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• Jose Dilser Mejia Regalado

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Transformaciones Lineales

UNIVERSIDAD NACIONAL CAJAMARCA

DE

SECCIÓN JAÉN

: “TRANSFORMACIONES LINEALES”. TEMA

ASIGNATURA

ALUMNO

: ÁLGEBRA LINEAL.

: DÁVILA BERNAL, Walter

Manuel. PATIÑO HUMBO, Luis Antonio. QUISPE HUAMÁN, Walter. SILVA GALVEZ, Reiner. TARRILLO FLORES, Cristian Ricardo. DOCENTE

:

SÁNCHEZ CULQUI,

Eladio.

FECHA

ÁLGEBRA LINEAL

:

Página 1

21-07-13.

Transformaciones Lineales JAÉN - PERÚ 2013

INTRODUCIÓN El álgebra lineal, a diferencia de otros cursos de matemáticas, este no brinda una serie de técnicas aisladas de cálculo para resolver ciertos tipos de problemas. En lugar de ello, ofrece ciertas definiciones y creando procedimientos para la determinación de propiedades y la demostración de teoremas. Si bien hace muchos cálculos, el objetivo de casi todos los problemas no es solamente obtener la respuesta correcta, sino que se entienda y explique cómo obtener la respuesta e interpretar el resultado. Una transformación es un conjunto de operaciones que se realizan sobre un vector para convertirlo en otro vector. Los espacios vectoriales son conjuntos con una estructura adicional, al saber que sus elementos se pueden sumar y multiplicar por escalares del campo dado, conviene utilizar funciones que preserven dicha estructura. El termino de linealidad es muy intuitivo y a la vez muy cotidiano en nuestras vidas, por ejemplo: a una persona, efectuando un trabajo “x” percibe un salario f(x); trabajando el doble, cabe esperar que su salario también se duplique, es decir f (2 x )=2 f ( x ) . Si realiza un trabajo extra “y”, sus ingresos serán la suma de los salarios percibidos por ambas ocupaciones así

f ( x + y )=f ( x ) + f ( y ) . Estas dos

propiedades anteriores, van a caracterizar las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales, que se denominan condiciones de linealidad. Se denomina transformación lineal a toda función cuyo dominio e imagen sean espacios vectoriales y se cumplan las condiciones necesarias. Ocurren con mucha frecuencia en el álgebra lineal y en otras ramas de la matemática, tienen gran variedad de aplicaciones importantes. Las transformaciones lineales tienen gran aplicación en la física, la ingeniería y en diversas ramas de la matemática.

ÁLGEBRA LINEAL

Página 2

Transformaciones Lineales

1) Definición: Sean V transformación lineal v ∈V

y W

dos espacios vectoriales sobre el cuerpo

T :V →W

K . Una

es una correspondencia que a cada vector

le asigna un vector T (v )∈W

tal que, para cualquier

u , v ∈V

y

α ϵ K , se cumple la relación T ( αu +v ) =αT (u )+ T ( v ) .

Observación: La particularidad de una transformación lineal es que preserva las operaciones de suma de vectores y producto de un escalar por un vector. 1.1)

EL CONJUNTO DE TRANSFORMACIONES LINEALES: Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K el conjunto de las

transformaciones lineales de T :V →W /T

El conjunto 1.2)

V

en

W , se denota por

es una transformación lineal de V

L ( V , W ) es un espacio vectorial.

OPERADORES LINEALES.

ÁLGEBRA LINEAL

Página 3

en W }.

L ( V , W )=¿

{

Transformaciones Lineales Las transformaciones lineales T :V →V , del espacio vectorial V mismo, se llaman operadores lineales en V. Si W =V , usamos la notación L ( V ) en vez de T :V →V /T

1.3)

L ( V , V ) , donde

en sí L ( V ) =¿

{

es una transformación lineal en V }.

