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• Alejo Costa

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´ Algebra Lineal 2015 Pr´ actica 3: Transformaciones lineales. 1. Determinar cu´ ales de las siguientes funciones son transformaciones lineales: (a) f : R3 → R3 , f (x1 , x2 , x3 ) = (2x1 − 7x3 , 0, 3x2 + 2x3 ). (b) f : R2 → R3 , f (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , 2x2 , 1 + x1 ). (c) T : R2 → R2 definida por T (x, y) = (sen(x), y). (d) f : C → C, f (z) = z (considerando a C como R-espacio vectorial y como C-espacio vectorial). (e) f : R2x2 → R, f (A) = a11 .a22 − a12 .a21 . (f) f : R2x2 → R2x3 ,  f (A) =

a22 0 a12 + a21 0 a11 a22 − a11



(g) f : R[X] → R3 , f (p) = (p(0), p0 (0), p00 (0)). 2. Interpretar geom´etricamente las siguientes aplicaciones lineales f : R2 → R2 . (a) f (x, y) = (x, 0). (b) f (x, y) = (0, y). (c) f (x, y) = (x, −y). (d) f (x, y) = (12(x + y), 12(x + y)). (e) f (x, y) = (xcost − ysent, xsent + ycost) con t ∈ R fijo. 3. Probar que las siguientes funciones son transformaciones lineales: (a) tr : K nxn → K. (b) t : K nxm → K mxn , t(A) = AT . (c) f : K nxm → K rxm , f (A) = B.A donde B ∈ K rxn . (d) D : C 2 (R) → C 1 (R), D(f ) = f 0 . (e) I : C([0, 1]) → C([0, 1]), I(f )(x) =

R1 0

f (t)dt.

(f) Ev : K[X] → K, Ev (f ) = f (v) donde v ∈ K.

4. (a) Probar que existe una u ´nica transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f (1, 1) = (−5, 3) y f (−1, 1) = (5, 2). Para dicha f , determinar f (5, 3) y f (−1, 2). (b) Existir´ a una transformaci´on lineal f : R2 → R2 tal que f (1, 1) = (2, 6); f (−1, 1) = (2, 1) y f (2, 7) = (5, 3)? 5. T : V → V una transformaci´on lineal. (a) Sean {v1 , v2 , v3 } vectores de V linealmente dependientes. Explique porqu´e el conjunto {T (v1 ), T (v2 ), T (v3 )} es linealmente dependiente. (b) Muestre que si T mapea 2 vectores linealmente independientes sobre un conjunto linealmente dependiente entonces la ecuaci´on T (x) = 0 tiene una soluci´on no trivial. 6. Sean V, W espacios vectoriales sobre K, {w1 , .., wn } vectores linealmente independientes de W ; v1 , ..., vn ∈ V y T la transformaci´on lineal definida por T (vi ) = wi para i ∈ {1, .., n}. Probar que {v1 , .., vn } es linealmente independiente. 7. Sea V un K-espacio vectorial. Mostrar que la funci´on identidad idV : V → V es K-lineal y que la composici´on de funciones lineales es Klineal. 8. En cada uno de los siguientes casos definir una transformaci´on lineal f : R3 → R3 que verifique lo pedido. (a) (1, 1, 0) ∈ N u(f ) y dim(Im(f )) = 1. (b) N u(f ) ∩ Im(f ) = {(1, 1, 2)}. (c) N u(f ) ⊆ Im(f ). (d) f 6= 0 y f ◦ f 6= 0. (e) f 6= Id y f ◦ f = Id. (f) N u(f ) 6= 0, Im(f ) 6= 0 y N u(f ) ∩ Im(f ) = 0. 9. (a) Calcular el n´ ucleo y la imagen de cada una de las tranformaciones lineales de los Ejercicios 1 y 2. Decidir, en cada caso, si f es epimorfismo, monomorfismo o isomorfismo. En el caso que sea isomorfismo, calcular f −1 . (b) Clasificar las transformaciones lineales tr, t y Ev del Ejercicio 3 en epimorfismos, monomorfismos e isomorfismos.

10. Sean f : R3 → R4 , f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 +x2 , x1 +x3 , 0, 0) y g : R4 → R2 , g(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 , 2x1 − x2 ). Calcular el n´ ucleo y la imagen de f , de g y de g ◦ f . Decidir si son monomorfismos, epimorfismos o isomorfismos. 11. Sean g : V → V 0 y f : V 0 → V 00 transformaciones lineales. Probar: (a) N u(g) ⊂ N u(f ◦ g). (b) Si N u(f ) ∩ Im(g) = {0}, entonces N u(g) = N u(f ◦ g). (c) Im(f ◦ g) ⊂ Im(f ). (d) Si Im(g) = V 0 , entonces Im(f ◦ g) = Im(f ). 12. (a) Existir´ a alg´ un epimorfismo f : R2 → R3 ? (b) Sean v1 = (1, 0, 1, 0), v2 = (1, 1, 1, 0) y v3 = (1, 1, 1, 1). Existir´a alguna transformaci´on lineal f : R2 → R4 tal que {v1 , v2 , v3 } ⊂ Im(f )? (c) Existir´ a alg´ un monomorfismo f : R3 → R2 ? (d) Sean S, T ⊂ R4 los subespacios definidos por S = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 + x2 + x3 = 0} y T = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/2x1 + x4 = 0, x2 − x3 = 0}. Existir´ a alg´ un isomorfismo f : R4 → R4 tal que f (S) = T ? (e) Determinar si existe (y en caso afirmativo hallar) una transformaci´ on lineal f : R3 → R4 que verifique Im(f ) = S y N u(f ) = T en los siguientes casos: i. S = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 + x2 − x3 + 2x4 = 0}, T = {(1, 2, 1)}. ii. S = {(x1 , x2 , x3 , x4 )/x1 +x2 = 0, x3 +x4 = 0}, T = {(1, −2, 1)}. 13. Sean V un K − espacio vectorial y T : V → V una transformaci´on lineal. Probar que son equivalentes (a) ImT ∩ N ucT = {0}. (b) T (T (x)) = 0 → T (x) = 0. 14. (a) ρ ∈ EndK (V ) se dice idempotente si ρ ◦ ρ = ρ. Mostrar que si ρ es idempotente, entonces ρ|Imρ = idImρ . ρ se denomina una proyecci´ on de V sobre Imρ. (b) ϕ ∈ EndK (V ) se dice nilpotente de orden 2 si ϕ ◦ ϕ = 0. La composici´ on de dos endomorfismos nilpotentes no es necesariamente nilpotente. Hallar ϕ y ψ ∈ EndR (R2 ) ambos nilpotentes de orden tales que ϕ ◦ ψ sea idempotente.

15. Mostrar que toda sucesi´on ex´acta corta se parte. (En la teor´ıa est´a hecho para espacios de dimensi´on finita, hacerlo para espacios de dimesnsi´ on arbitraria). 16. S ≤ V (a) Mostrar que si dimK (V ) = n y dimK (S) = m ≤ n, entonces dimK (V /S) = n − m (b) Mostrar que la aplicaci´on al cociente η : V → V /S dada por η(v) = v/S es un K-epimorfismo. 17. Sea S ≤ V con V de dimensi´on finita L sobre K. Mostrar que hay un subespacio T de V tal que V ∼ T . (Ayuda considerar la sucesi´on =S ex´ acta corta 0 → S → V → V /S → 0)