• Author / Uploaded
• nicolle l

Citation preview

TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES Definición: Sean V y W espacios vectoriales. Una transformación lineal L de V en W, se denota L: V  W, es una función que asigna a cada vector u en V un único vector L(u) en W tal que : a. L (u + v)= L(u) + L(v) para todo u y v en V. b. L (ku)= kL(u) para todo u en V y k en R. En el caso en que V y W sean iguales, la transformación lineal L: V se denomina operador lineal sobre V. Ejemplo 1: Sea L: M 22  P1 tal que



V,

L a b    a  2d  t  b  c  .   c d  

Verifique si L es una transformación lineal. Solución: Observe que L es una función que asigna a cada matriz ac db  en M 2 2 un   único polinomio en P1 , o ¿hay alguna matriz que se quede sin polinômio?, pues por la forma en que está dada la regla L ac db    a  2d  t  b  c  , no.   Se debe comprobar que para todo ac db  y  e f  en M 2 2 y r  R ,   g h  a. L ac db    e f    L ac db    L  e f   .  g h       g h   Para hacer la comprobación, se puede calcular el lado izquierdo, después el derecho y por último ver que son iguales. Lado izquierdo:  L a   c  L a   c

b    e f    L  a  e  d   g h    c  g b    e f    L  a  e  d   g h    c  g

b  f    ( a  e )  2( d  h )t  ( b  f )  ( c  g ) d  h  

b  f    a  e  2d  2h t  b  f  c  g  d  h  

Lado derecho:  e f  L a b    L    a  2d t  b  c   e  2h t   f  g    c d     g h  

sumando términos semejantes se tiene L a   c L a   c

b    L  e f    a  2d  e  2h t  b  c  f  g    d     g h   b    L  e f    a  e  2d  2h t  b  f  c  g    d     g h  

Observe que son iguales. b. L r ac db    rL ac db        Se puede hacer la comprobación de la misma forma en que se realizó el literal (a), comparando los dos lados, o del lado izquierdo pasar directamente al derecho, así: L r a b    L ra rb    ra  2 rd t  rb  rc   r a  2 d t  r b  c     c d     rc rd   ra  2d t  b  c   rL ac db      

Por tanto L: M 22  P1 definida por L ac db    a  2d  t  b  c  es una   transformación lineal. Ejemplos de transformaciones lineales: Proyección: Reflexión:

L: R3 L: R2

Dilatación: L: R3





Contracción: L: R3 Rotación: L: R2





R2 tal que L(x, y, z) = (x, y).

R2 tal que L(x, y) = (x, -y).

R3 tal que L(u) = ru, r >1. 

R3 tal que L(u) = ru, 0< r < 1.

cos φ  senφ R2 tal que L(u) =   u.  senφ

Inclinación (corte) en dirección x: L: R2

cos φ 



R2 tal que L(u) = 01 k1  u,  



R2 tal que L(u) = k1 01 u,  

donde k es un escalar. Inclinación (corte) en dirección y: L: R2 donde k es un escalar. Ejercicios 1: Verifique, en cada caso, si es una transformación lineal.





 a. Sea L: P2  R3 tal que L at 2  bt  c   b , a c ,

a   . bc  b. Sea L: R2  P1 tal que La ,b   a  2b  t  b  2a  .





c. Sea L: P2  M 2 2 tal que L at 2  bt  c  aa aa  .    2a

b  2c 

 3a

2b 

d. L: R 3  M 32 tal que La ,b ,c   a  2b c  a 

Teorema: Si L: V  W es una transformación lineal, entonces L (c1v1 + c2v2 + …+ ckvk)= c1L(v1) + c2L(v2) + … + ckL(vk) Para cualesquiera vectores v1, v2 , …, vk en V, y cualesquiera escalares c1, c2 , … , ck. Teorema: Sea L: V  W una transformación lineal. Entonces (a) L (0V)= 0W , donde 0V es el neutro en V y 0w es el neutro en W. (b) L (u - v)= L(u) - L(v) para todo u y v en V. Corolario: Sea T: V  W una función. Si T(0V)  0W, entonces T no es una transformación lineal.





Ejemplo 2: Sea L: P2  R2 tal que L at 2  bt  c  a  1,b  c  . Compruebe si L es una transformación lineal. Solución: No es una transformación lineal porque





L 0t 2  0t  0  1,0   0 ,0 

Ejemplo 3: Sea L: M 22  R2 tal que L ac db    ab , d  c  . Compruebe   si L es una transformación lineal. Solución: L 00 00    0 ,0  no garantiza que sea una transformación lineal,   por eso hay que hacerlo desde la definición o a través de ejemplo cuando sospeche que no es una transformación lineal, porque está asociado con la forma lineal de las ecuaciones lineales, una variable solo debe estar acompañada de un número, no de otra variable, ni con exponentes distintos de 1. Verifiquemos que la condición del literal (a), que la imagen de una suma no es la suma de las imágenes, es decir que e f    a b  e f  L a b      L  c d    L    c d   g h       g h     

Lado izquierdo:   a  e b  f   e f  L a b      L    ( a  e )( b  f ),( d  h )  ( c  g )  c d   g h      c  g d  h  

 ab  af  eb  ef , d  h  c  g 

Lado derecho:  e f  L a b    L    ab, d  c   ef , h  g   ab  ef , d  c  h  g  c d       g h  