FUNCIONES LINEALES. K yR

Sea V un espacio vectorial sobre el cuerpo

el conjunto de los números

reales. Las transformaciones lineales φ de V en R , llamados funciones lineales. Esto es, si la función φ : V → R v → φ(v) Cumple φ ( αu +v )=αφ ( u ) +φ ( v ) , ∀ αϵ K ; u , vϵV , diremos que φ es una funcional de V en R . ¿ El conjunto V =L ( V , R )=¿

{ φ :V → R /φ

es una transformación lineal}

se llama el espacio vectorial Dual de V. 2) EJEMPLOS: φ:R→R

2.1)

definido

φ ( v ) =a1 x1 +a 2 x 2+ ⋯+an xn ,

por

donde

x (¿ ¿ 1 , x 2 ,⋯ , x n) es una función lineal. v=¿

2.2) Si

0

V =C ( [ a , b ] )

es el espacio vectorial de las funciones vectoriales b

f : [ a , b ] → R , podemos definir la función lineal φ ( f )=∫ f ( x ) dx . a También es una función lineal

g :V → R f → g ( f )=f ( c ) ,c ∈ [ a , b ] , c es fijo.

2.3) Sea

C∞( R)

es el espacio vectorial de las funcione reales de variable real de

∞ clase C . El operador de derivación

D

∞ sobre C ( R )

D:C ∞ ( R ) →C ∞ ( R )

ÁLGEBRA LINEAL

Página 4

es:

Transformaciones Lineales f → g ( f )=f ( c ) ,c ϵ [ a , b ] , c es fijo .

2.4) Sea

V =R nxn

elementos en

es el espacio vectorial de las matrices cuadradas

R y

A=( aij )

La traza de A es el escalar

nxn

con

una matriz nxn .

tr A=a11 + a22+ …+ann Rnxn en

La función traza es una función lineal de

R .

tr : Rnxn → R A →tr A=a 11 +a22 +…+a nn .

Ejemplo:

Son transformaciones lineales:

3 a) La proyección de los vectores ( x , y , z ) ∈ R

sobre el plano

3 b) La proyección de los vectores ( x , y , z ) ∈ R sobre el plano 3 c) La proyección de los vectores ( x , y , z ) ∈ R

XY .

XZ .

sobre el plano YZ.

Estas proyecciones lineales se expresan del siguiente modo:

→ Probemos que T 1

es una transformación lineal ( t . l. ), para ello,

apicaremos la definición resumida:

T 1 ( αu+ v )=α T 1 ( u ) +T 1 ( v ) , ∀ u=( x , y , z ) ∈ R 3 , v=( m ,n , s ) ∈ R3 y ∀ α ∈ R3 , donde αu=( αx , αy , αz ) , αu +v= Veamos: T 1 ( αu+ v )=T 1 ( αx+m ,αy +n , αz+ s ) ÁLGEBRA LINEAL

Página 5

Transformaciones Lineales ¿ ( αx+m , αy+n , 0 ) = α ( x , y , 0 ) + ( m , n ,0 ) ¿ α ( x , y , 0 ) + ( m , n ,0 ) = α T 1 ( u ) +T 1 ( v ) T2 y T 3

De manera similar, se prueba que

son transformaciones lineales.

3) TEOREMAS: . TEOREMAS 01: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo K , sea { v1 , v 2 , … , v n } una base ordenada de V. Sea W un espacio vectorial sobre el mismo cuerpo

K

y

w1, w2, … , wn

vectores cualesquiera de W.

