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Transformaciones lineales

PROFESOR: PUGA GONZALEZ OSMANI ALUMNO: CHAPA GARCIA EDGAR G 3RO “B” ING. ADMINISTRACION N° control: 12040076

INTRODUCCION

Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber, sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. Estas funciones se llamaran transformaciones lineales y en el presente capitulo las estudiaremos. Más adelante mostraremos que las transformaciones lineales se pueden representar en términos de matrices, y viceversa. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Las transformaciones lineales ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de las matemáticas, tienen una gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

Transformaciones lineales

Transformación lineal se le denomina así a toda aplicación cuyo dominio y codominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición: Sean de

y en

espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo

es una transformación lineal si para todo par de vectores

para todo escalar

, se satisface que:

Demuestre que la transformación T : R2 →R2 definida por

es lineal.

Entonces:

. Una aplicación y

Por otro lado, para todo escalar c,

Como se cumplen las dos condiciones:

T es lineal.

La matriz de una transformación lineal Definición: Matriz representativa de una transformación lineal. Sean V y V′ dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean

bases de V y V′ respectivamente. Sea T una transformación lineal de V a V. La matriz representativa de la transformación lineal T, respecto a las bases BV y BV′ es la matriz de m filas y n columnas en la cual, los elementos de la j-ésima columna son las coordenadas de T(~vj ) respecto a la base BV′ . De manera más específica, si

Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal T , respecto a las bases BV y BV′ , denotada por MT , está dada por

Nota Importante: Si T una transformación lineal transforma o mapea un espacio vectorial V en si mismo, es decir T: V → V Entonces, es posible emplear la misma base para ambas tareas: Determinar la imagen de los elementos de la base bajo la transformación y determinar los vectores coordenados de la imagen. Esta selección es 1 la estándar excepto con las matrices de transición.

SUMA POR ESCALAR DE MATRICES REPRESENTATIVAS En esta sección mostraremos que la suma de las matrices representativas de dos transformaciones lineales respecto a bases de los respectivos espacios vectoriales es igual a la matriz representativa de la suma de las transformaciones lineales respecto a las mismas bases. De manera semejante, la multiplicación por escalar de la matriz representativa de una transformación lineal respecto a bases de los respectivos espacios vectoriales es igual a la matriz representativa de la multiplicación por escalar de la transformación lineal respecto a las mismas bases. El objetivo final es mostrar que el espacio de transformaciones lineales de un espacio vectorial a otro es isomórfico al espacio de matrices representativas.

Suponga que V y V′ son dos espacios vectoriales finito dimensionales y sean y bases de V y V′ respectivamente. Suponga dos transformaciones lineales S y T del espacio vectorial V al espacio vectorial V′ tales que sus matrices representativas respecto

a

las

bases

BV

y

BV′

están

dadas,

respectivamente,

por

Entonces, la matriz representativa de la transformación lineal S + T del espacio vectorial V al espacio vectorial V′ está dada por

APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES (Reflexión, expansión, contracción y rotación) Graficar un conjunto de puntos en otro es lo que se conoce como transformación lineal de un conjunto de puntos. Existen ciertas propiedades básicas de las transformaciones lineales, las cuales si son tomadas en cuenta y aplicadas al momento de resolver un problema, pueden reducirlo un problema simple. La notación general utilizada para una transformación lineal es T: Rn  Rm.

1. Reflexión: Cuando un conjunto de puntos dados es graficado desde el espacio euclidiano de entrada a otro de manera tal que este es isométrico al espacio euclidiano de entrada, llamamos a la operación realizada la reflexión del conjunto de puntos dado. Esto puede realizarse también con respecto a la matriz, en tal situación la matriz de salida es llamada la matriz de reflexión. La reflexión es realizada siempre con respecto a uno de los ejes, sea el eje x o el eje y. Esto es como producir la imagen espejo de la matriz actual.

2. Expansión: Al igual que en la reflexión, también es posible expandir los puntos dados en una dirección particular. La expansión se realiza habitualmente para un cierto grado. Es como realizar una operación de multiplicación de los elementos del conjunto de puntos dados con un término escalar hacia la dirección donde tiene que ser expandido. Sea para un punto (2, 3) si el grado de expansión 2 es la dirección de y, entonces el nuevo punto obtenido es (2, 6).