El lado izquierdo no es igual al derecho por tanto no es una transformación lineal. Teorema: Sea L: V  W una transformación lineal de un espacio vectorial V de dimensión n en un espacio vectorial W. Además, sea S={v1, v2, …, vn} es una base de V. Si u es cualquier vector en V, entonces L(u) queda completamente determinado por {L(v1) , L(v2) , … , L(vn)}. Ejemplo 4: Sea L: M 22  R2 tal que L 11 01   4 ,3 , L 01    L 1 0    1,1 y L 0  1 1   1 1 Solución: Como  1

1    2 , 2  , 1  1 1 1 1 , , 0 0 1 1 a

1   2 ,  1 , 1 

halle L ac db     0 , 1

0 1  1 1  es uma base para M 22 ,  

b

cualquier matriz de M 22 ,   se puede escribir y de forma única como c d  uma combinación lineal de los elementos de la base. a b  1 1 1 1 1 0 0 1  c d   c1 1 0  c2 0 1  c3 1 1  c4 1 1 , multiplicando por un escalar,           sumando matrices e igualando por entradas se obtiene que (por favor sino lo entiende, hágalo paso por paso): c1  c2  c3  a c1  c2  c4  b c1  c3  c4  c c2  c3  c4  d 1  1 La matriz aumentada es  1  0 obtiene:

1 1 0 a  1 0 1 b y al resolverla empleado Gauss-Jordan se 0 1 1 c  1 1 1 d 

a  b  c  2d 3 a  b  2c  d c2  3 a  2b  c  d c3  3  2a  b  c  d c4  3 Así: 1 1 ab 2cd 1 1 a2bcd 1 0  3 0 1  3     c1 

a b  c d    

1 0 2 abcd 0 1 3 1 1  1 1     Como L es uma transformación lineal, entonces L a b     c d    a b   abc2 d  1 1  ab 2cd  1 1  a2bcd  1 0  2 abcd L  3    3 L 1 0   3 L 0 1   3 L  1 1       c d      a b  c  2 d 3

 0 1  L     1 1 

 ab3c2 d 4, 3  ab 23cd 2,  1  a2b3cd 1,1  2 ab3cd  2, 2 Multiplicando por un escalar y sumando vectores se tiene que   a b    a  b  c  2d a  b  c  2d  L  ,      c d 3 3    

Ejercicio 2: Sea L: R 3  P1 tal que L1,2 ,1  2t  1 , L2 ,1,1  3t  2 y L1,1,2   t  1 , halle L x , y , z 

Ejercicio 3: Sea L:







P2  M 23





tal que





1 2 3 , L 3t 2  2t  1     2 1 4 

 1 1 2 y L t 2  1  2 0 0  , halle L at 2  bt  c L 2t 2  t    1  2 0  2 3 1  



EL NÚCLEO E IMAGEN DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Definición: Una transformación lineal L: V  W es uno a uno (o inyectiva) si para todo v1, v2 en V, v1  v2 implica que L(v1)  L(v2). Una afirmación equivalente es que L es uno a uno si para toda v1, v2 en V, L(v1) = L(v2) implica que v1=v2. Definición: Sea L: V  W una transformación lineal. El núcleo (o Kernel) de L, se denota núcleo(L) (o ker(L)), es el subconjunto de V que consta de todos los vectores v tales que L(v)=0W. Teorema: Si L: V  W una transformación lineal, entonces núcleo(L) es un subespacio de V. A la dimensión de núcleo(L) se llama nulidad(L).

Teorema: Una transformación lineal L: V núcleo(L)={0V}.



W es uno a uno si y solo si

Corolario: Si L(x)=b y L(y)=b, entonces x – y pertenecen a núcleo(L). En otras palabra, cualquier dos soluciones de L(x)=b difieren por un elemento del núcleo de L. Definición: Si L: V  W una transformación lineal, la imagen de L, que se denota imag(L), es el conjunto de vectores en W que son imágenes, bajo L, de vectores en V. En consecuencia, un vector w esta en imag(L) si existe v en V tal que L(v)=w. Si imag(L)=W, se dice que L es sobre. Esto es, L es sobre si y solo si, dado cualquier w en W, existe v en V tal que L(v)=w. Teorema: Si L: V  W una transformación lineal, entonces imag(L) es un subespacio de W. A la dimensión de imag(L) se llama rango(L). Teorema: Sea L: V  W una transformación lineal de un espacio vectorial V, de dimensión n, en un espacio vectorial W, entonces nulidad(L) + rango(L) = dim V. Corolario: Sea L: V  W una transformación lineal, y sea dimV=dimW. a. Si L es uno a uno, entonces es sobre. b. Si L es sobre, entonces es uno a uno. LA MATRIZ DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL Teorema: Sea L: V  W una transformación lineal de un espacio vectorial V, de dimensión n, en un espacio vectorial W, de dimensión m (n  0 y m  0), y sean S={v1, v2, …, vn} y T={w1, w2, …, wm} bases de V y W, respectivamente. Entonces, la matriz A de m n , cuya columna j es el vector de coordenadas [L(vj)]T de L(vj) con respecto a T, se asocia con L y tiene la siguiente propiedad: si x está en V, entonces [L(x)]T = A[x]S, donde [x]S y [L(x)]T son los vectores de coordenadas de x y L(x) con respecto a las bases S y T, respectivamente. Además, A es la única matriz con esta propiedad.

Definición: La matriz A de teorema anterior se conoce como la matriz que representa a L con respecto a las bases S y T, o la matriz de L con respecto a S y T.