Entonces existe una única transformación lineal T de V en W tal que:

DEMOSTRACI ÓN Probaremos dos cosas:

a) La existencia de la transformación lineal T :V →W

→ v ∈V

Si

{ v1 , v 2 , … , v n }

es una base ordenada de V, entonces dado un vector

existen “n” escalares

{α 1 , α 2 , … , α n } tal que:

v =α 1 v 1 , α 2 v 2 , … , α n v n …………………………………….. (1) → Si w 1 , w 2 , … , w n son vectores cualesquiera de W, entonces para el vector v ∈V

se define: T (v )=α 1 w 1 , α 2 w2 , … ,α n wn …………………………………..(2)

→ Si en (1) aplicamos T, obtenemos:

ÁLGEBRA LINEAL

Página 6

Transformaciones Lineales v v v T⏟ (¿¿ n) wn

T (¿¿ 2) , … , α n ¿ ………………………(3) ⏟ w2

T (¿¿ 1) , α 2 ¿ ⏟ w1

T ( v)=α 1 ¿ → Por (2) y (3) podemos afirmar que:

T(

vi

)=

wi

, para cada i . Ahora probaremos que T es lineal.

Veamos: Sea u=¿ Ahora

β 1 v1 , β 2 v2 , … , β n v n

cv +u=( c α 1 +c β1 ) V 1

, un vector de V y “c” cualquier escalar:

c α +β V + …+ ( n n ) n ……………………….(3)

c α + β w +…+ ( c α n + β n ) T (V n ) Aplicar T: T(cv + u) = ( 1 1 ) 1 …………….(4) n

α i wi +T ( β1 v 1 +…+ β n v n ) Por otro lado: cT ( v ) +T ( u )=c ∑ i=1 v α i w i+ β1 T ( v 1)+ …+ β n T (¿¿ n) n

c :T ( v )+T ( u )=c ∑ ¿ i=1

n

¿ c ∑ α i wi + β 1 w1 +…+ β n w n i =1

n

n

i =1

i=1

¿ c ∑ α i w i + ∑ β i wi n

¿ ∑ (c α i+ βi ) wi ………………………….. (5) i=1

ÁLGEBRA LINEAL

Página 7

Transformaciones Lineales Por (4) y (5): T ( cv +u )=cT ( v ) +t( u)

b) La unicidad de T. Si f

es una transformación lineal de V en W con

F ( v i) =w i , i=1, … , n

, entonces

n

α i vi se tiene: para el vector v =∑ i=1 n

F ( v ) =F( ∑ α i v i ) i=1

v α i F (¿¿ i) n

¿∑¿ i=1

n

¿∑ α i w i i=1

¿ T ( v ) …………por (2) Como se podrá apreciar F es exactamente la misma correspondencia de T que se T ( v i )=w i definió antes, lo que demuestra que la t . l. T con es única. ÁLGEBRA DE TRANSFORMACIONES LINEALES Sobre el conjunto de las transformaciones lineales de V en W, denotado por L ( V , W )={T :V →W , T es una t . l. }, podemos definir dos operaciones: a) La suma de dos transformaciones lineales de V en W. b) El producto de un escalar por una transformación lineal de V en W, dando así al conjunto L(V ,W ) una estructura natural de espacio vectorial. TEOREMA 02: Sean V y W espacios vectoriales sobre el cuerpo K . Sean T:V →W y F :V →W a) La función

transformaciones lineales de V en W.

( T + F ) :V → W

definida por

( T + F ) ( v )=T ( v ) + F(v )

es una

transformación lineal de V en W. K , la función b) Si c ∈LINEAL ÁLGEBRA Página 8 cT :V → W definida por:

( cT )( v )=c (T ( v))

es una transformación lineal de V en W, junto con la

Transformaciones Lineales

DEMOSTRACIÓN → Si T y F son t . l. de V en W y según la definición de T + F, tenemos: a)

( T + F ) ( αv+u ) =T ( αv+u )+ F (αv +u) ¿ αT ( v ) +T ( u ) + αF ( v )+ F ( u ) ¿ αT ( v ) +αF ( v ) +T (u )+ F ( u ) ¿ α ( T + F ) ( v ) +(F +T ) ( u )

→ Lo cual prueba que T + F

es una t . l .

b) De manera similar: ( αT ) ( αv+u ) =c [ T (αv+ u) ] ¿ c [ αT (v )+T (u) ]

¿ c αT (v )+cT (u) ¿ α [ cT ] ( v )+[cT ](u)

→ El resultado nos dice que cT

es una transformación lineal.