3. Contracción: La contracción es el procedimiento inverso de la expansión. Aquí el punto es contraído en un determinado grado hacia una dirección dada. Sea el punto de entrada (4, 8) y este debe ser contraído para el grado dos en la dirección de x entonces el nuevo punto resulta ser (2, 8).

4. Rotación: El término rotación tiene dos significados, ya la rotación de un objeto puede ser realizada con respecto al eje dado o al eje mismo. La rotación se realiza para un cierto grado el cual es expresado en forma de un ángulo. Asimismo, la rotación puede realizarse en la dirección de las manecillas del reloj, o inverso a las manecillas del reloj.

IMPORTANCIA DE LAS T.L El uso general es, justamente, el cambio de base. Aplicaciones "reales" hay muchas. En finanzas, por ejemplo, usas TL para convertir de un conjunto de activos a otro. Se usan en análisis multivariado, para determinar matrices de covarianza, para generar números aleatorios multivariados. Se usan en dibujos o gráficas, para cambiar el punto de vista (en los videojuegos, cuando ves que cambia el punto de vista del escenario, lo que hace el programa es aplicar una TL de rotación.

CONCLUSION

EJEMPLO DE UNA MATRIZ CON T.L.

Si se tiene una transformación

De la misma forma que se realizó la representación matricial de R 3 a R4, a partir del resultado se obtiene la matriz de transformación, solo que en este caso no se aumenta el número de vectores solo se transforman los tres originales a tres nuevos.

EJEMPLO DE LA REFLEXIÓN, EXPANSIÓN, CONTRACCIÓN Y ROTACION El primer paso para esto es determinar los vectores base.

Por lo tanto, podes afirmar que,

R2 es una transformación lineal, entonces podemos escribir que dado que y pertenece a R2 imagina que A: R2.

La imagen de la matriz base determina la imagen de cualquier elemento. Por lo tanto la imagen de a través de y = (−2x/ 3) es determinada mediante la obtención de una recta que pasa por (1, 0) y es que es ortogonal a. Esto está dado por y = (3x/ 2) – (3/ 2). El punto donde las dos rectas, esto es, y = (3x/ 2) – (3/ 2) e y = (−2x/ 3) se intersectan se dado como (9/13, −6/13). Tomamos p¬1¬ para ser el punto de reflexión de a través de la recta dada. Este punto es simétrico respecto a (9/13, −6/13) por lo tanto, podemos escribir que,

Esto produce, De manera similar, la imagen del vector base resulta

y tenemos la matriz de transformación lineal final como,

Ejemplo de reflexión en T.L.

MATRICES ELEMENTALES EN TRANSFORMACIONES LIENALES EN EL PLANO-REFLEXION

MATRICES ELEMENTALES EN TRANSFORMACIONES LIENALES EN EL PLANO-ROTACION

MATRICES ELEMENTALES EN TRANSFORMACIONES LIENALES EN EL PLANO-DILATACION Y CONTRACCION

EN RESUMEN: REFLEXION.- TRNSFORMA UN VECTOR (O UN PUNTO) EN SU IMAGEN SIMETRICA. ROTACION.-GIRA UN VECTOR HASTA DESCUBRIR UN ANGULO FIJO. CONTRACCIONES.-COMPRIMEN CADA VECTOR POR UN FACTOR K. DILATACIONES.- ESTIRAN CADA VECTOR POR UN FACTOR K.

FUENTES

TRANSFORMACIONES LINEALES https://es.wikipedia.org/wiki/Aplicaci%C3%B3n_lineal MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL http://www.ingenierias.ugto.mx/profesores/chema/documentos/Algebra %20Lineal/Algebra_Lineal_16.pdf APLICACIÓN DE LAS TRANSFORMACIONES DILATACIÓN. CONTRACCIÓN Y ROTACIÓN)

LINEALES

(REFLEXIÓN,

http://mitecnologico.com/igestion/Main/AplicacionDeLasTransformacionesLi neales#sthash.N4NG8xIJ.dpuf https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5--transformaciones-lineales/5-4-aplicacion-de-las-transformaciones-lineales

EJEMPLOS http://www.dcb.unam.mx/users/normapla/TranformacionesLineales.pdf

IMPORTANCIA DE LAS T.L. https://mx.answers.yahoo.com/question/index? qid=20080103172956AA97qhD