 1 1 0 1

𝑎1 0 𝑎 2 1 𝑎 3 0 𝑎 4

1 𝑆𝑒𝑎 𝐴 = 0 1

1 0 0 1 𝐴~𝑓2 ↔ 𝑓3 0 0

0 0 1 1 0 0 1 1 ~𝑓3 = 𝑓3 − 𝑓1 0 0 1 1 1 0 0 −1 1 0 1 0 0 −1 1 0 → 𝐿𝑜𝑠 𝑝𝑖𝑣𝑜𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑙𝑎 1𝑟𝑎. , 2𝑑𝑎. 𝑦 3𝑟𝑎. 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 0 1 1 1 1 0 𝑃𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑠𝑒 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐼𝑚𝑔 𝐿 𝑒𝑠: 0 , 0 , 1 1

0

1

Ejemplo En el ejemplo 11

en el cual nulidad(L) = 1, rango(L) = 2 y dim(dominio(L)) = 3, se cumple que

dim 𝐾𝑒𝑟𝑛𝑒𝑙 𝐿

+ dim 𝐼𝑚𝑔 𝐿

= dim(𝐷𝑜𝑚 𝐿 )

Esto indica que la imagen de la transformación L es un plano que pasa por el origen. 𝑁𝑢𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐿 = dim 𝐾𝑒𝑟𝑛𝑒𝑙 𝐿

𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐿 = dim 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝐿 dim 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐿

=1

=2

=3

1+2=3

dim 𝐾𝑒𝑟𝑛𝑒𝑙 𝐿

+ dim 𝐼𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝐿

= dim 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐿

𝑁𝑢𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝐿 + 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 𝐿 = dim 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 𝐿