TEOREMA 03: Sea V un espacio vectorial de dimensión finita “n” sobre el cuerpo K , y sea W un espacio vectorial de dimensión finita “m” sobre K . Entonces el espacio

L(V ,W ) es de dimensión finita y tiene dimensión mn. DEMOSTRACIÓN

1) Sean

β={ v 1 , v 2 , … , v n }

β ' ={ w1 , w2 ,… , wn }

ÁLGEBRA LINEAL

y bases de V y W, respecctivamente.

Página 9

Transformaciones Lineales 2) Para cada par de enteros

( p , q)

con

1≤ p ≤m

Ep, q

forma una base de

y

1≤ q ≤ n

se define una

transformación lineal. E p , q de V en W por

{

E p , q ( v i )=δ iq w p = 0, sii ≠ q w p , si i=q Los

mn

transformaciones

L ( V , W ) . Cada

transformación lineal de la base está definida por: E1,1 ( v 1 ) =w1 ,

E1,2 ( v 2 ) =w1 , … , E1,n ( v n ) =w 1

E2,1 ( v 1 ) =w2 ,

E2,2 ( v 2 ) =w 2 , … , E2,n ( v n ) =w 2

⋮

E

m, 1

( v 1 )=w m ,

E

m, 2

( v 2 )=wm , … , E m ,n ( v n) =w m

3) Según el teorema 01, existe una transformación única de V en W, que satisface las condiciones dadas. Sea T una transformación lineal de V en W definida por: n

T ( v j ) =∑ A pj w p … … … … … … ..(1) p=1

→ Donde para cada

j , 1≤ j ≤ n , los escalares

del vector T (v j ) en la base ordenada m

→ Debemos demostrar que:

A 1 j , … , A mj

son las coordenadas

β' .

n

∑ ∑ A pq E p , q p=1 q=1

……………………………. (2)

4) Sea F la t . l . del segundo miembro de (2). Entonces para cada j

∑ A pq E p , q ( v j) =∑ ∑ A pq δ jq w p =¿ ∑ A pj w p=T (v j ) q p q p=1 F ( v j )= ∑ ¿ p

→ Y en consecuencia

F=T . Pero en (2) se nos dice que los

L ( V , W ) . Falta probar que son independientes. ÁLGEBRA LINEAL

Página 10

E

p, q

generan

Transformaciones Lineales → Veamos: S

F=∑ ∑ A pq E P

p, q

Q

→ Es la t . l .

nula, entonces

F ( v j )=0

, para cada j, con lo que

m

∑ A pj w p=0 p=1

→ La independencia de los w p implica que

A pj=0, ∀ p , j.

4) PROPIEDADES DE LAS TRANSFORMACIONES LINEALES NÚCLEO E IMAGEN. 4.1.-DEFINICIÓN: Sean V y W dos espacios vectoriales sobre el cuerpo K y sea T :V →W una transformación lineal entonces: 1. EL NÚCLEO de T, (o el espacio nulo de T) denotado por

N (T ) o

v ∈V ,

tal que

Ker (T ) , es el conjunto de todos los vectores T ( v )=0. N (T )=Ker ( T ) ={v ∈ V /T ( v)=O, O ∈W }. 2. La IMAGEN de

T , denotado por

T (V )

es el subespacio de

W ,

definido por: ℑ ( T )=T ( V ) ={w ∈ W /w=T (v ) ,O ∈W , para algún v ∈V }. 3. Si V es de dimensión finita, el rango de de T

y la nulidad de T

ÁLGEBRA LINEAL

T

es la dimensión de la imagen

es la dimensión del espacio nulo de T .

Página 11

Transformaciones Lineales

5) MONOMORFISMO, EPIMORFISMO E ISOMORFISMO. Sea la transformación lineal T :V →W . Definición: 1) T es inyectiva (o un monomorfismo), si y solo sí,

∀ u , v ∈ V ; T (u )=T (v )

implica u=v . Otra definición equivalente es: ∀ u , v∈ V ;u≠ v T es inyectiva ↔ 2) T

implica T ( u ) ≠T ( v ) .

es sobreyectiva (sobre, ↔ ∀ w ∈ W , ∃v ∈V /w=T (v) .

epiyectiva

o

epimorfismo),

Otra definición equivalente es: T

ℑ ( T )=W

es sobreyectiva si y solo si

3) T es un isomorfo si, solo si T es sobreyectiva e inyectiva. En este caso pensamos que V es isomorfo a W. NOTACIÓN: La notación v ≅W

se lee “V es isomorfo a W”.

TEOREMA 04: Una transformación lineal

T :V →W ,

es INYECTIVA si y

solo si N (T )= {O } , O∈ W . DEMOSTRACIÓN 0V → Si T es inyectiva → N ( T )={ 0 V } , : vector nulo de V. → Veamos: → Si v ∈ N ( T ) → T ( v ) =0w …………………………. (1)

→ Debo probar que v =0v , donde 0 v ∈V → Como

N (T ) es subespacio de V, se cumple:

O w =T (O V ) ………………….. (2) → (2) en (1): →

Pero T es inyectiva →

ÁLGEBRA LINEAL

T ( v )=T (OV ) v =OV .

Página 12

Transformaciones Lineales → Si

Sea

N (T )={ OV } T N (T )={ OV }

es inyectiva. , entonces T ( u ) =T (v)

T ( u ) −T ( v )=Ow u−v=OV → μ=v . Observación: Se dice que la transformación lineal T es no singular si implica

v =0 , es decir si el espacio nulo de T es

Tv=0 ,

{ 0 } . Evidentemente, T es

inyectiva si, T es no singular. El alcance de esta observación es que las transformaciones lineales no singulares son las que preservan la independencia lineal.

TEOREMA 5 Sea T

una transformación lineal de V

singular (inyectiva) si, y solo si, independiente de

ÁLGEBRA LINEAL

V

T

en W . Entonces T

es no

aplica cada subconjunto linealmente

sobre un subconjunto linealmente independiente de

Página 13

Transformaciones Lineales S= { v 1 ,… , v n }

→ Sea

v v T (¿¿ n) T (¿¿ 1), … , ¿ ¿ S=¿

un subconjunto de

el subconjunto de

W

V , linealmente independiente y

, que son las imágenes de los vectores

v1 , … , vn .

(⇒)

T

v ¿ v v es inyectiva T ( ¿¿ n)son l. i. T (¿¿ 1) , … , ¿ ¿ ⇒¿ v v v T (¿¿ n)=0 implica que x 2 T (¿¿ 2)+ ,… , + x n ¿ x 1 T (¿¿ 1)+¿ ¿

→ Debo probar que

x i=0 ∀ i

Veamos: 1.

Sean los escalares

x1 , x2 … , xn

tales que:

v v v T (¿¿ n)=0W x 2 T (¿¿ 2)+ ,… , +x n ¿ x 1 T (¿¿ 1)+¿ ¿

2.-

x ¿ T (¿1 v ¿ ¿ 1+ x 2 v 2 +, … ,+ x n v n )=0W , ¿ ¿

ÁLGEBRA LINEAL

porque T

Página 14

es una t . l .

Transformaciones Lineales T

3.- Como

x 1 v1 + x 2 v 2+ , … ,+ x n v n=0V

es inyectiva, entonces: v1 , … , vn

4.- Por hipótesis

l. i. , entonces la igualdad en 3 implica que:

son

x 1=x 2=… ¿ x n=0. 5.- Por 1 y 4 implica que: v v v T (¿¿ n) son T (¿¿ 2), … , ¿ T ( ¿¿ 1) , ¿ ¿

( ⇐)

l. i.

T :V ⟶W

recíprocamente, si la transformación lineal

l. i.

en

l. i.

vectores

V ⟶ { v } l .i .⇒ T ( v ) l. i. ⇒ T ( v ) ≠ Ο ,

,

entonces

por lo tanto

N (T )={Ο}

lleva vectores v ≠Ο

y

en T

inyectiva.

TEOREMA 6 (TEOREMA DEL NUCLEO Y DE LA IMAGEN) → Sea

V

un

T :V ⟶W

K−¿

una

espacio vectorial de dimensión finita y transformación

dim ( V )=dim N ( T )+ dim ℑ(T )

ÁLGEBRA LINEAL

Página 15

lineal,

entonces:

es

Transformaciones Lineales u u T (¿¿ p)} {T (¿¿ 1), … , ¿ ¿

Si

es una base de

ℑ(T )

y

{v 1 , … , v p }

es una base de

V , se debe probar dos cosas:

u1 , … ,u p , v 1 , … , v q

a)

son l. i.

v , de

b) Todo vector

V

es combinación lineal de los vectores

u1 , … ,u p , v 1 , … , v q Veamos: 1.

α 1 u1 +…+ α p u p + β 1 v 1+ …+ β q v q=Ο

Supongamos que:

2. Aplicar

T

T ( α 1 u1+ …+α p u p+ β1 v 1 +…+ β q v q)=T (Ο)

:

u u α p T (¿¿ p)+T ( β 1 v 1+ …+ β q v q )=Οw α 1 T (¿¿ 1)+ …+¿ ¿

3.

Como

u u T (¿¿ p) T ( ¿¿ 1), … , ¿ ¿

es una base de la

ℑ( T ),

l. i .

entonces son

y por tanto: u u α p T (¿¿ p)=Οw α 1 T (¿¿ 1)+…+ ¿ ¿ Luego, en 2, se tendrá:

Οw +T ( β1 v 1 +…+ β q v q )=Ο w

⇒ T ( β 1 v 1 +…+ β q v q ) =Οw … … … … … … … … … … … …(3 ¿ ) 4.

La igualdad

5. Pero

(3¿ )

{v 1 , … , v p }

por lo tanto ÁLGEBRA LINEAL

implica que ( β 1 v 1+ …+ β q v q )∈ N (T ) es una base del

β 1=… , ¿ β p =Ο Página 16

N (T ) ,

entonces son

l. i.

y

Transformaciones Lineales 6. Por 3 y 5 afirmamos que

u1 , … ,u p , v 1 , … , v q

son

l. i.

Prueba de b) 7.

v ∈V

Sea

T ( v )∈ ℑ (T ) ,

un vector arbitrario. Como

podemos

escribir: u u α p T (¿¿ p), T ( v )=α 1 T (¿¿ 1)+…+ ¿ ¿

porque

u u T (¿¿ p)} {T (¿¿ 1), … , ¿ ¿

es una base de la

imagen de T .

La igualdad anterior implica :

Esta igualdad implica que

α ¿ v −(¿ 1 u ¿ ¿ 1+ …+α p u p) ¿=Ο w ¿ T¿

α ¿ v −(¿ 1 u ¿ ¿ 1+ …+α p u p) ¿ ¿

T

pertenece al núcleo de

y por tanto, se puede expresar como combinación lineal de los elementos de la base {

v1 , … , vq }

α ¿ v −(¿ 1 u ¿ ¿ 1+ …+α p u p)=β1 v 1 +…+ β q v q . ¿ ¿

, esto es,

v =α 1 u1 +…+α p u p + β 1 v1 +…+ βq v q .

Luego, 8.

Esto prueba que:

u1 , … ,u p , v 1 , … , v q

genera

V

y por tanto,

constituye una base.

TEOREMA 7 V ,W

Sean K

tal que

espacios vectoriales de la misma dimensión finita del cuerpo V =dimW .

Si

W,

T

es una transformación lineal de

en las siguientes afirmaciones son equivalentes: ÁLGEBRA LINEAL Página 17 i.

T

es invertible.

V

Transformaciones Lineales

ÁLGEBRA LINEAL

Página 18